Wishart矩陣的和在精確與近似特征值下的分布

1、Wishart矩陣的和在精確與近似特征值下的分布Santosh Kumar, Gabriel Fernando Pivaro, Gustavo Fraidenraich, and Claudio Ferreira Dias摘要： Wishart 矩陣的和在利用波束元素的多用戶通信中有重要作用，如多輸入多輸出 (MIMO) 、多址接入信道 (MAC)、 MIMO 中繼信道和其他的使用隨機(jī)矩陣描述的數(shù)學(xué)模型的多用戶通信。在本文中，對復(fù)雜的Wishart分布矩陣的線性組合分布進(jìn)行了研究。我們對一種K復(fù)數(shù)的中央Wishart矩陣加權(quán)值的特征值分布的邊際分布提出了一種新的封閉形式的表達(dá)式的，其協(xié)方差矩陣

2、與單位矩陣成比例。表達(dá)式是一般的，并允許任何一組的線性系數(shù)。作為應(yīng)用實(shí)例，我們已經(jīng)使用邊際分布表達(dá)式來獲取 MIMO MAC 網(wǎng)絡(luò)的遍歷總和率容量和MIMO 中繼的情況下的割集上限，這兩個(gè)都是封閉形式的表達(dá)式。我們還提出了一個(gè)非常簡單的表達(dá)式把Wishart 矩陣的和近似為一個(gè)等效的Wishart 矩陣。我們所有的研究結(jié)果都通過Monte Carlo 模擬驗(yàn)證。不出所料，精確特征值分布與模擬仿真是一致的，然而對于近似解其中的差異無法區(qū)分。關(guān)鍵字：Wishart矩陣的和、特征值分布、多輸入多輸出、遍歷總和容量、Meijer-G函數(shù)1、簡介A、隨機(jī)矩陣和MIMO單用戶關(guān)系隨機(jī)矩陣?yán)碚撘呀?jīng)演變成一個(gè)

3、真正的多學(xué)科課題及其在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用，包括通信理論、 量子傳輸、量子聲動(dòng)力學(xué)、量子信息理論，弦理論、 經(jīng)濟(jì)物理學(xué)、 數(shù)論等 1。為用矩陣的形式來描述相關(guān)物理系統(tǒng)的運(yùn)算符提供了并且使用它的性質(zhì)來解決比較難得問題。通信理論是隨機(jī)矩陣?yán)碚摦a(chǎn)生巨大沖擊的突出領(lǐng)域之一。在Winters2、Foschini3和Telatar4工作之后，隨機(jī)矩陣在無線通信領(lǐng)域中獲得特別關(guān)注。他們已經(jīng)使用多根天線來增加有限帶寬系統(tǒng)的容量。在所有情況下，數(shù)學(xué)工具矩陣被用來進(jìn)行分析。在Telatar的文獻(xiàn)4中，已經(jīng)展示了多輸入多輸出（MIMO）點(diǎn)對點(diǎn)遍歷信道的容量。他表明，可以使用James 6 提出的聯(lián)合特征值的概率密度函數(shù)，

4、而不是處理一個(gè)Wishart分布矩陣 5 的聯(lián)合概率密度函數(shù)，這對于小的維度也是不容易處理的。這種簡化是可能的，其考慮到信道容量的酉不變性質(zhì)和其他通常用來描述多輸入多輸出系統(tǒng)的參數(shù)。Telatar的開拓性工作是第一個(gè)建立了 MIMO 通信和隨機(jī)矩陣?yán)碚撝g的連接。此后，對Wishart 矩陣性質(zhì)的探索和理解的興趣越來越大。作為Hermitian矩陣的一個(gè)特例，Wishart矩陣的出現(xiàn)是在MIMO系統(tǒng)受到萊斯和瑞利衰落。如上文所述，可以借助 Wishart 矩陣 4，7 的特征值分布統(tǒng)計(jì)預(yù)測 MIMO 系統(tǒng)的性能。例如，在MIMO系統(tǒng)的信道矩陣涉及Wishart矩陣，其特征值統(tǒng)計(jì)引起MIMO信道

5、的遍歷容量的知識 4 。另一方面，最大和最小特征值的分布可以用來分析MIMO的最大比合并系統(tǒng)和MIMO天線選擇技術(shù)的性能 7 。8 中作者顯明在任意秩萊斯信道下采用多通道波束形成的MIMO 系統(tǒng)的誤碼率 (SER) 性能由子信道SER控制，其對應(yīng)于最小信道的奇異值。他們的研究結(jié)果是基于邊緣復(fù)雜的非中心Wishart矩陣特征值的分布。由于在慢衰落的情況下，確定的遍歷容量是不可行的，一個(gè)度量單位的中斷概率是必需的用來評估系統(tǒng)的性能 9 。中斷概率與Wishart矩陣的累計(jì)特征值分布函數(shù)相關(guān) 4 ， 8 ， 10 。由于無線信道的物理性質(zhì)和所有可能的天線陣列安排，對不同類型的Wishart矩陣進(jìn)行了

6、研究，如伴隨著瑞利和萊斯衰落的中心和非中心，分別對應(yīng)在發(fā)射端和接收端的天線相關(guān)性的不相關(guān)，半相關(guān)，雙相關(guān)， 11 12 。B、MIMO多用戶情況下的擴(kuò)展前面提到的所有的工作都關(guān)注MOMI單用戶信道，其大部分問題已經(jīng)解決了或至少很好理解 13 。然而，對于MIMO多用戶情況下仍存在許多的問題，諸如 MIMO 中繼信道的總?cè)萘?。在無線多用戶信道中，比在單用戶信道中單個(gè)用戶速率，我們通常更關(guān)注系統(tǒng)的整體信息率（容量） 14，15 。以這種方式，我們可以定義與聯(lián)合用戶性能相關(guān)聯(lián)的度量標(biāo)準(zhǔn)。例如，我們有對稱容量和總和容量。前者是在這兩個(gè)用戶可以同時(shí)進(jìn)行可靠通信的最大共同率；后者是可以實(shí)現(xiàn)的最大總吞吐量

7、9，可以被視為一個(gè)約束，用來限制每個(gè)用戶的個(gè)人速率。由于總?cè)萘糠从沉苏麄€(gè)系統(tǒng)的性能，這個(gè)指標(biāo)是從分析和實(shí)際的角度來看是很有趣的。可以從總?cè)萘棵Q中推斷出來，評估這個(gè)參數(shù)，我們必須把每個(gè)用戶的速率加起來。此操作將導(dǎo)致Wishart矩陣與多用戶系統(tǒng)中的每一個(gè)MIMO信道做相關(guān)的總和。例如，這種情況發(fā)生在兩個(gè)已知的多用戶信道中：（i）MIMO多接入信道（MAC），其中具有多個(gè)發(fā)射天線和多接收天線的k個(gè)用戶與一個(gè)目的地溝通15；及（ii）MIMO中繼信道，其中一個(gè)MIMO發(fā)射機(jī)與一個(gè)有MIMO中繼的MIMO接收機(jī)通信16。對于MIMO MAC總?cè)萘渴且粋€(gè)所需的度量性能 13 。C、論文上的貢獻(xiàn)基于前面

8、一節(jié)中我們關(guān)于總?cè)萘康挠懻?，在下文中，我們將分析此度量下快速衰落服從瑞利分布。因此，我們的目?biāo)是確定為 MIMO 多用戶情況下的遍歷總?cè)萘?。我們的想法是使用相同的單用戶案例框架。它意味著我們希望得到使?Wishart矩陣和的邊際特征值分布的遍歷總?cè)萘?。對于一個(gè)單用戶的情況下，對Wishart矩陣的特征值的概率密度函數(shù)是在 6 ，并自那時(shí)以來在Wishart分布變量的情況下取得了不少進(jìn)展。最近，對矩形隨機(jī)矩陣的乘積的結(jié)果出現(xiàn)在 17 和 18 ，作者研究了多重散射通信信道中的遍歷互信息。相比之下，Wishart矩陣和的特征值分布的研究進(jìn)展并沒有與此同步。雖然 Wishart 矩陣和的最知名結(jié)果

9、可以追溯到 20 世紀(jì) 60 年代，但是它是只適用于具體的案例，所有矩陣都具有相同的協(xié)方差矩陣 19;一般情況的任意協(xié)方差矩陣知道的不多。在 20，作者考慮了中央 Wishart 矩陣與正系數(shù)的線性組合。他們已經(jīng)提出近似線性組合分布。此外，在多元 Behrens-Fishen問題中，用類似的近似法來解 Wishart 矩陣的線性和21。其中作者有近似的單個(gè) Wishart 分布和，其通過確定相關(guān)聯(lián)的自由度和參數(shù)矩陣決定。在這個(gè)方向，最近的工作是，兩個(gè) Wishart矩陣之和與任意的協(xié)方差矩陣計(jì)算了精確的矩陣分布22。此外，當(dāng)一個(gè)Wishart 矩陣具有與單位矩陣成正比的協(xié)方差矩陣時(shí)，特征值統(tǒng)計(jì)

10、的清晰的結(jié)果已經(jīng)被算出。目前的工作，我們關(guān)注協(xié)方差矩陣正比于單位矩陣的任意數(shù)目中央 Wishart 矩陣總和的特征值統(tǒng)計(jì)信息。對于 MIMO MAC 信道，由于分析結(jié)果的缺乏，對于Wishart 矩陣和的聯(lián)合特征值概率密度函數(shù)，遍歷總和率容量永遠(yuǎn)不會得到的。然而，接收機(jī)和發(fā)射機(jī)的完善信道狀態(tài)信息(CSITR) 能很好地被研究。對于完善的CSIT和CSIR，系統(tǒng)可以看作一組平行非干擾的MIMO MAC。因此，遍歷容量區(qū)域可以作為這些平行的 MIMO MAC 容量區(qū)域獲得(見 13 和引用其中)。另一種方法是獲得總和遍歷容量的 MIMO MAC信道的漸近結(jié)果。這可以通過考慮接收天線數(shù)量和發(fā)射機(jī)數(shù)目

11、趨于無窮大13。為了解決這些具有挑戰(zhàn)性的問題，在第三節(jié)中我們提出了兩種不同的方法。第一種方法是Wishart矩陣和的邊際特征值分布的確切封閉式表達(dá)式的派生。此解決方案的主要思想是證明由于 K Wishart 矩陣的加權(quán)和，矩陣可以重寫為一個(gè)單一的矩陣和它的共軛轉(zhuǎn)置的結(jié)合。這導(dǎo)致 Wishart 矩陣恰好對應(yīng)于協(xié)方差矩陣，其中包括有關(guān)權(quán)重的信息。因此，其特征值分布遵循Wishart半相關(guān)矩陣原有的知識。我們第二次提出的解決方案是通過一個(gè)等效 Wishart 矩陣來近似K個(gè)獨(dú)立 Wishart矩陣的和。這種方法是基于等同累積的思想，在20一般協(xié)方差矩陣的情況下。我們發(fā)現(xiàn)了一種簡單和緊湊的封閉形式的

12、表達(dá)式，以確定此等效 Wishart 矩陣的自由度。為了證明我們建議的解決方案是有效的，我們選擇了兩個(gè) MIMO 多用戶場景，即 MIMO MAC 和MIMO中繼。首先，通過考慮任意一組參數(shù)，我們展示了Wishart矩陣和的Monte Carlo模擬的特征值分布完全由我們確切的表達(dá)式描述。然后，我們應(yīng)用我們近似找到了等效 Wishart 矩陣，并比較其特征值分布與模擬計(jì)算的結(jié)果。結(jié)果是很有前途的。我們向前邁進(jìn)了一步，在第四節(jié)我們展示了一種新的遍歷總和容量的封閉形式表達(dá)。此表達(dá)式作為輸入Wishart矩陣和的確切特征值分布或等效 Wishart矩陣的近似特征值分布。我們顯示分析遍歷總和率容量完全

13、匹配的仿真結(jié)果。所有這些結(jié)果在第五節(jié)顯示，并對第六節(jié)的結(jié)論提供了依據(jù)。除了上面提到的所有部分，我們在第二節(jié)中提出了關(guān)于 Wishart 矩陣的一些基本概念。2、預(yù)備知識在本節(jié)中我們Wishart 分布的定義講起，這取決于方差和的自由度參數(shù)。這些然后用于構(gòu)造符合我們的興趣的矩陣模型，即中央 Wishart 矩陣的加權(quán)和。反過來，這將用于在后面的部分我們問題相關(guān)指標(biāo)的概率密度函數(shù)的推導(dǎo)。一隨機(jī)的m維非負(fù)矩陣自由度為pi，WiCmi*mi，Wi的分布為 PWi(Wi) det(Wi)pimi exp ( tr i-1Wi) （1）成為復(fù)雜的中心Wishart分布6,23，其中 Wi CW mi(pi

14、, i). （2）這里i是協(xié)方差矩陣，det(·)和tr(·)表示行列式的值和跡。下面，我們認(rèn)為i = i 2Imi，這里Imi是m維單位矩陣。K維獨(dú)立矩陣的分布為（2），我們感興趣的是由他們各自的自由度歸一化的K矩陣和加權(quán)的特征值統(tǒng)計(jì)，即對于i Im，我們認(rèn)為i = 2Im這些定義，我們展示了關(guān)于W的特征值統(tǒng)計(jì)的準(zhǔn)確以及近似解。3、解決方案本節(jié)介紹了我們在確定加權(quán)K Wishart矩陣的特征值分布的貢獻(xiàn)。首先，我們提出了一種新的精確解析解。然后，我們提出了一個(gè)近似解代替加權(quán)K Wishart矩陣的等價(jià)矩陣的總和。A、 邊緣特征值分布的精確解析解本論文的主要結(jié)論如下。定理1

15、：W的特征值的邊緣密度如下：其中fj(v, ), gi(), hi,j(v)表示如下：這里(·)是Gamma函數(shù)，其定義是，歸一化c由下面獲得B、Wishart矩陣和的近似定理2：給出了各自自由度的歸一化的K Wishart矩陣和加權(quán)，我們提出以下的近似： 這里S CWms(ps, s), s = 2Im，·代表最近的整數(shù)。證明：近似計(jì)算的合理性如下。期待的值Wi如（2）， EWi = pii， （13）主要的對角元素的方差為 varWi(j, j) = pi4, (14)W值如下：主要的對角元素的方差為期望值為 主要的對角元素的方差為 這里我們注意到（15）和（17）、（

16、16）和（18）的相似之處。因此，在不同的Wishart矩陣分布的自由度中根據(jù)式（16）（18）規(guī)定一個(gè)關(guān)聯(lián)，并且對ps由（12）得到封閉的表達(dá)式。因?yàn)閜s與S的列數(shù)有關(guān)，它應(yīng)該是個(gè)整數(shù)，這就是為什么要取整。4、應(yīng)用一般，在衰落條件下的單個(gè)用戶通信所接收到的信號表達(dá)式在9中這里z CN (0, 1)是噪聲，x是高斯分布的輸入信號，其功率約束條件為|x|2 ai,h是信道增益。在此處，我們假設(shè)h CN （0, 2)，因此信道處于瑞利衰落中?，F(xiàn)在，假定來源有Mi個(gè)傳輸天線并且接收端有Ni個(gè)接受天線。因此，無線信道有Ni*Mi的矩陣Hi表示，且接收信號為 y = Hix + z （20）其中z CN

17、 (0, Imi)是高斯白噪聲，x CNMi，y CNNi，定義矩陣Wi為其中表示轉(zhuǎn)置共軛矩陣運(yùn)算。因此，Wi有實(shí)的非負(fù)的特征值。矩陣Wi表述如（2），pi = max(Mi, Ni)，mi = min(Mi, Ni)5、數(shù)值結(jié)果在本節(jié)中我們得到了封閉形式的數(shù)值結(jié)果和提出的近似。結(jié)果與Monte Carlo 模擬比較來驗(yàn)證解析表達(dá)式。對每一個(gè)仿真程序，進(jìn)行了 40,000 條信道模擬。在所有情況下，分析和仿真結(jié)果非常匹配。我們選擇了三種任意方案還有一個(gè)16中已知的方案?？紤]到圖1中的MIMO MAC情形，用戶K=5，每個(gè)有Mi=4個(gè)傳輸天線，其中i=1，K。目標(biāo)節(jié)點(diǎn)D有Nd=4個(gè)接收天線。目的

18、地處的歸一化信噪比（ai）任意選取，如表1（Case1）。邊緣特征值的分布如圖（2）。能觀察到仿真結(jié)果和分析結(jié)果匹配。近似遍歷總和率容量還分別使用等價(jià)矩陣S(ps = 13 的自由度)來計(jì)算并且顯示在表1的最后一列。近似計(jì)算特征值分布如圖2所示。注意如何關(guān)閉近似和遍歷總和率容量是精確值。圖（1）MIMO MAC信道系統(tǒng)模型。目的地（D）、Nd個(gè)接收天線，接收信號來自K個(gè)源，每個(gè)源有Mi個(gè)傳輸天線，i=1，K圖（2）CaseI中的 W特征值的邊緣分布。仿真結(jié)果與封閉的分析形式（紅線）匹配。提出的近似分布顯示為藍(lán)虛線，與實(shí)際結(jié)果匹配。在下一種情況下，我們增加用戶的數(shù)量K=10，MIMO為8*8。圖

19、（3）能觀察到仿真結(jié)果和分析結(jié)果匹配。從表1也能看出遍歷容量也匹配。以及圖（3）中的近似特征值分布。圖（3）CaseI中的 W特征值的邊緣分布。仿真結(jié)果與封閉的分析形式（紅線）匹配。提出的近似分布顯示為藍(lán)虛線，與實(shí)際結(jié)果匹配。遍歷容量最初的計(jì)算 16 中使用了凸規(guī)劃。使用的參數(shù)被描述在表1的CaseIII中并且圖 4給出了特征值分布的繪圖情況。圖 5顯示了帶有以下參數(shù)(a2 = 17.6，a3 = 16.7)的 MAC 信道的特征值分布。遍歷容量的上限如前所述，是BC和MAC容量的最小值，表1中給出。圖4 CaseIII(BC)中的 W特征值的邊緣分布。仿真結(jié)果與封閉的分析形式（線）匹配。圖5 CaseIII(MAC)中的W特征值的邊緣分布。仿真結(jié)果與封閉的分析形式（線）匹配。除了CaseIII，我們也再現(xiàn)了16圖（5）MIMO中繼信道的情形。這個(gè)情形是眾所周知的因?yàn)樯舷藓拖孪奘諗?。也就是說，MIMO 中繼信道在瑞利衰落下的遍歷容量可以在此信噪比條件下