圓錐曲線中的熱點問題總結(jié)的非常好

1、3講圓錐曲線中的熱點問題第 本部分主要以解答題形式考查， 往往是試卷的1.2.定值、最值、范圍問題或探索性問題，試題難度求軌跡方程也是高考的熱點與重點，若在客觀題中出般用直接法、代入法、參數(shù)法或待定系數(shù)法，往往出現(xiàn)壓軸題之一，一般以橢【高考考情解讀】 較大圓或拋物線為背景，考查弦長、定點、 現(xiàn)通常用定義法，若在解答題中出現(xiàn)一 在解答題的第（i）問 中.主干知識梳理1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法：（1），則直>0將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到一個一元二次方程.若a，則直線與橢圓相離.a <0線與橢圓相交；若八= 0,則直線與橢圓相切；若直線

2、與雙曲線的位置關(guān)系的判定方法：（2）22ay或ax=+bx+c0（將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去y （或x）,得到一個一元方程0）. +by+c時時，a <0a=0時，直線與雙曲線相切；當(dāng) 0若a當(dāng)，當(dāng)a >0時，直線與雙曲線相交；當(dāng) 直 線與雙曲線相離.時，直線與漸近線平行，與雙曲線有一個交點.若 a= 0直線與拋物線的位置關(guān)系的判定方法：（3）22ay+c=0（x將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y（或），得到一個一元方程ax或+bx +byc = 0）. + *0時，用a判定，方法同上.當(dāng) a當(dāng)a=0時，直線與 拋物線的對稱軸平行，只有一個交點.2.有關(guān)弦長問題有關(guān)弦長問題，

3、應(yīng)注意運用弦長公式及根與系數(shù)的關(guān)系，“設(shè)而不求”；有關(guān)焦點弦長 問題，要重視圓錐曲線定義的運用，以簡化運 算.2k1則所得弦長|pp|+=y）p（1）斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點（x, v, p（x, ）, 222211111 1十 |yy|,其中求|xx|與|y p或|xx|p| = y|時通常使用根與系數(shù)的關(guān)系，2121112122火即作如下變形：2 x+ |xx| = xxx 4, 2121212.y = |y y | yy +4y212112.（利用兩點間距離公式）（2）當(dāng)斜率k不存在時，可求出交點坐標(biāo)，直接運算弦的中點問題 3.有關(guān)弦的中點問題，應(yīng)靈活運用“點差法”，“設(shè)而不求法

4、”來簡化運圓錐曲線的弦長及中點問題考點一226yxl的直線，斜率為1 b>0）2的離心率為，右焦點（2, 0）已知橢圓例1 g: += 1（aj 223ba （-3,2）.交于a, b兩點，以ab為底邊作等腰三角形，頂點為 p與橢圓g （1）求橢圓g的 方程； pab的面積.（2）求4 6=22解（1）由已知得c, = _ 3a222= 4. b23 ,又c=解得aa= 22yx所以橢圓 g的方程為+= 1.124(2)設(shè)直線l的方程為y=x+m.,mx + y= 由 22yx 1. = +_ _41222 0.一12= 4xmx + 6 + 3m 得,y), ab 中點為 e(x<

5、;(b 的坐標(biāo)分別為 x, y), x, y)(xx)a 設(shè)，00212121x4 xmm 321 =； =x+m,則 x = = y_ 000424的底邊， pab因為ab是等腰.abpe，所以 m- 2_ 41.=所以 pe 的斜率 k m3+3 _ 42.m =解得20.= x12 + x4為此時方程 0. =x 解得=3, x212.=所以 y = 1, y212.3 所以 |ab|= ab :此時，點 p(3,2)到直線 2|2+|3 23 , =2=0 的距離 dx y+ 2291.| -d的面積 s= |ab所以 pab22探究提高其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方解決直線與橢圓的

6、位置關(guān)系的相關(guān)問題,程聯(lián)立，消元、往往會更簡單.化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題.涉及弦中點解決,點差法”的問題常常用211x2,是方程在所的直線平分，則這條 橢圓+ y點=1的弦被弦2223=+4y答案2x ), x, y)(x, y, b(解析 設(shè)弦的兩個端點為a22111.y=, y +則 x + x= 1 221122xx21221.=,+ y 在橢圓上，. . + y = 1 .1 a , b_ _ 2122 xx x + x2121 , = 0)(y y)+ (y+ y 21122xxy + y 12211 即, = _ 2 yx2+y x22111.ab的斜率為

7、一即直線 _ 2111 x=的方程為 y-,直線 ab2220.3=yx + 4即2圓錐曲線中的定值、定點問題考點二221xy=1經(jīng)過點(0, 3),離心率為，直線l + c例2已知橢圓：經(jīng)過橢圓c的右焦點f】一22ab2.e、k、d上的射影依次為 4=x在直線b、f、a兩點，點b、a交橢圓于的方程；(1)求橢圓cf人的傾斜角變化時，探求 bf,當(dāng)直線laf , mb =心若直線(2)l 交y軸于點m ,且ma =人 的值；否則，說明理由；人+心+心的值是否為定值？若是，求出是否相交于定點？若 bdae與bdae、，試探索當(dāng)直線l的傾斜角變化時，直線 (3)連接 是，請求出定點的坐標(biāo)，并給予證

8、明；否則，說明理由.思維啟迪后y(2)用直線的斜率為參數(shù)建立直線方程，代入橢圓方程消(1)待定系數(shù)法；-用點心入，=心 bf把mba , b的橫坐標(biāo)的關(guān)系式，然后根據(jù)向量關(guān)系式ma = x af ,可得點無關(guān)即證明了其為定值，k心的值與直線的斜率b的橫坐標(biāo)表示出來，只要證明人+a,的bdae , (3)先根據(jù)直線l的斜率不存在時的特殊情況，看兩條直線否則就不是定值；相交于定點的話， 這個特殊位置時的交點就是這個定點，bdae ,交點坐標(biāo)，如果直線都經(jīng)過這個定點即證明了兩直線相交于定點，否則兩直線就，bd這樣只要證明直線 ae不相交于定點.1c222, c=b , e= = , ab解(1)依題

9、意彳#+= 3_ _a222yx/.a=2, c= 1 , .橢圓 c 的方程為+= 1. _ _43(2)因直線l與y軸相交，故斜率存在，設(shè)直線 l方程為y=k(x-1),求得 l 與 y 軸交于 m(0, k),又 f 坐標(biāo)為(1,0),設(shè) l 交橢圓于 a(x, y), b(x, y), 2211 , - 1 = k xy 由 22yx , = 1 +一 一 342222 , 12 = 4x+k0y 消去得(3 + 4kx) 8k2124k 2k8 , xx = , +：xx=211222k3+443 + k- ), x, y(1k,.=又由 ma 入 af , (xy+ )= x ii

10、iixx2i =, =.人，同理xx1 1 21.x + x1 x + x1 x1 一x+x- 2xxxx 212121 -= + ." + x 2111222 -122 4k2k8 22k3+ 34k48 = . =3212 4k2k8 + 1 22k4k+433+ 8所以當(dāng)直線l的傾斜角變化時，直線人+心的值為定值._3(3)當(dāng)直線l斜率不存在時， 直線l，x軸，則abed為矩形，由對稱性知，ae與bd相5, 0,交于fk的中點n_2猜想，當(dāng)直線l的傾斜角變化時，5 , 0,與bd相交于定點 nae _2/),(x, y)知a(x, y, b證明：由(2)22111的傾斜角變化時

11、，首先證直線，y),當(dāng)直線d(4, y),e(4.215 0, 過定點，ae_ 2yy12 4), (x- 1 : yy = : 2aex-41y-y35 12一 十 y =y 當(dāng) x =時， _ _ 222x41 yy y 3 2 4 x 1221 =x2 41 xk x k x 1 3 - 2 4 x 1212=x2 41 x + +5k xx-8k-2kx2112= x 421222kk - 812 + 5kk -8k3 + 42 k 40.= 2 4k3 24-x - + 15 0, ln .點在直線上. _與bd相交于定點.當(dāng)直線 l的傾斜角變化時，直線ae,2探究提高基本思想是使5

12、 0,上.也在直線l同理可證，點 n_ bd25 0kx+ m,則直線必過定點(0x 點(，y00變式訓(xùn)練義8.用參數(shù)表示要(1)定值問題就是在運動變化中尋找不變量的問題，解決的問題，證明要解決的問題與參數(shù)無關(guān).在這類試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的.，則直線必過定(x x)(2)由直線方程確定定點，若得到了直線方程的點斜式：y-y=k00 , m).)；若得到了直線方程的斜截式：yy軸上截得弦 mn的長為(2013 陜西)已知動圓過定點 a(4,0),且在 的方程；求動圓圓心的軌跡c(1)軸是x,若軸的直線l與軌跡c交于不同的兩點p,q(2)已知點b(1,0),設(shè)不垂直于x過nham定點.的

13、角平分線，證明：直線 l/pbq,a|=|om|解 如圖，設(shè)動圓圓心為 o(x,a(4,0)在y軸上時，過 =+ y + 4 , 又當(dāng)oy軸上時,ooh xmn交mn于當(dāng) x4x2 0) . x(x 化簡得 yo 與 o1112.111占八、5二 82y),由題意，得|o111h,則h是mn的中作o不22 +x4：|om|, = 122 + y , x|又 |oa = 4 122228o重合，點的坐標(biāo)為(0,0)也滿足方程yx在qx = y.動圓圓心的軌跡 c的方程為,(kw0)b(2)證明由題意，設(shè)直線l的方程為y=kx+ y)q, y), (x, (px21212 中，=8x 代入=將 y

14、kx + by2220. +b = x(2 得 kx + bk8)64>0.+ kb32 = a 其中bk28由根與系數(shù)的關(guān)系得，x + x=, 2 21k2bxx = ,221kyy 21 , pbq 的角平分線，所以=因為 x 軸是/ 11xx + +21 , 1)=0+y(x + 即 y(x+1)1122 , = 0b)(x+1)+b)(x+1) + (kx+(kx1212 2b=0 (2kxx + b + k)(x+ x) + 221122 0k, b=b)(8 2bk) +將，代入得2kb2 + (k+ >0, =- b,此時a： k (1,0).,即直線l過定點y= k

15、(x- 1) 直線l的方程為圓錐曲線中的最值范圍問題考點三22yxyba>0) a>b 是橢圓 c= 1(快j 3(2013 浙江)如圖，點 p(0 , 1)1 22的一個頂點，c的長軸是圓圓c于212 d圓c于另一點iba22l是過點=4的直徑.：l交l(2)i,b= 1cxl+y, 21211交橢a , b兩點，p且互相垂直的兩條直線，其中1的方程；(1)求橢圓c1的方程.求aabd面積取最大值時直線丫=所以橢圓的方).x, xy), d(, y, a設(shè)(xy)b(010221 ,由題意知直線1的斜率存在，不妨設(shè)其為kh.程為y = kx 1則直線122 x又圓c:, + y

16、= 42故點o到直線的距離111 d =, 21 + k23+ 4k2. 2 所以 |ab |= 24- d21 + k0.的方程為 x+ ky + k= 1 又 u,故直線 1212, 0ky + k = + x 由 22 4. = x+ 4y 22 = 0 消去 y,整理得(4+k, )xkx +8k8.故 x = 一 02k4+28+k1.=所以 |pd|2k+41|pdabd 的面積為 s,則 s=|ab | 設(shè). 223+ 84k =, 2k+43232 =s<所以 131322+ 3k4+3 火4+ 22234k + 3k+41316 =, 1310k=當(dāng)且僅當(dāng)士時取等號.

17、210所以所求直線1的方程為y = x-1. 士 12探究提高求最值及參數(shù)范圍的方法有兩種：根據(jù)題目給出的已知條件列出變式訓(xùn)練3一個關(guān)于參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，將其代入由題目列出的不等式（即為消元），然后求解不等式；由題目條件和結(jié)論建立目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域.已知橢圓c與拋物線c的焦點均在x軸上且c的中心和c的頂點均為坐2211標(biāo)原點o,從每x 1 4 6316 y0 3- 求(1), cc的標(biāo)準(zhǔn)方程；21 -花在以f的直線l交橢圓c于c, d兩點，且橢圓c的左焦點(2)過點a(m,0)作傾斜角為_ 116的 取值范圍.線段 cd為直徑的圓的外部，求 m, (, 3)和(4, - 6)在拋

18、物線上，故(1)解 先判斷 出(3 6, 0)在橢圓上，進(jìn)而斷定點 (122yx2.的方程為=1,拋物線c的方程為y1)在橢圓上，所以橢圓cx+= 9 21263 =, (yx - m)x(2)設(shè) c(x, y), d (, y),直線 l 的方程為211233= m yx - 3 由 22yx ,+= 1_ 2622+m。6=消去 y 整理得 2x, - 2mx22 6)>0 8(m由 a >0 得 a = 4m,3<m<23 ,即一226 m，而 xxx=m=, x+ 2121233) (yx = (xm m) 故 y221133 1 2 mxx) + x+= m(

19、x2112_ 326 m.= 6 cd為直徑的圓的外部，欲使左焦點f在以線段 則fc - fd, >0-) + y2 ,= (x+2y) -(x,即 f 又(2,0)fcfd 21214>0. + )2(x + x+yyx = x+211212 (m+3)>0 ,整理得 m >0. 即m<3或m 3)3)3( m由可得的取值范圍是一 2, u一規(guī)律總結(jié)；（0,2.1 .求軌跡與軌跡方程的注意事項求軌跡方程的關(guān)鍵是在紛繁復(fù)雜的運動變化中，發(fā)現(xiàn)動點p的運動規(guī)律，即 p點滿足的等量關(guān)系，因此要學(xué)會動中求靜，變中求不變.求出軌跡方程后，應(yīng)注意檢驗其是否符合題意，既要檢驗是

20、否增解（即以該方程的某些解為坐標(biāo)的點不在軌跡上），又要檢驗是否丟解（即軌跡上的某些點未能用所求的方程表示）.檢驗方法:研究運動中的特殊情形或極端情形.2 .定點、定值問題的處理方法定值包括幾何量的定值或曲線過定點等問題，處理時可以直接推理求出定值， 也可以先通過特定位置猜測結(jié)論后進(jìn)行一般性證明. 對于客觀題，通過特殊值法探求定點、定值能達(dá)到事半功倍的 效果.3 .圓錐曲線的最值與范圍問題的常見求法幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求 這個函數(shù)的最值，在利用代數(shù)法解決最值與范

21、圍問題時常從以下五個方面考慮：利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是在兩個參數(shù)之間建立等量關(guān)系;利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍名師押題我來做222(a>0)相交于a、bx + 1)與橢圓y+3兩個不同的點，與= ax軸相交于xkyl設(shè)直線：=(點c, 記o為坐標(biāo)原點.2k32 ；證明：a>(1) 2k3+1. (2)若acoab =2cb的面積取得最大值時的橢圓方程.，求 l顯然不平行于坐標(biāo)軸，(1)證明依題意，直

22、線11.=k(x+1)可化為 x=y 故 y_ k1222 =a,十3y,消去將 x = xy 1 代入 x_ k1y2 22+ 3ya+1 =0, 得 2kk與橢圓相交于兩個不同的點， 得由直線114 23+ = a 4)>0a, (1 2_ 2_ kk1 23+ ,整理得 >3a2_ k2k32. *即 2k+31 ), y), b(x, y 由，a(2)解 設(shè)(x2211k2 + =,得 yy 212k31+- y, cb =,得 y2 因為 ac = 221k- 2.=代入上式，得 y 22k31 + 31|ys 于是， oab 的面積=|oc|- |y-y = 21222

23、3131k131k. = = < 22|23|kk1 + 332.= 1k,即k±=3其中，上式取等號的條件是3k 23.=,可得y由y± = 2232k + 13333k= = 一，y, = - k及將23333，這兩組值分別代入=y2325.a均可解出22=5.+ 3所以， oab的面積取得最大值的橢圓方程是xy押題精練(推薦時間：70分鐘)一、選擇題22yx1 .已知方程+= 1(k r)表示焦點在x軸上的橢圓，則 k的取值范圍是 ()k- 1k + 3a. k<1 或 k>3 b , 1<k<3d . kc. k>1<31&

24、gt;0k+>03 k,軸上，則 解析 若橢圓焦點在 xkk+1>3b.解得1<k<3.選的軌跡的頂點 a(上，則頂點cxabc的內(nèi)切圓圓心在直線=3-5,0)>b(5,0) , a2. abc)(方程是2222yxyx 1 = b.1 a. = _ _ _ _ 9161692222yxxy c. = d. = 1( x>4) 1(x>3)_a o e b x916916 答案 cms|, |=|cf|be| = 2, |cdbf=解析 如圖 |ad|ae |= 8, |= 6.2= 8|ca|cb|所以 的雙曲線b為焦點，實軸長為 6根據(jù)雙曲線定義，

25、所求軌跡是以a、22yx . x>3)=的右支，方程為一1( 1692為半|為圓心，|fm的焦點，以8y上一點，f為拋物線cf為拋物線，m3.設(shè)(xy)c: x=oo ( y徑的圓和拋物線的準(zhǔn)線相交，則的取值范 圍是)0 . 0,2 b . a(0,2) ),+8(2. c),+8 2. d答案c解析 依題意得：f(0,2),準(zhǔn)線方程為y = - 2,又以f為圓心，|fm|為半徑的圓和拋物線的準(zhǔn)線相交，且|fm|=|y+2|, 0|fm |>4,即|y + 2|>4 ,。又 y>0,y>2.0022yx-f4.若點。和點f分別為橢圓+= 1的中心和左焦點，點p為橢

26、圓上的任意一點，則op - fp43的最大值為()a. 2 b. 3 c. 6 d. 8答案c解析 設(shè) p(x , y),則 00222xyx 30002 + = 1 ,即 y=3, _ _ 0434 又因為 f( 1,0),1-22=x+x + 3 (x+1) + y 所以 opfp = x- _ 000004 1 2 + 22) ,=(x + _ 04又 x6 2,2,即 op fp6 2,6 , 0所以(op - fp) = 6.max5.已知中心在原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，左、右焦點分別為f、f,且兩條曲線在21第一象限的交點為 p, apff是以pf為底邊的等腰三角形，若 |pf

27、|=10,橢圓與雙曲1211線的離 心率分別為e, e,則e-e的取值范圍是 )(22111)(.(0, +8 ) b . , +8 a_ 311)(c. , +8 )d.(, +895b設(shè)橢圓與雙曲線的半焦距為解析c, . pf, = pfr=r2112r10= r由題意知，c2=, 21r且r2>r>r,122,1.,<10,2c+2c>10.-. 2c255 , <c<5?1<<42c2cc2c2c2 ; e= = = = ： 2cc22a5rr10雙21cc2cc22. = = = = e 1rc5 + a2c+ r210 十 橢 212

28、11 c.e= > . .e -212532c25 1 2_ c 二、填空題 22yx .的取值范圍是 + 1與橢圓+ = 1恒有公共點，則 m6.直線y=kxm55w且m答案 m> 122yx 1表示橢圓，解析 :方程+=m55.mw：m>0且 點，恒過y=kx+1(0,1) ,直線 要使直線與橢圓總有公共點，應(yīng)有：2化，<1,m> 1 + _ _ m55.wm>1且m.1. m的取值范圍是2x2兩點，過橢圓中心任作一直線與橢圓交于p, q+f、f為橢圓y=1的左、右焦點，7.設(shè)_ 214 .的值等于 qf當(dāng)四邊形pf面積最大時，pf pf21212 答案

29、qf面積最大.易知當(dāng)p, q分別在橢圓短軸端點時，四邊形 pf解析21 (0,1), p(3, 0)(此時，ff3, 0),不妨設(shè) 21(3, =1),=. pf(, 3, 1)pf21. pf pf=2.212= 4x,直線l的方程為x-yy+ 4=0,在拋物線上有一動點p到y(tǒng)軸已知拋物線方程為.8的距離為d, p到直線l的距離為d,則d + d . 的最小值為2121.251 答案2"=軸于b,由拋物線方程為 y4解析 過點p作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為 a, 交y 1,則由拋物線的定義可得的坐標(biāo)為 (1,0),準(zhǔn)線為x =得焦點f , |-1+d|-|ab |+d = |pfd

30、 + d=|pa2122，點p到直線l|pf+d大于或等于焦點 f24|+|1 025 ,的最小值為|+ =即pf22225+ d的最小值為所以 d 1.c,使得y=a交拋物線y=x. 9 (2013 -安徽)已知直線2122于a, b兩點.若該拋物線上存在點 /acb為直角，則a的取值范圍為 答案1 , +8 )2 x = y 22 0.1.三、解答題22yxc,橢圓a和上頂點da>bc: =1(22ba10 分 x=l, bs 與直線：22 = a, a)x +(y 解析 以ab為直徑的圓的方程為 =aa)y+由 a 得 y(1 + 222 a= a x+ y >0aa 解得=

31、0,由已知 > a)y (a 1)y 即(一,> 0a 1 >0)的左頂點+ 210.已知直線x2y + =0經(jīng)過橢圓上位于的右頂點為 b,點s是橢圓cx軸上方的動點，直線 as_ 3 n兩點.另ij交于 m, c的方程；(1)求橢圓的長度的最小值.2,0),上頂點為c的左頂點為 a(1)解 如圖，由題意得橢圓1. , 2b=,即d(0,1)a= 2x21.=+故橢圓c的方程為y_ 4 , 0的斜率顯然存在且不為as直線(2).k1016的方，且將直線方程代入橢圓c0),解得m(,)設(shè)直線as的方程為y=k(x+2)(k>33 程，22220.x+16k 彳#(l +

32、4k = )x-+ 16k42416k-.=),由根與系數(shù)的關(guān)系得 (2)-x 設(shè) s(x,y 1112k1 + 4 22k2 8k82 k4k4 , 即 s(,). 由此得 x = , y = 112222k 1 + 4k11 +4k1 + 4k+ 41 (x 2),又 b(2,0),則直線 bs 的方程為 y = -_ k4110 .(,)聯(lián)立直 線 bs 與 l 的方程解得 nk331k168161k116k +. 2 = = = + >/. |mn |_k3333333kk8k11116.的長度的最小值為時，線段 mn當(dāng)且僅當(dāng)=,即 k=時等號成立，故當(dāng) k=34k433與a0),直線p0), b(211.在平面直角坐標(biāo)系中，點p)(x, y為動點，已知點 a, (2,1.的斜率之積為pb_ 2的方程；p的軌跡e(1)求動點不m、qn關(guān)于x軸的對稱點為 q(過點f(1,0) 的直線l交曲線e于m, n兩點，設(shè)點(2)過x軸上一定點.重合)，求證：直線 mq1yy. =由題知：-(1)解 , 22x x2 + 2x2 化簡彳#+ y=1(yw。). 一 2(2)證明 方法一 設(shè) m(x, y), n(x, y), q(x