數(shù)理方程課件：3_3積分變換法

1、13.3 3.3 積分變換法積分變換法3.3.1 3.3.1 積分變換及其性質(zhì)積分變換及其性質(zhì)若函數(shù)若函數(shù))(xf),(dxexffFfix )()(.)()(deffFxfix 211.)()(dtetffLsFst 0在在上連續(xù)可導(dǎo)，且絕對可積，上連續(xù)可導(dǎo)，且絕對可積，則有則有傅里葉變換傅里葉變換及其及其傅里葉逆變換傅里葉逆變換若函數(shù)若函數(shù))(tf), 0( 在在上不超過指數(shù)增長，則定義上不超過指數(shù)增長，則定義它的它的拉普拉斯變換及其逆變換拉普拉斯變換及其逆變換為為).()(sFLtf1 2積分變換有下述積分變換有下述基本性質(zhì)基本性質(zhì)：(1)(1)線性線性性質(zhì)性質(zhì),gbFfaFbgafF,

2、gbLfaLbgafLba,(2)(2)微分性質(zhì)微分性質(zhì)ff,),()(xfFixfF),()()(2xfFixfF ),()()()(xfFixfFnn),0()()(ftfsLtfL),0()0()()(2fsftfLstfL ).0()0()0()()()1(21)(nnnnnffsfstfLstfL其中其中是任意常數(shù)。是任意常數(shù)。若若都可進行都可進行傅里葉變換傅里葉變換( (拉普拉斯變換拉普拉斯變換) )，且在且在無窮遠處為無窮遠處為0 0，gf ,dyyxgyfxgxf )()()()(,gFfFgfF. 1gfgfF(3)(3)卷積定理卷積定理如果如果的卷積的卷積可作可作傅里葉變換

3、傅里葉變換，則，則從而從而對于對于拉普拉斯變換拉普拉斯變換也有同樣的卷積定義和定理。也有同樣的卷積定義和定理。dtfftftft 02121)()()()()()(21tftf )()(sFsFL211 積分變換有下述積分變換有下述基本性質(zhì)基本性質(zhì)：(4)(4)延遲定理延遲定理0)()(0 xiefxxfF0)()()(00stesFttuttfL傅里葉變換傅里葉變換拉普拉斯變換拉普拉斯變換),()(xfFf),()(tfLsF若若則有則有000, 0, 1)(ttttttu0)()(0stesFttfL)(0tt 對變換的對變換的自變量自變量而言而言其中其中可簡化為可簡化為5證明拉普拉斯變換

4、的延遲定理證明拉普拉斯變換的延遲定理0)()()(00stesFttuttfL),()(tfLsF若若則有則有000, 0, 1)(ttttttu其中其中證明證明由拉氏變換的定義知由拉氏變換的定義知dtettuttfttuttfLst)()()()(00000dtettfstt0)(0,0ttydyeyftys)(00)(dyeyfesyst0)(00)(stesF令令則上式變?yōu)閯t上式變?yōu)樽筮呑筮? =右邊右邊6補充補充, 0, 0, 0,)(xxx1)(dxx0 x0 xx ),(0 xx , 0,)(000 xxxxxx1)(0dxxx函數(shù)的定義及性質(zhì)函數(shù)的定義及性質(zhì)( (一一) )函數(shù)的

5、定義：函數(shù)的定義：函數(shù)是從某些物理現(xiàn)象中抽象出來的數(shù)學(xué)函數(shù)是從某些物理現(xiàn)象中抽象出來的數(shù)學(xué)模型，模型， 例如：力學(xué)中瞬間作用的沖擊力，原子彈例如：力學(xué)中瞬間作用的沖擊力，原子彈、氫彈的爆炸等，、氫彈的爆炸等，這些物理現(xiàn)象有個共同特點，這些物理現(xiàn)象有個共同特點，即即作用時間極短作用時間極短，但，但作用強度極大作用強度極大。滿足以下兩個條件的函數(shù)滿足以下兩個條件的函數(shù)( (沖激函數(shù)沖激函數(shù)) )(1)(1)(2)(2)若沖激作用不是發(fā)生在若沖激作用不是發(fā)生在處，而是發(fā)生在處，而是發(fā)生在處，處，則函數(shù)記為則函數(shù)記為且滿足且滿足7( (二二) )函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)的性質(zhì)：補充補充函數(shù)的定義及性質(zhì)函數(shù)的定

6、義及性質(zhì)(1)(1) 篩選性質(zhì)：篩選性質(zhì)：(2)(2) 對稱性對稱性：)()()(00 xfdxxxxf)0()()(fdxxxf)(x)()(00 xxxx)()(xx特別的，特別的，為為偶函數(shù)偶函數(shù)，則有則有特別的，特別的，自然也有自然也有)()()(00 xfdxxxxf8例例1 1 求函數(shù)求函數(shù))(ax a的的傅里葉變換傅里葉變換，其中，其中 是與是與iaeaxF )(自變量自變量x無關(guān)的數(shù)。無關(guān)的數(shù)。dxexffix)()(解解由定義知由定義知dxeaxix)(利用利用)()()(00 xfdxxxxf函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)則有則有iaeaxF )(同理可得同理可得9iaeaxF )(

7、利用利用iaeaxF )(2)()(21iaiaeeaxaxF和傅里葉變換的和傅里葉變換的線性性線性性可得可得ieeaxaxiFiaia2)()(21從而有公式從而有公式)()(21cos1axaxaF)()(21sin1axaxiaFacosasin10例例2 2 求求mxmxxf|, 0|, 1)(. 0mdxexffix)()(的的傅里葉變換傅里葉變換，其中，其中解解由定義知由定義知dxemmixdxxixmm)sin(cosdxxm0cos2msin2mxmF|,21sin1| sincosiei由由例例2 2結(jié)論可得結(jié)論可得11例例3 3 求求yef|)(. 0y的的傅里葉逆變換傅里

8、葉逆變換，其中，其中解解由定義知由定義知defxfix)(21)()11(21ixyixy.122xyy)0(122|1yxyyeFy 由由例例3 3結(jié)論可得結(jié)論可得deeixy|21deyix0)(21deyix0)(2112例例4 4 求求tef2)(. 0tdeeixt221,)sin(cos212dxixet,cos102dxet)(xf. 0)(2)(xftxdxxdf.)0()(42txefxf的的傅里葉逆變換傅里葉逆變換，其中，其中解解由定義知由定義知對對求導(dǎo)，并利用一次分部積分得求導(dǎo)，并利用一次分部積分得defxfix)()(2113例例4 4 求求tef2)(. 0t.)0(

9、)(42txefxfdeft021)0(,202dxex,21)0(tf.21)(42txetxf的的傅里葉逆變換傅里葉逆變換，其中，其中解解利用利用歐拉歐拉(Euler)(Euler)積分公式積分公式知知)0( 214122teteFtxt由由例例4 4結(jié)論可得結(jié)論可得14書上例子中出現(xiàn)的書上例子中出現(xiàn)的傅里葉變換或逆變換傅里葉變換或逆變換)()(21cos1axaxaF)()(21sin1axaxiaFmxmF|,21sin1| )0(414122teteFtxt )0(122|1yxyyeFy 1.1.2.2.3.3.4.4.5.5.1 )(xF15幾類常見的幾類常見的拉普拉斯變換或逆變

10、換拉普拉斯變換或逆變換aseLat1sL1 1 1!nnsntL22sinasaatL22cosassatL1)(tL1.1.3.3.4.4.特別的，特別的，0Res2.2.)( )()(0010ttttfesFLst5.5.延遲定理的延遲定理的逆變換形式逆變換形式taysadyeesL212216.6.余誤差函數(shù)余誤差函數(shù)163.3.1 3.3.1 積分變換法舉例積分變換法舉例積分變換法的積分變換法的優(yōu)點優(yōu)點在于把原方程化為較簡單在于把原方程化為較簡單的形式，便于求解。的形式，便于求解。在應(yīng)用上，對于在應(yīng)用上，對于初值問題初值問題通常采用通常采用傅氏變換傅氏變換( (針對針對空間空間變量變量

11、) )，而對于而對于帶有邊界條件帶有邊界條件的定解的定解問題，則采用問題，則采用拉氏變換拉氏變換( (針對針對時間時間變量的變量的) )。例例1 1求解下列問題的解求解下列問題的解),0,(),(2txtxfuauxxt ).(|0 xutx),(),(tUtxuF(37)(37)(38)(38)解解).()(xF),(),(tGtxfF首先對首先對進行進行傅氏變換傅氏變換，記，記17例例1 1求解下列問題的解求解下列問題的解),0,(),(2txtxfuauxxt ).(|0 xutx),(),(tUtxuF(37)(37)(38)(38)解解).()(xF),(),(tGtxfF首先對首先

12、對進行傅氏變換，記進行傅氏變換，記x對方程對方程(37)(37)兩端關(guān)于兩端關(guān)于 取取傅氏變換傅氏變換，得，得),(),(),(22tGtUadttdU).(| ),(0ttU(39)(39)它滿足它滿足初值條件初值條件(40)(40)為了求解常微分方程初值問題為了求解常微分方程初值問題(39)(40)(39)(40)，記，記18例例1 1求解下列問題的解求解下列問題的解),0,(),(2txtxfuauxxt ).(|0 xut(37)(37)(38)(38)解解),(),(),(22tGtUadttdU).(| ),(0ttU),(),(sUtUL).,(),(sGtGL),(),()()

13、,(22sGsUasUs(39)(39)(40)(40)為了求解常微分方程初值問題為了求解常微分方程初值問題(39)(40)(39)(40)，記，記t對方程對方程(39)(39)兩端關(guān)于兩端關(guān)于 取取拉氏變換拉氏變換， 并結(jié)合條件并結(jié)合條件(40)(40)得得19例例1 1求解下列問題的解求解下列問題的解),0,(),(2txtxfuauxxt ).(|0 xut(37)(37)(38)(38),(),()(),(22sGsUasUst對方程對方程(39)(39)兩端關(guān)于兩端關(guān)于 取取拉氏變換拉氏變換， 并結(jié)合條件并結(jié)合條件(40)(40)得得),(1)(1),(2222sGasassU(41

14、)(41)對式對式(41)(41)兩邊取兩邊取拉氏逆變換拉氏逆變換，得，得),(11)(),(221221sGasLasLtU20例例1 1求解下列問題的解求解下列問題的解),0,(),(2txtxfuauxxt ).(|0 xut(37)(37)(38)(38),(11)(),(221221sGasLasLtU.),()()(02222deGetattatataetGe2222),()(),(tU對式對式(41)(41)兩邊取兩邊取拉氏逆變換拉氏逆變換，得，得(42)(42)為了求出問題為了求出問題(37)(38)(37)(38)的解，還需要對的解，還需要對取取傅氏逆變換傅氏逆變換。aseL

15、at121例例1 1求解下列問題的解求解下列問題的解),0,(),(2txtxfuauxxt ).(|0 xut(37)(37)(38)(38).),()(),()(02222deGetUtatta(42)(42)對對(42)(42)式兩端取式兩端取傅氏逆變換傅氏逆變換，得，得deGFeFtxuttata0)(112222),()(),(利用利用卷積定理卷積定理得得deFxfeFxtxuttata0)(11),()(),(222222例例1 1求解下列問題的解求解下列問題的解),0,(),(2txtxfuauxxt ).(|0 xut(37)(37)(38)(38)deFxfeFxtxutta

16、ta0)(11),()(),(2222)0( 214122teteFtxt利用結(jié)論利用結(jié)論可知可知.taxtaetaeF22224121則可得則可得detaxfetaxtxuttaxtax0)(442222)(21),(21)(),(23例例1 1求解下列問題的解求解下列問題的解),0,(),(2txtxfuauxxt ).(|0 xut(37)(37)(38)(38)則可得則可得detaxfetaxtxuttaxtax0)(442222)(21),(21)(),(detatax224)()(21.)(1),(210)(4)(22ddetfattax 即得原定解問題的解。即得原定解問題的解。2

17、4例例2 2試用傅氏變換求解下列問題的解試用傅氏變換求解下列問題的解),0,(2txuauxxtt ).()0 ,(),()0 ,(xxuxxut x),(),(tUtxuF(43)(43)解解),()(xF).()(xF將將(43)(43)各式的兩端關(guān)于各式的兩端關(guān)于 進行進行傅氏變換傅氏變換，記，記假定假定. 0),(lim),(lim|txutxutxx,2222UadtUd則得則得).(| ),( ),(| ),(00tttdtdUtU(44)(44)問題問題(44)(44)是帶參數(shù)是帶參數(shù)的常微分方程的初值問題，的常微分方程的初值問題，其解為其解為25例例2 2試用傅氏變換求解下列問

18、題的解試用傅氏變換求解下列問題的解),0,(2txuauxxtt ).()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (43)(43).sin)(cos)(),(taatatUtaaFtaFtxusin)(cos)(),(11(45)(45)()(21cos1axaxaF對式對式(45)(45)取取傅氏逆變換傅氏逆變換(46)(46)利用結(jié)論利用結(jié)論mxmF|,21sin1| taFxataFxsin)(1cos)(1126)()(21)(cos)(1atxatxxtaF),()(21atxatx例例2 2試用傅氏變換求解下列問題的解試用傅氏變換求解下列問題的解),0,(2txuauxxtt ).

19、()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (43)(43)()(21cos1axaxaF利用結(jié)論利用結(jié)論mxmF|,21sin1| 因此可得因此可得taaFtaFtxusin)(cos)(),(11(46)(46)27taaFsin)(1taFxasin)(11.)(21daatxatx.)(21)()(21),(daatxatxtxuatxatx例例2 2試用傅氏變換求解下列問題的解試用傅氏變換求解下列問題的解),0,(2txuauxxtt ).()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (43)(43)()(21cos1axaxaF利用結(jié)論利用結(jié)論mxmF|,21sin1| 因此可得因此

20、可得taaFtaFtxusin)(cos)(),(11(46)(46)將所得結(jié)果代入將所得結(jié)果代入(46)(46)式，得原問題式，得原問題(43)(43)的解為的解為28例例3 3求解下列問題的解求解下列問題的解),0,(0yxuuyyxx . 0),(lim),(|220yxuxguyxy x),(),(yUyxuF(47)(47)解解).()(GxgF將將(47)(47)各式的兩端關(guān)于各式的兩端關(guān)于 分別作分別作傅氏變換傅氏變換，記，記則則(47)(47)化為化為),()0 ,(GU, 0222UdyUd. 0),(limyUy解問題解問題(48)(48)得得.)(),(|yeGyU(48

21、)(48)29例例3 3求解下列問題的解求解下列問題的解),0,(0yxuuyyxx . 0),(lim),(|220yxuxguyxy (47)(47).)(),(|yeGyU對上式取對上式取傅氏逆變換傅氏逆變換得得yeGFyxu|1)(),(利用結(jié)論利用結(jié)論.)(|1yeFxg)0(122|1yxyyeFy (49)(49)即得原問題即得原問題(47)(47)的解為的解為221)(),(xyxgyyxu.)()(22dxygy30例例4 4求解下列問題的解求解下列問題的解),0, 0(2txuauxxt , 0|0tut),(),(sxUtxuL(50)(50)解解).()(sFtfL將將

22、(50)(52)(53)(50)(52)(53)的兩端對的兩端對 分別作分別作拉氏變換拉氏變換，記，記則問題則問題(50)-(53)(50)-(53)化為化為),(| ),(0sFsxUx, 0222 sUdxUda.| ),(|Mtxu),(|0tfux(51)(51)(52)(52)(53)(53)(54)(54)(55)(55)(56)(56).| ),(|MsxU31),(| ),(0sFsxUx, 0222 sUdxUda是一個充分大的正數(shù)。是一個充分大的正數(shù)。(54)(54)(55)(55)(56)(56).| ),(|MsxU其中其中M方程方程(54)(54)的的通解通解為為,)

23、,(21xasxasececsxU則問題則問題(50)-(53)(50)-(53)化為化為, 02c.)(),(xasesFsxU(57)(57)由條件由條件(56)(56)知知).(1sFc 再由條件再由條件(55)(55)知知于是有于是有對式對式(57)(57)作作拉氏逆變換拉氏逆變換，得，得)(),(1xasesFLtxu(58)(58).)(1xaseLtf32),0, 0(2txuauxxt , 0|0tu(50)(50).| ),(|Mtxu),(|0tfux(51)(51)(52)(52)(53)(53)(),(1xasesFLtxu(58)(58).)(1xaseLtftays

24、adyeesL21221首先利用結(jié)論首先利用結(jié)論taxysaxdyeesL21221則有則有33),0, 0(2txuauxxt , 0|0tu(50)(50).| ),(|Mtxu),(|0tfux(51)(51)(52)(52)(53)(53)(),(1xasesFLtxu(58)(58).)(1xaseLtf.222423taxetax111saxsaxessLeLtaxydyedtd222再利用再利用拉氏變換拉氏變換的的微分性質(zhì)微分性質(zhì)則有則有taxysaxdyeesL2122134),0, 0(2txuauxxt , 0|0tu(50)(50).| ),(|Mtxu),(|0tfux

25、(51)(51)(52)(52)(53)(53)(),(1xasesFLtxu(58)(58).)(1xaseLtf.)(1)(20)(42322ttaxdetfax于是，原問題于是，原問題(50)-(53)(50)-(53)的解為的解為taxetaxtftxu224232)(),(35例例5 5求解求解半無界弦半無界弦的的自由振動自由振動問題問題),0, 0(2txuauxxtt , 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut t),(),(sxUtxuL(59)(59)解解).()(sFtfL將將(59)(61)(59)(61)的兩端對的兩端對 分別作分別作拉氏變換拉氏變換，記，記則問題則問題

26、(59)-(61)(59)-(61)化為化為),(), 0(sFsU, 02222UsdxUda, 0),(limtxux),(), 0(tftu(60)(60)(61)(61)(62)(62)(63)(63). 0),(limsxUx)(tf. 0)0(f其中其中為已知函數(shù)為已知函數(shù)( (滿足拉氏變換條件滿足拉氏變換條件) )， 且且36方程方程(62)(62)的的通解通解為為,),(21xasxasececsxU),(), 0(sFsU, 02222UsdsUda(62)(62)(63)(63). 0),(limsxUx, 01c.)(),(xasesFsxU由條件由條件(63)(63)知

27、知),(2sFc于是有于是有對上式取對上式取拉氏逆變換拉氏逆變換，得，得)(),(1xasesFLtxu(64)(64)利用拉氏變換的利用拉氏變換的延遲定理的逆變換形式延遲定理的逆變換形式)( )()(0010ttttfesFLst37)(),(1xasesFLtxu(64)(64)利用拉氏變換的利用拉氏變換的延遲定理的逆變換形式延遲定理的逆變換形式可知可知)()()(1axtaxtfesFLaxs )( )()(0010ttttfesFLst則則(64)(64)式可化為式可化為.)(, 0),(axtaxtfaxttxu, 即得即得半無界弦半無界弦的的自由振動自由振動問題問題(59)-(61)(59)-(61)的解。的解。38),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)2)()(),(atxatxtxu.)(21atxatxda(18)(18)1 1無限長弦自由振動無限長弦自由振動問題問題的的達朗貝爾解達朗貝爾解為公式為公式).()(),(atxgatxftxu(13)(