全等三角形(知識(shí)點(diǎn)講解)(共16頁(yè))

1、全等三角形一、目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1了解全等三角形的概念和性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確地辨認(rèn)全等三角形中的對(duì)應(yīng)元素；2探索三角形全等的條件，能利用三角形全等進(jìn)行證明，掌握綜合法證明的格式。重點(diǎn)： 1. 使學(xué)生理解證明的基本過(guò)程 ，掌握用綜合法證明的格式；2 .三角形全等的性質(zhì)和條件。難點(diǎn)： 1.掌握用綜合法證明的格式；2 .選用合適的條件證明兩個(gè)三角形全等二、知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：全等形要點(diǎn)詮釋?zhuān)?能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫全等形。知識(shí)點(diǎn)二：全等三角形要點(diǎn)詮釋?zhuān)?能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形知識(shí)點(diǎn)三：對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角要點(diǎn)詮釋?zhuān)?兩個(gè)全等三角形重合在一起，重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，

2、重合的角叫對(duì)應(yīng)角。知識(shí)點(diǎn)四：全等三角形的性質(zhì)要點(diǎn)詮釋?zhuān)?全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等知識(shí)點(diǎn)五：三角形全等的判定定理（一）要點(diǎn)詮釋?zhuān)?三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”知識(shí)點(diǎn)六：三角形全等的判定定理（二）要點(diǎn)詮釋?zhuān)?兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”知識(shí)點(diǎn)七：三角形全等的判定定理（三）要點(diǎn)詮釋?zhuān)?兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”知識(shí)點(diǎn)八：三角形全等的判定定理（四）要點(diǎn)詮釋?zhuān)?兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS”知識(shí)點(diǎn)九：直角三角形全等的判定定理要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

3、 斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”或“HL”三、規(guī)律方法指導(dǎo)1.探索三角形全等的條件： （1）一般三角形全等的判別方法有四種方法：邊角邊（SAS）；角邊角(ASA);角角邊(AAS);邊邊邊(SSS).(2)直角三角形的全等的條件:除了使用SAS、ASA、AAS、SSS判別方法外，還有一種重要的判別方法，也就是斜邊、直角邊（HL）判別方法.2判別兩個(gè)三角形全等指導(dǎo)（1）已知兩邊（2）已知一邊一角（3）已知兩角3經(jīng)驗(yàn)與提示： 尋找全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的規(guī)律： 全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊 全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩

4、個(gè)對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角 有公共邊的，公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊 有公共角的，公共角一定是對(duì)應(yīng)角 有對(duì)頂角的，對(duì)頂角是對(duì)應(yīng)角全等三角形中的最大邊(角)是對(duì)應(yīng)邊(角)，最小邊(角)是對(duì)應(yīng)邊(角)找全等三角形的方法可以從結(jié)論出發(fā)，看要證明相等的兩條線段（或角）分別在哪兩個(gè)可能全等的三角形中；可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形相等；從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個(gè)三角形全等；若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。證明線段相等的方法： 中點(diǎn)定義；等式的性質(zhì)；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；借助中間線段（即要證a=b,只需證a=c,c=b即可）。隨著知識(shí)深化，今后還有其它方法。

5、證明角相等的方法： 對(duì)頂角相等；同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等；兩直線平行，同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等；等式的性質(zhì)；垂直的定義；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角和。隨著知識(shí)的深化，今后還有其它的方法。證垂直的常用方法 證明兩直線的夾角等于90°；證明鄰補(bǔ)角相等；若三角形的兩銳角互余，則第三個(gè)角是直角；垂直于兩條平行線中的一條直線，也必須垂直另一條。證明此角所在的三角形與已知直角三角形全等；鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。全等三角形中幾個(gè)重要結(jié)論全等三角形對(duì)應(yīng)角的平分線相等；全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線相等；全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等。4.知識(shí)的應(yīng)用（1）全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)

6、用：根據(jù)三角形全等找對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角，進(jìn)而計(jì)算線段的長(zhǎng)度或角的度數(shù).（2）全等三角形判別方法的應(yīng)用：根據(jù)判別方法說(shuō)明兩個(gè)三角形全等，進(jìn)一步根據(jù)性質(zhì)說(shuō)明線段相等或角相等.（3）用全等三角形測(cè)量距離的步驟：先明確要解決什么實(shí)際問(wèn)題；選用全等三角形的判別方法構(gòu)造全等三角形；說(shuō)明理由.5注意點(diǎn)（1）書(shū)寫(xiě)全等三角形時(shí)一般把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母放在對(duì)應(yīng)的位置.（2）三角形全等的判別方法中不存在“ASS”、“AAA”的形式，判別三角形全等的條件中至少有一條邊.（3）尋找三角形全等的條件時(shí)，要結(jié)合圖形，挖掘圖中的隱含條件：如公共邊、公共角、對(duì)頂角、中點(diǎn)、角平分線、高線等所帶來(lái)的相等關(guān)系.（4）運(yùn)用三角形全等測(cè)距離時(shí)，

7、應(yīng)注意分析已知條件，探索三角形全等的條件，理清要測(cè)定的距離，畫(huà)出符合的圖形，根據(jù)三角形全等說(shuō)明測(cè)量理由.（5）注意只有說(shuō)明兩個(gè)直角三角形全等時(shí)，才使用“HL”，說(shuō)明一般的三角形全等不能使用“HL”.6.數(shù)學(xué)思想方法（1）轉(zhuǎn)化思想：如將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問(wèn)題解決等.（2）方程思想：如通過(guò)設(shè)未知數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和之間的關(guān)系構(gòu)造方程解決角度問(wèn)題.（3）類(lèi)比思想：如說(shuō)明兩個(gè)三角形全等時(shí)，根據(jù)已知條件選擇三角形全等 經(jīng)典例題透析類(lèi)型一：全等三角形性質(zhì)的應(yīng)用1、如圖，ABDACE，AB=AC，寫(xiě)出圖中的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角. 思路點(diǎn)撥: AB=AC，AB和AC是對(duì)應(yīng)邊，A是公共角，A和A是對(duì)應(yīng)角，按對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的

8、角是對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊可求解.解析：AB和AC是對(duì)應(yīng)邊，AD和AE、BD和CE是對(duì)應(yīng)邊，A和A是對(duì)應(yīng)角，B和C，AEC 和ADB是對(duì)應(yīng)角.總結(jié)升華：已知兩對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，那么以這兩對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的角是對(duì)應(yīng)角，第三對(duì)角是對(duì)應(yīng)角；再由對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，可找到對(duì)應(yīng)邊.已知兩對(duì)對(duì)應(yīng)邊，第三對(duì)邊是對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角.舉一反三：【變式1】如圖，ABCDBE.問(wèn)線段AE和CD相等嗎？為什么？【答案】證明：由ABCDBE，得AB=DB,BC=BE， 則AB-BE=DB-BC，即AE=CD?！咀兪?】如右圖，。 求證：AECF【答案】AECF2、如圖，已知ABCDEF，A=30

9、76;，B=50°，BF=2，求DFE的度數(shù)與EC的長(zhǎng)。思路點(diǎn)撥: 由全等三角形性質(zhì)可知：DFE=ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求ACB的度數(shù)與BF的長(zhǎng)即可。解析：在ABC中， ACB=180°-A-B，又A=30°，B=50°，所以ACB=100°.又因?yàn)锳BCDEF，所以ACB=DFE，BC=EF（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等）。所以DFE=100°EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。總結(jié)升華：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等。舉一反三：【變式1】如圖所示，ACDECD，CEFBEF，ACB=90°.

10、 求證：（1）CDAB；（2）EFAC.【答案】(1）因?yàn)锳CDECD，所以ADC=EDC（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.因?yàn)锳DC+EDC=180°，所以ADC=EDC=90°.所以CDAB.(2）因?yàn)镃EFBEF,所以CFE=BFE（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.因?yàn)镃FE+BFE=180°，所以CFE=BFE=90°.因?yàn)锳CB=90°,所以ACB=BFE.所以EFAC.類(lèi)型二：全等三角形的證明3、如圖，ACBD，DFCE，ECBFDA，求證：ADFBCE 思路點(diǎn)撥: 欲證ADFBCE，由已知可知已具備一邊一角，由公理的條件判斷還缺少這角的另一邊

11、，可通過(guò)ACBD而得解析：ACBD(已知)AB-BDAB-AC(等式性質(zhì))即 ADBC在ADF與BCE中ADFBCE(SAS)總結(jié)升華：利用全等三角形證明線段(角)相等的一般方法和步驟如下：(1)找到以待證角(線段)為內(nèi)角(邊)的兩個(gè)三角形，(2)證明這兩個(gè)三角形全等；(3)由全等三角形的性質(zhì)得出所要證的角(線段)相等舉一反三：【變式1】如圖，已知ABDC，ABDC，求證：ADBC【答案】ABCD34在ABD和CDB中ABDCDB(SAS)12(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)ADBC(內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行)【變式2】如圖，已知EBAD于B，F(xiàn)CAD于C，且EBFC，ABCD 求證 AFDE【答案】EB

12、AD(已知) EBD90°(垂直定義)同理可證FCA90°EBDFCAABCD，BCBCACAB+BCBC+CDBD在ACF和DBE中ACFDBE(SAS)AFDE(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)類(lèi)型三：綜合應(yīng)用4、如圖，AD為ABC的中線。求證：AB+AC>2AD. 思路點(diǎn)撥: 要證AB+AC>2AD，由圖想到：AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以AB+AC+BC>2AD，所以不能直接證出。由2AD想到構(gòu)造一條線段等于2AD，即倍長(zhǎng)中線。解析：延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接BE因?yàn)锳D為ABC的中線，所以BD=CD.在ACD和EBD中，所以AC

13、DEBD(SAS).所以BE=CA.在ABE中，AB+BE>AE，所以AB+AC>2AD.總結(jié)升華：通過(guò)構(gòu)造三角形全等，將待求的線段放在同一個(gè)三角形中。舉一反三：【變式1】已知：如圖，在RtABC中，AB=AC,BAC=90°,1=2，CEBD的延長(zhǎng)線于E， 求證：BD=2CE.【答案】分別延長(zhǎng)CE、BA交于F. 因?yàn)锽ECF,所以BEF=BEC=90°.在BEF和BEC中，所以BEFBEC(ASA).所以CE=FE=CF.又因?yàn)锽AC=90°,BECF.所以BAC=CAF=90°，1+BDA=90°，1+BFC=90°.

14、所以BDA=BFC.在ABD和ACF中，所以ABDACF(AAS)所以BD=CF.所以BD=2CE.5、如圖，ABCD，BEDF，BD， 求證：(1)AECF，(2)AECF，(3)AFECEF思路點(diǎn)撥: (1)直接通過(guò)ABECDF而得，(2)先證明AEBCFD，(3)由(1)(2)可證明AEFCFE而得，總之，欲證兩邊(角)相等，找這兩邊(角)所在的兩個(gè)三角形然后證明它們?nèi)冉馕觯?1)在ABE與CDF中ABECDF(SAS)AECF(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)(2)AEBCFD(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)AECF(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)(3)在AEF與CFE中AEFCFE(SAS)AFECEF(

15、全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)總結(jié)升華：在復(fù)雜問(wèn)題中，常將已知全等三角形的對(duì)應(yīng)角(邊)作為判定另一對(duì)三角形全等的條件舉一反三：【變式1】如圖，在ABC中，延長(zhǎng)AC邊上的中線BD到F，使DFBD，延長(zhǎng)AB邊上的中線CE到G，使EGCE，求證 AFAG【答案】在AGE與BCE中AGEBCE(SAS)AGBC(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)在AFD與CBD中AFDCBD(SAS)AFCB(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)AFAG(等量代換)6、如圖 ABAC，BDAC于D，CEAB于E，BD、CE相交于F 求證：AF平分BAC思路點(diǎn)撥: 若能證得得AD=AE，由于ADB、AEC都是直角，可證得RtADFRtAEF，而要證AD

16、=AE，就應(yīng)先考慮RtABD與RtAEC，由題意已知AB=AC，BAC是公共角，可證得RtABDRtACE解析：在RtABD與RtACE中RtABDRtACE(AAS)AD=AE(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)在RtADF與RtAEF中RtADFRtAEF(HL)DAF=EAF(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)AF平分BAC(角平分線的定義)總結(jié)升華：條件和結(jié)論相互轉(zhuǎn)化，有時(shí)需要通過(guò)多次三角形全等得出待求的結(jié)論。舉一反三：【變式1】求證：有兩邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等【答案】根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，寫(xiě)出已知，求證已知：如圖，在ABC與ABC中AB=AB，BC=BC，ADBC于D，ADBC于 D且 A

17、D=AD求證：ABCABC證明：在RtABD與RtABD中RtABD RtABD(HL)B=B(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)在ABC與ABC中ABCABC(SAS)【變式2】已知，如圖，AC、BD相交于O，AC=BD，CD90° 求證：OC=OD【答案】C=D=90°ABD、ACB為直角三角形在RtABD和RtABC中RtABDRtABC(HL)AD=BC在AOD和BOC中AODBOC(AAS)OD=OC7、ABC中，AB=AC，D是底邊BC上任意一點(diǎn)，DEAB，DFAC，CGAB垂足分別是E、F、G. 試判斷：猜測(cè)線段 DE、DF、CG的數(shù)量有何關(guān)系？并證明你的猜想。思路點(diǎn)撥:尋求一題多解和多題一解是掌握規(guī)律的捷徑解析：結(jié)論：DE+DF=CG方法一：（截長(zhǎng)法）板書(shū)此種方法（3分鐘） 作DMCG于M DEAB，CGAB，DMCG 四邊形EDMG是矩形 DE=GM DM/AB MDC=B AB=AC B=FCD MDC=FCD 而DMCG，DFAC DMC=CFD 在MDC