幾種求極限方法及總結(jié)

1、幾種求極限方法的總結(jié)摘 要 極限是數(shù)學(xué)分析中的重要概念，也是數(shù)學(xué)分析中最基礎(chǔ)最重要的內(nèi)容.通過對求極限的學(xué)習(xí)和深入研究，我總結(jié)出十二種求極限的方法. 關(guān)鍵詞 定義 夾逼定理 單調(diào)有界 無窮小 洛必達(dá) 泰勒公式 數(shù)列求和定積分 定積分 數(shù)列 1 用定義求極限 根據(jù)極限的定義：數(shù)列收斂a,0,n,當(dāng)nn時(shí)，有-a. 例1 用定義證明 證明：要使不等式=成立：解得n,取n=，于是 n=，有即2利用兩邊夾定理求極限 例2 求極限 解：設(shè) 則有： 同時(shí)有： ，于是 由. 有 已知： =1 3利用函數(shù)的單調(diào)有界性求極限實(shí)數(shù)的連續(xù)性定理：單調(diào)有界數(shù)列必有極限.例3 設(shè)，（n=1,2,）(),求解：顯然是單調(diào)

2、增加的。我們來證明它是有界的.易見 ， ， ， 從而 ，顯然是單調(diào)增加的，所以 兩段除以，得 這就證明了的有界性 設(shè)，對等式兩邊去極限，則有 解得 4利用無窮小的性質(zhì)求極限關(guān)于無窮小的性質(zhì)有三個，但應(yīng)用最多的性質(zhì)是：若函數(shù)f(x)(x是無窮小，函數(shù)g(x)在u（有界，則函數(shù)f(x)*g(x)(x是無窮小. 例 求極限 解4 而 而故 5 應(yīng)用“兩個重要極限”求極限 例5求 解 原式=6利用洛必達(dá)法則求極限例6求（解： = 例7 求極限 （ 解 = 7利用泰勒公式求極限 例8：求極限 解 中分子為，將各函數(shù)展開到含項(xiàng)。 當(dāng)時(shí)，從而=1- 原式= 8利用數(shù)列求和來求極限 有時(shí)做一些求極限的題時(shí)，若

3、對原函數(shù)先做一些變形，化簡之后再利用極限性質(zhì)去求極限過程簡便些。 例9：求極限 解：令，則 -= 從而 ， 原式= 9用定積分求和式的極限 例10 設(shè)函數(shù)f(x)在上連續(xù)，且f(x),求 解 令t= 于是lnt= 而 所以 = 10 利用定積分求極限 利用定積分求極限可分為以下兩種形式 （1）型. 定理1 設(shè)f(x)在上可積，則有： = 例12 求 解：設(shè)f(x)=x,f(x)在上可積。則 = （2）型. 定理2 設(shè)f(x)在上可積，則有=epx 例13 求 解：= 令 f(x)=x,則有=exp= 11利用數(shù)列的遞推公式求極限 這種方法實(shí)際上包含有兩種方法 （1）利用遞推關(guān)系求出通項(xiàng)公式，然

4、后求極限。這是基本的解法，它把極限的存在性與求極限問題一起解決. 例14 設(shè)=1，3（，求 解：遞推公式可化為3（ 設(shè)，那么 所以，=1，將以上各式相加得 （1） 如果數(shù)列極限存在設(shè)為a，則根據(jù)遞推公式求出a.令數(shù)列的第n項(xiàng)記為a+，利用無窮小和極限的關(guān)系，只需證明（，便可確定數(shù)列的極限確實(shí)存在且就為a. 例15 證明數(shù)列 2，2+，2+，極限存在并求出這個極限. 解：由題意知遞推關(guān)系為，若數(shù)列的極限存在并設(shè)為a，則a=2+ 設(shè) ，有遞推關(guān)系得1+，即 因?yàn)?而 但2=1+，所以 即 由此推出數(shù)列的極限存在并且就為1+ 12 利用級數(shù)收斂的必要條件求極限 當(dāng)計(jì)算的題目形式很復(fù)雜時(shí)，可以作一個級數(shù)，看其是否收斂.再根據(jù)收斂的必要條件計(jì)算極限. 收斂的必要條件：若級數(shù)收斂，則 例16 計(jì)算 解：作級數(shù)，令 有達(dá)朗貝爾判別法知收斂.又有級數(shù)收斂的必要條件=0 參考文獻(xiàn) 陳傳璋 金福臨 朱學(xué)炎 數(shù)學(xué)分析（第二版）高等教育出版社 .1983.7 解紅霞.淺談求極限的幾種方法.太原教育學(xué)院學(xué)報(bào).2001.6 第19