模糊數(shù)學(xué) 第二章 模糊模式識別

1、12 F F模式識別模式識別 模式識別是科學(xué)、工程、經(jīng)濟、社會以至生活中模式識別是科學(xué)、工程、經(jīng)濟、社會以至生活中經(jīng)常遇到并要處理的基本問題。這一問題的數(shù)學(xué)模式經(jīng)常遇到并要處理的基本問題。這一問題的數(shù)學(xué)模式就是在已知各種標(biāo)準(zhǔn)類型就是在已知各種標(biāo)準(zhǔn)類型(數(shù)學(xué)形式化了的類型數(shù)學(xué)形式化了的類型)的前的前提下，判斷識別對象屬于哪個類型？對象也要數(shù)學(xué)形提下，判斷識別對象屬于哪個類型？對象也要數(shù)學(xué)形式化，有時數(shù)學(xué)形式化不能做到完整，或者形式化帶式化，有時數(shù)學(xué)形式化不能做到完整，或者形式化帶有模糊性質(zhì)，此時識別就要運用模糊數(shù)學(xué)方法。有模糊性質(zhì)，此時識別就要運用模糊數(shù)學(xué)方法。2 在科學(xué)分析與決策中，我們往往需

2、要將搜集到在科學(xué)分析與決策中，我們往往需要將搜集到的歷史資料歸納整理，分成若干類型，以便使用管的歷史資料歸納整理，分成若干類型，以便使用管理。當(dāng)我們?nèi)〉揭粋€新的樣本時，把它歸于哪一類理。當(dāng)我們?nèi)〉揭粋€新的樣本時，把它歸于哪一類呢？或者它是不是一個新的類型呢？這就是所謂的呢？或者它是不是一個新的類型呢？這就是所謂的模式識別問題。在經(jīng)濟分析，預(yù)測與決策中，在知模式識別問題。在經(jīng)濟分析，預(yù)測與決策中，在知識工程與人工智能領(lǐng)域中，也常常遇到這類問題。識工程與人工智能領(lǐng)域中，也常常遇到這類問題。 本節(jié)介紹兩類模式識別的模糊方法。一類是元本節(jié)介紹兩類模式識別的模糊方法。一類是元素對標(biāo)準(zhǔn)模糊集的識別問題素對

3、標(biāo)準(zhǔn)模糊集的識別問題 點對集點對集；另一類；另一類是模糊集對標(biāo)準(zhǔn)模糊集的識別問題是模糊集對標(biāo)準(zhǔn)模糊集的識別問題 集對集集對集。3例例1. 蘋果的分級問題蘋果的分級問題 設(shè)論域設(shè)論域 X = 若干蘋果若干蘋果。蘋果被摘下來后要分。蘋果被摘下來后要分級。一般按照蘋果的大小、色澤、有無損傷等特征來級。一般按照蘋果的大小、色澤、有無損傷等特征來分級。于是可以將蘋果分級的標(biāo)準(zhǔn)模型庫規(guī)定為分級。于是可以將蘋果分級的標(biāo)準(zhǔn)模型庫規(guī)定為 = 級，級，級，級，級，級，級級，顯然，模型顯然，模型級，級，級，級，級，級，級是模糊的。當(dāng)果農(nóng)拿到一個蘋果級是模糊的。當(dāng)果農(nóng)拿到一個蘋果 x0 后，后，到底應(yīng)將它放到哪個等級

4、的筐里，這就是一個元素到底應(yīng)將它放到哪個等級的筐里，這就是一個元素（點）對標(biāo)準(zhǔn)模糊集的識別問題。（點）對標(biāo)準(zhǔn)模糊集的識別問題。4例例2. 醫(yī)生給病人的診斷過程實際上是模糊模型識別醫(yī)生給病人的診斷過程實際上是模糊模型識別過程。設(shè)論域過程。設(shè)論域 X = 各種疾病的癥候各種疾病的癥候 (稱為癥候群空稱為癥候群空間間) 。各種疾病都有典型的癥狀，由長期臨床積累的。各種疾病都有典型的癥狀，由長期臨床積累的經(jīng)驗可得標(biāo)準(zhǔn)模型庫經(jīng)驗可得標(biāo)準(zhǔn)模型庫 = 心臟病，胃潰瘍，感冒，心臟病，胃潰瘍，感冒，顯然，這些模型顯然，這些模型(疾病疾病)都是模糊的。病人向醫(yī)生訴說都是模糊的。病人向醫(yī)生訴說癥狀癥狀(也是模糊的也

5、是模糊的)，由醫(yī)生將病人的癥狀與標(biāo)準(zhǔn)模型，由醫(yī)生將病人的癥狀與標(biāo)準(zhǔn)模型庫的模型作比較后下診斷。這是一個模糊識別過程，庫的模型作比較后下診斷。這是一個模糊識別過程，也 是 一 個 模 糊 集 對 標(biāo) 準(zhǔn) 模 糊 集 的 識 別 問 題 。也 是 一 個 模 糊 集 對 標(biāo) 準(zhǔn) 模 糊 集 的 識 別 問 題 。52.1 F集的 貼近度貼近度表示兩個模糊集接近程度的度量，稱為貼近度。表示兩個模糊集接近程度的度量，稱為貼近度。正如正如 “距離距離” 的概念一樣，貼近度也有公理化的數(shù)的概念一樣，貼近度也有公理化的數(shù)學(xué)定義。學(xué)定義。定義定義 2.7 映射映射 ： F ( X ) F ( X ) 0, 1

6、(A, B) (A, B)，稱為貼近度稱為貼近度(函數(shù)函數(shù)) ，如果它滿足條件：如果它滿足條件：6( 1 ): (A, A) =1， (, X) = 0；( 2 ): (A, B) = (B, A)；( 3 ): ABCF (X) (A, C) (A, B) (B, C)稱稱 (A, B) 為為 A 與與 B 的貼近度。若將的貼近度。若將 ( 1 ) 換為下面的換為下面的 ( 4 )，則則稱稱 為為 嚴(yán)格嚴(yán)格貼近度函數(shù)貼近度函數(shù)，( 4): (A, B) =1 A = B，且且 (, X) = 0。7( 3): 設(shè)設(shè) A，B，CF (X)，若它們滿足若它們滿足| A(x)C(x)| | A(x

7、)B(x)| ( x X )，則有則有 ( A, C ) ( A, B)。命題命題：( 3) ( 3 )。證明證明：設(shè)設(shè) A BCF (X)，則則| A(x)C(x)| | A(x)B(x)| ( x X ) 8從而從而 ( A, C ) ( A, B)。又由又由 A BCF (X)，有有| A(x) C(x) | | C(x)B(x)| ( x X )從而從而 ( A, C ) ( B, C )。 故故 ( A, C ) ( A, B) ( B, C )。9貼近度的形式很多，下面介紹幾種常見的貼近度公式。貼近度的形式很多，下面介紹幾種常見的貼近度公式。1. 用距離定義貼近度用距離定義貼近度定

8、義定義 3.5.8 設(shè)設(shè) d p(A, B) 是是F (X) 上的上的 Minkowski 距離，距離，用用 d p(A, B) 定義貼近度定義貼近度 p(A, B) 如下：如下：其中其中 k, 是兩個適當(dāng)選擇的參數(shù)，使是兩個適當(dāng)選擇的參數(shù)，使0 p(A, B) 130. 5 . 3,1,BAdkBAp.1,/11pxBxABAdpnipiip10若取若取 k =1, =1，取相對閔氏距取相對閔氏距 ，便，便有有相對相對 Minkowski 貼近度貼近度：BAdp, 31. 5 . 3,11,/11pnipiipxBxAnBA 32. 5 . 311,/1 pbapiipdxxBxAabBA1

9、1若分別取相對若分別取相對 Hamming 距離距離 (p =1) 和相對和相對Euclid 距離距離 (p =2) 時，可得時，可得相對相對 Hamming 貼近度貼近度：33.5.3,11,11niiixBxAnBA34.5.311,1baiidxxBxAabBA12以及以及相對相對Euclid 貼近度貼近度： 容易驗證，上述各式定義的貼近度容易驗證，上述各式定義的貼近度 均滿足均滿足定義定義 3.5.7 的三條公理的三條公理。36.5 .311,2/122baiidxxBxAabBA35.5 .3,11,2/1122niiixBxAnBA132. 用模糊度來表示貼近度用模糊度來表示貼近度

10、 定義定義 3.5.9 設(shè)設(shè) A，B F (X) ，xX，令令 (A B) (x)=稱稱 為為“模糊均差模糊均差”。 顯然，顯然，A BF (X)，且且 A B1/2。 37. 5 . 3,121xBxA14命題命題 3.5.3 令令 ( A, B) = v1 ( A B)，則則 v1 ( A B) 是是F (X) 上的貼近度。上的貼近度。證明：證明： 驗證驗證 v1 ( A B) 符合定義符合定義 3.5.7 的三條公理的三條公理 (1) (3)。(1): x X， A F (X) ，因為因為 ( A A) (x) = ，故由故由 (3.5.19) 式可知，式可知，v1 ( A A) = (

11、 A, A) =1。15(2): 因因 A B= B A，故故 ( A, B) = ( B, A) 。(3): 設(shè)設(shè) | A(x)C(x)| | A(x)B(x)|，則則 ( A C ) (x) ( A B) (x) 1/2 ,從而從而 ( A, C ) = v1 ( A C ) v1 ( A B) = (A, B) 。 事實上，我們可以很容易地直接驗證。事實上，我們可以很容易地直接驗證。 若采用若采用 (3.5.23) 式定義，則有式定義，則有16( A, B) = v1 ( A B) = | (A B) (xi) (A B) (xi) | = |(A B) (xi) | ( 因為因為(A

12、B) (xi) 1/2 )這就是這就是 Hamming 貼近度。貼近度。nin12nin12 niiixBxAn112112 iinixBxAn12121 niiixBxAn1.11173. 用模糊集的內(nèi)積與外積來表示貼近度用模糊集的內(nèi)積與外積來表示貼近度定義定義 3.5.10 設(shè)設(shè) A，B F (X)，稱稱為為 A 與與 B 的的內(nèi)積內(nèi)積，稱，稱 A B=為為 A 與與 B 的的外積外積。按上述定義可知，模糊集的內(nèi)積與外積是兩個實數(shù)。按上述定義可知，模糊集的內(nèi)積與外積是兩個實數(shù)。)39. 5 . 3()()(xBxAXx)38. 5 . 3()()(xBxABAXx18 若若 X =x1,

13、x2, xn，記記 A(xi) = ai，B(xi) = bi，則則與經(jīng)典數(shù)學(xué)中的向量與經(jīng)典數(shù)學(xué)中的向量 a = a1, a2, an 與向量與向量 b = b1, b2, bn 的內(nèi)積的內(nèi)積 比較，可以看出比較，可以看出 A B 與 ab 十分相似，只要把經(jīng)十分相似，只要把經(jīng)典數(shù)學(xué)中的內(nèi)積運算的加典數(shù)學(xué)中的內(nèi)積運算的加 “+” 與乘與乘 “ ” 換成邏換成邏輯加輯加 “” 與邏輯乘與邏輯乘 “” 運算，就得到運算，就得到 A B。.1iinibaBAiniibaba119若若 AF (X)，記記 A 的的 “高高” 為為 Ah ，A 的的 “低低” 為為 Ab即即 Ah= A(x) | xX

14、 , (3.5.40) Ab= A(x) | xX , (3.5.41)則則 A B = ( AB )h， (3.5.42) A B= ( AB )b。 (3.5.43)20 為方便起見，我們在閉區(qū)間為方便起見，我們在閉區(qū)間 0，1 中定義中定義 “余余” 運算：對于任意實數(shù)運算：對于任意實數(shù) a0，1，稱稱 ac =1a為為 a 的余的余。21命題命題 2.4 內(nèi)積與外積運算有以下性質(zhì)：內(nèi)積與外積運算有以下性質(zhì)：(1) ( A B)C=AC BC，( A B)= AC BC；(2) A B Ah Bh， A B AbBb；(3) A A =Ah， A A = Ab， A AC ， A AC

15、；(4) 0, 1，則則 (A) B= ( A B)= A (B)；(5) A B 則則 A C B C， A C B C 。22證明證明 僅證僅證 (1) 的第一式，第二式類似。的第一式，第二式類似。(2) (5)可以可以根據(jù)內(nèi)積與外積的定義直接驗證。因為根據(jù)內(nèi)積與外積的定義直接驗證。因為故故 ( A B)C 是數(shù)集是數(shù)集 1 ( A(x) B(x) | xX 的一個的一個下界，下界，從而從而 ,1)(11XxxBxAxBxABABAXxC 44.5 .3.1xBxABAXxC23 以下證明以下證明 (2.44) 式中只有等號成立。因為，如果有式中只有等號成立。因為，如果有即即于是于是按上確

16、界的定義，按上確界的定義， x0 X，使得使得 ,1)(1xBxAxBxAXxXx ,1xBxABAXxC ),(11xBxAxBxAXxXx24即即這與下確界的定義矛盾，因此這與下確界的定義矛盾，因此 (3.5.44) 式只有等式成式只有等式成立，即有立，即有 AC BC. xBxAxBxAxBxABACCXxXxXxC111 ),(1100 xBxAxBxAXx ,1)(100 xBxAxBxAXx25例例 2.12 設(shè)設(shè) X =x1, x2, x3, x4, x5, x6,則則 A B,6 . 08 . 018 . 06 . 04 . 0,4 . 06 . 08 . 018 . 06 .

17、 0654321654321xxxxxxBxxxxxxA ,8 . 06 . 04 . 08 . 06 . 018 . 08 . 016 . 08 . 04 . 06 . 0BA ,6 . 06 . 04 . 08 . 06 . 018 . 08 . 016 . 08 . 04 . 06 . 026定義定義 2.11 設(shè)設(shè) A，BF (X)，稱稱 L( A，B) = ( A B) ( A B)C (3.5.45)或或 L( A，B) =1/2 ( A B) + ( A B)C (3.5.46)為用內(nèi)積、外積表示的貼近度為用內(nèi)積、外積表示的貼近度 ( 簡稱簡稱內(nèi)、外積貼近內(nèi)、外積貼近度度)。(3

18、.5.45) 式定義的內(nèi)、外積貼近度又稱為式定義的內(nèi)、外積貼近度又稱為格貼貼近度近度。27注：注：這里定義的內(nèi)、外積貼近度僅是一種習(xí)慣稱呼，這里定義的內(nèi)、外積貼近度僅是一種習(xí)慣稱呼，它們并不滿足貼近度定義它們并不滿足貼近度定義 3.5.7 的所有公理的所有公理。事實上事實上定義定義 (3.5.45) 和定義和定義 (3.5.46) 式都不滿足貼近度定義式都不滿足貼近度定義的公理條件的公理條件 ( 1 )，即即 ( A，A) 1。但是，當(dāng)?shù)?，?dāng) A F (X)，A1 ，supp A X 時，也即時，也即 Ah=1，Ab= 0時，時，定義定義 (3.5.45) 滿足貼近度定義的公理條件滿足貼近度

19、定義的公理條件 ( 1 ) ( 2 ) ( 3)。由于上述定義計算方便，所以在實際應(yīng)用由于上述定義計算方便，所以在實際應(yīng)用中常被選用。中常被選用。28命題命題 2.5 內(nèi)、外積貼近度有以下性質(zhì)：內(nèi)、外積貼近度有以下性質(zhì)：(1) 0 L( A，B) 1， L(，X) = 0 ;(2) L( A，B) = L( B，A );(3) L( A，A) = Ah (Ab)C，特別特別 Ah=1，Ab= 0 時時, L( A, A ) =1;(4) 若若 A B C，則則 L( A, C) L( A, B) L( B, C)證明從略。證明從略。294. 貼近度的其它表示方法貼近度的其它表示方法定義定義2.

20、12 可以用下列各公式定義貼近度：可以用下列各公式定義貼近度： 50.5.3;2,449.5.3;,348.5.3;2,247.5.3;,11111baiibaiibaiibaiiniiiniiiniiiniiidxxBxAdxxBxABAdxxBxAdxxBxABAxBxAxBxABAxBxAxBxABA30 54.5.3;,853.5.3;,752.5.3;,651.5.3;,52/1222/12/11212112/11baibaibaiibaiibaiiniiniiniiiniiiniiidxxAdxxAdxxBxABAdxxBxAdxxBxABAxBxAxBxABAxBxAxBxABA

21、31式式 (2.47) 和和 (2.48) 定義的定義的是嚴(yán)格貼近度。以上各貼近是嚴(yán)格貼近度。以上各貼近度的公式，有的不滿足條件度的公式，有的不滿足條件 (3), 但它滿足條件但它滿足條件 (3) ： 若若 A B C，則則 ( A, C ) ( A, B) ( B, C ) 。 在實際應(yīng)用中，要根據(jù)具體情況來選擇適當(dāng)?shù)脑趯嶋H應(yīng)用中，要根據(jù)具體情況來選擇適當(dāng)?shù)馁N近度。貼近度。322.3 F模式識別模式識別 原則原則 集對集集對集1. 擇近原則擇近原則已知已知 n 個標(biāo)準(zhǔn)模型個標(biāo)準(zhǔn)模型 ( 模糊集模糊集 ) ( 模型庫模型庫 ) : A1，A2，An F (X)。待識別對象（不是待識別對象（不是

22、 X 中的元素中的元素 x，而而）是是 X 上的模糊集上的模糊集 BF (X)， 為為F (X) 上上的貼近度，若對的貼近度，若對 Ai 有有則認(rèn)為則認(rèn)為 B 與與 Ai 最貼近，判定最貼近，判定 B 屬于屬于 Ai 一類。一類。,2, 1,max,nkBABAki33例例 一個公司在社會上的聲譽是一個模糊概念，一個公司在社會上的聲譽是一個模糊概念，它是由多個因素決定的。如公司的它是由多個因素決定的。如公司的 x1：管理水平；管理水平； x2：員工才能；員工才能； x3：長期投資價值；長期投資價值；x4：財務(wù)健全；財務(wù)健全； x5：善用公司資產(chǎn)；善用公司資產(chǎn)；x6：產(chǎn)品產(chǎn)品/服務(wù)質(zhì)量。服務(wù)質(zhì)量

23、。34 這樣公司在社會上的聲譽就可以看作是論域這樣公司在社會上的聲譽就可以看作是論域 X =x1，x2，x3，x4，x5，x6 上的一個模糊集。上的一個模糊集。 現(xiàn)有現(xiàn)有 4 個公司的個公司的 “聲譽聲譽” 模型模型 A1，A2，A3，A4，與其相應(yīng)的管理模式為與其相應(yīng)的管理模式為 D1，D2，D3，D4，以及待識別的某公司的以及待識別的某公司的 “聲譽聲譽” B。試用。試用擇近擇近原則原則識別識別 B 的管理模式。的管理模式。35指標(biāo)指標(biāo)類型類型x1x2x3x4x5x6管理模式管理模式A10.920.830.880.900.830.90D1A20.880.860.850.960.920.90

24、D2A30.890.860.860.940.860.88D3A40.350.340.320.400.480.40D4B0.910.850.880.900.850.90？36假設(shè)用某一貼近度公式計算得：假設(shè)用某一貼近度公式計算得： ( A1, B) = 0.53； ( A2, B) = 0.52； ( A3, B) = 0.52； ( A4, B) = 0.32。根據(jù)擇近原則根據(jù)擇近原則，B 與與 A1 最貼近，即最貼近，即 B 與與 A1 采取的采取的管理模式最靠近。管理模式最靠近。37例例2.13 巖石類型識別問題巖石類型識別問題 巖石按抗壓強度可以分成五個標(biāo)準(zhǔn)類型：很差巖石按抗壓強度可以分

25、成五個標(biāo)準(zhǔn)類型：很差(A1)、差、差(A2)、較好、較好(A3)、好、好(A4)、很好、很好(A5)。它們都是。它們都是 X = 0, +) 上的模糊集，其隸屬度如圖上的模糊集，其隸屬度如圖 3.31 所示所示A(x)A1(x) A2(x)A3(x)A4(x)A5(x)040020060090011001800 2000 x(kg/m2)圖圖 3.31 巖石抗壓強度分類巖石抗壓強度分類38 其它；,0,1100900,9002001,900600,1,600400,4002001;600,0,600400,6002001,400100,1,2000,200;200,0,200100,20010

26、01,1000,1321xxxxxxAxxxxxxxAxxxxxA39今有一種巖體，經(jīng)實測，得出其抗壓強度為今有一種巖體，經(jīng)實測，得出其抗壓強度為 X 上的上的模糊集模糊集 B，隸屬函數(shù)為圖，隸屬函數(shù)為圖 3.32 .2200,1,22001800,18004001,1800,0,0,20001800,22004001,18001100,1,1100900,900200154xxxxxAxxxxxxA其它；40B(x)B(x)080071290010001120 x(kg/m2)圖圖 3.32 待識別巖體的隸屬度待識別巖體的隸屬度 其它,0,11201000,11201201,1000800,

27、1,800712,712881xxxxxxB41試問巖體試問巖體 B 應(yīng)屬于哪一類？應(yīng)屬于哪一類？ (1) 計算計算 B 與與 Ai (i=1, 2,5) 的內(nèi)、外積貼近度，得的內(nèi)、外積貼近度，得 L(A1, B) = 0， L(A2, B) = 0， L(A3, B) = 1， L(A4, B) = 0.68， L(A5, B) = 0.按擇近原則按擇近原則，B 應(yīng)屬于應(yīng)屬于A3 類，即類，即 B 屬于屬于“較好較好”類的類的巖石。巖石。 (2) 若用貼近度公式若用貼近度公式 (3.5.48)，計算得，計算得 (A1, B) = 0， (A2, B) = 0， (A3, B) = 0.803

28、， (A4, B) = 0.063， (A5, B) = 0。按擇近原則按擇近原則，同樣應(yīng)判定，同樣應(yīng)判定 B 屬于屬于“較好較好”一類。一類。42例例 2.14 設(shè)設(shè) A，BF (R)，A、B 均為正態(tài)型模糊集，均為正態(tài)型模糊集，其隸屬函數(shù)如圖其隸屬函數(shù)如圖 3.33ABCDE0ax*bx圖圖 3.33 正態(tài)型模糊集正態(tài)型模糊集 A、B 43由由 (3.5.42) 式知，式知， A B 應(yīng)為應(yīng)為 ( AB )h，隸屬度曲線隸屬度曲線CDE 部分的峰值，即曲線部分的峰值，即曲線 A(x) 與 B(x) 的交點的交點 x* 處的處的縱坐標(biāo)。為求縱坐標(biāo)。為求 x*，令令.,2221bxaxexBe

29、xA,2221bxax44解得解得于是于是類似地，由于類似地，由于55. 5 . 3expexp22121abaxBA ,0limlimxBxAxx,2112bax45故故 A B=0。 (3.5.56)由此，按由此，按 (3.5.45) 式求得內(nèi)、外積貼近度為式求得內(nèi)、外積貼近度為 L(A, B) = (A B) (A B)C 57. 5 . 3.exp0exp221221ababC462. 擇近原則擇近原則已知已知一一個標(biāo)準(zhǔn)模型個標(biāo)準(zhǔn)模型( (模糊集模糊集) )：AF (X)。待選擇待選擇的對象是的對象是 X 中的若干模糊集：中的若干模糊集：B1，B2，BmF (X)， 為為F (X) 上

30、的貼近度，從與上的貼近度，從與 A 貼近的觀點出貼近的觀點出發(fā)，對發(fā)，對 B1，B2，Bm 排序，并決定其中哪一個與排序，并決定其中哪一個與 A 最貼近最貼近? 若有若有則認(rèn)為則認(rèn)為 Bi 與與 A 最貼近，應(yīng)優(yōu)先選擇最貼近，應(yīng)優(yōu)先選擇 Bi。 按貼近度的大小，可以給按貼近度的大小，可以給 B1，B2，Bm 排序排序, 2 , 1,max,mkBABAki473. 關(guān)于模糊集的笛氏積集的模式識別問題關(guān)于模糊集的笛氏積集的模式識別問題 設(shè)設(shè) A1F (X1)， A2F (X2)，, AmF (Xm)，x1 X1，x2 X2，xm Xm，令令 A = A1 A2 Am , x = ( x1, x2

31、, , xm ) ,則則 A 是是 X1 X2 Xm 上的模糊集的的模糊集的笛氏積集，其笛氏積集，其隸屬函數(shù)隸屬函數(shù) A( x1, x2, , xm ) = A(x) 應(yīng)是各個隸屬函數(shù)應(yīng)是各個隸屬函數(shù)Ai(xi) ( i=1, , m ) 的某種綜合，稱為的某種綜合，稱為綜合隸屬函數(shù)綜合隸屬函數(shù)。在擴張原理一節(jié)中，我們曾經(jīng)定義：在擴張原理一節(jié)中，我們曾經(jīng)定義：4849我們再舉例來說明這種方法。我們再舉例來說明這種方法。例例 3.3.1 設(shè)模糊集設(shè)模糊集 I、R、E 分別表示等腰三分別表示等腰三角形、直角三角形、正三角形。試建立這幾角形、直角三角形、正三角形。試建立這幾個模糊集及等腰直角三角形、

32、非典型三角形個模糊集及等腰直角三角形、非典型三角形的隸屬函數(shù)。的隸屬函數(shù)。2.4 幾何圖形的識別50解：解： 三角形的類別由它的三個內(nèi)角三角形的類別由它的三個內(nèi)角 A、B、C 的度的度數(shù)確定，我們可以取論域為數(shù)確定，我們可以取論域為X =(A，B，C)A + B + C = 180，A BC。 因為因為 ABC 是等腰三角形的充要條件為是等腰三角形的充要條件為“有兩有兩個內(nèi)角相等個內(nèi)角相等”。故。故 AB 或或 BC 為為 0 時，即時，即 (AB) (BC) = 0 時，時，ABC 肯定是等腰三角形，此時隸肯定是等腰三角形，此時隸屬度為屬度為 1。另一個極端的情況是。另一個極端的情況是 A

33、120，B 60，C 0，即，即 (AB) (BC) = 60 時，時， ABC 肯定不肯定不是是51等腰三角形，隸屬度值應(yīng)為等腰三角形，隸屬度值應(yīng)為 0。即兩個極端情況為。即兩個極端情況為其余情況，其隸屬度位于區(qū)間其余情況，其隸屬度位于區(qū)間 (0, 1) 內(nèi)，且內(nèi)，且 (AB) (BC ) 越接近越接近 0，隸屬函數(shù)越接近，隸屬函數(shù)越接近 1，也就是說，也就是說 ， (AB) (BC) 由由 0 增加到增加到 60 時，隸屬函數(shù)值應(yīng)時，隸屬函數(shù)值應(yīng)由由 1 減少至減少至 0，因而隸屬函數(shù)可取為，因而隸屬函數(shù)可取為。0),(60)()(, 1),(0)()(CBAICBBACBAICBBA。)

34、()(160)()(60601CBBACBBA52于是，等腰三角形的模糊集于是，等腰三角形的模糊集 I 的隸屬函數(shù)可取為的隸屬函數(shù)可取為類似的可求得類似的可求得 等腰直角三角形可以表示為等腰三角形與直角等腰直角三角形可以表示為等腰三角形與直角三角形得交集三角形得交集 IR ，因此，因此。)()(1),(601CBBACBAI。)(1),(, |90|1),(1801901CACBAEACBAR。|90|),()(max1),(),(),)(901601ACBBACBARCBAICBARI53非典型三角形非典型三角形 T Ic Rc Ec，因而，因而。|90|2),(),(3),(3min),(

35、1 ),(1 ),(1 ),(1801ACACBBACBAECBARCBAICBAT542.6 確定隸屬函數(shù)的方法綜述確定隸屬函數(shù)的方法綜述 模糊集是客觀世界數(shù)量與質(zhì)量的統(tǒng)一體，人們模糊集是客觀世界數(shù)量與質(zhì)量的統(tǒng)一體，人們刻畫模糊集是通過模糊集的特有的性質(zhì)，即隸屬度刻畫模糊集是通過模糊集的特有的性質(zhì)，即隸屬度來表現(xiàn)的。隸屬度是人們認(rèn)識客觀事物所賦予的該來表現(xiàn)的。隸屬度是人們認(rèn)識客觀事物所賦予的該元素隸屬于該集合的程度，帶有主觀經(jīng)驗的色彩。元素隸屬于該集合的程度，帶有主觀經(jīng)驗的色彩?，F(xiàn)在的問題是如何使得主、客觀盡可能地一致，并現(xiàn)在的問題是如何使得主、客觀盡可能地一致，并且在實踐中不斷修改，使得主

36、觀不斷接近客觀。且在實踐中不斷修改，使得主觀不斷接近客觀。 由于模糊現(xiàn)象的多樣性與復(fù)雜性，現(xiàn)在還沒有由于模糊現(xiàn)象的多樣性與復(fù)雜性，現(xiàn)在還沒有 統(tǒng)一的、固定的方法來確定模糊集的隸屬度。統(tǒng)一的、固定的方法來確定模糊集的隸屬度。552.6.1 模糊統(tǒng)計法模糊統(tǒng)計法1. 直接統(tǒng)計法直接統(tǒng)計法 對一群人進行調(diào)查，每個人對模糊集中的每個對一群人進行調(diào)查，每個人對模糊集中的每個元素進行綜合打分，若此元素完全屬于該模糊集，元素進行綜合打分，若此元素完全屬于該模糊集，則為則為 100 分。每個人打分后取其平均分。分。每個人打分后取其平均分。(有時還有時還去掉一個最高分，去掉一個最低分后再平均去掉一個最高分，去掉

37、一個最低分后再平均 )，這，這個平均分就是隸屬度。例如，有個平均分就是隸屬度。例如，有 10 個評委對某歌個評委對某歌56唱比賽進行評審，有許多人參加比賽，模糊集是唱比賽進行評審，有許多人參加比賽，模糊集是“優(yōu)秀歌手優(yōu)秀歌手”，對其中某人，對其中某人 xi 進行打分，打分的結(jié)進行打分，打分的結(jié)果是果是 99、96、97、92 、94、90、98、96、97、95，去掉最高分去掉最高分 99 和最低分和最低分 90，然后平均，然后平均于是求得該歌手隸屬于于是求得該歌手隸屬于“優(yōu)秀歌手優(yōu)秀歌手”的程度是的程度是 0.956。6 .95959796989492979681572. 隸屬頻率統(tǒng)計法隸屬

38、頻率統(tǒng)計法 我們可以仿照確定隨機事件概率的方法來確定我們可以仿照確定隨機事件概率的方法來確定隸屬度。在經(jīng)典概率統(tǒng)計中，若對事件隸屬度。在經(jīng)典概率統(tǒng)計中，若對事件 A 的發(fā)生與的發(fā)生與否作否作 n 次試驗，統(tǒng)計事件次試驗，統(tǒng)計事件 A 發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率 (A 發(fā)生的發(fā)生的次數(shù)次數(shù)/試驗次數(shù)試驗次數(shù) n)，我們發(fā)現(xiàn)這個頻率隨，我們發(fā)現(xiàn)這個頻率隨 n 的增大而的增大而趨于一個穩(wěn)定值，我們就把這一穩(wěn)定頻率，取為事趨于一個穩(wěn)定值，我們就把這一穩(wěn)定頻率，取為事件件 A 發(fā)生的概率。發(fā)生的概率。 類似的，我們也可以對模糊事件作統(tǒng)計試驗。類似的，我們也可以對模糊事件作統(tǒng)計試驗。58先確定一個論域先確定一個

39、論域（如如 0150 歲歲），然后對論域中的，然后對論域中的模糊集模糊集（如如 “年青人年青人”）作清晰化的范圍估計作清晰化的范圍估計 (實際實際上就是對模糊集上就是對模糊集 A 作一次相對應(yīng)的經(jīng)典集的作一次相對應(yīng)的經(jīng)典集的“顯顯影影”：A*)。對于論域中的具體的點。對于論域中的具體的點 x0 而言，它可以而言，它可以在某個范圍估計中，也可以不在其中。每一次范圍在某個范圍估計中，也可以不在其中。每一次范圍估計可以看成一次模糊統(tǒng)計試驗，于是我們便可以估計可以看成一次模糊統(tǒng)計試驗，于是我們便可以計算計算 x0隸屬于模糊集隸屬于模糊集 A 的頻率如下：的頻率如下：x0 隸屬于隸屬于A 的頻率的頻率

40、x0 A*的次數(shù)的次數(shù) / n。59隨著隨著 n 的增大，隸屬頻率呈現(xiàn)穩(wěn)定性，隸屬頻率的穩(wěn)的增大，隸屬頻率呈現(xiàn)穩(wěn)定性，隸屬頻率的穩(wěn)定值可取為定值可取為 x0 對對 A 的隸屬度。的隸屬度。例例 取年齡作論域取年齡作論域 X，通過模糊試驗確定，通過模糊試驗確定 x0= 27(歲歲) 對模糊集對模糊集“青年人青年人” A 的隸屬度。的隸屬度。 張南倫曾對張南倫曾對 129 名學(xué)生進行了調(diào)查試驗，要求每名學(xué)生進行了調(diào)查試驗，要求每個被調(diào)查者按自己的理解確定個被調(diào)查者按自己的理解確定“年青人年青人” (即即 A) 的年的年齡范圍齡范圍 (即即 A*)，每一次確定的范圍都是一次試驗每一次確定的范圍都是一

41、次試驗，共進行了共進行了 129 次試驗，其結(jié)果見表次試驗，其結(jié)果見表 3.2 ( P51 )。根據(jù)。根據(jù)60此表統(tǒng)計的隸屬頻率見表此表統(tǒng)計的隸屬頻率見表 3.3。表表 3.3 27歲對模糊集歲對模糊集 “年青人年青人” 的隸屬頻率的隸屬頻率由表由表 3.3 可見，隸屬頻率隨試驗次數(shù)可見，隸屬頻率隨試驗次數(shù) n 的增加而呈現(xiàn)的增加而呈現(xiàn)穩(wěn)定性，穩(wěn)定值為穩(wěn)定性，穩(wěn)定值為 0.78，故有，故有 青年人青年人 (27) = 0.78。n10203040506070隸屬次數(shù)隸屬次數(shù)6142331394753隸屬頻率隸屬頻率0.600.700.770.780.780.780.76n80901001101

42、20129隸屬次數(shù)隸屬次數(shù)6268768595101 隸屬頻率隸屬頻率0.780.760.760.750.790.78 61 3 、 F分布法分布法 利用現(xiàn)有的一些函數(shù)，通過參照比較，選擇最利用現(xiàn)有的一些函數(shù)，通過參照比較，選擇最能代表所論模糊集的函數(shù)作為隸屬函數(shù)。常用的一能代表所論模糊集的函數(shù)作為隸屬函數(shù)。常用的一些函數(shù)有下列數(shù)種類型。些函數(shù)有下列數(shù)種類型。62(1) 偏大型偏大型 (S 型型) ：這種類型的隸屬函數(shù)隨這種類型的隸屬函數(shù)隨 x 的增大的增大而增大，隨所選函數(shù)的形式不同又分為：而增大，隨所選函數(shù)的形式不同又分為： 1）升半矩形分布（圖）升半矩形分布（圖3.7） 2）升半）升半

43、分布分布 （圖（圖3.8） 3）升半正態(tài)分布）升半正態(tài)分布 （圖（圖3.9） 4）升半柯西分布（圖）升半柯西分布（圖3.10） 5）升半梯形分布（圖）升半梯形分布（圖3.11） 6）升嶺形分布）升嶺形分布 （圖（圖3.12）63(2) 偏小型偏小型 ( Z型型 ) ：這種類型的隸屬函數(shù)隨這種類型的隸屬函數(shù)隨 x 的增大的增大而減小，隨所選函數(shù)的形式又可分為：而減小，隨所選函數(shù)的形式又可分為： 1）降半矩形分布（圖）降半矩形分布（圖3.13） 2）降半）降半 分布分布 （圖（圖3.14） 3）降半正態(tài)分布（圖）降半正態(tài)分布（圖3.15） 4）降半柯西分布（圖）降半柯西分布（圖3.16） 5）降半

44、梯形分布（圖）降半梯形分布（圖3.17） 6）降嶺形分布）降嶺形分布 （圖（圖3.18）64(3) 中間型中間型 ( 型型) ：這種類型的隸屬函數(shù)在這種類型的隸屬函數(shù)在( ，a)上為偏大型，在上為偏大型，在 (a，+) 為偏小型，所以稱為中間為偏小型，所以稱為中間型，型，隨所選函數(shù)的形式隨所選函數(shù)的形式又可分為又可分為: 1）矩形分布）矩形分布 （圖（圖3.19） 2）尖）尖 分布分布 （圖（圖3.20） 3）正態(tài)分布）正態(tài)分布 （圖（圖3.21） 4）柯西分布）柯西分布 （圖（圖3.22） 5）梯形分布）梯形分布 （圖（圖3.23） 6）嶺形分布）嶺形分布 （圖（圖3.24）65 (1) 偏大型（偏大型（S 型）：這種類型的隸屬函數(shù)隨型）：這種類型的隸屬函數(shù)隨 x 的增大而增大，隨所選函數(shù)的形式不同又分為：的增大而增大，隨所選函數(shù)的形式不同又分為：1）升半矩形分布（圖）升半矩形分布（圖3.7）., 1, 0)(axaxxA10axA(x)662）升半）升半 分布（圖分布（圖3.8）.,1, 0)()(axeaxxAaxk10axA(x)a+1/k圖圖 3.8673）升半正態(tài)分布（圖）升半正態(tài)分布（圖3.9）10axA(x)圖圖 3.90.,1, 0)(2)(kaxeaxxAaxk684）升半柯西分布（圖）升半柯西分布（圖3.10）0, 0.,)(1