第二章第23節(jié)單自由度系統(tǒng)的自由振動

1、能量法求解系統(tǒng)的振動微分方程與固有頻率能量法求解系統(tǒng)的振動微分方程與固有頻率 對于能量無耗散的振動系統(tǒng)，在自由振動對于能量無耗散的振動系統(tǒng)，在自由振動時系統(tǒng)的機械能守恒。時系統(tǒng)的機械能守恒。常數(shù)ut(2.2-1)0)(ddutt(2.2-2)maxmaxut(2.2-3)對時間求導(dǎo)，得對時間求導(dǎo)，得 如果取平衡位置為勢能零點，如果取平衡位置為勢能零點，由機械能守由機械能守恒定律，有恒定律，有化簡后可得振動方程化簡后可得振動方程化簡后可得系統(tǒng)固有頻率化簡后可得系統(tǒng)固有頻率例題：用能量法求解系統(tǒng)的振動微分方程與固有頻率例題：用能量法求解系統(tǒng)的振動微分方程與固有頻率（例（例2.2-1） 例例2.2-

2、1 有一個重量為有一個重量為w，半徑為，半徑為r的實心圓柱體，的實心圓柱體，在半徑為在半徑為r的圓柱形面上無滑動地滾動，如圖的圓柱形面上無滑動地滾動，如圖2.2-1所示。所示。假設(shè)該滾動的圓柱體進行簡諧運動，試求它繞平衡位置作假設(shè)該滾動的圓柱體進行簡諧運動，試求它繞平衡位置作微小擺動時的固有頻率微小擺動時的固有頻率n。 解：解：圓柱體在擺動時圓柱體在擺動時有兩種運動：移動和滾動。有兩種運動：移動和滾動。設(shè)設(shè)坐標(biāo)如圖坐標(biāo)如圖2.2-1示。示。rrrrrvc,)(擺動時圓柱體中心擺動時圓柱體中心c點的速度點的速度及圓柱體的角速度分別為及圓柱體的角速度分別為圖 2.2-1例題：用能量法求解系統(tǒng)的振動

3、微分方程與固有頻率例題：用能量法求解系統(tǒng)的振動微分方程與固有頻率（例（例2.2-1）系統(tǒng)的動能系統(tǒng)的動能t為為2sin)(2)cos1)(2rrwrrwu 若選圓柱體中心若選圓柱體中心c在運動過程中的最低點為零勢能在運動過程中的最低點為零勢能點，則系統(tǒng)的勢能為點，則系統(tǒng)的勢能為222222222432121212121rrgwrrrrgwrrgwimvtcc圓柱體的勢能為相對于最低位置圓柱體的勢能為相對于最低位置o的重力勢能。的重力勢能。例題：用能量法求解系統(tǒng)的振動微分方程與固有頻率例題：用能量法求解系統(tǒng)的振動微分方程與固有頻率（例（例2.2-1）2)(21rrwu0)()(23)(21)(4

4、3dd)(dd2222 rrwrrgwrrwrrgwtutt0)(32rrg 由式由式(2.2-2)，有，有上式可以簡化為上式可以簡化為 當(dāng)圓柱體作微擺動時，當(dāng)圓柱體作微擺動時， ，因此系統(tǒng)的勢能，因此系統(tǒng)的勢能為為22sin例題：用能量法求解系統(tǒng)的振動微分方程與固有頻率例題：用能量法求解系統(tǒng)的振動微分方程與固有頻率（例（例2.2-1）)(32rrgn)sin(tan222max)(43arrgwtn故系統(tǒng)固有頻率為故系統(tǒng)固有頻率為 系統(tǒng)的固有頻率也可以用系統(tǒng)的固有頻率也可以用tmax=umax來計算，設(shè)系來計算，設(shè)系統(tǒng)作自由振動時的變化規(guī)律為統(tǒng)作自由振動時的變化規(guī)律為則系統(tǒng)的最大動能、勢能分

5、別為則系統(tǒng)的最大動能、勢能分別為2max)(21arrwu則得固有頻率則得固有頻率n同前。同前。 例題：用能量法求解系統(tǒng)的振動微分方程與周期例題：用能量法求解系統(tǒng)的振動微分方程與周期（例（例2.2-2） 解：解：在桿有微小偏角在桿有微小偏角時，彈簧的伸長及錘的位移時，彈簧的伸長及錘的位移與速度可以近似的表示為與速度可以近似的表示為a，l與與 。故振動系統(tǒng)的動能故振動系統(tǒng)的動能與勢能可以表示為與勢能可以表示為l 例例2.2-2 細(xì)桿細(xì)桿oa可繞水平軸可繞水平軸o轉(zhuǎn)動，如圖轉(zhuǎn)動，如圖2.2-2所示，所示，在靜平衡時成水平。桿端錘的質(zhì)量為在靜平衡時成水平。桿端錘的質(zhì)量為m，桿與彈簧的質(zhì)量，桿與彈簧的

6、質(zhì)量均可略去不計，求自由振動的微分方程及周期。均可略去不計，求自由振動的微分方程及周期。 2221,)(21akulmt圖 2.2-2例題：用能量法求解系統(tǒng)的振動微分方程與周期例題：用能量法求解系統(tǒng)的振動微分方程與周期（例（例2.2-2）0)(2121dd222akmlt02lamk 代入方程代入方程(2.2-2)有有由此可得由此可得固有頻率為固有頻率為mklan周期為周期為kmalt2，平衡時，平衡時 。)mglaksssa21,（平衡位置為零勢能點平衡位置為零勢能點, , ,212221mglku彈簧剛度系數(shù)的定義彈簧剛度系數(shù)的定義 彈簧剛度系數(shù)彈簧剛度系數(shù)就是使彈簧產(chǎn)生單位變形所就是使彈

7、簧產(chǎn)生單位變形所需要的力或力矩。需要的力或力矩。xfk (2.3-1) 同一彈性元件，同一彈性元件，根據(jù)所要研究根據(jù)所要研究振動方向不同，彈簧剛度系數(shù)亦不振動方向不同，彈簧剛度系數(shù)亦不同。同。 以一端固定的等直圓桿為例以一端固定的等直圓桿為例加以說明，如圖加以說明，如圖2.3-1所示。所示。圖 2.3-1等直梁在不同方向的剛度等直梁在不同方向的剛度eaflxb 確定沿確定沿x方向方向的剛度時，在的剛度時，在b處沿處沿x方向加一方向加一垂直力垂直力f。b點在點在x方向的剛度系數(shù)為方向的剛度系數(shù)為leaxfkbx 根據(jù)材料力學(xué)知，根據(jù)材料力學(xué)知，b點在點在x方方向的位移為向的位移為圖 2.3-1等

8、直梁在不同方向的剛度等直梁在不同方向的剛度ejplyb33 確定沿確定沿y方向方向的剛度時，在的剛度時，在b點沿點沿y方向加一方向加一橫向力橫向力p。 桿作彎曲變形，根據(jù)材料力學(xué)桿作彎曲變形，根據(jù)材料力學(xué)知，知，b點沿點沿y方向的位移方向的位移b點沿點沿y方向的剛度系數(shù)為方向的剛度系數(shù)為33lejypkyb等直梁在不同方向的剛度等直梁在不同方向的剛度 桿件作轉(zhuǎn)扭，產(chǎn)生扭角桿件作轉(zhuǎn)扭，產(chǎn)生扭角，根據(jù)材料力學(xué)知，根據(jù)材料力學(xué)知，b點沿點沿x軸的扭軸的扭角為角為gjmlblgjmkb 確定繞確定繞x軸的轉(zhuǎn)動方向軸的轉(zhuǎn)動方向的剛度，需要在的剛度，需要在b端端繞繞x軸轉(zhuǎn)動方向加一扭矩軸轉(zhuǎn)動方向加一扭矩m

9、。b點繞點繞x軸轉(zhuǎn)動方向的剛度系數(shù)為軸轉(zhuǎn)動方向的剛度系數(shù)為螺旋彈簧在不同方向的剛度螺旋彈簧在不同方向的剛度 對于螺旋彈簧，在承受軸向拉伸或壓縮、扭對于螺旋彈簧，在承受軸向拉伸或壓縮、扭轉(zhuǎn)與彎曲變形時，剛度系數(shù)分別為轉(zhuǎn)與彎曲變形時，剛度系數(shù)分別為 44431,8643212gdededkkkndndndeg式中式中e為彈性模量，為彈性模量，g為剪切模量，為剪切模量，d、d分別分別 為簧絲、簧圈直徑，為簧絲、簧圈直徑，n為彈簧有效圈數(shù)。為彈簧有效圈數(shù)。 工程中用到的彈簧類型很多，計算時需工程中用到的彈簧類型很多，計算時需要其剛度系數(shù)，一般可以根據(jù)等效剛度系數(shù)的要其剛度系數(shù)，一般可以根據(jù)等效剛度系數(shù)

10、的推證方法加以推導(dǎo)。推證方法加以推導(dǎo)。串、并聯(lián)彈簧的等效剛度的計算串、并聯(lián)彈簧的等效剛度的計算 圖圖2.3-2(a)是兩個是兩個串聯(lián)彈簧串聯(lián)彈簧，剛度系數(shù)分，剛度系數(shù)分別為別為k1和和k2。b點的位移及等效剛度系數(shù)為點的位移及等效剛度系數(shù)為2121kkkkxfkb21kfkfxb串聯(lián)彈簧的作用使系統(tǒng)中的彈簧剛度降低。串聯(lián)彈簧的作用使系統(tǒng)中的彈簧剛度降低。 如果有如果有n個彈簧串聯(lián)，剛度系數(shù)分別為個彈簧串聯(lián)，剛度系數(shù)分別為k1, k2, , kn，則等效剛度系數(shù)則等效剛度系數(shù)k應(yīng)滿足關(guān)系式應(yīng)滿足關(guān)系式niinkkkkk12111111(2.3-2)圖 2.3-2串、并聯(lián)彈簧的等效剛度的計算串、并聯(lián)彈簧的等效剛度的計算 圖圖2.3-2(b)是兩個是兩個并聯(lián)彈簧并聯(lián)彈簧，剛度系，剛度系數(shù)分別為數(shù)分別為k1和和k2。兩個彈簧所受的力分別。兩個彈簧所受的力分別為為k1xb、k2xb 并聯(lián)彈簧的系統(tǒng)剛度是原來的彈簧剛并聯(lián)彈簧的系統(tǒng)剛度是原來的彈簧剛度的總和，比原來各彈簧的剛度都要大。度的總和，比原來各彈簧的剛度都要大。 如果有如果有n個彈簧并聯(lián)，其彈簧剛度系數(shù)分別為個彈簧并聯(lián)，其彈簧剛度系數(shù)分別為k1, k2, , kn， 則等效剛度系數(shù)為則等效剛度系數(shù)為niinkkkkk121(2.3-3)21kkxfkbb點的等效剛度：點的等效剛度：bbxkxkf21根據(jù)