隨機振動講義1

1、目 錄第一章 緒 論21.1 隨機振動的基本概念和特征21.2 隨機振動研究的內(nèi)容和意義3第二章 隨機振動的數(shù)學描述52.1 隨機過程的基本概念和特征52.2 隨機過程的數(shù)學描述62.2.1 隨機變量定義62.2.2一維隨機變量的概率分布函數(shù)與概率密度函數(shù)72.2.3多維隨機變量82.2.4隨機變量的數(shù)字特征102.2.5隨機變量的分布以及運算142.3 隨機過程的幅域描述142.3.1 隨機過程概率統(tǒng)計特征量142.3.2 平穩(wěn)隨機過程162.4 隨機過程的時域描述172.4.1 各態(tài)歷經(jīng)隨機過程182.4.2 平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)182.4.3互相關(guān)函數(shù)192.5隨機過程的頻域描述：2

2、02.5.1 典型函數(shù)的傅里葉變換202.5.2功率譜密度函數(shù)222.5.3 平穩(wěn)隨機過程的譜分類：252.5.4 隨機過程的分布272.6隨機過程的運算282.6.1微分運算282.6.2積分運算282.6.3隨機振動位移、速度和加速度的相關(guān)函數(shù)和譜密度函數(shù)關(guān)系29第三章 sdof系統(tǒng)的隨機響應323.1 系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)和頻率響應函數(shù)描述323.2 單自由度系統(tǒng)隨機響應分析33第四章 多自由度系統(tǒng)的隨機響應分析414.1 多自由度系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)、頻率響應函數(shù)414.2單輸入問題的mdof系統(tǒng)的隨機響應434.3多輸入問題的mdof系統(tǒng)的隨機響應454.4 mdof系統(tǒng)隨機響應分析的模

3、態(tài)方法524.5 隨機響應分析的虛擬激勵方法55第五章 連續(xù)系統(tǒng)的隨機響應分析62參考文獻68第一章 緒 論1.1 隨機振動的基本概念和特征前面研究的振動問題都屬于確定性振動(deterministic vibration)，所謂的確定性就是指振動是有一定規(guī)律的，或者可以用一個確定的函數(shù)來描述，或者可以用若干離散的值來描述，而且這個規(guī)律是可以重復的，可以預先估計的。例如，無阻尼自由振動問題： (1-1) 在確定的初始條件作用下，系統(tǒng)的振動響應規(guī)律為： (1-2)其中，是由表征系統(tǒng)特性的物理參數(shù)確定的，和由初始條件確定。只要已知初始時刻的振動值，就可以預知之后任意時刻的振動值。該系統(tǒng)在另外一次相

4、同的初始激勵下，系統(tǒng)振動規(guī)律理論上會得到完全的重復。再看一個有外激勵力作用的系統(tǒng)的振動規(guī)律： (1-3) 這個系統(tǒng)的振動規(guī)律為： (1-4)其中，為任意的外激勵，為系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)。這個杜哈梅積分如果可以精確積分，振動規(guī)律可以表示成一個確定的函數(shù)表達式，如果不能，需要利用數(shù)值積分，得到的振動規(guī)律是一組給定的離散時刻的確定的數(shù)值。同樣，在下一次相同的外激勵作用下，振動規(guī)律還可以得到完全的重復。在自然界和工程實際中還存在另外一種截然不同的現(xiàn)象，其變化是高度不規(guī)則，無規(guī)律的，不可預估也不可重復，物理現(xiàn)象的這種變化規(guī)律稱為隨機的。例如，海浪，地震，陣風（湍流），火箭的噴氣噪聲以及不平路面。在隨機現(xiàn)象

5、作用下，系統(tǒng)產(chǎn)生的振動規(guī)律也同樣有隨機的特征，振動過程是不確定的，這樣振動稱為隨機振動。工程中有很多這樣的實際例子：在海浪作用下，海洋平臺結(jié)構(gòu)、水面艦船、出入水的導彈的振動在湍流作用下，飛行器結(jié)構(gòu)的振動在陣風作用下，高聳建筑物、橋梁的振動在地震作用下，所有地面建筑結(jié)構(gòu)的振動在發(fā)動機噴氣噪聲以及大氣氣動噪聲的作用下，火箭、導彈等飛行器結(jié)構(gòu)的振動在不平路面的作用下，各種車輛的振動。這些振動都是確定的工程結(jié)構(gòu)在隨機的外激勵力或運動激勵作用下產(chǎn)生的，都是隨機振動。上述例子共同的特征是：激勵和響應都不能用時間的確定函數(shù)來描述；對于某一特定時刻取值不確定；對于單個試驗記錄，從當前時刻的值無法預估之后時刻的

6、值；兩次相同條件的試驗結(jié)果不可能重復，但多次的試驗結(jié)果放在一起卻可以發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象的某些統(tǒng)計規(guī)律。就是說振動運動是隨機的，所以在任一給定時刻時的精確值不可能精確預計，我們最多只能求出在時刻，取值于某一區(qū)間的可能性或概率，給出在某一時刻的統(tǒng)計規(guī)律，而且統(tǒng)計規(guī)律也可能是隨時間變化的。1.2 隨機振動研究的內(nèi)容和意義隨機問題，主要分為兩大類：1） 系統(tǒng)是確定性的，激勵是隨機的前面所列舉的例子都屬于這一類。確定性的系統(tǒng)在隨機的激勵作用下，系統(tǒng)的響應也是隨機的。在這類問題中，主要研究激勵以及由其引起的隨機振動響應的統(tǒng)計規(guī)律，研究這些規(guī)律與系統(tǒng)特性之間的關(guān)系。通常的隨機振動研究主要屬于這一類。2） 系統(tǒng)是隨機的

7、，激勵或確定，或隨機自然界和工程中也有這樣的問題，例如，雨天，輸電線的振動問題，這里，輸電線的質(zhì)量是隨機變化的，也就是系統(tǒng)的特性是隨機的。這類問題，同樣也是研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律以及它們之間的相互關(guān)系。當然，隨機振動也有其它的分類，按系統(tǒng)自由度可分為：單自由度隨機振動；多自由度隨機振動；無限多自由度隨機振動。按振動微分方程的特點可分為：線性隨機振動；非線性隨機振動。按隨機振動頻帶寬窄可分為：寬帶隨機振動，窄帶隨機振動。按振動的特性隨時間變化情況可分為：平穩(wěn)隨機振動；非平穩(wěn)隨機振動。我們主要研究線性單、多自由度、連續(xù)體系統(tǒng)在單個和多個平穩(wěn)隨機激勵作用下的響應分析。實際工程中，隨機振動現(xiàn)象是十分普

8、遍的，嚴格地說，一切實際系統(tǒng)的振動都是隨機的，只不過有些振動隨機的成分很小，可以忽略，當作確定性系統(tǒng)來研究。但是對于象湍流引起的飛機、火箭的振動、海浪導致出入水的導彈的振動，以及前面介紹的其它例子，都必須考慮振動的隨機性，用隨機振動的研究方法進行研究，才能得出更符合實際情況的結(jié)論。第二章 隨機振動的數(shù)學描述由于確定性的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在隨機變化的激勵力作用下，系統(tǒng)的振動響應也是隨機變化的，所以隨機振動主要研究激勵以及由其引起的隨機振動響應的統(tǒng)計規(guī)律，以及這些規(guī)律與系統(tǒng)特性之間的關(guān)系。對這些規(guī)律我們可以利用概率論的知識對他們進行定量或定性的研究，所以，首先我們要對隨機激勵或者隨機響應進行賦值，也就是用一

9、個變量來表示，也就是要對隨機振動的各個量進行數(shù)學描述。2.1 隨機過程的基本概念和特征隨機過程是對在空間和時間上高度不規(guī)則，事先無法預估，其變化也無法重復，其統(tǒng)計規(guī)律隨時間演化的物理現(xiàn)象的一種數(shù)學描述。工程中存在著很多這種物理現(xiàn)象，如在第一章所舉的例子，這些物理現(xiàn)象無法用確定性的理論來描述，但可以用隨機過程來描述。隨機振動的數(shù)學抽象即為隨機過程。隨機過程的每一次測量所得結(jié)果可看作一次實現(xiàn)，或叫樣本函數(shù)。所有可能的樣本函數(shù)的集合構(gòu)成一個隨機過程。因此，隨機過程是由時間上無限長、樣本的無限多個的樣本函數(shù)構(gòu)成的，可以寫為： (2-1)圖2-1: 隨機過程示意圖隨機過程的每次實現(xiàn)是一個確定的非隨機函數(shù)

10、，但各個實現(xiàn)各不相同，因此為了得到隨機過程的統(tǒng)計特性也必須做大量的獨立測量。例如在同一條件的海域內(nèi)，布置n個同一類型的波高儀，可同時測得n個記錄，得到n個實現(xiàn)，。在某一固定時刻可得各樣本瞬時波面高度，它們構(gòu)成了通常的隨機變量，在另一時刻又構(gòu)成另一個隨機變量。因此隨機過程也可以是樣本空間上的隨機變量的集合。下文就將表示為隨機過程。隨機過程是隨機變量進一步發(fā)展得到的，是隨機變量隨時間的變化，是隨機變量的推廣?？梢钥闯鲭S機過程是對隨機現(xiàn)象的完全描述，嚴格的隨機過程應包含隨機現(xiàn)象的無窮多個獨立測量樣本，而且每個樣本應該在時間上是無限長。實際分析中，我們只能用樣本長度有限，樣本數(shù)目有限的樣本集合來代替隨

11、機過程。所得結(jié)果僅是隨機現(xiàn)象統(tǒng)計特征的一個估計，一個近似。2.2 隨機過程的數(shù)學描述隨機過程的概念一方面定義為無窮多個樣本函數(shù)的集合，另一方面可以看作無窮多個隨機變量的集合 (2-2)其中是由隨機過程x在時刻所有可能的取值構(gòu)成的隨機變量，是樣本函數(shù)的編號，。正因為它可以認為是由無窮多個隨機變量構(gòu)成的，所以我們首先從隨機變量的概率描述角度，來對隨機過程進行描述。2.2.1 隨機變量定義對所研究的隨機現(xiàn)象賦值便得到了一個隨機變量，例如，哈爾濱地區(qū)每年冬天的最低氣溫。在同一海域內(nèi)布置n個同一類型的波高儀，在某一時刻所測得的n個波高值，就構(gòu)成一個描述波高可能取值的隨機變量。在相同隨機激勵的多次作用下，

12、結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在某一固定時刻振動響應可能的取值，都屬于隨機變量。許多隨機現(xiàn)象的試驗結(jié)果表現(xiàn)為數(shù)量，用來表示隨機試驗各種結(jié)果的變量叫做隨機變量。隨機試驗的一種結(jié)果也就是隨機變量的一個可能取值，這些所有可能的取值的集合就是一個隨機變量，用集合符號表示就是： (2-3)式中為隨機變量的一種可能取值。取有限值就是離散隨機變量，取無窮大就是連續(xù)隨機變量。研究一個隨機變量，不但要知道它在每次試驗時的取值，更重要的是要知道它取這個數(shù)值的概率。綜上所述隨機變量的基本特征，用數(shù)學的語言來描述給出的定義為：定義于某樣本空間上的實變量，如果對于每一個實數(shù)，的概率prob都存在，那么就稱為隨機變量。通常主要考慮隨機變量的值

13、取在整個實數(shù)軸上的問題。以下為行文方便簡寫為。2.2.2一維隨機變量的概率分布函數(shù)與概率密度函數(shù)對一個隨機變量作完整的概率描述就是給出它的概率分布，也就是給出x取值小于每一個的概率，就是給出函數(shù)： (2-4)f(x)稱為x的概率分布函數(shù)。概率分布函數(shù)的性質(zhì)：1） (2-5) 由定義可知實變量x取值小于的概率是，或說是肯定的2） (2-6) x取值小于的概率是0，或說3） 是單調(diào)增函數(shù) 由定義可知，若 4) 5) 對任意元素，有x取值在區(qū)間內(nèi)的概率為： (2-7)6） (2-8)注意：對連續(xù)型隨機變量，取值為一個特定值的概率為零，。當f(x)連續(xù)可導時，可以得到其導數(shù)函數(shù) (2-8)其意義可解釋

14、為隨機變量x取值在x附近的單位區(qū)間的概率大小，因為：因此，p(x)大表示f(x)在該點的變化較大，也就是在這個區(qū)間概率分布密度也大，所以也稱p(x)為概率分布密度函數(shù)，簡稱概率密度函數(shù)。概率密度函數(shù)表示x取值在x點附近的單位區(qū)間內(nèi)的概率大小。概率密度函數(shù)的性質(zhì)：1） (2-9)2） (2-10)3） (2-11)4） (2-12)單調(diào)增函數(shù)的導函數(shù)恒非負。5） (2-13) 2.2.3多維隨機變量有些問題需要考慮兩個或兩個以上的隨機現(xiàn)象同時發(fā)生的概率，例如打靶，就需要考慮在兩個方向同時射中區(qū)間的概率，這就是二維聯(lián)合概率問題，還有更多維，僅以二維為例。對于二維的隨機變量，它的聯(lián)合概率分布函數(shù)定義

15、為： (2-14)即為隨機變量取小于同時小于的概率，性質(zhì)：1） (2-15)2） (2-16)3） (2-17)4） (2-18)5） (2-19)6）單獨對是單調(diào)增函數(shù)7) (2-20)當有二階偏導數(shù)時，有 (2-21)這個二階偏導函數(shù)定義了二維聯(lián)合概率密度函數(shù)。由定義及的性質(zhì)可知， (2-22)二維聯(lián)合概率密度函數(shù)性質(zhì)：1） (2-23)2） (2-24)3）所以有 (2-25)同理，由于有 (2-26)這就給出了二維聯(lián)合概率密度函數(shù)與一維的關(guān)系。對于二維隨機變量，還定義有條件概率密度函數(shù)為：，其中表示在y條件下，x發(fā)生的概率，且有 (2-27)若x，y統(tǒng)計獨立，則 (2-28)且有 (2

16、-29)2.2.4隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的統(tǒng)計特征可以用概率分布函數(shù)，或概率密度函數(shù)作完整描述，但要確定這些函數(shù)一般不大容易，通常也不是總有這個必要，實際問題是只需主要的統(tǒng)計特征即可，這些主要的數(shù)字特征稱為隨機變量的矩。原點矩：實隨機變量的n階矩定義為的集合平均，也稱n階原點矩，即有 (2-30)其中最常用的是一階原點矩和二階原點矩。一階原點矩定義為 (2-31)也就是隨機變量的均值，也稱數(shù)學期望，常記為。（對離散隨機變量有，如果隨機試驗得到一系列獨立的觀測值（），那么其樣本均值為：）一階原點矩性質(zhì)：1. 是常數(shù) (2-31)2. (2-32)3. (2-33)4. ，或者 (2-33)證

17、明： 5. 若二者相互統(tǒng)計獨立 或者 (2-34)證明：二階原點矩定義為： (2-35)也稱為隨機變量的均方值，常記為，通常表示隨機變量的能量水平。上面討論的都是隨機變量相對于坐標原點的矩，也稱為原點矩，還有一種常見的矩，是相對于均值的，稱為中心矩。階中心矩定義為： (2-36)一階中心矩為： (2-37)二階中心矩為： (2-38)也稱為的方差，常記為，其平方根稱為標準差。對離散隨機變量有 (2-39)樣本方差（sample variance） (2-40)方差表明隨機變量偏離均值的程度。方差性質(zhì)：1. (2-41)2. (2-42) 3. (2-43) 4. ，若統(tǒng)計獨立 (2-44)證明

18、：均值，均方值（均方根值），方差（標準差）是隨機變量最重要的三個數(shù)字特征量，它們之間有如下關(guān)系： (2-45)聯(lián)合矩：多個隨機變量的矩的關(guān)系是聯(lián)合矩，以兩個隨機變量為例，其（）階的聯(lián)合原點矩定義為： (2-46)時有，也稱為相關(guān)矩 (2-47)當。同理有（）階的聯(lián)合中心矩定義為： (2-48)時有 (2-49)也稱為隨機變量的協(xié)方差（covariance）,兩個隨機變量之間的協(xié)方差表征了它們之間的相關(guān)性，通常用表示，即 (2-50)當兩個隨機變量相互統(tǒng)計獨立則有 (2-51)當不等于0時，說明，之間具有相關(guān)性，但是相關(guān)程度的大小，通常用的無量綱化的系數(shù)來表征 (2-52)稱為相關(guān)系數(shù)。其絕對值

19、小于一，為了證明這一點，利用如下著名的schwarz不等式 (2-53)特別地，當時，有當=0，即統(tǒng)計獨立時有，所以 , (2-54)當2.2.5隨機變量的分布以及運算隨機變量的特定概率密度函數(shù)對應著特定的取值分布，常見的分布有均勻分布，高斯分布（正態(tài)分布）等。均勻分布的概率密度函數(shù)為 (2-55)高斯分布的概率密度函數(shù)為 (2-56)隨機變量的初等函數(shù)仍然是隨機變量，后者的分布由前者確定，且若已知的，則有 (2-57)2.3 隨機過程的幅域描述2.3.1 隨機過程概率統(tǒng)計特征量上述對隨機變量的成熟的概率描述手段，可以直接用于描述隨機過程，只不過為了表示隨機過程是一個動態(tài)的，隨時間變化的過程，

20、需要加一個時間變量，如表示隨機過程在時刻的隨機變量的概率密度函數(shù)，一維概率分布函數(shù)定義為： (2-58)對應的數(shù)字統(tǒng)計特征為： (2-59) (2-60) (2-61)表明隨機過程在每一時間截口的分布中心，能量水平和偏離分布中心的程度。這些一維的概率分布只能描述各個獨立時刻單個隨機變量的概率特性，無法揭示隨機過程不同時刻之間的相互關(guān)系，為此必須使用二維以上的概率分布描述。隨機過程的二維概率分布函數(shù)定義為： (2-62)其性質(zhì)也和前述二維概率分布函數(shù)和二維概率密度函數(shù)性質(zhì)類似。回憶前述描述不同隨機變量之間相關(guān)程度的數(shù)學特征量是協(xié)方差，對隨機過程不同時刻之間的相關(guān)性也可以用該量來描述，同樣定義：

21、(2-63)為隨機變量的自協(xié)方差，通常用表示。 (2-64)上式右側(cè)第一項是的相關(guān)矩，一階聯(lián)合原點矩也稱隨機過程的自相關(guān)函數(shù)，通常記為： (2-65)上述(2-64)公式表明若隨機過程的均值，那么有 (2-66)也就表示了隨機過程不同時刻的隨機變量之間相關(guān)程度。由于多數(shù)隨機過程，例如，海浪符合這個條件，所以，將二者統(tǒng)稱為相關(guān)函數(shù)。用代替。很顯然有 (2-67) (2-68)以上考慮的是單一隨機過程的概率描述。對不同的隨機過程可分別派生出兩族隨機變量。因而，有是需要考慮它們之間的聯(lián)合概率分布或聯(lián)合矩。此時聯(lián)合概率密度函數(shù)可以寫為。他們之間的二階聯(lián)合原點矩和中心矩分別為 (2-69) (2-70)

22、，分別是稱為互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)，表示他們是來自于不同的隨機過程，對應的來自于同一隨機過程都冠以“自”。均方差，方差，自相關(guān)，協(xié)方差，統(tǒng)稱為二階矩。若均方差存在，由schwarz不等式：可以推知自相關(guān)函數(shù)必定存在。即可認為隨機過程的二階矩函數(shù)存在，表示二階矩過程。與相關(guān)系數(shù)對應規(guī)范化的互協(xié)方差函數(shù)為： (2-71)2.3.2 平穩(wěn)隨機過程在實際中經(jīng)常遇到這樣一類隨機過程，他們隨時間變化是在一平均值周圍連續(xù)地隨機波動，其統(tǒng)計特征都基本上不隨時間變化，稱該過程為平穩(wěn)隨機過程（stationary random process）。平穩(wěn)隨機過程一般定義:若一個隨機過程的概率特征量在時間參數(shù)做任意平

23、移時保持不變，則稱此過程是平穩(wěn)的。嚴格平穩(wěn)隨機過程定義:若隨機過程的n維聯(lián)合概率密度函數(shù)對任意實數(shù)都有 (2-71)則稱此過程是n階平穩(wěn)的，且低于n的各階也都是平穩(wěn)的，如這個定義是嚴格平穩(wěn)的條件。嚴格平穩(wěn)的條件工程上很難滿足。因此引入了廣義平穩(wěn)（弱平穩(wěn)或者寬平穩(wěn)）的概念：若一個隨機過程均值和自相關(guān)函數(shù)或者協(xié)方差不隨時間變化，即滿足1. (2-72)2. (2-73)兩個條件，即均值不隨時間變化，協(xié)方差也不與計時起點或時間原點有關(guān)，只與時差有關(guān)。這樣的隨機過程稱為廣義平穩(wěn)隨機過程。工程中的平穩(wěn)的含義通常是指廣義平穩(wěn)。平穩(wěn)隨機過程的協(xié)方差 協(xié)方差的一個重要性質(zhì)是:在隨機過程上增加一個確定性函數(shù)并不

24、改變協(xié)方差函數(shù)。例如：的均值為和協(xié)方差，是一個確定函數(shù)，則的協(xié)方差不變。顯然：當時有，且的均值為零，。所以對協(xié)方差的要求就和對自相關(guān)函數(shù)的要求一樣。此外，對平穩(wěn)隨機過程而言，有時為了簡化運算而假設(shè)平穩(wěn)隨機過程均值為零，工程中有許多過程為零。注意：由上述平穩(wěn)隨機過程定義可知，滿足這個定義的隨機過程的樣本函數(shù)無限長，而且在整個上統(tǒng)計特性對時間參數(shù)原點的選取有一定的均勻性，即與參數(shù)的初始時刻選取無關(guān)，而實際的隨機過程通常很難滿足這個條件，因此在實際工程問題處理中，只要一個隨機過程在一個較長的區(qū)間上呈現(xiàn)上述均勻性，就可以近似看作平穩(wěn)隨機過程。例如，火車在啟動和停止階段，就不滿足均勻性的假設(shè)，但在中間較

25、長一段時間內(nèi)是基本勻速行駛的，因此可看作廣義平穩(wěn)過程。2.4 隨機過程的時域描述隨機振動的時域描述主要指時差域描述，用隨機過程不同時刻之間的相關(guān)情況來描述隨機振動。這里主要指平穩(wěn)隨機過程，而且通常還假設(shè)均值為零。2.4.1 各態(tài)歷經(jīng)隨機過程平穩(wěn)隨機過程的均值和方差不依賴于時間，均值可由任意時刻的多個樣本的集合平均求得，協(xié)方差也僅取決于作相關(guān)的時差，但仍需對隨機過程進行大量觀測，取得足夠多的樣本函數(shù)，盡管樣本函數(shù)可能不需要很長，但工作量仍然是很大的。因此就猜想能否用僅用一個足夠長的樣本來代替大量樣本構(gòu)成的總體，用該樣本的時間平均特性代替樣本空間的集合平均特性呢？為此引入樣本函數(shù)時間平均概念。設(shè)平

26、穩(wěn)隨機過程x(t)任一樣本函數(shù)為xi(t)，下文為書寫簡便用代替任一無限長樣本函數(shù)，其時間均值定義為： (2-74)時間平均意義下的自相關(guān)函數(shù)定義為： (2-75)時間平均意義下的均方值 當時有， (2-76)時間平均意義下的方差定義為 (2-77)各態(tài)歷經(jīng)隨機過程：對一個平穩(wěn)隨機過程，若有 (2-78)則稱該平穩(wěn)隨機過程關(guān)于均值遍歷。若有 (2-79)則稱過程關(guān)于相關(guān)函數(shù)具有遍歷性。具有一定遍歷性的隨機過程稱為遍歷過程，或稱各態(tài)歷經(jīng)隨機過程。也可以寫成如下形式： （均值遍歷） (2-80) （相關(guān)函數(shù)遍歷） (2-81)其中，i為樣本函數(shù)編號，j為時間采樣點編號。平穩(wěn)隨機過程遍歷的基本含義就

27、是樣本函數(shù)的總體統(tǒng)計特征等于單個樣本在較長時間段內(nèi)的時間統(tǒng)計特征。2.4.2 平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)根據(jù)前述的集合平均意義以及時間平均意義上的自相關(guān)函數(shù)定義，可以得到其性質(zhì)如下：1. (2-82)2. (2-83)證明：由于所以由此有說明隨機變量與自身的相關(guān)性最好。3. (2-84)證明： 令，所以有由平穩(wěn)性定義也可以直接得到是偶函數(shù)這個性質(zhì)。4. (2-85)通常實際的物理系統(tǒng)總是有一點耗散的，隨著時差的增大，一般來說隨機過程的相關(guān)性有所減弱，而且當?shù)綍r有，趨向于0。2.4.3互相關(guān)函數(shù)在隨機振動分析中，通常要用到來自兩個不同隨機過程的相關(guān)，例如隨機激勵力與隨機振動響應的相關(guān)情況，還有兩個

28、以上不同的隨機激勵力作用在同一結(jié)構(gòu)上等情況。對各態(tài)歷經(jīng)的隨機過程互相關(guān)函數(shù)定義為： (2-86)性質(zhì)：1.，一般不對稱 (2-87) 2. (2-88)證明：令例2-1： 與為兩個平穩(wěn)隨機過程，求自相關(guān)函數(shù)解：對均值為零的平穩(wěn)隨機過程，若相互獨立則有，即2.5隨機過程的頻域描述：2.5.1 典型函數(shù)的傅里葉變換的連續(xù)傅里葉定義為： (2-89) (2-90)線性性質(zhì)： (2-91)對稱性質(zhì)： (2-92)平移性質(zhì)： (2-93)變標尺性 (2-94)共軛性 (2-95)微分特性 (2-96)乘積與卷積特性 (2-97)典型函數(shù)的傅里葉變換1脈沖函數(shù)定義：若有，稱為單位脈沖函數(shù)，其性質(zhì)為傅里葉變

29、換為 (2-98) (2-99)可以得出如下結(jié)論： (2-100)2正余弦函數(shù)的傅里葉變換 (2-101) (2-102)3. 單位指數(shù)函數(shù) (2-103)4矩形脈沖函數(shù) (2-104)若，則矩形函數(shù)相應于矩形脈沖，則有，為矩形脈沖t的面積。2.5.2功率譜密度函數(shù)相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換稱為功率譜密度函數(shù)（power spectral density function），自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換稱為自功率譜密度函數(shù)，互相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換稱為互功率譜密度函數(shù)。分別敘述：自功率譜密度函數(shù)定義1：自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換或 (2-105) (2-106)也可以說自相關(guān)函數(shù)是自功率譜密度函數(shù)的逆傅里葉變換

30、，即或 (2-107) (2-108)由于表示均方值，因此上式當時有 (2-109)所以在整個頻帶上的積分等于它的均方值，可以說，表示在單位帶寬內(nèi)具有的能量，具有能量（或功率）的密度的概念，所以稱為功率譜密度。所以也有如下的定義： ， (2-110)可以證明這兩個定義是等價的。證明：同時有由于對任意的隨機函數(shù)，上兩式均成立，因此有：自功率譜性質(zhì)：表示振動功率按頻率的分布1. (2-111)2. (2-112)所以表示單位頻帶上信號的能量3. 自功率譜是偶函數(shù) (2-113)互功率譜密度函數(shù)：對應的互功率譜也有兩個等價定義1. 或 (2-114)2. (2-115)互功率譜密度函數(shù)性質(zhì)：互功率譜

31、密度函數(shù)一般是復數(shù)，不對稱，且有 (2-116)證明：對于實際的信號，一般沒有負頻率的概念，前述的意義是在上，這僅僅是理論上的定義，因此工程上便于應用，把負頻率的譜密度折算到正的頻率上去，由是偶函數(shù)，所以定義： (2-117)移為單邊自譜密度函數(shù)，對應稱雙邊自譜密度函數(shù)。 （） (2-118)單邊自譜下的面積同樣等于均方值，因為： (2-119)類似的定義單邊上的互譜密函數(shù)： (2-120)對應的稱為雙邊互譜密度函數(shù)。相干函數(shù)：在時域內(nèi)用相關(guān)系數(shù)表示兩個隨機變量的相關(guān)程度，同樣在頻域內(nèi)也定義一個類似的無量綱數(shù)來表示隨機函數(shù)的相關(guān)程度。 (2-121)可以證明: (2-122)相干函數(shù)可以用來檢

32、查系統(tǒng)是否有隨機干擾和非線性干擾，即如果接近于1，表示所經(jīng)過的系統(tǒng)非線性程度很小，噪聲干擾也很小，反之干擾比較大，得到的譜密度函數(shù)不可信，因為輸出y不完全是由輸入x引起的。一般要求：2.5.3 平穩(wěn)隨機過程的譜分類：一個平穩(wěn)隨機過程根據(jù)它的功率譜密度函數(shù)的性質(zhì)可分為寬帶或窄帶隨機過程。一個隨機過程若它的功率譜密度函數(shù)在較寬的范圍有意義的值，稱為寬帶隨機過程，其自相關(guān)函數(shù)示意圖見圖2-2。圖2-2：寬帶隨機過程自相關(guān)函數(shù)理想地就是在整個頻率范圍內(nèi)都有值，一個極端情況就是 （一個固定的常數(shù)） (2-123)這樣的過程稱為白噪聲。即譜密度函數(shù)是無限寬且均勻的，見圖2-3。其自相關(guān)函數(shù)為： (2-12

33、4)意味著均方值無窮大，見圖2-4，物理上是無法是實現(xiàn)的。但是在某些條件下可以近似的用白噪聲來模擬，如果該過程覆蓋了系統(tǒng)全部頻帶。圖2-3：白噪聲信號功率譜密度圖2-4：白噪聲信號自相關(guān)函數(shù)另一個理想模型就是有限帶寬白噪聲（帶限白噪聲） (2-125) (2-126)在物理上可以實現(xiàn)這種有限帶寬過程（湍流，飛行器表面壓力波動）。一個隨機過程若它的功率譜密度僅在某一個中心頻率附近取意義的值，稱為窄帶隨機過程。其功率譜密度函數(shù)以及自相關(guān)函數(shù)示意圖見圖2-5，2-6。圖2-5：窄帶隨機信號功率譜密度圖2-6：窄帶隨機信號自相關(guān)函數(shù)2.5.4 隨機過程的分布介紹如下幾種典型的隨機過程及其分布：獨立隨機

34、過程若有相互獨立，則稱為獨立隨機過程。獨立增量過程若有隨機變量，相互獨立則稱為獨立增量過程。高斯（gauss）過程若一個隨機過程，對于在任意個時刻上所派生出的個隨機變量是聯(lián)合gauss分布的，則此隨機過程稱為gauss過程。特點：l 由前述二維聯(lián)合高斯分布的概率密度函數(shù)表達可以看出，只要已知一階矩和二階矩（方差，協(xié)方差），則整個過程統(tǒng)計特性就完全知道了。l gauss過程的線性變換仍然是gauss過程，這樣對線性時不變系統(tǒng)，輸入（激勵力）是gauss過程，輸出也是gauss過程。l 許多自然現(xiàn)象都可以用高斯過程描述，大氣湍流，海浪，路面等，陣風。這些特點為隨機振動的研究帶來了極大方便。2.6隨

35、機過程的運算2.6.1微分運算平穩(wěn)，其均方可微的充要條件是 (2-127)并在處連續(xù)，且有如下性質(zhì)：1. 均方可微，為確定性函數(shù)，則可微，且有 (2-128)2求導與平均運算可交換次序 (2-129) (2-130) (2-131)特別地若（t）是二階平穩(wěn)過程，有 (2-132) (2-133) (2-134)2.6.2積分運算，均方riemann積分，存在的條件是：1. 存在，則必唯一2. 若存在，則積分與平均運算可交換次序3. 若為確定性函數(shù)，則若存在，那么積分與平均可變換次序，即 (2-135)4. 滿足分步積分公式 (2-136) (2-137)為連續(xù)確定性函數(shù)。5. (2-138)2

36、.6.3隨機振動位移、速度和加速度的相關(guān)函數(shù)和譜密度函數(shù)關(guān)系由上述關(guān)系可以得到隨機振動位移、速度和加速度的相關(guān)函數(shù)和譜密度函數(shù)關(guān)系。若表示位移，是一個平穩(wěn)隨機過程，其相關(guān)函數(shù)和譜密度函數(shù)分別為，則有的自相關(guān)函數(shù)和譜密度函數(shù)分別為： (2-139)由于，根據(jù)傅里葉變換的微分性質(zhì)有：由前述 ，所以有： (2-140)同理有 (2-141)所以已知位移的相關(guān)函數(shù)，即可以知道速度和加速度的相關(guān)函數(shù)，已知位移的功率譜密度函數(shù)，即可以知道速度和加速度的功率譜密度函數(shù)。例題2-2：有一個隨機過程，式中是常數(shù)，是在內(nèi)均勻分布的隨機變量，試判別是否平穩(wěn)？解：該過程為平穩(wěn)隨機過程例2-3：檢驗上例的各態(tài)歷經(jīng)性解：

37、對于指定的一個樣本為確定的值，所以有該隨機過程為各態(tài)歷經(jīng)的。例2-4：為隨機變量，求的，若有，考慮的平穩(wěn)性。解：1.2.該過程為非平穩(wěn)的第二章習題習題2-1：，是在內(nèi)均勻分布的隨機變量，試判別它的平穩(wěn)性。進一步考慮其關(guān)于均值和自相關(guān)函數(shù)的遍歷性。習題2-2：考慮的平穩(wěn)性，為標準正態(tài)高斯分布的隨機變量。習題2-3：是隨機變量，且有，求第三章 sdof系統(tǒng)的隨機響應3.1 系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)和頻率響應函數(shù)描述對sdof系統(tǒng)，其脈沖響應函數(shù)為 (3-1)其傅里葉變換定義為頻率響應函數(shù) (3-2)它們分別描述了系統(tǒng)在時域和頻域的動態(tài)特性，注意：這里的系統(tǒng)是指線性時不變系統(tǒng)，線性(疊加原理適用)時不變(

38、系統(tǒng)本身的特征如質(zhì)量，剛度，阻尼為常數(shù)不隨時間而變化)。另外，從振動理論中我們還知道，對任意的外激勵的響應可以看作在脈沖元作用下的響應的和。表示一個脈沖的沖量的大小，由它引起的響應，即為，然后在上求和即 (3-3)在上式我們假設(shè)定義在上，若是定義在上，那么上式又可以寫為 (3-4)在振動理論中，這個積分稱為杜哈美(duhamel)積分，另外，由于是時刻系統(tǒng)在單位脈沖作用下產(chǎn)生的響應，那么在大于的時刻，該脈沖尚未作用，自然響應就為零。即 ，所以響應還可以寫為 (3-5)這在數(shù)學上顯然是一個卷積積分，即系統(tǒng)的響應等于系統(tǒng)單位脈沖響應函數(shù)與輸入的卷積。另外，在(3-5)式中，我們令則有 ， 所以 即

39、卷積可以互相交換 (3-6)頻域是從另一個角度來分析系統(tǒng)信息的特性，從上式很容易看出，若對其兩邊分別作傅里葉變換有 (3-7)顯然在頻域它們之間的關(guān)系更為簡單，其中即為的傅立葉變換。另外，從方程的原始形式經(jīng)傅立葉變換也可得到的表達式（3-2）。 3.2 單自由度系統(tǒng)隨機響應分析在零初始條件下，平穩(wěn)隨機激勵作用在sdof結(jié)構(gòu)系統(tǒng)上，有已知：的，求：，。 (1) 響應均值 (3-8)(2) 響應自相關(guān)函數(shù) (3-9)(3)激勵與響應的互相關(guān)函數(shù) (3-10)激勵與響應的互相關(guān)函數(shù)等于激勵的自相關(guān)與單位脈沖響應函數(shù)的卷積。(4) 響應的均方值的激勵力相關(guān)函數(shù)表示 (3-11)(5) 響應的自功率譜密

40、度函數(shù) (3-12)(6) 激勵與響應的互譜 (3-13)注意，通過激勵與響應互譜以及激勵的自譜的測量，通過(3-13)式可以用實驗的方法估計，通過(3-12)式也可估計，但僅僅幅頻特性，所以(3-13)式更有用。(7) 響應的均方值的激勵力功率譜表示 對小阻尼線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在共振點有一尖峰，對能量的貢獻只在尖峰左右的帶寬內(nèi)是主要的，為此可認為該系統(tǒng)是個窄帶濾波器，響應譜變成一個窄帶過程，主要集中在附近；有時工程上可近似地以代替簡化計算。(8) 激勵和響應的譜相干函數(shù)若，則可能是系統(tǒng)非線性，或者測量數(shù)據(jù)的噪聲影響。例3-1： sdof系統(tǒng)受作用，是的理想白噪聲過程。求系統(tǒng)的響應的自相關(guān)函數(shù)、自譜、均方值和激勵與響應的互相關(guān)函數(shù)及互譜。解：代入上式有由于偶函數(shù)的自相關(guān)性對于的情形，可將上式中的用來代替。注：(a) (b) 響應的均方值隨機激勵力雖然不像白噪聲那樣理想地在整個頻率軸上都有有意義的值，但通常都有較寬的頻帶，所以要避開系統(tǒng)的共振頻率很難，但可以增大阻尼減小振動，另一方面，為激勵起結(jié)構(gòu)