類型12多邊形輔助線類問題2020年中考數(shù)學三輪沖刺難點題型突破

1、多邊形輔助線類問題1如圖，在abc中，bc12，acl6，c90°，m是ac邊上的中點，n是bc邊上任意一點，且cnbc，若點c關(guān)于直線mn的對稱點c'恰好落在abc的中位線上，則cn 2如圖，正方形abcd中，ad6，點e是對角線ac上一點，連接de，過點e作efed，交ab于點f，連接df，交ac于點g，將efg沿ef翻折，得到efm，連接dm，交ef于點n，若點f是ab邊的中點，則edm的面積是 3（1）閱讀理解：如圖，在abc中，若ab10，ac6，求bc邊上的中線ad的取值范圍解決此問題可以用如下方法：延長ad到點e使dead，再連接be（或?qū)cd繞著點d逆時針旋

2、轉(zhuǎn)180°得到ebd），把ab、ac，2ad集中在abe中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線ad的取值范圍是 ；（2）問題解決：如圖，在abc中，d是bc邊上的中點，dedf于點d，de交ab于點e，df交ac于點f，連接ef，求證：be+cfef；（3）問題拓展：如圖，在四邊形abcd中，b+d180°，cbcd，bcd140°，以c為頂點作一個70°角，角的兩邊分別交ab，ad于e、f兩點，連接ef，探索線段be，df，ef之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明4（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，點a為線段bc外一動點，且bca，abb填空：當點a位于 時，線段ac的長取得最

3、大值，且最大值為 （用含a，b的式子表示）（2）應用：點a為線段bc外一動點，且bc3，ab1，如圖2所示，分別以ab，ac為邊，作等邊三角形abd和等邊三角形ace，連接cd，be請找出圖中與be相等的線段，并說明理由；直接寫出線段be長的最大值（3）拓展：如圖3，在平面直角坐標系中，點a的坐標為（2，0），點b的坐標為（5，0），點p為線段ab外一動點，且pa2，pmpb，bpm90°，請直接寫出線段am長的最大值及此時點p的坐標5問題背景：如圖1，等腰abc中，abac，bac120°，作adbc于點d，則d為bc的中點，badbac60°，于是；遷移應用：

4、如圖2，abc和ade都是等腰三角形，bacdae120°，d，e，c三點在同一條直線上，連接bd求證：adbaec；請直接寫出線段ad，bd，cd之間的等量關(guān)系式；拓展延伸：如圖3，在菱形abcd中，abc120°，在abc內(nèi)作射線bm，作點c關(guān)于bm的對稱點e，連接ae并延長交bm于點f，連接ce，cf證明cef是等邊三角形；若ae5，ce2，求bf的長6（1）已知：abc是等腰三角形，其底邊是bc，點d在線段ab上，e是直線bc上一點，且decdce，若a60°（如圖）求證：ebad；（2）若將（1）中的“點d在線段ab上”改為“點d在線段ab的延長線上”，

5、其它條件不變（如圖），（1）的結(jié)論是否成立，并說明理由；（3）若將（1）中的“若a60°”改為“若a90°”，其它條件不變，則的值是多少？（直接寫出結(jié)論，不要求寫解答過程）7如圖1，rtabc中，acb90°，點d為邊ac上一點，deab于點e點m為bd中點，cm的延長線交ab于點f（1）求證：cmem；（2）若bac50°，求emf的大??；（3）如圖2，若daecem，點n為cm的中點，求證：anem8已知：abc是等腰三角形，cacb，0°acb90°點m在邊ac上，點n在邊bc上（點m、點n不與所在線段端點重合），bnam，連接

6、an，bm，射線agbc，延長bm交射線ag于點d，點e在直線an上，且aede（1）如圖，當acb90°時求證：bcmacn；求bde的度數(shù)；（2）當acb，其它條件不變時，bde的度數(shù)是 （用含的代數(shù)式表示）（3）若abc是等邊三角形，ab3，點n是bc邊上的三等分點，直線ed與直線bc交于點f，請直接寫出線段cf的長9四邊形abcd中，e為邊bc上一點，f為邊cd上一點，且aef90°（1）如圖1，若abcd為正方形，e為bc中點，求證：（2）若abcd為平行四邊形，afeadc，如圖2，若afe60°，求的值如圖3，若abbc，ec2cf，直接寫出cosa

7、fe值為 10在直角坐標系中，過原點o及點a（8，0），c（0，6）作矩形oabc、連結(jié)ob，點d為ob的中點，點e是線段ab上的動點，連結(jié)de，作dfde，交oa于點f，連結(jié)ef已知點e從a點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度在線段ab上移動，設(shè)移動時間為t秒（1）如圖1，當t3時，求df的長（2）如圖2，當點e在線段ab上移動的過程中，def的大小是否發(fā)生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出tandef的值（3）連結(jié)ad，當ad將def分成的兩部分的面積之比為1：2時，求相應的t的值11在正方形abcd中，點e，f分別在邊bc，cd上，且eafcef45°（1）將adf繞著點

8、a順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到abg（如圖），求證：aegaef；（2）若直線ef與ab，ad的延長線分別交于點m，n（如圖），求證：ef2me2+nf2；（3）將正方形改為長與寬不相等的矩形，若其余條件不變（如圖），請你直接寫出線段ef，be，df之間的數(shù)量關(guān)系12四邊形abcd是邊長為4的正方形，點e在邊ad所在直線上，連接ce，以ce為邊，作正方形cefg（點d，點f在直線ce的同側(cè)），連接bf（1）如圖1，當點e與點a重合時，請直接寫出bf的長；（2）如圖2，當點e在線段ad上時，ae1；求點f到ad的距離；求bf的長；（3）若bf3，請直接寫出此時ae的長試題解析1如圖，在abc

9、中，bc12，acl6，c90°，m是ac邊上的中點，n是bc邊上任意一點，且cnbc，若點c關(guān)于直線mn的對稱點c'恰好落在abc的中位線上，則cn或解：在abc中，bc12，acl6，c90°，則由勾股定理知ab20取bc、ab的中點h、g，連接mh、hg、mg如圖1中，當點c落在mh上時，設(shè)ncncx，由題意可知：mcmc8，mh10，hc2，hn6x，在rthnc中，hn2hc2+nc2，（6x）2x2+22，解得x如圖2中，當點c落在gh上時，設(shè)ncncx，在rtgmc中，mgch6，mcmc8，gc2，nhc'c'gm90°，n

10、c'm90°，hnc'+hc'ngc'm+hc'n90°，hnc'cgc'm，hncgcm，x如圖3中，當點c落在直線gm上時，易證四邊形mcnc是正方形，可得cncm4c'mgm，此時點c在中位線gm的延長線上，不符合題意綜上所述，滿足條件的線段cn的長為或故答案為：或2如圖，正方形abcd中，ad6，點e是對角線ac上一點，連接de，過點e作efed，交ab于點f，連接df，交ac于點g，將efg沿ef翻折，得到efm，連接dm，交ef于點n，若點f是ab邊的中點，則edm的面積是解：如圖1，過e作pqdc

11、，交dc于p，交ab于q，連接be，dcab，pqab，四邊形abcd是正方形，acd45°，pec是等腰直角三角形，pepc，設(shè)pcx，則pex，pd6x，eq6x，pdeq，dpeeqf90°，pedefq，dpeeqf（aas），deef，deef，def是等腰直角三角形，dcbc，dcebce45°，cece，decbec（sas），debe，efbe，eqfb，fqbqbf，abad6，f是ab的中點，bf3，fqbqpe，ce，pd，de，efde，如圖2，過點f作fhac于點h，adcd6，ac6dcab，dgcfga，2，cg2ag，ag2，gea

12、cagce62，fac45°，hfac，facafh45°，ahhf，且af3，ahhf，hg，gf，sefg×ge×fhsefg×，將efg沿ef翻折，得到efm，sefm，fmgf，dfeefm45°，dfm90°，df3，sdfm×3×，edm的面積s四邊形afmesdfmsdef+sefmsdfm，edm的面積××+，故答案為：3（1）閱讀理解：如圖，在abc中，若ab10，ac6，求bc邊上的中線ad的取值范圍解決此問題可以用如下方法：延長ad到點e使dead，再連接be（或

13、將acd繞著點d逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到ebd），把ab、ac，2ad集中在abe中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線ad的取值范圍是2ad8；（2）問題解決：如圖，在abc中，d是bc邊上的中點，dedf于點d，de交ab于點e，df交ac于點f，連接ef，求證：be+cfef；（3）問題拓展：如圖，在四邊形abcd中，b+d180°，cbcd，bcd140°，以c為頂點作一個70°角，角的兩邊分別交ab，ad于e、f兩點，連接ef，探索線段be，df，ef之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明（1）解：延長ad至e，使dead，連接be，如圖所示：ad是bc邊上的

14、中線，bdcd，在bde和cda中，bdecda（sas），beac6，在abe中，由三角形的三邊關(guān)系得：abbeaeab+be，106ae10+6，即4ae16，2ad8；故答案為：2ad8；（2）證明：延長fd至點m，使dmdf，連接bm、em，如圖所示：同（1）得：bmdcfd（sas），bmcf，dedf，dmdf，emef，在bme中，由三角形的三邊關(guān)系得：be+bmem，be+cfef；（3）解：be+dfef；理由如下：延長ab至點n，使bndf，連接cn，如圖3所示：abc+d180°，nbc+abc180°，nbcd，在nbc和fdc中，nbcfdc（sa

15、s），cncf，ncbfcd，bcd140°，ecf70°，bce+fcd70°，ecn70°ecf，在nce和fce中，ncefce（sas），enef，be+bnen，be+dfef4（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，點a為線段bc外一動點，且bca，abb填空：當點a位于cb的延長線上時，線段ac的長取得最大值，且最大值為a+b（用含a，b的式子表示）（2）應用：點a為線段bc外一動點，且bc3，ab1，如圖2所示，分別以ab，ac為邊，作等邊三角形abd和等邊三角形ace，連接cd，be請找出圖中與be相等的線段，并說明理由；直接寫出線段be長的最大值（3）拓

16、展：如圖3，在平面直角坐標系中，點a的坐標為（2，0），點b的坐標為（5，0），點p為線段ab外一動點，且pa2，pmpb，bpm90°，請直接寫出線段am長的最大值及此時點p的坐標解：（1）點a為線段bc外一動點，且bca，abb，當點a位于cb的延長線上時，線段ac的長取得最大值，且最大值為bc+aba+b，故答案為：cb的延長線上，a+b；（2）cdbe，理由：abd與ace是等邊三角形，adab，acae，badcae60°，bad+baccae+bac，即cadeab，在cad與eab中，cadeab，cdbe；線段be長的最大值線段cd的最大值，由（1）知，當線

17、段cd的長取得最大值時，點d在cb的延長線上，最大值為bd+bcab+bc4；（3）將apm繞著點p順時針旋轉(zhuǎn)90°得到pbn，連接an，則apn是等腰直角三角形，pnpa2，bnam，a的坐標為（2，0），點b的坐標為（5，0），oa2，ob5，ab3，線段am長的最大值線段bn長的最大值，當n在線段ba的延長線時，線段bn取得最大值，最大值ab+an，anap2，最大值為2+3；如圖2，過p作pex軸于e，apn是等腰直角三角形，peae，oeboabae532，p（2，）5問題背景：如圖1，等腰abc中，abac，bac120°，作adbc于點d，則d為bc的中點，b

18、adbac60°，于是；遷移應用：如圖2，abc和ade都是等腰三角形，bacdae120°，d，e，c三點在同一條直線上，連接bd求證：adbaec；請直接寫出線段ad，bd，cd之間的等量關(guān)系式；拓展延伸：如圖3，在菱形abcd中，abc120°，在abc內(nèi)作射線bm，作點c關(guān)于bm的對稱點e，連接ae并延長交bm于點f，連接ce，cf證明cef是等邊三角形；若ae5，ce2，求bf的長遷移應用：證明：如圖bacdae120°，dabcae，在dab和eac中，dabeac，解：結(jié)論：cdad+bd理由：如圖21中，作ahcd于hdabeac，bdc

19、e，在rtadh中，dhadcos30°ad，adae，ahde，dhhe，cdde+ec2dh+bdad+bd拓展延伸：證明：如圖3中，作bhae于h，連接be四邊形abcd是菱形，abc120°，abd，bdc是等邊三角形，babdbc，e、c關(guān)于bm對稱，bcbebdba，fefc，a、d、e、c四點共圓，adcaec120°，fec60°，efc是等邊三角形，解：ae5，ecef2，ahhe2.5，fh4.5，在rtbhf中，bfh30°，cos30°，bf36（1）已知：abc是等腰三角形，其底邊是bc，點d在線段ab上，e

20、是直線bc上一點，且decdce，若a60°（如圖）求證：ebad；（2）若將（1）中的“點d在線段ab上”改為“點d在線段ab的延長線上”，其它條件不變（如圖），（1）的結(jié)論是否成立，并說明理由；（3）若將（1）中的“若a60°”改為“若a90°”，其它條件不變，則的值是多少？（直接寫出結(jié)論，不要求寫解答過程）（1）證明：作dfbc交ac于f，如圖1所示：則adfabc，afdacb，fdcdce，abc是等腰三角形，a60°，abc是等邊三角形，abcacb60°，dbe120°，adfafd60°a，adf是等邊三角形

21、，dfc120°，addf，decdce，fdcdec，edcd，在dbe和cfd中，dbecfd（aas），ebdf，ebad；（2）解：ebad成立；理由如下：作dfbc交ac的延長線于f，如圖2所示：同（1）得：addf，fdcecd，fdcdec，edcd，又dbedfc60°，在dbe和cfd中，dbecfd（aas），ebdf，ebad；（3）解：；理由如下：作dfbc交ac于f，如圖3所示：同（1）得：dbecfd（aas），ebdf，abc是等腰直角三角形，dfbc，adf是等腰直角三角形，dfad，7如圖1，rtabc中，acb90°，點d為邊a

22、c上一點，deab于點e點m為bd中點，cm的延長線交ab于點f（1）求證：cmem；（2）若bac50°，求emf的大小；（3）如圖2，若daecem，點n為cm的中點，求證：anem（1）證明：如圖1中，deab，debdcb90°，dmmb，cmdb，emdb，cmem（2）解：aed90°，a50°，ade40°，cde140°，cmdmme，mcdmdc，mdemed，cme360°2×140°80°，emf180°cme100°（3）證明：如圖2中，設(shè)fmadae

23、cem，cmem，aeedemcmdm，aedcme90°ade是等腰直角三角形，dem是等邊三角形，dem60°，mef30°，aecmema，ef2a，cnnm，mna，eman（也可以連接am利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)證明）8已知：abc是等腰三角形，cacb，0°acb90°點m在邊ac上，點n在邊bc上（點m、點n不與所在線段端點重合），bnam，連接an，bm，射線agbc，延長bm交射線ag于點d，點e在直線an上，且aede（1）如圖，當acb90°時求證：bcmacn；求bde的度數(shù)；（2）當acb，其它條件不變

24、時，bde的度數(shù)是或180°（用含的代數(shù)式表示）（3）若abc是等邊三角形，ab3，點n是bc邊上的三等分點，直線ed與直線bc交于點f，請直接寫出線段cf的長（1）證明：如圖1中，cacb，bnam，cbbncaam即cncm，acnbcmbcmacn解：如圖1中，bcmacn，mbcnac，eaed，eadeda，agbc，gacacb90°，adbdbc，adbnac，adb+edanac+ead，adb+eda180°90°90°，bde90°（2）解：如圖2中，當點e在an的延長線上時，易證：cbmadbcan，acbcad

25、，eaed，eadeda，can+cadbde+adb，bdeacb如圖3中，當點e在na的延長線上時，易證：1+2can+dac，2admcbdcan，1cadacb，bde180°綜上所述，bde或180°故答案為或180°（3）解：如圖4中，當bnbc時，作akbc于kadbc，ad，ac3，易證adc是直角三角形，則四邊形adck是矩形，akndcf，cfnkbkbn如圖5中，當cnbc時，作akbc于k，dhbc于hadbc，2，ad6，易證acd是直角三角形，由ackcdh，可得chak，由akndhf，可得knfh，cfchfh4綜上所述，cf的長為

26、或49四邊形abcd中，e為邊bc上一點，f為邊cd上一點，且aef90°（1）如圖1，若abcd為正方形，e為bc中點，求證：（2）若abcd為平行四邊形，afeadc，如圖2，若afe60°，求的值如圖3，若abbc，ec2cf，直接寫出cosafe值為（1）證明：如圖1中，設(shè)正方形的邊長為2a四邊形abcd是正方形，bc90°，aef90°，aeb+fec90°，fec+efc90°，aebefc，abeecf，beeca，abcd2a，cfa，dfcdcfa，（2）在ad上截取dmdf，連接mfadc60°，dmf是

27、等邊三角形，dfmf，dmfdfm60°，amf120°，四邊形abcd為平行四邊形，adbc，ecf120°，amfecf，afe60°，afm+efc60°，efc+fec60°，afmfec，amffce，afe60°，aef90°，如圖3，作ftfd交ad于點t，作fhad于h，則ftdfdt，180°ftd180°d，atfc，又taf+dafe+cfe，且dafe，tafcfe，fceatf，設(shè)cf2，則ce4，可設(shè)atx，則tf2x，adcd2x+2，dhdt，且，由cosafec

28、osd，得，解得x6，cosafe故答案為：10在直角坐標系中，過原點o及點a（8，0），c（0，6）作矩形oabc、連結(jié)ob，點d為ob的中點，點e是線段ab上的動點，連結(jié)de，作dfde，交oa于點f，連結(jié)ef已知點e從a點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度在線段ab上移動，設(shè)移動時間為t秒（1）如圖1，當t3時，求df的長（2）如圖2，當點e在線段ab上移動的過程中，def的大小是否發(fā)生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出tandef的值（3）連結(jié)ad，當ad將def分成的兩部分的面積之比為1：2時，求相應的t的值解：（1）當t3時，點e為ab的中點，a（8，0），c（0，6），oa

29、8，oc6，點d為ob的中點，deoa，deoa4，四邊形oabc是矩形，oaab，deab，oabdea90°，又dfde，edf90°，四邊形dfae是矩形，dfae3；（2）def的大小不變；理由如下：作dmoa于m，dnab于n，如圖2所示：四邊形oabc是矩形，oaab，四邊形dman是矩形，mdn90°，dmab，dnoa，點d為ob的中點，m、n分別是oa、ab的中點，dmab3，dnoa4，edf90°，fdmedn，又dmfdne90°，dmfdne，edf90°，tandef；（3）作dmoa于m，dnab于n，若

30、ad將def的面積分成1：2的兩部分，設(shè)ad交ef于點g，則點g為ef的三等分點；當點e到達中點之前時，如圖3所示，ne3t，由dmfdne得：mf（3t），af4+mft+，點g為ef的三等分點，g（，t），設(shè)直線ad的解析式為ykx+b，把a（8，0），d（4，3）代入得：，解得：，直線ad的解析式為yx+6，把g（，t）代入得：t；當點e越過中點之后，如圖4所示，net3，由dmfdne得：mf（t3），af4mft+，點g為ef的三等分點，g（，t），代入直線ad的解析式y(tǒng)x+6得：t；綜上所述，當ad將def分成的兩部分的面積之比為1：2時，t的值為或11在正方形abcd中，點e，f

31、分別在邊bc，cd上，且eafcef45°（1）將adf繞著點a順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到abg（如圖），求證：aegaef；（2）若直線ef與ab，ad的延長線分別交于點m，n（如圖），求證：ef2me2+nf2；（3）將正方形改為長與寬不相等的矩形，若其余條件不變（如圖），請你直接寫出線段ef，be，df之間的數(shù)量關(guān)系（1）證明：adf繞著點a順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到abg，afag，fag90°，eaf45°，gae45°，在age與afe中，ageafe（sas）；（2）證明：設(shè)正方形abcd的邊長為a將adf繞著點a順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到abg，連結(jié)gm則adfabg，dfb