自動控制理論(A)：ch2 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1、自動控制原理課程的任務(wù)自動控制原理課程的任務(wù)與體系結(jié)構(gòu)與體系結(jié)構(gòu)一般一般概念概念系統(tǒng)系統(tǒng)模型模型性能性能指標(biāo)指標(biāo)時域法時域法復(fù)域法復(fù)域法頻域法頻域法課程體系結(jié)構(gòu)課程體系結(jié)構(gòu)2.1 引言引言 什么是控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型？什么是控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型？ 如何建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型？如何建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型？ 數(shù)學(xué)模型有哪些類型？數(shù)學(xué)模型有哪些類型？2.1 引言引言 什么是控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型？什么是控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型？ 是描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變是描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 如何建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型？如何建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型？ 數(shù)學(xué)模型有有哪些類型？

2、數(shù)學(xué)模型有有哪些類型？2.1 引言引言 如何建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型？如何建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型？ 解析法解析法 （機(jī)理分析法）（機(jī)理分析法） 根據(jù)系統(tǒng)工作所依據(jù)的物理定律列寫運(yùn)根據(jù)系統(tǒng)工作所依據(jù)的物理定律列寫運(yùn)動方程動方程 實驗法實驗法 （系統(tǒng)辨識法）（系統(tǒng)辨識法） 給系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄輸出響給系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄輸出響應(yīng)，并用應(yīng)，并用 適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近系統(tǒng)的適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近系統(tǒng)的輸入輸出特性輸入輸出特性2.1 引言引言 什么是控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型？什么是控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型？ 是描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)是描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。系

3、的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 如何建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型？如何建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型？ 解析法解析法 實驗法實驗法 數(shù)學(xué)模型有哪些類型？數(shù)學(xué)模型有哪些類型？ 時域法時域法 頻域法頻域法 頻域法頻域法 本章只研究微分方程、傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖等數(shù)學(xué)模本章只研究微分方程、傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖等數(shù)學(xué)模型的建立和應(yīng)用，其余幾種數(shù)學(xué)模型將在以后各章型的建立和應(yīng)用，其余幾種數(shù)學(xué)模型將在以后各章中詳述。中詳述。微分方程微分方程（時域）（時域）代數(shù)方程代數(shù)方程（復(fù)域）（復(fù)域）傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)方框圖方框圖信號流圖信號流圖拉氏變換2.2 控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)?？刂葡到y(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型型微分方程微分方程)()(.)()()()(.)()(01111

4、01111trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn 線性定常系統(tǒng)微分方程的一般形式線性定常系統(tǒng)微分方程的一般形式2.2.1 線性元部件及微分方線性元部件及微分方程的建立程的建立 一般步驟：一般步驟： 根據(jù)系統(tǒng)的具體工作情況，確定系統(tǒng)或元部件根據(jù)系統(tǒng)的具體工作情況，確定系統(tǒng)或元部件的輸入、輸出變量；的輸入、輸出變量； 從輸入端開始，按照信號的傳遞順序，依據(jù)各從輸入端開始，按照信號的傳遞順序，依據(jù)各變量所遵循的物理（或化學(xué)）定律，列寫出各元部變量所遵循的物理（或化學(xué)）定律，列寫出各元部件的動態(tài)方程，一般為微分方程組；件的動態(tài)方程，

5、一般為微分方程組； 消去中間變量，寫出輸入、輸出變量的微分方消去中間變量，寫出輸入、輸出變量的微分方程；程； 將微分方程標(biāo)準(zhǔn)化，即將與輸入有關(guān)的各項放將微分方程標(biāo)準(zhǔn)化，即將與輸入有關(guān)的各項放在等號右側(cè)，與輸出有關(guān)的各項放在等號左側(cè)，并在等號右側(cè)，與輸出有關(guān)的各項放在等號左側(cè)，并按降冪排列。按降冪排列。建模實例分析建模實例分析 電路系統(tǒng)電路系統(tǒng) 機(jī)械系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng) 電樞控制直流電動機(jī)（了解）電樞控制直流電動機(jī)（了解）例例2.1 R-L-C無源網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)無源網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng) ti)(tuR電阻電阻)()(tiRtu ti)(tuC電容電容 dttiCtu)(1)(dttdiLtu)()( ti)(tuL電感電

6、感 回顧回顧 電容兩端電壓與電流關(guān)系電容兩端電壓與電流關(guān)系 電感兩端電壓與電流關(guān)系電感兩端電壓與電流關(guān)系例例2.1 R-L-C無源網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)無源網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng) 回顧回顧 電容兩端電壓與電流關(guān)系電容兩端電壓與電流關(guān)系 電感兩端電壓與電流關(guān)系電感兩端電壓與電流關(guān)系)()()()(tutudttduRCdttudLCrccc22dttduCtic)()( )()()()(tutRidttdiLtucr )()()(22tudttduRCdttudLCccc urucRCLRLT 1)()()()(tutudttduRCdttudLCrccc22RCT 2令：令：)()()()(tutudttduTdttud

7、TTrccc22221 秒秒秒秒伏伏安安安安伏伏秒秒安安伏伏秒秒安安伏伏的量綱：的量綱：、分析分析 RCTRLTTT2121 dtdyfvfFf 例例2.2 彈簧彈簧-質(zhì)量質(zhì)量-阻尼器系阻尼器系統(tǒng)（機(jī)械系統(tǒng)）統(tǒng)（機(jī)械系統(tǒng)） 機(jī)械系統(tǒng)中，有三種基本的無源元件：機(jī)械系統(tǒng)中，有三種基本的無源元件：質(zhì)量質(zhì)量m、彈簧、彈簧K，阻尼器，阻尼器f。 慣性力慣性力 彈簧力彈簧力 阻尼力阻尼力22dtydmdtdvmmaFmvdtKKyFkf(t)mx(t)f(t)x(t)kf(t)x(t)D)(tFKtFtydttdyKfdttydKm)()()()(22)(tKydttdyf)(22dttydm)(=KfT

8、KmTfm,2令：令：KtFtydttdyTdttydTfm)()()()(222 牛頓米米牛頓K 秒米牛頓秒米牛頓KfT 秒米秒米千克千克米牛頓千克KmT 義：分析方程系數(shù)的物理意fm11222KtFtydttdyTdttydTfm)()()()(222例例2.1與例與例2.2系統(tǒng)微分方程系統(tǒng)微分方程進(jìn)行比較進(jìn)行比較)()()()(tutudttduRCdttudLCrccc22)()()()(tFtKydttdyfdttydm22 顯然方程具有相同的形式，兩系統(tǒng)是相似系顯然方程具有相同的形式，兩系統(tǒng)是相似系統(tǒng)。若進(jìn)一步作變量代換，統(tǒng)。若進(jìn)一步作變量代換，Cquc 令令ruqCdtdqRdt

9、qdL122 iq1/CRL電路系統(tǒng)電路系統(tǒng)vykfm機(jī)械系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng) tF tur相似量相似量)()()()(tFtKydttdyfdttydm22ruqCdtdqRdtqdL122 2.2.2 非線性系統(tǒng)微分方程非線性系統(tǒng)微分方程的線性化的線性化電機(jī)死區(qū) 齒輪間隙放大器飽和實際系統(tǒng)一般都有非線性現(xiàn)象：實際系統(tǒng)一般都有非線性現(xiàn)象：嚴(yán)格講：嚴(yán)格講： 所有系統(tǒng)都是非線性的所有系統(tǒng)都是非線性的2.2.2 非線性系統(tǒng)微分方程非線性系統(tǒng)微分方程的線性化的線性化 任何一個元件或系統(tǒng)總是存在一定程度任何一個元件或系統(tǒng)總是存在一定程度的非線性；的非線性； 嚴(yán)格地說，實際系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一般都嚴(yán)格地說，實際系統(tǒng)

10、的數(shù)學(xué)模型一般都是非線性的，而非線性微分方程沒有通是非線性的，而非線性微分方程沒有通用的求解方法。用的求解方法。 研究系統(tǒng)時總是力圖將非線性問題在合研究系統(tǒng)時總是力圖將非線性問題在合理、可能的條件下簡化為線性問題處理。理、可能的條件下簡化為線性問題處理。 2.2.2 非線性系統(tǒng)微分方程非線性系統(tǒng)微分方程的線性化的線性化 線性化：應(yīng)用線性化數(shù)學(xué)模型來代替原線性化：應(yīng)用線性化數(shù)學(xué)模型來代替原來的非線性模型這一過程，稱為線性化。來的非線性模型這一過程，稱為線性化。激磁特性fi 如A0fi0 fi 2.2.2 非線性系統(tǒng)微分方程非線性系統(tǒng)微分方程的線性化的線性化 方法：小偏差線性化方法：小偏差線性化

11、步驟：借助泰勒展開式的數(shù)學(xué)方法將函步驟：借助泰勒展開式的數(shù)學(xué)方法將函數(shù)展開，然后取其一次式作為對函數(shù)線數(shù)展開，然后取其一次式作為對函數(shù)線性化處理結(jié)果。性化處理結(jié)果。2.2.2 非線性系統(tǒng)微分方程非線性系統(tǒng)微分方程的線性化的線性化)(cos)(0txExy )()()(0 xyxyxy xxEy 00sin取一次近似，且令取一次近似，且令 既有既有 200000)(! 21)()()(xxxyxxxyxyxy解解. . 在工作點(diǎn)在工作點(diǎn)( (x0, y0)處展開泰勒級數(shù)處展開泰勒級數(shù))(sin000 xxxE 例例 已知某裝置的輸入輸出特性如下，求小擾動線性已知某裝置的輸入輸出特性如下，求小擾動

12、線性化方程。化方程。2.2.3 線性定常微分方程的線性定常微分方程的求解求解微分方程求解方法微分方程求解方法 2.3 控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型型 拉普拉斯變換拉普拉斯變換1 1 復(fù)數(shù)有關(guān)概念復(fù)數(shù)有關(guān)概念 （1 1）復(fù)數(shù)、復(fù)函數(shù)）復(fù)數(shù)、復(fù)函數(shù) 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)復(fù)函數(shù)復(fù)函數(shù) js yxjFFsF)(例例1 1 jssF 22)( j 25arctan525222 j復(fù)變量復(fù)變量（2 2）模、相角）模、相角 22yxFFsF xyFFsFarctan （3 3）復(fù)數(shù)的共軛）復(fù)數(shù)的共軛 yxjFFsF )(模模相角相角 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 0)()()(dtetfsFtfLts )()

13、(tfsF像像原像原像2 2 拉氏變換的定義拉氏變換的定義 若時間函數(shù)若時間函數(shù) f(t) 在在 t 0 有定義，則有定義，則 f(t) 的的拉普拉斯變換（簡稱拉普拉斯變換（簡稱拉氏變換拉氏變換）為）為3 3 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換ssFtfstde )(j21)(jj f( (t) ) =L L-1 F(s) 可表示為可表示為4、簡單函數(shù)的拉氏變換、簡單函數(shù)的拉氏變換1. 單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù) t1 01001ttt tL 10t1 dttest 0101 estss1 dttxtxLsXest 02 .指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) tet1 0t1 teLt1 dtteestt 10 dte

14、ts 0 01 etss s1 sincos sincos jjeejj 根據(jù)歐拉公式：根據(jù)歐拉公式： 的的結(jié)結(jié)果果可可利利用用tLet1 tttt1cos1sin3 和和余余弦弦函函數(shù)數(shù)、正正弦弦函函數(shù)數(shù) 2cos2sineeeejjjjj 則則jteetjtj2sin 2coseetjtjt 121sin tjLttLeetjtj jsjsj1121 22)(21 jsjsjsj22222221 sjsjj tLttLeetjtj121cos 同理：同理： jsjs112122 ss（2 2）單位階躍）單位階躍 常見函數(shù)常見函數(shù)L變換變換)(tfs1（5 5）指數(shù)函數(shù)）指數(shù)函數(shù)ate )(

15、1as )(sF)( 1 t（1 1）單位脈沖）單位脈沖1)(t （3 3）單位斜坡）單位斜坡21 st（4 4）單位加速度）單位加速度31 s22t（6 6）正弦函數(shù)）正弦函數(shù)t sin)(22 s（7 7）余弦函數(shù)）余弦函數(shù)t cos)(22 ss拉普拉斯變換拉普拉斯變換L變換重要性質(zhì)變換重要性質(zhì)（2 2）微分定理）微分定理（5 5）復(fù)位移定理）復(fù)位移定理（1 1）線性性質(zhì)）線性性質(zhì)（3 3）積分定理）積分定理（4 4）實位移定理）實位移定理（6 6）初值定理）初值定理（7 7）終值定理）終值定理 (s)Fb(s)Fa(t)fb(t)faL2121 0fsFstfL 0111-fssFsd

16、ttfL )()(0sFetfLs )()(AsFtfeLtA )(lim)(lim0sFstfst )(lim)(lim0sFstfst 011)( knkknnnfssFsdttfdL 的的拉拉氏氏反反變變換換求求 例例 2332ssssX 2332 ssssX解解： 111)(sssXc 2112 sssX teetxtt122 213sss2121 scsc 22213 sssss 11213 sssss2 222)(sssXc1 用拉氏變換方法解微分方程用拉氏變換方法解微分方程665 )()()(tytyty200)()(yy系統(tǒng)微分方程系統(tǒng)微分方程 代入，得代入，得將將20, 20

17、 yy tteety32451 ssssssY656122232 ssYssYssYs6625222 3261222 sssss34251 sss ssYyssYysysYs6605002 解：解：2.3.1 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)(transfer function) 1、傳遞函數(shù)的定義、傳遞函數(shù)的定義 在在零初始條件零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量拉下，線性定常系統(tǒng)輸出量拉氏變換與輸入量拉氏變換之比。氏變換與輸入量拉氏變換之比。)()()(sRsCsG )(tr)(sR)(tc)(sCL變換變換L變換變換2.3.1 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)(transfer function) 傳遞函數(shù)的一般形式傳遞函

18、數(shù)的一般形式)(.01)1(1)(01)1(1)(trbrbrbrbcacacacammmmnnnn )(.)()(01110111sGasasasabsbsbsbsRsCnnnnmmmm )(.)(.sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn01110111微分方程一般形式微分方程一般形式：拉氏變換拉氏變換：傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：2.3.1 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)(transfer function) sDsM 系統(tǒng)的系統(tǒng)的0)( sD系統(tǒng)的系統(tǒng)的： 特征方程的根特征方程的根系統(tǒng)的系統(tǒng)的：的根的根0)( sM系統(tǒng)的系統(tǒng)的：的根，即特征根的根，即特征根0)( sD系統(tǒng)的零極點(diǎn)：為實數(shù)或成對出

19、現(xiàn)的復(fù)數(shù)系統(tǒng)的零極點(diǎn)：為實數(shù)或成對出現(xiàn)的復(fù)數(shù)01110111asasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm.)()()(2.3.1 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)(transfer function) 零初始條件的含義零初始條件的含義 指輸入作用是在指輸入作用是在t=0以后才作用于系統(tǒng)，因以后才作用于系統(tǒng)，因此，系統(tǒng)輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)在此，系統(tǒng)輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)在t 0 時均為時均為零；零； 指輸入作用于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)是指輸入作用于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)是“相對靜相對靜止止”的，即系統(tǒng)輸出量及各階導(dǎo)數(shù)在的，即系統(tǒng)輸出量及各階導(dǎo)數(shù)在 t 0 時的值也為零。時的值也為零。 2.3.1 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)(tra

20、nsfer function) 例例2-6 試求例試求例2-1中的中的R-L-C無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)數(shù) 。解解 由例由例2-1式（式（2-3）可知）可知R-L-C無源網(wǎng)絡(luò)的微分方程為無源網(wǎng)絡(luò)的微分方程為)()()()(tutudttduRCdttudLCrccc22112RCsLCssUsUsGrc)()()(在零初始條件下，對上式兩端取拉氏變換并整理可得網(wǎng)絡(luò)傳在零初始條件下，對上式兩端取拉氏變換并整理可得網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)遞函數(shù))(sUsc2)(ssUc)(sUc)(sUr2.3.1 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)(transfer function) 2、傳遞函數(shù)的性質(zhì)、傳遞函數(shù)的性質(zhì) (1)

21、G(s) 是復(fù)變量的有理分式，它具有復(fù)變函數(shù)的是復(fù)變量的有理分式，它具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì)所有性質(zhì) ； (2)傳遞函數(shù)的分母階次傳遞函數(shù)的分母階次n總是大于或等于分子階次總是大于或等于分子階次m，即，即nm。 (3) G(s)只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，與外作用無關(guān)；只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，與外作用無關(guān)； (4) G(s) 與系統(tǒng)微分方程直接關(guān)聯(lián)；與系統(tǒng)微分方程直接關(guān)聯(lián)； (5) G(s) = L k(t) ； (6) G(s) 與與 s 平面上的零極點(diǎn)圖相對應(yīng)。平面上的零極點(diǎn)圖相對應(yīng)。2.3.1 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)(transfer function) 3、傳遞函數(shù)的局限性、傳遞函數(shù)的局限性 傳遞

22、函數(shù)是在傳遞函數(shù)是在零初始條件零初始條件下定義的，因此下定義的，因此它只反映系統(tǒng)在零狀態(tài)下的動態(tài)特性，不它只反映系統(tǒng)在零狀態(tài)下的動態(tài)特性，不能反映非零初始條件下系統(tǒng)的全部運(yùn)動規(guī)能反映非零初始條件下系統(tǒng)的全部運(yùn)動規(guī)律；律； 只適用于描述單輸入只適用于描述單輸入-單輸出系統(tǒng)；單輸出系統(tǒng)； 只適用于線性定常系統(tǒng)。只適用于線性定常系統(tǒng)。2.3.2 典型環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié) 1、比例環(huán)節(jié)、比例環(huán)節(jié)（又叫放大環(huán)節(jié)）（又叫放大環(huán)節(jié)） 特特 點(diǎn)：點(diǎn)： 輸出量按一定比例復(fù)現(xiàn)輸入量，輸出量按一定比例復(fù)現(xiàn)輸入量，無滯后、失真現(xiàn)象。無滯后、失真現(xiàn)象。 微分方程微分方程 c=kr 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 實例實例 運(yùn)算放大器、測速發(fā)

23、電機(jī)、電位器運(yùn)算放大器、測速發(fā)電機(jī)、電位器KsRsCsG)()()(環(huán)節(jié)：具有相同形式傳遞函數(shù)的元部件的分類。環(huán)節(jié)：具有相同形式傳遞函數(shù)的元部件的分類。比例環(huán)節(jié)：電位器比例環(huán)節(jié)：電位器例：例： 輸入：輸入： (t)角度角度 E恒定電壓恒定電壓 輸出：輸出：u(t)電壓電壓KssUsG)()()( 運(yùn)動方程運(yùn)動方程： u(t)=K(t) 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)： K比例系數(shù)，量綱為伏比例系數(shù)，量綱為伏/弧度?；《?。比例環(huán)節(jié)：比例環(huán)節(jié)：運(yùn)算放大器運(yùn)算放大器 _ + ui(t) uo(t) R1 R2 0A u由虛短路有：由虛短路有：21ii 由虛斷路有：由虛斷路有： 2100RtuRtuoi tuRRt

24、uio12 sURRsUio12 拉拉氏氏變變換換后后有有12 RRK 12)(RRsUsUsGio 2.3.2 典型環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié) 2、一階慣性環(huán)節(jié)、一階慣性環(huán)節(jié) 特特 點(diǎn)點(diǎn)：此環(huán)節(jié)中含有一個獨(dú)立的儲能元件，此環(huán)節(jié)中含有一個獨(dú)立的儲能元件，以致對突變的輸入來說，輸出不能立即復(fù)現(xiàn)，以致對突變的輸入來說，輸出不能立即復(fù)現(xiàn)，存在時間上的延遲。存在時間上的延遲。 微分方程微分方程： 傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：rccT11TssG)(一階慣性環(huán)節(jié)實例一階慣性環(huán)節(jié)實例 ui(t) uo(t) R C i(t) 2.3.2 典型環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié) 3、積分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié) 特特 點(diǎn)：點(diǎn)：輸出量的變化速度和輸入量成輸出量的

25、變化速度和輸入量成正比。正比。 微分方程：微分方程： 傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：rc ssG1)( 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)dttduCRtuoi)()( RCk1 其中：其中： _ K0 + ui(t) i1(t) i2(t) uo(t) C R A B sCsURsUoi sUsUsGio RCs1 2.3.2 典型環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié) 4、微分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié) 特特 點(diǎn)：點(diǎn)：動態(tài)過程中，輸出量正比于輸動態(tài)過程中，輸出量正比于輸入量的變化速度。入量的變化速度。 微分方程：微分方程： 傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：rcssG)(近似微分環(huán)節(jié)近似微分環(huán)節(jié)RC電路電路 RCssG sUsUsGio iuouRC1RCCsRR1

26、1 RCsRCs其它微分環(huán)節(jié)其它微分環(huán)節(jié)2.3.2 典型環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié) 5、一階微分環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié) 特特 點(diǎn)：點(diǎn)：此環(huán)節(jié)的輸出量不僅與輸入量本身此環(huán)節(jié)的輸出量不僅與輸入量本身有關(guān)，而且與輸入量的變化率有關(guān)。有關(guān)，而且與輸入量的變化率有關(guān)。 微分方程：微分方程： 傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：rrc 1s 一階微分環(huán)節(jié)：一階微分環(huán)節(jié)：RC電路電路輸入：u(t)，輸出：i(t) ，1U(s)I(s) s 2.3.2 典型環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié) 6、振蕩環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié) 特特 點(diǎn)：點(diǎn)：包含兩個獨(dú)立的儲能元件，當(dāng)包含兩個獨(dú)立的儲能元件，當(dāng)輸入量發(fā)生變化時，兩個儲能元件的能輸入量發(fā)生變化時，兩個儲能元件的能量進(jìn)行交換，使輸

27、出帶有振蕩的性質(zhì)。量進(jìn)行交換，使輸出帶有振蕩的性質(zhì)。 微分方程：微分方程： 傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：rccTcT 2210 12122TssT 振蕩環(huán)節(jié)實例振蕩環(huán)節(jié)實例2.3.2 典型環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié) 7、二階微分環(huán)節(jié)、二階微分環(huán)節(jié) 特特 點(diǎn)：點(diǎn)：輸出與輸入及輸入一階、二階輸出與輸入及輸入一階、二階導(dǎo)數(shù)都有關(guān)。導(dǎo)數(shù)都有關(guān)。 微分方程：微分方程： 傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：rrrc 221222ss 2.3.2 典型環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié) 8、時間延遲環(huán)節(jié)（時滯環(huán)節(jié)）、時間延遲環(huán)節(jié)（時滯環(huán)節(jié)） 特特 點(diǎn)：點(diǎn)：輸出能準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)輸入，但時間輸出能準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)輸入，但時間上存在延遲。上存在延遲。 微分方程：微分方程： 傳遞函數(shù)：傳

28、遞函數(shù)：)()(trtcsesG )(小結(jié)小結(jié)（1）不同物理性質(zhì)的系統(tǒng)，可以有相同形式的傳）不同物理性質(zhì)的系統(tǒng)，可以有相同形式的傳 遞函數(shù)。遞函數(shù)。 例如：前面介紹的振蕩環(huán)節(jié)中兩個例子，一個是機(jī)械系例如：前面介紹的振蕩環(huán)節(jié)中兩個例子，一個是機(jī)械系統(tǒng)，另一個是電氣系統(tǒng)，但傳遞函數(shù)的形式完全相同。統(tǒng)，另一個是電氣系統(tǒng)，但傳遞函數(shù)的形式完全相同。 （2）同一個系統(tǒng)，當(dāng)選取不同的輸入量、輸出量）同一個系統(tǒng)，當(dāng)選取不同的輸入量、輸出量 時，就可能得到不同形式的傳遞函數(shù)。時，就可能得到不同形式的傳遞函數(shù)。 例如：電容：輸入例如：電容：輸入電流，輸出電流，輸出電壓，則是積分環(huán)節(jié)。電壓，則是積分環(huán)節(jié)。 反之，

29、輸入反之，輸入電壓，輸出電壓，輸出電流，則為微分環(huán)節(jié)。電流，則為微分環(huán)節(jié)。（3）任一傳遞函數(shù)都可看作典型環(huán)節(jié)的組合。）任一傳遞函數(shù)都可看作典型環(huán)節(jié)的組合。典型環(huán)節(jié)總結(jié)典型環(huán)節(jié)總結(jié)K11Ts12122 TssT ss11 s 1222 ss （1）比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié) （2）微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié) （3）積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié) （4）慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié) （5）振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié) （6）一階復(fù)合微分環(huán)節(jié)一階復(fù)合微分環(huán)節(jié) （7）二階復(fù)合微分環(huán)節(jié)二階復(fù)合微分環(huán)節(jié)2.3.3 傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式 211212211221)12()1()12()1()(njjjniimkllmlksTsTsTssssKsGv

30、 首首1 1標(biāo)準(zhǔn)型：標(biāo)準(zhǔn)型： 尾尾1 1標(biāo)準(zhǔn)型：標(biāo)準(zhǔn)型： niimjjpszsKsG11*)()()(01110111asasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm.)()()(nmabK *K=K*非零零點(diǎn)絕對值之積非零零點(diǎn)絕對值之積非零極點(diǎn)絕對值之積非零極點(diǎn)絕對值之積2.3.3 傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式sssss2344)G(23 例例 已知已知將其化為首將其化為首1 1、尾、尾1 1標(biāo)準(zhǔn)型，并確定其增益。標(biāo)準(zhǔn)型，并確定其增益。解解. .sssssG23)1(4)(23 2 K)12321(124)(2 sssssG首首1 1標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型尾尾1 1標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型增益增益

31、)2)(1()1(4 ssss)1)(121()1(2 ssss2.4 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換等效變換 2.4.1 結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖 定義：描述系統(tǒng)各組成元部件之間信號定義：描述系統(tǒng)各組成元部件之間信號傳遞關(guān)系的圖形化數(shù)學(xué)模型。傳遞關(guān)系的圖形化數(shù)學(xué)模型。R(s)C(s)E(s)G(s)H(s)(- -) 信號線：信號線：表示信號傳遞通路與方向。表示信號傳遞通路與方向。 方框：方框：表示對信號進(jìn)行的數(shù)學(xué)變換。方框中寫入元件或子系統(tǒng)表示對信號進(jìn)行的數(shù)學(xué)變換。方框中寫入元件或子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。的傳遞函數(shù)。 相加點(diǎn)：相加點(diǎn)：對兩個以上的信號進(jìn)行加減運(yùn)算。對兩個以上的信號進(jìn)行加減運(yùn)

32、算?！?”+”表示相加，表示相加，“-”-”表示相減。表示相減。 引出點(diǎn)：引出點(diǎn)：表示信號引出或測量的位置。同一位置引出的信號數(shù)表示信號引出或測量的位置。同一位置引出的信號數(shù)值和性質(zhì)完全相同。值和性質(zhì)完全相同。1. 方塊圖單元方塊圖單元 sG sXi sXo sXo sXo2. 比較點(diǎn)3.引出點(diǎn) sXi sXo- sXsXsEoi +2.4 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換等效變換 建立系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的方法：建立系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的方法：工作工作原理圖原理圖方框圖方框圖微分微分方程組方程組系統(tǒng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖)()()(11sIRsUsUcr sCsIsUc11)()( 例例 繪出繪出RC

33、電路的結(jié)構(gòu)圖。電路的結(jié)構(gòu)圖。 R1 C1i1(t)ur(t)uc(t)Ur(s)Uc(s)I1(s)1/R11/sC1(- -)解：解：繪出網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)的復(fù)頻域圖，可得：繪出網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)的復(fù)頻域圖，可得：)()(1)(11sUsURsIi )()()(21sIsIsIc sCsIsUc1)()( )()(1)(22sUsURsIo sCsIsUo22)()( 例例 繪出圖示雙繪出圖示雙RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。uiuouC2C1ici1R1R2i2U(s)I2(s) Uo(s)(d)21R (- -)IC(s)U(s)(c)sC11 IC(s)I1(s)I2(s) (- -)(b)Ui(s)I1

34、(s) U(s) (- -)(a)11RsC21I2(s) Uo(s)(e)Ui(s)Uo(s) I2(s) U(s)IC(s) I1(s) (- -) (- -) (- -)(f)11RsC11sC2121R解：解：繪出網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)的復(fù)頻域圖，可得：繪出網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)的復(fù)頻域圖，可得：2.4.2 結(jié)構(gòu)圖等效變換結(jié)構(gòu)圖等效變換 建立結(jié)構(gòu)圖的目的：求取系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立結(jié)構(gòu)圖的目的：求取系統(tǒng)傳遞函數(shù) 結(jié)構(gòu)圖等效變換的原則：結(jié)構(gòu)圖等效變換的原則： 1、串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效變換、串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效變換 sRsCsG sC sU sR sG2 sG1 sG sR sC sRsUsG)(2 sGsG122.4.2 結(jié)構(gòu)圖等效

35、變換結(jié)構(gòu)圖等效變換 2、并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效變換、并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效變換 sR sC sG sG1 sG2 sR sC2 sC sC1+)()()()()(sRsGsRsGsC21)()()(sGsGsG21)()()(sRsGsG212.4.2 結(jié)構(gòu)圖等效變換結(jié)構(gòu)圖等效變換 3、反饋連接的等效變換、反饋連接的等效變換 sR sC s sR sC sG sH sB sE-+)()()(sEsGsC)()()()()(sRsHsGsGsC1)()()()(sHsGsGs1)()()()(sCsHsRsG)()()(sBsRsG2.4.2 結(jié)構(gòu)圖等效變換結(jié)構(gòu)圖等效變換 4、比較點(diǎn)和引出點(diǎn)的移動、比較點(diǎn)和引出

36、點(diǎn)的移動等效原則：等效原則：前向通道和反饋通道傳遞函數(shù)前向通道和反饋通道傳遞函數(shù)都不變。都不變。)()()()(sRsGsGsR1G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)G(s)C(s)C(s)R(s) G(s)R(s)C(s)R(s)(1sG G(s)C(s)R(s)R(s)2.2.引出點(diǎn)后移引出點(diǎn)后移 1.1.引出點(diǎn)前移引出點(diǎn)前移 C(s)=G(s)R(s) 引出點(diǎn)的移動引出點(diǎn)的移動1.相加點(diǎn)前移相加點(diǎn)前移)()()()(sBsGsRsG1G(s)(- -)B(s)C(s)R(s)(1sGG(s)B(s)C(s)R(s)(- -)C(s)R(s)G(s)(- -)B(s)C(s)G(s)G

37、(s)R(s)B(s)(- -)R(s)V1(s)V2(s)E1(s)C(s)(- -)V2(s)V1(s)(- -)C(s)R(s)V1(s)V2(s)C(s)R(s)(- -)或或 相加點(diǎn)的移動相加點(diǎn)的移動 3. 交換或合并相加點(diǎn)交換或合并相加點(diǎn) 2.相加點(diǎn)后移相加點(diǎn)后移C(s)=G(s)R(s)-B(s)C(s)=G(s)R(s)-B(s) = G(s)R(s)-G(s)B(s)C(s)=E1(s)+V2(s) = R(s)-V1(s)+V2(s) = R(s)+V2(s)-V1(s)例例 2.11 求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)函數(shù)- sG1 sH3 sG4 sG3 sG2 sH

38、1 sH2 sR sC- sG1 sH3 sG4 sG3 sG2 sH1 sH2 sR sC- sG1 sH3 sG4 sG3 sG2 sH1 sH2 sR sC sG41- sG1 sH3 sG4 sG3 sG2 sH1 sH2 sR sC- sG1 sH3 sG4 sG3 sG2 sH1 sH2 sR sC sG41 sHsGsGsGsG243431- sG1 sH3 sG4 sG3 sG2 sH1 sH2 sR sC- sG1 sH3 sG4 sG3 sG2 sH1 sH2 sR sC sG41 sHsGsGsGsG243431- sG1 sH3 sG4 sG3 sG2 sH1 sH2

39、sR sC- sG1 sH1 sR sC sHsGsGsHsGsGsGsGsG2433324321- sG1 sH1 sR sC sHsGsGsHsGsGsGsGsG2433324321 sHsGsGsGsGsHsGsGsHsGsGsGsGsGsG1432124333243211 sR sC結(jié)構(gòu)圖等效變換小結(jié)結(jié)構(gòu)圖等效變換小結(jié) 通過通過移動引出點(diǎn)或比較點(diǎn)移動引出點(diǎn)或比較點(diǎn)，將，將兩兩相交兩兩相交的回路的回路打開，使之能夠應(yīng)用打開，使之能夠應(yīng)用串聯(lián)、并聯(lián)串聯(lián)、并聯(lián)或反饋或反饋等效變換。等效變換。 等效原則：前向通道和反饋通道傳遞函等效原則：前向通道和反饋通道傳遞函數(shù)都不變。數(shù)都不變。2.5 控制

40、系統(tǒng)的信號流圖控制系統(tǒng)的信號流圖- sG1 sH1 sR sC sG2 sB sNQPRE11G2GCHN11QPq 信號流圖的信號流圖的： 1) 1) 節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)標(biāo)志系統(tǒng)的變量，用標(biāo)志系統(tǒng)的變量，用“O”表示。變量是所有流向該節(jié)點(diǎn)信號的代數(shù)表示。變量是所有流向該節(jié)點(diǎn)信號的代數(shù)和和; ; 2) 2) 信號信號在支路上沿箭頭單向傳遞；在支路上沿箭頭單向傳遞； 3) 3) 支路支路相當(dāng)于乘法器，信號流經(jīng)支路時，被乘以支路增益而變成另一信號相當(dāng)于乘法器，信號流經(jīng)支路時，被乘以支路增益而變成另一信號; ; 4) 4) 對一個給定系統(tǒng)，信號流圖不是唯一的。對一個給定系統(tǒng)，信號流圖不是唯一的。 信號流圖信號

41、流圖( (signal flow diagram) )是由節(jié)點(diǎn)和支路組成的一種信號傳遞網(wǎng)絡(luò)。是由節(jié)點(diǎn)和支路組成的一種信號傳遞網(wǎng)絡(luò)。2.5 控制系統(tǒng)的信號流圖控制系統(tǒng)的信號流圖混合節(jié)點(diǎn)混合節(jié)點(diǎn)：既有信號輸出的支路而又有信號輸入的支路既有信號輸出的支路而又有信號輸入的支路, ,相當(dāng)于結(jié)構(gòu)圖中相當(dāng)于結(jié)構(gòu)圖中比比較點(diǎn)較點(diǎn)或或引出點(diǎn)引出點(diǎn) 前向通路：前向通路：信號從源節(jié)點(diǎn)開始到阱節(jié)點(diǎn)結(jié)束，順著信號流動的方向，且每個信號從源節(jié)點(diǎn)開始到阱節(jié)點(diǎn)結(jié)束，順著信號流動的方向，且每個節(jié)點(diǎn)只通過一次的通路節(jié)點(diǎn)只通過一次的通路 前向通路上各支路增益之乘積稱前向通路上各支路增益之乘積稱前向通路總增益前向通路總增益，一般用，

42、一般用Pk表示。表示。 回路：回路：起點(diǎn)和終點(diǎn)在同一節(jié)點(diǎn)，而且信號通過每一節(jié)點(diǎn)不多于一次的閉合起點(diǎn)和終點(diǎn)在同一節(jié)點(diǎn)，而且信號通過每一節(jié)點(diǎn)不多于一次的閉合通路稱回路?；芈飞细髦吩鲆嬷朔e稱通路稱回路?；芈飞细髦吩鲆嬷朔e稱回路增益回路增益，一般用，一般用La表示。表示。 不接觸回路：不接觸回路：回路之間沒有公共節(jié)點(diǎn)時，稱它們?yōu)椴唤佑|回路。回路之間沒有公共節(jié)點(diǎn)時，稱它們?yōu)椴唤佑|回路。q信號流圖中常用的名詞術(shù)語：信號流圖中常用的名詞術(shù)語： 源節(jié)點(diǎn)源節(jié)點(diǎn)（輸入節(jié)點(diǎn)）：（輸入節(jié)點(diǎn)）：只有信號輸出支路而沒有信號輸入的支路，它一般代表系只有信號輸出支路而沒有信號輸入的支路，它一般代表系統(tǒng)的統(tǒng)的輸入信號輸

43、入信號。 阱節(jié)點(diǎn)阱節(jié)點(diǎn)（輸出節(jié)點(diǎn)）：（輸出節(jié)點(diǎn)）：只有信號輸入的支路而沒有信號輸出的支路，它一只有信號輸入的支路而沒有信號輸出的支路，它一般代表系統(tǒng)的般代表系統(tǒng)的輸出信號輸出信號。RE11G2GCHN11QP2.5.2 梅遜增益公式梅遜增益公式 特征式特征式 ： 所有單獨(dú)回路增益之和；所有單獨(dú)回路增益之和； 在所有互不接觸的單獨(dú)回路中，每次取其中兩在所有互不接觸的單獨(dú)回路中，每次取其中兩個回路增益乘積和；個回路增益乘積和； 在所有互不接觸的單獨(dú)回路中，每次取其中三在所有互不接觸的單獨(dú)回路中，每次取其中三個回路增益的乘積之和。個回路增益的乘積之和。 梅遜公式梅遜公式為為： fedcbaLLLLL

44、L1 aL cbLL fedLLL 余因子式余因子式，即在信號流圖中，把與第，即在信號流圖中，把與第K條前向通路條前向通路相接觸的回路去掉以后的相接觸的回路去掉以后的值。值。K 其中其中： n從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)之前向通路總數(shù)。從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)之前向通路總數(shù)。 Pk從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的第從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的第k條前向通路總增益條前向通路總增益 。 nkKKPP11例例2.12 利用信號流圖求傳利用信號流圖求傳遞函數(shù)遞函數(shù) 回路個數(shù)：回路個數(shù)：R111G12G3G4G5G6G2H1HC3243211HGGGGL2612HGGL133HGL2L3L和和兩回路互不接觸兩回路互不接觸 )()(323211LLLLL2163113261243211HHGGGHGHGGHGGGG 例例2.12 利用信號流圖求傳利用信號流圖求傳遞函數(shù)遞函數(shù) 前向通路個數(shù)：前向通路個數(shù)：R111G12G3G4G5G6G2H1HC3 43211GGGGP 4352GGGP 613GGP ：、 1112133311HGL)(21631132612432113615434321332211111HHGGGHGHGGHGGGGHGGGGGGGGGGPPPsRsC)()()()(例例2.13 2.6 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 2.6.1 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞