二階線性偏微分方程的分類

1、劉慶成31120011582013.4.2偏微分方程偏微分方程：含有未知的多元函數(shù)u及其偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式。n階線性偏微分方程：方程中未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)為n。線性偏微分方程：偏微分方程關(guān)于未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)都是線性的。2222( , )( , )0uua x yb x y uxy例如二階線性偏微分方程：三類典型方程222222( , ),( , ),0( , )( , ),( , ),( )( , )uuaf x txa b ttxu x ttxTF x taf x tTxF x t 表示均勻柔軟且有彈性的弦在 時刻 點(diǎn)處的橫向位移。是弦的張力，是弦的質(zhì)量線密度，是弦所受垂直方向的外力（如重

2、力）的密度。雙曲型方程三類典型方程2222222200+( , , , ), , ),0( , , , ), , )1=,( , , , )( , , , ),0( , , , )uuuuaf x y z tx y zttxyzu x y z ttx y zkaf x y z tfx y z tcckcfx y z t（）表示均物體在 時刻點(diǎn)處的溫度。為導(dǎo)熱系數(shù)， 、 分別為物體的比熱和質(zhì)量密度，為物體內(nèi)的熱源的熱源密度。熱傳導(dǎo)方程拋物型方程三類典型方程222222222222+( , , ), , ),=+( , , )=0uuuuf x y zx y zxyzLaplacexyzf x y

3、 zLaplace 在熱傳導(dǎo)問題中，若外界環(huán)境及物體內(nèi)熱源不隨時間變化，則經(jīng)過較長時間后，物體內(nèi)溫度場區(qū)域穩(wěn)定，即溫度與時間無關(guān)。是算子。時稱為方程，也稱為調(diào)和方程。位勢方程橢圓型方程二元二階線性方程的分類111212212112211112,= ( , ),( , ).(1)=-0=+11(),()22xxxyyyxyssttsta ua uubub ucufx yx yaa auAuBuCuDststuuAuBuC uD 一般形式：作自變量的變量替換：當(dāng)時令此方程二階導(dǎo)數(shù)部分與弦振動方程021211221( , )2222(2)=-=0=+Bdaa auAuBuCuDvuevA vC vD

4、 類似，稱為雙曲型方程。當(dāng)時令此方程與一維熱傳導(dǎo)方程類似，稱為拋物型方程。二元二階線性方程的分類11121221211222,= ( , ),( , ).(3)=-0=+xxxyyyxya ua uubub ucufx yx yaa auuAuBuCuD 一般形式：作自變量的變量替換：當(dāng)時此方程二階導(dǎo)數(shù)部分與位勢方程類似，稱為橢圓型方程。多元二階線性方程的分類,110000000( )( )( ,1,),()()=()()(1) ()ijimmijx xixi jimijjiijm mTa ubucu xf xaai jmAaxRA xAxA xAxA xA xm一般形式：其中以 表示矩陣()

5、設(shè)表示系數(shù)矩陣 在點(diǎn) 的值，由可以對角化。的 個特征值除了一個為正（負(fù)）外都是負(fù)（正）數(shù)00000)(2) ()(3) ()xA xmxA xmx方程在點(diǎn) 屬于雙曲型的 個特征值除了一個為0外都是負(fù)（正）數(shù)方程在點(diǎn) 屬于拋物型的 個特征值都是負(fù)（正）數(shù)方程在點(diǎn) 屬于橢圓型若對于區(qū)域 上每一點(diǎn)，方程屬于雙曲型（拋物型、橢圓型），則稱方程屬于雙曲型（拋物型、橢圓型）。多元二階線性方程的分類0022222220(1) ()-0000( , )=00-00001(2) ()A xmxauuaf x tAtxaA xm的 個特征值除了一個為正（負(fù)）外都是負(fù)（正）數(shù)方程在點(diǎn) 屬于雙曲型波動方程：的 個特征值除了一個為0外都是負(fù)（正）數(shù)0222222222)-0000+( , , , )=00-00000 xauuuuaf x y z tAtxyza方程在點(diǎn) 屬于拋物型熱傳導(dǎo)方程：（）多元二階線性方程的分類00222222(3) ()+( , , )-10000=00-10000-1A xmxuuuuf x y zxyzA 的 個特征值都是負(fù)（正）數(shù)方程在點(diǎn) 屬于橢圓型位勢方程：調(diào)和方程222222223222222