專題復(fù)習(xí)中考數(shù)學(xué)歸納與猜想(含答案)

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載專題復(fù)習(xí)歸納與猜想歸納與猜想問題指的是給出一定條件（可以是有規(guī)律的算式、圖形或圖表），讓學(xué)生認(rèn)真分析，仔細(xì)觀察，綜合歸納，大膽猜想，得出結(jié)論，進(jìn)而加以驗(yàn)證的數(shù)學(xué)探索題。其解題思維過程是：從特殊情況入手探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律綜合歸納猜想得出結(jié)論驗(yàn)證結(jié)論，這類問題有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和創(chuàng)造性。一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖猜想數(shù)式規(guī)律猜猜想規(guī)律型猜想圖形規(guī)律想性猜想數(shù)值結(jié)果問題猜想結(jié)論型猜想數(shù)量關(guān)系猜想變化情況二、基礎(chǔ)知識(shí)整理猜想規(guī)律型的問題難度相對(duì)較小，經(jīng)常以填空等形式出現(xiàn)，解題時(shí)要善于從所提供的數(shù)字或圖形信息中，尋找其共同之處，這個(gè)存在于個(gè)例中的共性，就是規(guī)律。其中蘊(yùn)含著“特殊一般特殊”的常用

2、模式，體現(xiàn)了總結(jié)歸納的數(shù)學(xué)思想，這也正是人類認(rèn)識(shí)新生事物的一般過程。相對(duì)而言，猜想結(jié)論型問題的難度較大些，具體題目往往是直觀猜想與科學(xué)論證、具體應(yīng)用的結(jié)合，解題的方法也更為靈活多樣：計(jì)算、驗(yàn)證、類比、比較、測(cè)量、繪圖、移動(dòng)等等，都能用到。由于猜想本身就是一種重要的數(shù)學(xué)方法，也是人們探索發(fā)現(xiàn)新知的重要手段，非常有利于培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力，所以備受命題專家的青睞，逐步成為中考的又一熱點(diǎn)。 范例精講【歸納與猜想】例 1【河北實(shí)驗(yàn)區(qū) 05】觀察右面的圖形（每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)均為 1）和相應(yīng)等式，探究其中的規(guī)律： 1× 11 12 2 2× 232 23 3× 343 34 4

3、× 454 45優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載寫出第五個(gè)等式，并在右邊給出的五個(gè)正方形上畫出與之對(duì)應(yīng)的圖示：猜想并寫出與第n 個(gè)圖形相對(duì)應(yīng)的等式。解： 5×5 5 566nnn n。n 1n1例 2歸納猜想型將一張正方形紙片剪成四個(gè)大小形狀一樣的小正方形，然后將其中的一片又按同樣的方法剪成四小片， 再將其中的一小片正方形紙片剪成四片，如此循環(huán)進(jìn)行下去，將結(jié)果填在下表中，并解答所提出的問題：所剪次數(shù)12345正方形個(gè)數(shù)47101316如果能剪100 次，共有多少個(gè)正方形？據(jù)上表分析，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？如果剪n 次共有 A n 個(gè)正方形，試用含n、 A n 的等式表示這個(gè)規(guī)律；利用上面得

4、到的規(guī)律，要剪得22 個(gè)正方形，共需剪幾次？能否將正方形剪成2004 個(gè)小正方形？為什么？若原正方形的邊長(zhǎng)為1，設(shè) an 表示第 n 次所剪的正方形的邊長(zhǎng)， 試用含 n 的式子表示an；試猜想a1 a2 a3 an 與原正方形邊長(zhǎng)的關(guān)系，并畫圖示意這種關(guān)系解： 100× 3 1 301，規(guī)律是：本次剪完后得到的小正方形的個(gè)數(shù)比上次剪完后得到的小正方形的個(gè)數(shù)多 3 個(gè)；A n 3n 1；若 A n 22，則 3n 1 22， n 7，故需剪7 次；若 A n 2004，則 3n1 2004，此方程無自然數(shù)解，1不能將原正方形剪成2004 個(gè)小正方形；1 an 2n；a1a2a3 a1

5、11， a1 a2 1 1 3 1， a1a2 a3 1 11 7 1，從而猜想到：22442488a1 a2 a3 an 1. 直觀的幾何意義如圖所示。例 3【安徽實(shí)驗(yàn)區(qū)05】下圖中，圖是一個(gè)扇形AOB ，將其作如下劃分：第一次劃分：如圖所示，以 OA 的一半 OA 1 為半徑畫弧，再作 AOB 的平分線，得到扇形的總數(shù)為 6 個(gè)，分別為：扇形 AOB 、扇形 AOC 、扇形 COB 、扇形 A 1OB 1、扇優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載形 A 1OC1 、扇形 C1OB1；第二次劃分：如圖所示，在扇形C1OB1 中，按上述劃分方式繼續(xù)劃分，可以得到扇形的總數(shù)為 11個(gè)；第三次劃分：如圖所示；依次劃

6、分下去.CCC1C1AB AB ABA1B 1A1B 1OOO圖圖第一次劃分圖第二次劃分圖第三次劃分根據(jù)題意，完成下表：劃分次數(shù)扇形總個(gè)數(shù)16211316421n5n 1根據(jù)上表，請(qǐng)你判斷按上述劃分方式，能否得到扇形的總數(shù)為2005 個(gè)？為什么？解：由 5n 1 2005，得 n20045 ， n 不是整數(shù)，不可能。優(yōu)化訓(xùn)練1 【煙臺(tái) 03，橋西 03 04】如圖，細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問題：21A 5 1A41A3（ 1） 12S1 211A 2（ 2） 213S2 2S4 S3A6S5S22S11（ 3） 214S3 3O 1A 12請(qǐng)用含有 n（n 是正整數(shù)）的等式表示上述

7、變化規(guī)律；推算出 OA 10 的長(zhǎng)；求出 S2S 2 S2 S2的值12310解：（ n） 2 1 n 1， Sn n； 2 OA 11， OA 22， OA 33， OA 1010；優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載2222155S1 S2 S3 S10 4（1 2 3 10）42 【江蘇泰州04】觀察圖1 至圖 5 中小黑點(diǎn)的擺放規(guī)律，并按照這樣的規(guī)律繼續(xù)擺放，記第 n 個(gè)圖中的小黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)為y.圖 1圖 2圖 3圖 4圖 5解答下列問題：填表：n12345y1371321當(dāng) n 8 時(shí)， y 57 ；你能猜想 y 與 n 之間的關(guān)系式嗎？你是怎么得到的，請(qǐng)與同伴交流；下邊給出一種研究方法。請(qǐng)你根據(jù)上表

8、中的數(shù)據(jù)，把n 作為橫坐標(biāo)，把y 作為縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的各點(diǎn)（n， y） . 猜一猜上述各點(diǎn)是否在某一函數(shù)的圖象上？如果在某一函數(shù)的圖象上，請(qǐng)你求出該函數(shù)的關(guān)系式。解：觀察 y 這一行，后面的數(shù)比前一個(gè)數(shù)依次增大2， 4，6， 2（ n 1），所以當(dāng) n 5 時(shí)， y 132（ 5 1） 21；由知，當(dāng) n 8 時(shí)， y 21 1012 1457；略；根據(jù)點(diǎn)的排列情況，在一條曲線上，猜想是拋物線，圖象略。設(shè)二次函數(shù)的解析式為yax2 bx c，由（ 1， 1）、（ 2， 3）、（ 3， 7）三點(diǎn)可得，a b c 1a 1y x2 x 1.，解得b1，故所求的函數(shù)關(guān)系式為4a2

9、b c 39a3b c 7c 1反思 ：?jiǎn)栴}通過從“特殊”到“一般”的歸納過程來探究規(guī)律結(jié)果，先在坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)的位置，再依據(jù)點(diǎn)的位置特征判斷變量之間可能的關(guān)系，最后根據(jù)猜想求解，這正是“課標(biāo)”倡導(dǎo)的思想。23 一個(gè)自然數(shù) a 恰等于另一個(gè)自然數(shù) b 的平方，則稱自然數(shù) a 為完全平方數(shù)， 如 64 8 ， 64 就是一個(gè)完全平方數(shù)若 a 20022 20022× 20032 2003 2，求證： a 是一個(gè)完全平方數(shù)，并寫出 a 的平方根解：先從較小的數(shù)字探索：a1 12 12× 22 22 32（ 1× 2 1） 2， a2 22 22× 32 3

10、2 72（ 2× 3 1） 2，a3 32 32× 42 42 132（ 3× 4 1）2，a4 4242× 52 52 212（4× 5 1）2，優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載于是猜想： a 20022 2002 2× 20032 20032（ 2002× 2003 1） 2（ 4010007） 2，證明采用配方法（略） 推廣到一般，若n 是正整數(shù)，則a n2 n2 （ n 1） 2（ n 1） 2 是一個(gè)完全平方數(shù) n（n 1） 1 2解題策略 ：猜想是數(shù)學(xué)中重要的思想和方法之一。較大的數(shù)字問題可仿較小數(shù)字問題來處理， 實(shí)現(xiàn)了以簡(jiǎn)

11、馭繁的策略。 在解題時(shí)， 如果你不能解決所提出的問題，可先解決 “一個(gè)與此有關(guān)的問題” 。你能不能想出一個(gè)更容易著手的問題？一個(gè)更普遍的問題？一個(gè)更特殊的問題？你能否解決這個(gè)問題的一部分？這就是數(shù)學(xué)家解題時(shí)的“絕招”。4 【福建龍巖 05】下列是由同型號(hào)黑白兩種顏色的正三角形瓷磚按一定規(guī)律鋪設(shè)的圖形仔細(xì)觀察圖形可知：圖有 1 塊黑色的瓷磚，可表示為1( 11)1 ；2圖有3 塊黑色的瓷磚，可表示為12(12 )2 ；圖圖圖圖2圖有6 塊黑色的瓷磚，可表示為 123( 13) 3；2實(shí)踐與探索：請(qǐng)?jiān)趫D的虛線框內(nèi)畫出第4 個(gè)圖形；（只須畫出草圖）第 10 個(gè)圖形有塊黑色的瓷磚； （直接填寫結(jié)果）第

12、 n 個(gè)圖形有塊黑色的瓷磚 （用含 n 的代數(shù)式表示）解：如右圖；55， 1n（ n1）（ n 為正整數(shù)）；25 【歸納猜想】觀察下列圖形，如圖所示，若第1 個(gè)圖形中的空白面積為1，第 2個(gè)圖形中非陰影部分的面積為3，第 3 個(gè)圖形中非陰影部分的面積為9 ，第4 個(gè)圖形中非416陰影部分的面積為 27，探究：第n 個(gè)圖形中非陰影部分的面積為多少（用字母n64表示）？?jī)?yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載332 1；解：當(dāng) n 1 時(shí)， S1；當(dāng) n2 時(shí)， S （ ）44當(dāng) n3 時(shí)， S 9 （ 3） 3 1；當(dāng) n 4 時(shí)， S 27（ 3） 4 1；164644所以，第 n 個(gè)圖形中非陰影部分的面積為（3

13、） n 1；4點(diǎn)撥 ：認(rèn)真分析n、 S 與 34三者之間存在的內(nèi)在關(guān)系探求其規(guī)律。6 【青島 03】隨著信息技術(shù)的高速發(fā)展，電話進(jìn)入了千家萬戶，據(jù)調(diào)查某校初三班的同學(xué)家都裝上了電話，暑假期間全班每?jī)蓚€(gè)同學(xué)都通過一次電話，如果該班有56 名同學(xué)，那么同學(xué)們之間共通了多少次電話？為解決該問題， 我們可把該班人數(shù)n 與通電話次數(shù)s 間的關(guān)系用下列模型來表示：若把 n 作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)， s 作為縱坐標(biāo)，根據(jù)上述模型中的數(shù)據(jù)，在給出的平面直角坐標(biāo)系中，描出相應(yīng)各點(diǎn)， 并用平滑的曲線連接起來；根據(jù)圖中各點(diǎn)的排列規(guī)律， 猜一猜上述各點(diǎn)會(huì)不會(huì)在某一函數(shù)的圖象上？如果在，求出該函數(shù)的解析式；根據(jù)中得出的函數(shù)關(guān)系

14、式，求該班 56 名同學(xué)間共通了多少次電話解：略；根據(jù)圖中各點(diǎn)的排列規(guī)律， 猜想各點(diǎn)可能在一個(gè)二次函數(shù)的圖象上，用待定系數(shù)法可求得s1n2 1n；22當(dāng) n 56 時(shí)， s 1540；7 【大連課改1111105】在數(shù)學(xué)活動(dòng)中， 小明為了求223242n 的值（結(jié)果用22n 表示），設(shè)計(jì)如圖1 所示的幾何圖形。1請(qǐng)你利用這個(gè)幾何圖形，1111112求2223242n 的值為；22 2112324請(qǐng)你利用圖2，再設(shè)計(jì)一個(gè)能求圖1圖2優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載1111122223242n 的值的幾何圖形。1解：（1）1；n2（ 2）如圖 1 或如圖 2 或如圖 3 或如圖 4 等，圖形正確。121112

15、22 211231112 42 42232121223112322128 【 2004 全國初中競(jìng)賽湖北賽區(qū)預(yù)賽，貴陽實(shí)驗(yàn)區(qū)05】如圖，正方形表示一張紙片，根據(jù)要求需多次分割，把它分割成若干個(gè)直角三角形操作過程如下：第一次分割，將正方形紙片分成4 個(gè)全等的直角三角形，第二次分割將上次得到的直角三角形中一個(gè)再分成4 個(gè)全等的直角三角形；以后按第二次分割的作法進(jìn)行下去請(qǐng)你設(shè)計(jì)出兩種符合題意的分割方案圖；設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，請(qǐng)你就其中一種方案通過操作和觀察將第二、第三次分割后所得的最小的直角三角形的面積S 填入下表：分割次數(shù)n123最小直角三角形的面積12Sa4在條件下，請(qǐng)你猜想：分割所得的最小直角

16、三角形面積S 與分割次數(shù) n 有什么關(guān)系？用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出來解：現(xiàn)提供如下三種分割方案：每次分割后得到的最小直角三角形的面積都是上一次最小直角三角形面積的1 ，所4以當(dāng) n 2 時(shí)， S2 1 × 1 a2 1 a2；當(dāng) n 3 時(shí)， S3 1 S2 1a2；4416464當(dāng)分割次數(shù)為 n 時(shí)， Sn1 a2 （n 1，且 n 為正整數(shù)） 4n9 【徐州 04】下面的圖形是由邊長(zhǎng)為1 的正方形按照某種規(guī)律排列而組成的優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載觀察圖形，填寫下表：圖形正方形的個(gè)數(shù)81318圖形的周長(zhǎng)182838推測(cè)第 n 個(gè)圖形中，正方形的個(gè)數(shù)為 5n 3 ，周長(zhǎng)為 10n8 （都用含 n

17、 的代數(shù)式表示）；這些圖形中，任意一個(gè)圖形的周長(zhǎng)y 與它所含正方形個(gè)數(shù)x 之間的關(guān)系式為y2x 2 10【福建南平實(shí)驗(yàn)區(qū)05】定義：若某個(gè)圖形可分割為若干個(gè)都與他相似的圖形，則稱這個(gè)圖形是自相似圖形。探究：一般地， “任意三角形都是自相似圖形”，只要順次連結(jié)三角形各邊中點(diǎn)，則可將原三角形分割為四個(gè)都與它自己相似的小三角形。我們把DEF （圖乙）第一次順次連結(jié)各邊中點(diǎn)所進(jìn)行的分割，稱為 1 階分割（如圖 1）；把 1 階分割得出的4 個(gè)三角形再分別順次連結(jié)它的各邊中點(diǎn)所進(jìn)行的分割，稱為2 階分割（如圖2）依次規(guī)則操作下去。n 階分割后得到的每一個(gè)小三角形都是全等三角形（n 為正整數(shù)），設(shè)此時(shí)小三

18、角形的面積為Sn.若 DEF 的面積為 10000，當(dāng) n 為何值時(shí)， 2 Sn 3？（請(qǐng)用計(jì)算器進(jìn)行探索，要求至少寫出三次的嘗試估算過程）當(dāng) n 1 時(shí)，請(qǐng)寫出一個(gè)反映Sn1， Sn， Sn 1 之間關(guān)系的等式（不必證明）。解： DEF 經(jīng) n 階分割所得的小三角形的個(gè)數(shù)為1， S 100004nn4n當(dāng) n5 時(shí)， S 10000 9. 77；5S5當(dāng) n6 時(shí)， S 10000 2. 44；6S6優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載當(dāng) n7 時(shí)， S7 10000 0. 61；S7當(dāng) n 6 時(shí)， 2 S6 3； S n2 S n 1 × S n 1 ；（寫出 S n 1 4S n ， S n

19、 4S n1可得 2分）11【福建三明 04】據(jù)我國古代周髀算經(jīng)記載，公元前1120 年商高對(duì)周公說，將一根直尺折成一個(gè)直角，兩端連結(jié)得一個(gè)直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五。后人概括為“勾三、股四、弦五”。觀察： 3， 4， 5； 5， 12， 13； 7， 24， 25；，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾 都是奇數(shù)，且從 3 起就沒有間斷過。計(jì)算1（ 9 1）、1（ 9 1）與 1（ 25 1）、 1（ 25 1），2222并根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，分別寫出能表示7， 24， 25 的股和弦 的算式； 根據(jù)的規(guī)律， 用 n（ n 為奇數(shù)且、 n 3）的代數(shù)式來表示所有這些勾股數(shù)的勾股、弦，合情猜想他們之間二種相等關(guān)系并對(duì)其中一種猜想加以證明； 繼續(xù)觀察4，3，5；6，8， 10；8， 15， 17；，可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，且從4 起也沒有間斷過。運(yùn)用類似上述探索的方法，直接用m（ m 為偶數(shù)且m4）的代數(shù)式來表示他們的股和弦 。 【考生注意】 ：除第小題中已發(fā)現(xiàn)的相等關(guān)系之外，你還有其他新的發(fā)現(xiàn)，并能正確證明，將酌情另加1 3分。分析 ：本題是研究勾股數(shù)，考查學(xué)生觀察、分析、類比、猜想、驗(yàn)證和證明。解： 12（ 9 1） 4， 12（9 1） 5； 12（ 25 1） 12， 12（ 25 1） 13； 7，24