[轉帖]第五屆全國高中數(shù)學青年教師觀摩與評比活動《三角函數(shù)的誘導公式》(天津李月英)doc高中數(shù)學

1、轉帖第五屆全國高中數(shù)學青年教師觀摩與評比活動三角函數(shù)的誘導公式 （天津李月英）doc高中數(shù)學?三角函數(shù)誘導公式?教學設計人教 A 版高中課標教材數(shù)學必修 4 第一章 1.3 節(jié)授課教師：李月英天津市靜?？h第一中學指導教師：李 民天津市靜?？h第一中學王雨池天津市靜?？h教育教學研究室何志平天津市靜?？h教育教學研究室2018 年 10 月三角函數(shù)的誘導公式（第一課時）教學設計授課教師：天津市靜海第一中學 李月英一、教學內容與內容解析三角函數(shù)的誘導公式是一般高中課程標準實驗教科書人教A版必修4第 一章第三節(jié)， 其要緊內容是三角函數(shù)的誘導公式中的公式二至公式六， 是三角函 數(shù)的要緊性質.學生在前面差不多

2、學習了誘導公式一和任意角的三角函數(shù)的定 義，這節(jié)課在此基礎上，連續(xù)學習公式二至公式四.三角函數(shù)的誘導公式是圓的 對稱性的代數(shù)表示，利用對稱性，讓學生自主發(fā)覺終邊分不關于原點或坐標 軸對稱的角的三角函數(shù)值之間的關系， 使得數(shù)與形得到緊密結合，成為 一個整體.通過簡單咨詢題的提出、誘導公式的發(fā)覺、咨詢題的解決，體會由未 知到的轉化， 為以后的三角函數(shù)求值、化簡、 簡單證明以及后續(xù)學習的三角函數(shù) 圖像和性質等知識打好基礎誘導公式的要緊用途是把任意角的三角函數(shù)值咨詢題轉化為求090角 的三角函數(shù)值.誘導公式的推導過程，表達了數(shù)形結合和復雜到簡單的轉 化的數(shù)學思想方法，反映了從專門到一樣的歸納思維形式

3、對培養(yǎng)學生的創(chuàng)新 意識、進展學生的思維能力， 把握數(shù)學的思想方法具有積極的作用.誘導公式的 學習和推證過程還表達了三角函數(shù)之間的內部聯(lián)系， 是定義的延伸與應用， 在本 章中起著承上啟下的作用.本節(jié)課的重點是誘導公式的探究， 運用誘導公式進行簡單函數(shù)式的求值與化 簡，提高對數(shù)學知識之間圓的對稱性與三角函數(shù)性質聯(lián)系的認識，把過去滲 透在具體數(shù)學內容中的重要的方法以集中的、 顯性的形式出現(xiàn)出來， 使學生更加 明確這些方法，并能在今后的學習中有意識地使用它們.二、教學咨詢題診斷分析在教師的組織和引導下學生以自主探究、動手實踐、合作交流的方式進行學 習.在學習中了解和體驗公式的發(fā)生、進展過程，讓學生領會

4、到誘導公式是前面 三角函數(shù)定義、單位圓對稱性等知識的連續(xù)和拓展，應用遷移規(guī)律， 引導學生聯(lián)想、類比、歸納推導公式.在教學中可能會遇到如下幾個咨詢題：1在利用多媒體引導學生從專門到一樣的學習過程中，部分學生認為只要 記住公式，會做題就能夠，對公式的推導重視不夠.為了盡量幸免這種情形的顯 現(xiàn)，我采納小組討論制，考慮到學生的個體差異，把強、中、弱合 理搭配，安排組長監(jiān)管收集討論的結果，記錄收集每一時期的過程材料.2角 的任意性，如何樣向學生交代清晰是這節(jié)課我一直摸索的咨詢題.為了解決那個咨詢題我自己利用幾何畫板制作教學課件， 通過用角終邊的任意一 點的拖動， 顯示三角函數(shù)值在各個象限的變化， 讓學生

5、明白角 不局限為第一象 限的角，它具有任意性，從而突破了難點.3公式的經歷也是個難點.專門是十字口訣更是明白得不深.關于幻燈片中 的公式，教師對比幾何畫板課件逐字逐句的分析， 讓其明白公式中的角是任意的， 而經歷時將其看成銳角.另外，反思學習過程時，體會角的終邊的對稱性與三角 函數(shù)值之間的關系也有利于公式的經歷.三、目標和目標解析一教學目標1.能借助三角函數(shù)的定義及單位圓的對稱性推導出誘導公式,會利用誘導公 式進行簡單的三角函數(shù)式的求值與化簡.2.通過誘導公式的推導過程，體會數(shù)形結合及轉化思想的運用.3.培養(yǎng)學生由專門到一樣的歸納意識，學會用聯(lián)系的觀點看待咨詢題.二目標解析在初中學生差不多學習

6、過關于原點、x軸以及y軸對稱的點的坐標的內在聯(lián) 系，同時前面學生能運用三角函數(shù)的定義和公式一進行三角函數(shù)求值， 但關于任 意角的三角函數(shù)之間存在的聯(lián)系還不清晰， 或者只有一點模糊的感性認識 數(shù)學 課程標準強調： 學生要獲得必要的數(shù)學基礎知識和差不多技能， 明白得數(shù)學結 論的本質，了解概念、結論等產生的背景、應用，體會其中所包蘊的數(shù)學思想和 方法，以及它們在后續(xù)學習中的作用通過不同形式的自主學習、探究活動，體 驗數(shù)學發(fā)覺和制造的歷程因此，依照課程標準、教材的特點、對本節(jié)課的教 學要求以及學生的認知水平，從三個不同的方面確定了教學目標依照教學內容的結構特點及教學目標，本節(jié)課采納了咨詢題發(fā)覺 歸納類

7、比的教學方法和自主探究小組合作的學習方式.由咨詢題 驅動，通過誘導公式二至四的探究， 概括得到誘導公式的特點， 提高對數(shù)學內部 關聯(lián)的認識， 明白得求任意角三角函數(shù)值所表達出來的化歸思想， 培養(yǎng)學生的探 究能力.教學目標實現(xiàn)過程：1利用已有知識導出新的咨詢題，創(chuàng)設咨詢題情境，引起學生學習愛好， 激發(fā)學生的求知欲，達到以舊拓新的目的.2由特例 (180 30 )與30 (360 30 )與30， (180 30 )與30的關系 提出咨詢題，啟發(fā)學生的思維， 引導他們分析角的終邊對稱關系， 利用定義進行 推導得到公式二， 再利用多媒體動態(tài)演示，使學生對 為任意角的認識自然 合理.之后如法炮制公式三

8、、四，通過聯(lián)想，類比、方法遷移，學生專門輕松的 發(fā)覺公式，每小組積極發(fā)言同時通過實物展臺展現(xiàn)交流，發(fā)覺任意角 與 (180)， ， (180 )三角函數(shù)值的關系，體會了從專門到一樣的歸納推理過程，使學生的思維得到科學訓練，有助于培養(yǎng)學生的概括能力和創(chuàng)新能力.3采納咨詢題設疑，觀看演示，步步深入，逐層引導，探究合作的教學方 法，旨在讓學生充分感受和明白得知識的產生和進展過程.在教師適時的啟發(fā)點 撥下，學生在類比、歸納的過程中積極主動地去探究、發(fā)覺數(shù)學規(guī)律公式 ， 培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神.通過引導學生探究并發(fā)覺公式，將發(fā)覺與證明 合為一體，表達了數(shù)形結合的思想方法.4通過例1和變式，把誘導公

9、式一 、二、三、四的應用進一步 拓廣，進展學生的思維能力和運算能力.例2的擴展讓學生認識到公式的有用性 和學習的必要性.本節(jié)課的教學設計力求表達 咨詢題性、科學性與思想性，以 多媒體為輔助手段，采納教師為主導學生為主體的啟發(fā)式與探究式相結合的方 法，使學生歡樂地學習.三、教學支持條件分析在進行本節(jié)課的教學時， 學生差不多學習了三角函數(shù)的定義、 各象限角的三 角函數(shù)值的符號和公式一， 這些內容是學生明白得、 歸納公式二至公式四的基礎， 因此教學時應充分注意利用這一有利條件，引導學生多進行歸納與概括.另外， 信息技術的使用也為突破教學難點、 啟發(fā)學生思維、 增加課堂容量提供了有力的 支持.五、教學

10、過程設計一創(chuàng)設咨詢題情境師生活動：教師提咨詢，學生摸索、回答，學生口述的同時，教師加以引導 并用幻燈片展現(xiàn).咨詢題1：1各象限內三角函數(shù)值的符號是什么？只討論正弦、余弦、正切2任意角的三角函數(shù)的定義是什么？3公式一的內容與作用是什么？1咨詢題2: sin30 -,如何求 sin210 ,sin330 ,sin150 的值.教師引導：能否再把0360間的角的三角函數(shù)，化為我們熟悉的090間的角的三角函數(shù)咨詢題呢？這節(jié)課我們就來學習和研究如此的咨詢 題.【設計意圖】通過復習舊知，為新知識的學習打下基礎.專門是各象限三角 函數(shù)的符號，關于誘導公式經歷起關鍵作用.提出的新咨詢題，引導學生進一步 摸索，

11、激起學生們的愛好（二）探究開發(fā)新結論教師引導：為了解決以上咨詢題，我們采納各個擊破的方法第一看210 30 180，假如我們明白一個任意角 與（n+）三角函數(shù)值的關系，咨 詢題就解決了.探究一：任意角 與（n+）三角函數(shù)值的關系.咨詢題3：1與（n+）角的終邊關系如何？互為反向延長線或關于原點對稱2設 與（n+）角的終邊分不交單位圓于點P1,P2,那么點R與R位置關 系如何？關于原點對稱3設點R（x，y），那么點P2的坐標如何樣表示？ P2（x，y）4sin與sin（n+），cos與cos（n+），tan與tan（n+）的關 系如何？通過探究，歸納成公式sin nsincos ncos- -公

12、式tan n tansin 210 si n(30180) sin30【設計意圖】公式二的三個式子中,sin(n)詢題，由于方法及思路差不多上未知的，因此采取教師引導，師生合作共同完 成方法.通過腳手架式的層層提咨詢，引導學生自主推導誘導公式二，讓學生 體驗證明猜想的樂趣，凸顯學生學習的主體地位同時，試圖通過環(huán)環(huán)相扣的咨 詢題給學生傳遞由宏觀到微觀考慮咨詢題的思維適應，從而達到授人以 漁的目的.后兩個均由學生類比討論完成.學生活動：小組討論，代表發(fā)言交流.咨詢題4:公式中的角 僅是銳角嗎？【設計意圖】課前提咨詢的咨詢題是以30引入的，之后的討論只是用代數(shù)方法換成了一樣形式的角，有些同學確信會有

13、如此的疑咨詢，因此那個咨詢題的解決好，確實是突破難點的關鍵.引導學生互相討論，交流能夠使學生經歷更深刻.師生活動：演示幾何畫板課件，第一作出第一象限的任意角，之后得到相應 的三角函數(shù)值，拖動其終邊上任意點，再讓學生觀看每一象限內三角函數(shù)值的符 號和它們之間存在的對稱關系，從而驗證了猜想，使學生更好的明白得了那個公 式.【設計意圖】通過多媒體演示，發(fā)覺變化規(guī)律，從而總結出三角函數(shù)的誘導 公式.類比第一個咨詢題的解決方法，我們再來解決后面的兩個咨詢題.觀看33036030，由公式一知330的終邊與30的終邊相同，因此我們必須明白一個任意角 與(-)三角函數(shù)值的關系.探究二：任意角與(-)三角函數(shù)值

14、的關系.咨詢題5:1與()角的終邊位置關系如何？(關于x軸對稱)2設 與()角的終邊分不交單位圓于點Pl，P2點Pl與R位置關系如何(關 于x軸對稱)sin是第一個解決的咨3設點Pi(x,y)，那么點P的坐標如何樣表示？P2(x,y)4sin與sin()，cos通過探究，歸納成公式sin欲望，讓他們既動腦又動手，讓學生參與教學活動.讓學生體驗數(shù)與形的關系,嘗試自主探究的樂趣教師引導：那150180 30，我們須知 與(n)的三角函數(shù)值的關系, 同學們連續(xù)發(fā)揮聰慧才智解決它吧!探究三： 與(n)的三角函數(shù)值的關系.咨詢題6:1與(n)角的終邊位置關系如何？(關于y軸對稱)2設 與(n)角的終邊分

15、不交單位圓于點Pl,R點Pl與P2位置關系如何？(關于y軸對稱)3設點Pi(x,y)，那么點P的坐標如何樣表示？P2(- x,y)4sin與sin(n),cos與cos(n),tan與tan(n)關系如何？通過探究，歸納成公式sin nsincos ncos -公式四tan ntansin150sin( 180 30 )1sin 30-【設計意圖】與探究二的教法相同，學生分組討論，嘗試推導公式，教師巡 視，及時反饋、矯正、講評采納 合作學習有助于觀看的多種方式的出現(xiàn)，通 過學生多角度的觀與cos(),tan與tan()關系如何?sincoscos公式tantansin330 sin(36030

16、 )sin( 30 ) sin3012.完成由角的終邊點的對稱性得【設計意圖】通過學生自主探究與合作交流，到公式的過程，充分調動學生學習的積極性和激發(fā)學生的參與、探究和體驗的看所得到結論的交流，讓學生感受數(shù)學美和發(fā)覺規(guī)律公式的歡樂，激發(fā)學生更積極地去查找規(guī)律、認識規(guī)律.同時讓學生感受到只要做個 有心人，發(fā)覺規(guī)律并非難事(三)總結概括新結論師生活動：為了更好的使學生們把自己的研究成果經歷牢靠，師生共同大聲朗讀這四組公式.三角函數(shù)的誘導公式公式一： si n(2knsin ,cos(2kncos ,tan(2kntan (k Z),公式二： si n()sin ,cos( )cos ,ta n()

17、tan .公式三：sin(n)sin ,cos(n)cos,tan(n)tan .公式四： sin(n)sin ,cos(n)cos ,tan(n)tan講明：公式中的 指使公式兩邊有意義的任意一個角.咨詢題7:你能用一句話概括公式一、二、三、四嗎？為了讓學生更好的經歷公式，通過幻燈片展現(xiàn)，猜想驗證，假如把角 看成銳角,2kn n,n, 分不位于第一、二、三、四象限，由課前提咨詢各象限內 三角函數(shù)值的符號，學生能夠試著表達.師生活動：總結概括公式一、二、三、四：2kn(k Z),n, 的三角函數(shù)值，等于 的同名函數(shù)值，前面加上一 個把 看成銳角時原函數(shù)值的符號公式特點：函數(shù)名不變，符號看象限【

18、設計意圖】逐步明白得十字口訣含義，同時訓練學生的概括能力(四)鞏固應用結論例1求以下三角函數(shù)值：3 ,、6) ;4cos( 2040 )分析：先將不是02 n范疇內角的三角函數(shù)，轉化為02 n范疇內的角的師生活動：學生板書，教師巡視，糾正錯誤.1cos225;2sin1;3sin(三角函數(shù)利用誘導公式一或先將負角轉化為正角然后再用誘導公式化到0才范疇內角的三角函數(shù)的值解：1cos 225cos(18045 )cos452 .2.11 n .一sinsi n(4n、n)sinJ33323sin().16nsinsin(5n*(sin )333324cos( 2040 )cos2040cos(6

19、360120 )=cos120cos(18060 )cos601.2咨詢題8用誘導公式可將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，其一樣 步驟是什么？學生大膽講，互相討論1化負角的三角函數(shù)為正角的三角函數(shù)；2化大于2n的正角的三角函數(shù)為02 n內的三角函數(shù)；3化02 n內的三角函數(shù)為銳角的三角函數(shù).1變式：是第三象限的角且sin-，求 sin(n), sin(冗)學生口答3【設計意圖】在得到誘導公式后，在此讓學生獨立去實踐解決咨詢題，一樣情形下，1、2小題都能專門快解決，只是到了第3、4小題時，條件變化稍復 雜一些，同學們就會顯現(xiàn)思維障礙，需及時引導他們去進行角的轉化，在實踐 中體會誘導公式在解題過程中的應用，使任意一個角都轉化為他們所熟知的銳 角，體會從未知到的化歸思想，從而為總結出解題的一樣步驟埋下伏筆.變式是為了讓學生進一步明白得公式中角的任意性而設立.例2化簡旦型36匚.sin( 180 ) cos( 180)學生板書解：sin( 180) sin (180)sin( 180