第五章固體物理能帶理論

1、第五章第五章 晶體中電子能帶理論晶體中電子能帶理論 掌握布洛赫波函數(shù)、近自由電子近似、平均速度、有效掌握布洛赫波函數(shù)、近自由電子近似、平均速度、有效質(zhì)量、區(qū)分導(dǎo)體、半導(dǎo)體和絕緣體。質(zhì)量、區(qū)分導(dǎo)體、半導(dǎo)體和絕緣體。教學(xué)目的：教學(xué)目的：v 電子在運(yùn)動(dòng)過程中并不像自由電子那樣完全不受任何力的電子在運(yùn)動(dòng)過程中并不像自由電子那樣完全不受任何力的作用，電子在運(yùn)動(dòng)過程中受到晶格中原子勢(shì)場(chǎng)的作用。作用，電子在運(yùn)動(dòng)過程中受到晶格中原子勢(shì)場(chǎng)的作用。能帶論的基本出發(fā)點(diǎn)能帶論的基本出發(fā)點(diǎn):v 固體中的電子不再是完全被束縛在某個(gè)原子周圍，而是可固體中的電子不再是完全被束縛在某個(gè)原子周圍，而是可以在整個(gè)固體中運(yùn)動(dòng)，稱為共

2、有化電子。以在整個(gè)固體中運(yùn)動(dòng)，稱為共有化電子。v 玻恩玻恩-奧本海默絕熱近似：所有原子核都周期性地靜止排列奧本海默絕熱近似：所有原子核都周期性地靜止排列在其格點(diǎn)位置上，因而忽略了電子與聲子的碰撞。在其格點(diǎn)位置上，因而忽略了電子與聲子的碰撞。能帶論的兩個(gè)基本假設(shè)：能帶論的兩個(gè)基本假設(shè)：v 平均場(chǎng)近似：忽略電子與電子間的相互作用，用平均場(chǎng)代平均場(chǎng)近似：忽略電子與電子間的相互作用，用平均場(chǎng)代替電子與電子間的相互作用。替電子與電子間的相互作用。 能帶論是能帶論是單電子近似的理論單電子近似的理論。用這種方法求出的電子能。用這種方法求出的電子能量狀態(tài)將不再是分立的能級(jí)，而是由能量的允帶和禁帶相間量狀態(tài)將不

3、再是分立的能級(jí)，而是由能量的允帶和禁帶相間組成的能帶，這種理論稱為能帶論。組成的能帶，這種理論稱為能帶論。晶體中多原子問題簡晶體中多原子問題簡化為化為多電子問題多電子問題多電子問題簡化為多電子問題簡化為單單電子問題電子問題一一.周期場(chǎng)模型周期場(chǎng)模型 考慮一理想完整晶體，所有的原子實(shí)都周期性地靜止考慮一理想完整晶體，所有的原子實(shí)都周期性地靜止排列在其平衡位置上，排列在其平衡位置上，每一個(gè)電子都處在除其自身外其他每一個(gè)電子都處在除其自身外其他電子的平均勢(shì)場(chǎng)和原子實(shí)的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)電子的平均勢(shì)場(chǎng)和原子實(shí)的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)。電子所感受到的。電子所感受到的勢(shì)場(chǎng)具有周期性，這樣的模型稱為周期場(chǎng)模型。勢(shì)場(chǎng)具有周期性，

4、這樣的模型稱為周期場(chǎng)模型。 當(dāng)我開始思考這個(gè)問題時(shí)，感覺到問題的關(guān)鍵是解釋當(dāng)我開始思考這個(gè)問題時(shí)，感覺到問題的關(guān)鍵是解釋電子將如何電子將如何“偷偷地潛行偷偷地潛行”于金屬中的所有離子之于金屬中的所有離子之間。間。. 經(jīng)過簡明而直觀的傅立葉分析，令我高興地發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過簡明而直觀的傅立葉分析，令我高興地發(fā)現(xiàn)，這種這種不同于自由電子平面波的波僅僅借助于一種周期性調(diào)不同于自由電子平面波的波僅僅借助于一種周期性調(diào)制就可以獲得。制就可以獲得。 F Bloch5.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù)在周期場(chǎng)中，描述電子運(yùn)動(dòng)的在周期場(chǎng)中，描述電子運(yùn)動(dòng)的Schrdinger方程為方程為其中，其中，V(r) = V(r +R

5、l)為周期性勢(shì)場(chǎng)為周期性勢(shì)場(chǎng) Rl=l1a1+l2a2+l3a3為晶格格矢為晶格格矢方程的解應(yīng)具有下列形式：方程的解應(yīng)具有下列形式： ieukkk rrr Bloch函數(shù)函數(shù) 這里，這里，uk(r) = uk(r +Rl) 是以格矢是以格矢 Rl 為周期的周期函數(shù)。為周期的周期函數(shù)。確定了波動(dòng)方程解的基本特點(diǎn)確定了波動(dòng)方程解的基本特點(diǎn)。5.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù)二二. Bloch定理（定理（1928年）年）)()()()(V222rkErrmkkr換句話說：Bloch 發(fā)現(xiàn)，不管周期勢(shì)場(chǎng)的具體函數(shù)形式如何，在周期勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的單電子的波函數(shù)不再是平面波，而是在周期勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的單電子的波函數(shù)不

6、再是平面波，而是調(diào)幅平面波，其振幅也不再是常數(shù)，而是按晶體的周期而調(diào)幅平面波，其振幅也不再是常數(shù)，而是按晶體的周期而周期變化。周期變化。 ieukkk rrr叫 Bloch波函數(shù)，或Bloch 波。它描述的電子叫 Bloch電子這個(gè)結(jié)論稱 Bloch 定理。Bloch 定理也可表述為： ni k RnkkrRer 它表明在不同原胞的對(duì)應(yīng)點(diǎn)上，波函數(shù)只相差一個(gè)相位因子 ，它不影響波函數(shù)的大小，所以電子出現(xiàn)在不同原胞的電子出現(xiàn)在不同原胞的對(duì)應(yīng)點(diǎn)上幾率是相同的，這是晶體周期性的反映。對(duì)應(yīng)點(diǎn)上幾率是相同的，這是晶體周期性的反映。ni k Re 5.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù)5.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函

7、數(shù))()(naxVxV)()(xuexkikxk)()(naxuxukkikxe5.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù)證明布洛赫定理(1)引入平移算符引入平移算符)(nRT(2)證明證明: :0, HT(3) T 在晶格周期性勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)電子的波函數(shù)是按晶格周期調(diào)幅在晶格周期性勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)電子的波函數(shù)是按晶格周期調(diào)幅的平面波。的平面波。)()(nRrVrV晶格的周期性勢(shì)場(chǎng)晶格的周期性勢(shì)場(chǎng) Bloch函數(shù)函數(shù) ieukkk rrruk(r) = uk(r +Rl)()()(nnRrfrfRT )2()()()()(2nnnnRrfRrfRTrfRT (1)(1)平移對(duì)稱算符平移對(duì)稱算符)(nRT)()()(

8、nnlRlrfrfRT )()()()(rHrrVrf，可以是 )(222rVmH ),()(nRrVrV (2)(2)0, HT5.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù))()(22222222nRrzyxr 233222222112)()()(anzanyanx 晶體中單電子哈密頓量晶體中單電子哈密頓量 具有晶格周期性。具有晶格周期性。H)()()()()(nnnRrRrHrrHRT )()()(rRTrHn 平移對(duì)稱操作算符與哈密頓算符是對(duì)易的。平移對(duì)稱操作算符與哈密頓算符是對(duì)易的。0, HT在直角坐標(biāo)系中：在直角坐標(biāo)系中：5.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù) 由于對(duì)易的算符有共同的本征函數(shù)由于對(duì)易的算符

9、有共同的本征函數(shù)，所以如果波函數(shù)，所以如果波函數(shù) 是是 的本征函數(shù)，那么的本征函數(shù)，那么 也一定是算符也一定是算符 的本征函數(shù)。的本征函數(shù)。)(r H)(r )(nRT，則則有有對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的本本征征值值為為設(shè)設(shè))()(nnRRT )()()()()(rRRrrRTnnn 根據(jù)平移特點(diǎn)根據(jù)平移特點(diǎn))()()()()(332211332211anTanTanTanananTRTn 321)()()(321nnnaTaTaT (3)(3) T5.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù)nRkinR e)( .可得到可得到 )()()()()()()()(321321raaarRrRTnnnnn 即即 321)()

10、()()(321nnnnaaaR ?aaa )()()(321 、,321321個(gè)個(gè)原原胞胞、方方向向各各有有、設(shè)設(shè)晶晶體體在在NNNaaa )()()()()()(332211aNrraNrraNrr 由周期性邊界條件由周期性邊界條件5.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù)根據(jù)上式可得到根據(jù)上式可得到 )()()()()(111111raNrraraNTN 1)(11 Na 同理可得：同理可得：這樣這樣 的本征值取的本征值取下列形式下列形式)(nRT令令333222111NblNblNblk 5.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù)1111ab1e)(Nlia2222ab2e)(Nlia3333ab3e)(Nl

11、ian333222111R)bbb(e)(NlNlNlinRnRk inR e)( )(e)(rRrnRk in -布洛赫定理布洛赫定理 rurkrkik e nkkRruru 再證明布洛赫波函數(shù)具有如下形式：再證明布洛赫波函數(shù)具有如下形式： 可以看出平面波可以看出平面波 能滿足上式。因此矢量能滿足上式。因此矢量 具有波矢的意具有波矢的意義。當(dāng)波矢增加一個(gè)倒格矢義。當(dāng)波矢增加一個(gè)倒格矢 ，平面波，平面波 也滿足上式。也滿足上式。rk i ekhKrKkih )(e5.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù)因此電子的波函數(shù)一般應(yīng)是這些平面波的線性疊加因此電子的波函數(shù)一般應(yīng)是這些平面波的線性疊加 hrKihr

12、k ihrKkihkhhKkaKkar)e(e)e()()( hrKihkhKkaru)e()(設(shè)則上式化為則上式化為)(e)(rurkrk ik )()(ruRruknk 即晶體中電子的波函數(shù)是按晶格周期調(diào)幅的平面波。5.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù) 可以認(rèn)為電子在整個(gè)晶體中自由運(yùn)動(dòng)。布洛赫函數(shù)的平面可以認(rèn)為電子在整個(gè)晶體中自由運(yùn)動(dòng)。布洛赫函數(shù)的平面波因子描述晶體中電子的共有化運(yùn)動(dòng)，而周期函數(shù)的因子描述波因子描述晶體中電子的共有化運(yùn)動(dòng)，而周期函數(shù)的因子描述電子在原胞中運(yùn)動(dòng)，這取決于原胞中電子的勢(shì)場(chǎng)。電子在原胞中運(yùn)動(dòng)，這取決于原胞中電子的勢(shì)場(chǎng)。三、 的取值和范圍k個(gè)個(gè)原原胞胞，、方方向向各各有有

13、、設(shè)設(shè)晶晶體體在在321321NNNaaa )()()()()()(332211aNrraNrraNrrkkkkkk 由周期性邊界條件由周期性邊界條件5.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù)1e jjaNk i)()(11raNrkk )(e)(1111ruaNrkaNrkik )(ee11rukrkiaNki )(rk 332211bbb 333222111NblNblNblk 5.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù)jjjNl 只能取一些分立的值。只能取一些分立的值?？梢宰C明可以證明是倒格矢。是倒格矢。整整數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) jj khKk 態(tài)和態(tài)和態(tài)是同一電子態(tài)，而同一電子態(tài)對(duì)應(yīng)同一態(tài)是同一電子態(tài)，而同一電子態(tài)

14、對(duì)應(yīng)同一故故 。)()(hKkEkE 個(gè)能量，個(gè)能量， 為使本征函數(shù)和本征值一一對(duì)應(yīng)，即使電子的波矢與本征為使本征函數(shù)和本征值一一對(duì)應(yīng)，即使電子的波矢與本征值值 一一對(duì)應(yīng)起來，必須把波矢一一對(duì)應(yīng)起來，必須把波矢 的值限制在一個(gè)倒格子的值限制在一個(gè)倒格子原胞區(qū)間內(nèi)，通常?。涸麉^(qū)間內(nèi)，通常取：)(kEk5.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù),Kkkk 換成換成相當(dāng)于波矢相當(dāng)于波矢hKh)()(rrKkkh)3 , 2 , 1( ,22 ibkbiii)3 , 2 , 1( ,22 iNlNiii 在簡約布里淵區(qū)內(nèi)，電子的波矢數(shù)目等于晶體的原胞數(shù)目在簡約布里淵區(qū)內(nèi)，電子的波矢數(shù)目等于晶體的原胞數(shù)目N= =

15、N1 1N2 2N3 3。在波矢空間內(nèi)，由于。在波矢空間內(nèi)，由于N N的數(shù)目很大，波矢點(diǎn)的分布的數(shù)目很大，波矢點(diǎn)的分布是準(zhǔn)連續(xù)的。一個(gè)波矢對(duì)應(yīng)的體積為：是準(zhǔn)連續(xù)的。一個(gè)波矢對(duì)應(yīng)的體積為：C*VNNNbNbNb33332211)2()2()( 一個(gè)波矢代表點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積為：一個(gè)波矢代表點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積為：電子的波矢密度為：電子的波矢密度為： 3)2(cVCV3)2(5.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù))()(rrnKkk 下面證明下面證明證明：根據(jù)布洛赫定理證明：根據(jù)布洛赫定理 hrKihkkrk ikhKkaru,rur)e()()(e)( hrKKkihnKkhnnKKkar)()e()( lrKkil

16、lKka)()e( hrKkihhrKihrkikhhKkaKkar)()e()e(e)( lhnKKK 令令)(rk 5.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù) 例例1：一維周期場(chǎng)中電子的波函數(shù)：一維周期場(chǎng)中電子的波函數(shù) 應(yīng)當(dāng)滿足布洛赫應(yīng)當(dāng)滿足布洛赫定理，若晶格常量為定理，若晶格常量為a，電子波函數(shù)為，電子波函數(shù)為 , f為某一確定函數(shù)，試求電子在這些狀態(tài)的波矢。為某一確定函數(shù)，試求電子在這些狀態(tài)的波矢。 )()()(maxfixmmk )(xk 解：據(jù)布洛赫定理，在周期性勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)具有以解：據(jù)布洛赫定理，在周期性勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)具有以下特點(diǎn)：下特點(diǎn)：)(e)(xnaxkiknak )()()

17、(manaxfinaxmmk 5.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù)據(jù)布洛赫定理，據(jù)布洛赫定理，niknai)(e 即即iika e232 ska在簡約布里淵區(qū)中，即在簡約布里淵區(qū)中，即，aka ak2 取取5.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù))()()()()(anmxfiianmxfinmmnmm 令令m- -n=l，)()()()()(xilaxfiinaxknllnk 四、四、 Bloch函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)Bloch函數(shù)函數(shù): ieuk rkkrrv 周期函數(shù)周期函數(shù) 的作用則是對(duì)這個(gè)波的振幅進(jìn)行的作用則是對(duì)這個(gè)波的振幅進(jìn)行 調(diào)制，使它從一個(gè)原胞到下一個(gè)原胞作周期性振調(diào)制，使它從一個(gè)原胞到下一個(gè)原

18、胞作周期性振 蕩，但這并不影響態(tài)函數(shù)具有行進(jìn)波的特性。蕩，但這并不影響態(tài)函數(shù)具有行進(jìn)波的特性。 ukrie k rv 行進(jìn)波因子行進(jìn)波因子 表明電子可以在整個(gè)晶體中運(yùn)動(dòng)表明電子可以在整個(gè)晶體中運(yùn)動(dòng) 的，稱為共有化電子，它的運(yùn)動(dòng)具有類似行進(jìn)平面的，稱為共有化電子，它的運(yùn)動(dòng)具有類似行進(jìn)平面 波的形式。波的形式。5.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù)晶體中電子：晶體中電子： ieuk rkkrr自由電子：自由電子： iAek rkr孤立原子：孤立原子： Currl 如果晶體中電子的運(yùn)動(dòng)完全自由，如果晶體中電子的運(yùn)動(dòng)完全自由， .uAconstkr.ieCconstk r 在晶體中運(yùn)動(dòng)電子的波函數(shù)介于自由電子

19、與孤立原子在晶體中運(yùn)動(dòng)電子的波函數(shù)介于自由電子與孤立原子之間，是兩者的組合。之間，是兩者的組合。 ieu k rkr ukr 由于晶體中的電子既不是完全自由的，也不是完全被由于晶體中的電子既不是完全自由的，也不是完全被束縛在某個(gè)原子周圍，因此，其波函數(shù)就具有束縛在某個(gè)原子周圍，因此，其波函數(shù)就具有 的形式。周期函數(shù)的形式。周期函數(shù) 反映了電子與晶格相互作用的反映了電子與晶格相互作用的強(qiáng)弱。強(qiáng)弱。l 若電子完全被束縛在某個(gè)原子周圍，若電子完全被束縛在某個(gè)原子周圍，.Aconst.Cconst5.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù)v 如果電子只有原子內(nèi)運(yùn)動(dòng)（孤立原子情況），電子如果電子只有原子內(nèi)運(yùn)動(dòng)（孤立

20、原子情況），電子 的能量取分立的能級(jí)；的能量取分立的能級(jí)；v 晶體中的電子既有共有化運(yùn)動(dòng)也有原胞內(nèi)運(yùn)動(dòng)，因晶體中的電子既有共有化運(yùn)動(dòng)也有原胞內(nèi)運(yùn)動(dòng)，因 此，電子的能量取值就表現(xiàn)為由能量的允帶和禁帶此，電子的能量取值就表現(xiàn)為由能量的允帶和禁帶 相間組成的能帶結(jié)構(gòu)。相間組成的能帶結(jié)構(gòu)。v 若電子只有共有化運(yùn)動(dòng)（自由電子情況），電子的若電子只有共有化運(yùn)動(dòng)（自由電子情況），電子的 能量連續(xù)取值（嚴(yán)格講電子能量應(yīng)是準(zhǔn)連續(xù)的）。能量連續(xù)取值（嚴(yán)格講電子能量應(yīng)是準(zhǔn)連續(xù)的）。5.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù) 需要指出的是，在固體物理中，能帶論是從周期性勢(shì)需要指出的是，在固體物理中，能帶論是從周期性勢(shì)場(chǎng)中推導(dǎo)出來

21、的。但是，場(chǎng)中推導(dǎo)出來的。但是，周期性勢(shì)場(chǎng)并不是電子具有能帶周期性勢(shì)場(chǎng)并不是電子具有能帶結(jié)構(gòu)的必要條件結(jié)構(gòu)的必要條件，在非晶固體中，電子同樣有能帶結(jié)構(gòu)。，在非晶固體中，電子同樣有能帶結(jié)構(gòu)。 在在倒格空間中以中以任意一個(gè)倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，做原點(diǎn)和一個(gè)倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，做原點(diǎn)和其他所有倒格點(diǎn)連線的中垂面其他所有倒格點(diǎn)連線的中垂面(或中垂線或中垂線)，這些中垂面，這些中垂面(或中垂線或中垂線)將倒格空間分割成許多區(qū)域，這些區(qū)域稱為將倒格空間分割成許多區(qū)域，這些區(qū)域稱為布里淵區(qū)布里淵區(qū)。五、布里淵區(qū) 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)( (簡約布里淵區(qū)簡約布里淵區(qū)) )：圍繞原點(diǎn)的最小閉合區(qū)域；：圍繞原點(diǎn)的最小閉合區(qū)域

22、；5.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù)對(duì)于已知的晶體結(jié)構(gòu)，如何畫布里淵區(qū)呢對(duì)于已知的晶體結(jié)構(gòu)，如何畫布里淵區(qū)呢? ? 第第n+1+1布里淵區(qū)：從原點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過布里淵區(qū)：從原點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過n個(gè)中垂面?zhèn)€中垂面( (或中垂線或中垂線) )才才能到達(dá)的區(qū)域能到達(dá)的區(qū)域( (n為正整數(shù)為正整數(shù)) )。 布里淵區(qū)作圖法晶體晶體結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)布拉維布拉維晶格晶格倒格點(diǎn)倒格點(diǎn)排列排列 中垂面中垂面( (中垂線中垂線) )區(qū)分布區(qū)分布里淵區(qū)里淵區(qū)倒格基矢倒格基矢321bbb、332211bhbhbhKh 正格基矢正格基矢,321aaa、5.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù)aa例例2：下圖是一個(gè)二維晶體結(jié)構(gòu)圖，畫出它的第一：下圖是一個(gè)二

23、維晶體結(jié)構(gòu)圖，畫出它的第一、第二第二、第三第三布里淵區(qū)布里淵區(qū)。aaiaa 1jaa 2jaaiaa 21jabiab2221 ijjiba 2)ji ( 2)(0ji 5.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù)ij第一布第一布里淵區(qū)里淵區(qū)第三布第三布里淵區(qū)里淵區(qū)第二布第二布里淵區(qū)里淵區(qū)a2a25.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù)布里淵區(qū)的面積布里淵區(qū)的面積= =倒格原胞的面積倒格原胞的面積 高序號(hào)布里淵區(qū)的各個(gè)分散的碎片平移一個(gè)或幾個(gè)倒格高序號(hào)布里淵區(qū)的各個(gè)分散的碎片平移一個(gè)或幾個(gè)倒格矢進(jìn)入簡約布里淵區(qū)，形成布里淵區(qū)的簡約區(qū)圖。矢進(jìn)入簡約布里淵區(qū)，形成布里淵區(qū)的簡約區(qū)圖。第一區(qū)第一區(qū)第二區(qū)第二區(qū)第三區(qū)第三區(qū)布

24、里淵區(qū)的簡約區(qū)圖布里淵區(qū)的簡約區(qū)圖布里淵區(qū)的擴(kuò)展區(qū)圖布里淵區(qū)的擴(kuò)展區(qū)圖ija 2a 25.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù)第一區(qū)第一區(qū)第二區(qū)第二區(qū)第三區(qū)第三區(qū)第四區(qū)第四區(qū)第五區(qū)第五區(qū)第六區(qū)第六區(qū)第七區(qū)第七區(qū)第八區(qū)第八區(qū)第九區(qū)第九區(qū)第十區(qū)第十區(qū)5.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù)abjbaiaa 21jbbiab2221 ijjiba 2)(2ji )(0ji iaa 1jba 2倒格仍為矩形。倒格仍為矩形。 例例3 3：畫出下面二維矩形格子的第一和第二布里淵區(qū)的：畫出下面二維矩形格子的第一和第二布里淵區(qū)的擴(kuò)展區(qū)圖和簡約區(qū)圖，設(shè)矩形邊長分別為擴(kuò)展區(qū)圖和簡約區(qū)圖，設(shè)矩形邊長分別為 。ba，解解: :5.1布洛

25、赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù)ij第一區(qū)第一區(qū)第二區(qū)第二區(qū)b2a25.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù)例例4：畫出面心立方第一布里淵區(qū)。設(shè)面心立方晶格常量為：畫出面心立方第一布里淵區(qū)。設(shè)面心立方晶格常量為a。 jiaakiaakjaa222321解：解：面心立方正格基矢：面心立方正格基矢： 213132321222aabaabaab332141)(aaaa 倒格基矢倒格基矢: kjiakjiakjia 2221a3a2ai ajaka5.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù) kjiabkjiabkjiab222321倒格基矢：倒格基矢：已知體心立方正格基矢已知體心立方正格基矢: : kjiaakjiaakjiaa222

26、321X 0012 ,aX：L 2121212 ,aL：K 043432 ,aK：5.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù)面心立方的倒格是面心立方的倒格是邊長為邊長為4 / /a體心立方。體心立方。0 , 0 , 02 a：例例5 5：畫出體心立方第一布里淵區(qū)。設(shè)體心立方晶格常量為：畫出體心立方第一布里淵區(qū)。設(shè)體心立方晶格常量為a。 kjiaakjiaakjiaa222321解：正格基矢：解：正格基矢：332121)(aaaa jiakiakja 222 213132321222aabaabaab倒格基矢：倒格基矢：iajaka1a3a2a5.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù)體心立方倒格是邊長體心立方倒格是邊

27、長為為 4 / /a的的面心立方。面心立方。 jiabkiabkjab222321 jiaakiaakjaa222321已知面心立方正格基矢：已知面心立方正格基矢：H 0012 ,aH：P 2121212 ,aP：N 021212 ,aN：5.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù)0 , 0 , 02 a：正方形正方形正格子正格子簡約布里簡約布里淵區(qū)形狀淵區(qū)形狀面心立方面心立方正方形正方形十四面體十四面體(截角八面體截角八面體)體心立方體心立方十二面體十二面體簡約布里淵簡約布里淵區(qū)體積區(qū)體積(面積面積)*1SS *V 1*V 1布里淵區(qū)的形狀由晶體結(jié)構(gòu)的布拉菲晶格決定；布里淵區(qū)的形狀由晶體結(jié)構(gòu)的布拉菲晶格

28、決定；布里淵區(qū)的體積布里淵區(qū)的體積( (或面積或面積) )等于倒格原胞的體積等于倒格原胞的體積( (或面積或面積) )。5.1布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù) 能帶理論是單電子近似理論，把每個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)看成是獨(dú)能帶理論是單電子近似理論，把每個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)看成是獨(dú)立地在一個(gè)等效勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。立地在一個(gè)等效勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。布洛赫定理指出，一個(gè)在周期布洛赫定理指出，一個(gè)在周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子，其波函數(shù)一定是布洛赫函數(shù)。周期性邊界條場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子，其波函數(shù)一定是布洛赫函數(shù)。周期性邊界條件的引入，說明了電子的狀態(tài)是分立的。件的引入，說明了電子的狀態(tài)是分立的。 克龍尼克克龍尼克-潘納模型潘納模型0c aV0V(x)xb

29、00(0)( )()xcV xVcxaK-P模型周期性勢(shì)場(chǎng)模型周期性勢(shì)場(chǎng)5.2 克龍尼克克龍尼克-潘納模型潘納模型按照布洛赫定理，波函數(shù)應(yīng)有以下形式按照布洛赫定理，波函數(shù)應(yīng)有以下形式)()(xuexkxkik 式中式中 )()(naxuxukk 即可得到即可得到 滿足的方程滿足的方程)(xuk)(xk 將波函數(shù)將波函數(shù) 代入定態(tài)薛定諤方程代入定態(tài)薛定諤方程5.2 克龍尼克克龍尼克-潘納模型潘納模型2222( )0kkdmEV xd x2222222( )0kkkd udumikEV xkud xdx2在勢(shì)場(chǎng)突變點(diǎn)，波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)連續(xù)。在勢(shì)場(chǎng)突變點(diǎn)，波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)連續(xù)。( )ikxikxddue

30、ike u xdxdx實(shí)際上，這就要求實(shí)際上，這就要求u(x)及其導(dǎo)數(shù)連續(xù)。及其導(dǎo)數(shù)連續(xù)。222220kkkd uduikkud xdx（1）在）在0 xc區(qū)域，勢(shì)能區(qū)域，勢(shì)能V=0222mE令令微分方程的解微分方程的解()()00( )ik xik xu xA eB e5.2 克龍尼克克龍尼克-潘納模型潘納模型2（2）在）在-bx0區(qū)域，勢(shì)能區(qū)域，勢(shì)能EV0令令22002222()mVmVE222220kkkd uduikkud xdx()()00( )ik xik xu xC eD e()0ik nanBB e解：解：()0ik nanAA e在在nana+xna+c區(qū)域區(qū)域()()()(

31、)()ikna xikna xnnu xnaA eB e)()(naxuxukk 5.2 克龍尼克克龍尼克-潘納模型潘納模型2在在na-bna+x ,b-0, - ,b-0,但但V0b b保持有限值。保持有限值。令22022mV5.2 克龍尼克克龍尼克-潘納模型潘納模型12aPbbsin()cosafaPaa222mEacoska5.2 克龍尼克克龍尼克-潘納模型潘納模型32p時(shí)，能量與波矢量關(guān)系時(shí)，能量與波矢量關(guān)系當(dāng)P=0時(shí)2anka此時(shí)，對(duì)能量沒有限制，對(duì)應(yīng)V0=0的自由粒子情況。當(dāng)P- 時(shí)，必有sin0aaan22222nEma能級(jí)與能級(jí)與k無關(guān)，分立能級(jí)。無關(guān)，分立能級(jí)。P的取值適當(dāng)表

32、達(dá)了粒子被束縛的程度。的取值適當(dāng)表達(dá)了粒子被束縛的程度。5.2 克龍尼克克龍尼克-潘納模型潘納模型2222masin()cosafaPaa兩個(gè)相鄰能帶之間的兩個(gè)相鄰能帶之間的能量區(qū)域稱為能量區(qū)域稱為禁帶禁帶。晶體中電子的能量晶體中電子的能量只能取能帶中的數(shù)只能取能帶中的數(shù)值，而不能取禁帶值，而不能取禁帶中的數(shù)值。中的數(shù)值。圖中圖中 為為“許可的能量許可的能量”，稱為稱為能帶能帶*。E2E3E5E4E6E7E1a a 2a 3a 3 a a 2 0kE E k 曲線的表達(dá)圖式曲線的表達(dá)圖式5.2 克龍尼克克龍尼克-潘納模型潘納模型 k 值越大，相應(yīng)的能帶越寬。值越大，相應(yīng)的能帶越寬。E2E3E5

33、E4E6E7E1a a 2a 3a 3 a a 2 0kEE k 曲線的表達(dá)圖式曲線的表達(dá)圖式NNaaLa 2222所以，晶體中電子的能帶中有所以，晶體中電子的能帶中有 N 個(gè)能級(jí)。個(gè)能級(jí)。而在而在 空間每個(gè)狀態(tài)點(diǎn)所占有空間每個(gè)狀態(tài)點(diǎn)所占有的長度為的長度為 ，因此，每一能，因此，每一能帶中所包含的（狀態(tài)數(shù)）能級(jí)帶中所包含的（狀態(tài)數(shù)）能級(jí)數(shù)為數(shù)為L 2k每個(gè)能帶所對(duì)應(yīng)的每個(gè)能帶所對(duì)應(yīng)的 k 的取值范的取值范圍都是圍都是 。a 25.2 克龍尼克克龍尼克-潘納模型潘納模型（2）運(yùn)動(dòng)方程與微擾計(jì)算）運(yùn)動(dòng)方程與微擾計(jì)算Schrdinger方程：方程： 2222dV xxExm dx周期性勢(shì)場(chǎng)：周期性勢(shì)

34、場(chǎng)： V xV xaa：晶格常數(shù)：晶格常數(shù)（1） 近自由電子模型近自由電子模型5.3一維晶格中的近自由電子一維晶格中的近自由電子 假定周期場(chǎng)起伏較小，而電子的平均動(dòng)能比其勢(shì)能的絕對(duì)假定周期場(chǎng)起伏較小，而電子的平均動(dòng)能比其勢(shì)能的絕對(duì)值大得多。作為零級(jí)近似，用勢(shì)能的平均值值大得多。作為零級(jí)近似，用勢(shì)能的平均值V0 0代替代替V( (x) )，把周，把周期性起伏期性起伏V( (x)-)-V0 0作為微擾來處理。作為微擾來處理。 Fourier展開：展開： 00nixnnV xVV en必須滿足勢(shì)場(chǎng)的周期函數(shù)必須滿足勢(shì)場(chǎng)的周期函數(shù)()( )()nnnnixix aixiannnnnnV eV xV x

35、aV eeV e1niae2nna200( )nxiannV xVV e電子勢(shì)能為實(shí)數(shù)，電子勢(shì)能為實(shí)數(shù)， V*(x)=V(x)Vn*=V-n 001LVV x dxL 201nxiLanVV x edxL5.3一維晶格中的近自由電子一維晶格中的近自由電子（3)無簡并定態(tài)微擾理論無簡并定態(tài)微擾理論 2222dHV xm dx 220202exp2nndnxVVim dxa 220022dHVm dx 零級(jí)近似零級(jí)近似02expnnnxHVia 微擾項(xiàng)微擾項(xiàng)0HH零級(jí)近似方程：零級(jí)近似方程：(0)(0)(0)0kkkHE能量本征值：能量本征值：2222(0)022kkkEVmm00V 令5.3一維

36、晶格中的近自由電子一維晶格中的近自由電子分別對(duì)電子能量分別對(duì)電子能量E(k)和波函數(shù)和波函數(shù) (k)展開展開 (0)(1)(2)kkkE kEEE(0)(1)(2)kkkk將以上各展開式代入將以上各展開式代入Schrdinger方程中，得方程中，得(0)(0)(0)0kkkHE(1)(0)(0)(1)(1)(0)0kkkkkkHHEE(2)(1)(0)(2)(1)(1)(2)(0)0kkkkkkkkHHEEE相應(yīng)歸一化波函數(shù)：相應(yīng)歸一化波函數(shù)：(0)1ikxkeL0HHH零級(jí)零級(jí) 一級(jí)一級(jí) 二級(jí)二級(jí) 5.3一維晶格中的近自由電子一維晶格中的近自由電子一級(jí)微擾方程：一級(jí)微擾方程：(1)(0)(0

37、)(1)(1)(0)0kkkkkkHHEE(0)(0)(1)(1)(0)(0)(0)(0)0()kkkkkkkkHEdxEdxHdx(1)(0)(1)(1)(0)(0)0kkkkkkHEEH兩邊同左乘兩邊同左乘 并積分得并積分得(0)k利用利用 的厄米性質(zhì)的厄米性質(zhì)(0)H(0)(0)(1)(0)(0)(1)00()()0kkkkkkHEdxHEdx(1)(0)*(0) kkkEHdx即能量的一級(jí)修正即能量的一級(jí)修正 等于等于 在在 態(tài)中的平均值。態(tài)中的平均值。(1)kEH(0)k5.3一維晶格中的近自由電子一維晶格中的近自由電子(1)(0)(0)0LkkkkkEHHdx0012exp0Lik

38、xikxnnnxeVie dxLa 由于一級(jí)微擾能量由于一級(jí)微擾能量Ek(1)0，還需用二級(jí)微擾方程來求出，還需用二級(jí)微擾方程來求出二級(jí)微擾能量。二級(jí)微擾能量。2(2)(0)(0)kkkkkkkHEEE二級(jí)微擾能量：二級(jí)微擾能量：(0)(0)0LkkkkHHdx0012expLikxik xnnnxeViedxLa0012exp(exp)expLnnni kk xVix dxLa,2/0,nVkkn a其他情況5.3一維晶格中的近自由電子一維晶格中的近自由電子電子的能量：電子的能量：222(0)(2)(0)(0)2kkkkkkkkkHkEEEmEE22220222222nnm Vkmnkka2

39、 nkka電子波函數(shù)：電子波函數(shù)：(0)(1)(0)(0)(0)(0)kkkkkkkkkkkHEE222202exp2/112/nikxnmVinx aeLkkn a5.3一維晶格中的近自由電子一維晶格中的近自由電子 ikxkke ux其中其中 222202exp2/112/nknmVinx auxLkkn a波函數(shù)由兩部分組成：波函數(shù)由兩部分組成：(0)1ikxkLev 波數(shù)為波數(shù)為k的行進(jìn)平面波：的行進(jìn)平面波： v 該平面波受周期場(chǎng)的影響而產(chǎn)生的散射波：該平面波受周期場(chǎng)的影響而產(chǎn)生的散射波：因子因子2222212/nmVLkkn a是波數(shù)為是波數(shù)為kk-2 n/a的散射波的振幅。的散射波的

40、振幅。 (1)k5.3一維晶格中的近自由電子一維晶格中的近自由電子l 在一般情況下，各原子產(chǎn)生的散射波的位相不同，彼此相在一般情況下，各原子產(chǎn)生的散射波的位相不同，彼此相互抵消，散射波中各成分的振幅均較小，可用微擾法處理。互抵消，散射波中各成分的振幅均較小，可用微擾法處理。l 若行進(jìn)平面波的波長若行進(jìn)平面波的波長正好滿足條件正好滿足條件2an , 相鄰兩原子產(chǎn)相鄰兩原子產(chǎn)生的反射波就會(huì)有相同的位相，它們將相互加強(qiáng)，從而使行生的反射波就會(huì)有相同的位相，它們將相互加強(qiáng)，從而使行進(jìn)的平面波受到很大干涉。進(jìn)的平面波受到很大干涉。當(dāng)當(dāng)(0)(0)(0)2/kkkn aEEE時(shí)時(shí)散射波中，這種成分的振幅變

41、得無限大，微擾不再適用。散射波中，這種成分的振幅變得無限大，微擾不再適用。22222()022knkmma5.3一維晶格中的近自由電子一維晶格中的近自由電子由上式可求得由上式可求得nka2na或或?qū)嶋H上是實(shí)際上是Bragg反射條件反射條件2asin n 正入射情況（正入射情況（ sin 1 ）。）。（4） 簡并定態(tài)微擾簡并定態(tài)微擾(0)(0)(0)2/kkkn aEEE當(dāng)當(dāng)時(shí)，非簡并微擾已不適用。時(shí)，非簡并微擾已不適用。2222222knkmma2222nkknkGa5.4 電子的布拉格反射電子的布拉格反射在布里淵區(qū)邊界上在布里淵區(qū)邊界上:nka2nnkkaa (0)1ikxkeL(0)1ik

42、 xkeL和和零級(jí)近似的波函數(shù)是這兩個(gè)簡并態(tài)的線性組合。零級(jí)近似的波函數(shù)是這兩個(gè)簡并態(tài)的線性組合。在在k和和k接近布里淵區(qū)邊界時(shí)接近布里淵區(qū)邊界時(shí)1nka1 1nka k態(tài)和態(tài)和k態(tài)為簡并態(tài)，必須用簡并微擾來處理。態(tài)為簡并態(tài)，必須用簡并微擾來處理。5.4 電子的布拉格反射電子的布拉格反射零級(jí)近似的波函數(shù)也必須寫成零級(jí)近似的波函數(shù)也必須寫成(0)(0)(0)kkAB代入代入Schrdinger方程方程(0)(0)0HHE(0)(0)(0)(0)0kkkkHHABE AB 利用利用(0)(0)(0)0kkkHE和和(0)(0)(0)0kkkHE得得(0)(0)(0)(0)0kkkkA EEHB E

43、EH5.4 電子的布拉格反射電子的布拉格反射(0)()0kkkEEAHB由于由于kknHV 2-k knak knHV (0)0knEEA V B上式分別左乘上式分別左乘 k(0)*或或 k(0)* ，并對(duì)，并對(duì)dx積分得積分得(0)()0k kkHAEEB久期方程久期方程:(0)(0)0knnkEEVVEE*(0)0nkV AEEB解得解得22(0)(0)(0)(0)142kkkknEEEEEV5.4 電子的布拉格反射電子的布拉格反射22222222() (1)4() )22nnnEVmama 2222(1)4nnnETVT22()2nnTma討論討論（1）當(dāng) 時(shí)0 nnETVnkanka

44、和和對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的能量狀態(tài)。對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的能量狀態(tài)。2gnEV禁帶寬度：禁帶寬度：（2）當(dāng) 時(shí)，同時(shí)假定 0 nnnTVT 22(1)nnnnnTETVTV22(1)nnnnnTETVTV向上彎的拋物線向上彎的拋物線向下彎的拋物線向下彎的拋物線5.4 電子的布拉格反射電子的布拉格反射（1）在零級(jí)近似中，電子作為自由電子，能量本征值）在零級(jí)近似中，電子作為自由電子，能量本征值與與k的關(guān)系曲線是拋物線。的關(guān)系曲線是拋物線。 kEnka 2nV（2）在周期勢(shì)場(chǎng)的微擾下，）在周期勢(shì)場(chǎng)的微擾下，曲線在曲線在處斷開，能量突變值為處斷開，能量突變值為（3）禁帶的位置及寬度取決于晶）禁帶的位置及寬度取決于晶體

45、的結(jié)構(gòu)和勢(shì)場(chǎng)的函數(shù)形式體的結(jié)構(gòu)和勢(shì)場(chǎng)的函數(shù)形式。（4）N很大，故很大，故k很密集，可以認(rèn)為很密集，可以認(rèn)為( )nE k是是k的準(zhǔn)連續(xù)函數(shù)。的準(zhǔn)連續(xù)函數(shù)。 （5）每個(gè)能帶所對(duì)應(yīng)的）每個(gè)能帶所對(duì)應(yīng)的k的取值范圍都是的取值范圍都是2/a，而所包含的量子態(tài)數(shù)目是，而所包含的量子態(tài)數(shù)目是N，等于晶體中原胞的數(shù)目。等于晶體中原胞的數(shù)目。 5.4 電子的布拉格反射電子的布拉格反射擴(kuò)展式擴(kuò)展式 按能量由低到高的順序，分別將按能量由低到高的順序，分別將能帶能帶k限制在第一布里淵區(qū)、第二布里限制在第一布里淵區(qū)、第二布里淵區(qū)，淵區(qū)，等，一個(gè)布里淵區(qū)表示一個(gè)等，一個(gè)布里淵區(qū)表示一個(gè)能帶。能帶。 E(k)是是k的單值

46、函數(shù)，一個(gè)布里的單值函數(shù)，一個(gè)布里淵區(qū)表示一個(gè)能帶。淵區(qū)表示一個(gè)能帶。 特點(diǎn)特點(diǎn) 5.4 電子的布拉格反射電子的布拉格反射 每個(gè)布里淵區(qū)都表示出所有的能帶每個(gè)布里淵區(qū)都表示出所有的能帶，E(k)是是k的的周期函數(shù)。周期函數(shù)。特點(diǎn)：特點(diǎn)：周期式周期式電子的能量：電子的能量：2( )()E kE kna 晶體中電子的晶體中電子的k態(tài)和態(tài)和k+Kh態(tài)是等價(jià)的，電子能量在波矢空態(tài)是等價(jià)的，電子能量在波矢空間內(nèi)，具有倒格子的周期性。間內(nèi)，具有倒格子的周期性。5.4 電子的布拉格反射電子的布拉格反射一維能帶結(jié)構(gòu)簡約布里淵區(qū)一維能帶結(jié)構(gòu)簡約布里淵區(qū) 1Ek 2Ek 在這種表示中，在這種表示中，k為簡約波矢，

47、即為簡約波矢，即k限制在第一布里淵限制在第一布里淵區(qū)內(nèi)。區(qū)內(nèi)。E(k)是是k的多值函數(shù)，為區(qū)分，將其按能量由低到高的多值函數(shù)，為區(qū)分，將其按能量由低到高標(biāo)記為標(biāo)記為 ， 。特點(diǎn)：特點(diǎn)： 在簡約布里淵區(qū)表示出所有能帶，可在簡約布里淵區(qū)表示出所有能帶，可以看到能帶結(jié)構(gòu)的全貌，以看到能帶結(jié)構(gòu)的全貌，E(k)是是k的多值的多值函數(shù)。函數(shù)。簡約式簡約式5.4 電子的布拉格反射電子的布拉格反射5.5 平面波方法平面波方法模型：模型：平面波方法是三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似。平面波方法是三維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似。勢(shì)能勢(shì)能 是具有周期性的函數(shù)，可以作傅氏展開。是具有周期性的函數(shù)，可以作傅氏

48、展開。)(rV mmkrKimeKVrV)()( 由勢(shì)場(chǎng)的周期性由勢(shì)場(chǎng)的周期性)()(nRrVrV mnmK)Rr(KimnKVRrVrV)e()()(1e nmRKi因?yàn)橐驗(yàn)?是實(shí)數(shù)，所以是實(shí)數(shù)，所以)()(*mmKVKV )(rV因?yàn)橐驗(yàn)?為正格矢，所以為正格矢，所以 必為倒格矢，即必為倒格矢，即nRmK332211bmbmbmKm (1) 微擾計(jì)算哈密頓量可寫為哈密頓量可寫為 rVmH 222為方便計(jì)算，取勢(shì)能平均值為方便計(jì)算，取勢(shì)能平均值V0 0=0=0，這樣，這樣HH 0 mmmmkrKimkrKimKVVKVrV)e()e()(0 mmKrKimKVHmH)e(2220，rKiKm

49、mmKVmH e )(222得得零零級(jí)級(jí)近近似似解解由由)()(0000rErHkkk 5.5平面波方法平面波方法rk irk ikNVr e1e1)(0 mkEk2220 考慮到考慮到 后解薛定諤方程，由布洛赫定理可知波函數(shù)應(yīng)為：后解薛定諤方程，由布洛赫定理可知波函數(shù)應(yīng)為：H )(e)(rurkrkik 其中周期性因子其中周期性因子 展成傅里葉級(jí)數(shù)，展成傅里葉級(jí)數(shù)，)(ruk llKrKilrkikKaNr)e(e1)( llKrkKilKaN)()e(1將將 代入薛定諤方程代入薛定諤方程)r(k :)()()(得得rkErHkk 5.5平面波方法平面波方法 lmlmlKKr)KK( imr

50、KillKVkEkKmKa0)e(e)()(2)(22上式點(diǎn)乘上式點(diǎn)乘 并對(duì)整個(gè)晶體積分得：并對(duì)整個(gè)晶體積分得：rKin e0)()()()()(222 nlKKllnnnKaKKVKakEkKm在上式求解過程中，利用了關(guān)系式：在上式求解過程中，利用了關(guān)系式：lnmnlmnlnlKK,KrKKKiK,KrKKiNrNr dede)()(，5.5平面波方法平面波方法0)()()()()(222 nlKKllnnnKaKKVKakEkKm 因?yàn)橐驗(yàn)?有無數(shù)多個(gè)取值，所以上式是一個(gè)無限多項(xiàng)有無數(shù)多個(gè)取值，所以上式是一個(gè)無限多項(xiàng)的方程式。在計(jì)算精度范圍內(nèi)，可取有限項(xiàng)平面波來作的方程式。在計(jì)算精度范圍內(nèi)

51、，可取有限項(xiàng)平面波來作 的的近似。在此情況下，上式就變?yōu)橐粋€(gè)有限項(xiàng)的方程。這樣的方近似。在此情況下，上式就變?yōu)橐粋€(gè)有限項(xiàng)的方程。這樣的方程構(gòu)成了一個(gè)齊次方程組。程構(gòu)成了一個(gè)齊次方程組。lnKK，)r (k )()(lnKaKa，有解的條件是，它的系數(shù)行列式為零。若以有解的條件是，它的系數(shù)行列式為零。若以 為為nK行的指標(biāo)，行的指標(biāo)，lK為列的指標(biāo)，行列式的元素為如下形式：為列的指標(biāo)，行列式的元素為如下形式： )( )( )( )()(222nllnnllK,KKKKKVKKkEkKmAln當(dāng)當(dāng)5.5平面波方法平面波方法由此行列式可求出電子的能量由此行列式可求出電子的能量 。)(kE 如果電子的

52、行為接近于自由電子時(shí)，其波函數(shù)與平面波相近如果電子的行為接近于自由電子時(shí)，其波函數(shù)與平面波相近: :rk ikNr e1)(0 其他系數(shù)其他系數(shù) 是小量；電子能量也與自由電子能量近似是小量；電子能量也與自由電子能量近似)(lKamkEk2220 在在 llKrKilrk ikKaNr)e(e1)( 中中, 1)0(a 電子的近自由電子行為是由勢(shì)場(chǎng)決定的，此種情況的電子的近自由電子行為是由勢(shì)場(chǎng)決定的，此種情況的勢(shì)場(chǎng)起伏不大，中心方程中的系數(shù)勢(shì)場(chǎng)起伏不大，中心方程中的系數(shù) 是小量。是小量。若忽略掉二級(jí)小量，中心方程簡化為：若忽略掉二級(jí)小量，中心方程簡化為： 5.5平面波方法平面波方法)(lnKKV

53、0)0()()(2)(22222 aKVKamkkKmnnn即即)0()(22)()(2222akKmmkKVKannn 2222)(22)(kKmmkKVnn 當(dāng)當(dāng) 遠(yuǎn)離遠(yuǎn)離 時(shí)，由于時(shí)，由于 是小量，所以是小量，所以 也是也是小量，但當(dāng)小量，但當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 變得很大，此時(shí)中心方程中變得很大，此時(shí)中心方程中除除 和和 不能忽略外其它項(xiàng)仍是二級(jí)小量，可以忽略。中不能忽略外其它項(xiàng)仍是二級(jí)小量，可以忽略。中心方程化為心方程化為:2) (kKn 2k)(nKV)(nKa22)(kkKn )(nKa)0(a)(nKa0)()()0()(222 nnKaKVakEmk0)()(2)0()(22 nnKa

54、kEmkaKV5.5平面波方法平面波方法有有非非零零解解，必必須須和和要要使使)()0(nKaa0)(2)()()(22222 kEmkKVKVkEmknn)()(nnKVKV 利用：利用：就可得到：就可得到：)(2)(22nKVmkkE 22)(kkKn 可知，當(dāng)可知，當(dāng) 時(shí)，波矢時(shí)，波矢k將對(duì)應(yīng)兩個(gè)能級(jí)，將對(duì)應(yīng)兩個(gè)能級(jí)，)(2)(22nKVmkkE )(2)(22nKVmkkE 5.5平面波方法平面波方法 兩能極之間的能量區(qū)間稱為禁帶，禁帶寬度為兩能極之間的能量區(qū)間稱為禁帶，禁帶寬度為相應(yīng)傅里葉相應(yīng)傅里葉分量絕對(duì)值的二倍。分量絕對(duì)值的二倍。發(fā)生能量不連續(xù)的波矢發(fā)生能量不連續(xù)的波矢 滿足的條

55、件可改寫為：滿足的條件可改寫為：k0)2( nnKkK在禁帶中不存在布洛赫波描述的電子態(tài)。)(2ngKVE 禁帶寬度禁帶寬度0nK 2nK kknK幾何意義：在幾何意義：在 空間中從原點(diǎn)所作的倒格空間中從原點(diǎn)所作的倒格矢矢 的垂直平分面的方程。的垂直平分面的方程。knK 5.5平面波方法平面波方法 令令 ，則從圖中可，則從圖中可以看出，不僅以看出，不僅 與與 的模相等的模相等，而且，若把，而且，若把 看作看作 中中垂面的入射波矢，垂面的入射波矢， 恰是恰是 中垂中垂面的反射波矢。面的反射波矢。 nKkk knK kkknK 若不考慮雜質(zhì)和缺陷引起的散射，電子的散射只能是晶格引若不考慮雜質(zhì)和缺陷

56、引起的散射，電子的散射只能是晶格引起的。波矢為起的。波矢為 態(tài)的反射波就是與態(tài)的反射波就是與 垂直的晶面族引起的。由垂直的晶面族引起的。由第一章知，這組晶面的面間距第一章知，這組晶面的面間距 knK0nK 2nK kknK5.5平面波方法平面波方法整整數(shù)數(shù)。為為，其其中中mmKKKdnhh 2由圖可知由圖可知 sin2sin2 kKn md sin2這正是與這正是與 垂直的晶面族對(duì)應(yīng)的布拉格反射公式。垂直的晶面族對(duì)應(yīng)的布拉格反射公式。nK 一維：屬于一個(gè)布里淵區(qū)的能級(jí)構(gòu)成一個(gè)能帶，不同一維：屬于一個(gè)布里淵區(qū)的能級(jí)構(gòu)成一個(gè)能帶，不同的布里淵區(qū)對(duì)應(yīng)不同的能帶，在布里淵區(qū)邊界能帶與能帶的布里淵區(qū)對(duì)應(yīng)

57、不同的能帶，在布里淵區(qū)邊界能帶與能帶之間出現(xiàn)能隙。之間出現(xiàn)能隙。(2) 三維能帶與一維能帶的區(qū)別0nK 2nK kknK5.5平面波方法平面波方法 三維：與一維的重要區(qū)別是不同的能帶在能量上不一定隔三維：與一維的重要區(qū)別是不同的能帶在能量上不一定隔開，而可以發(fā)生能帶之間的交疊。開，而可以發(fā)生能帶之間的交疊。kk A BCEC為第一布里淵區(qū)為第一布里淵區(qū)( (C點(diǎn)點(diǎn)) )的最高能量，的最高能量，EB為第二布里淵區(qū)為第二布里淵區(qū)(B(B點(diǎn)點(diǎn)) )的最低能量，的最低能量，BCEE 出現(xiàn)禁帶出現(xiàn)禁帶( (能隙能隙) )Eg；BCEE 出現(xiàn)能帶重疊。出現(xiàn)能帶重疊。 對(duì)于三維的情況，沿各個(gè)方向在布里淵區(qū)界

58、面對(duì)于三維的情況，沿各個(gè)方向在布里淵區(qū)界面E( (k) )函數(shù)是函數(shù)是間斷的，但不同方向斷開時(shí)的能量取值不同，因而有可能使能間斷的，但不同方向斷開時(shí)的能量取值不同，因而有可能使能帶發(fā)生重疊。帶發(fā)生重疊。5.5平面波方法平面波方法 三維：與一維的重要區(qū)別是不同的能帶在能量上不一定隔三維：與一維的重要區(qū)別是不同的能帶在能量上不一定隔開，而可以發(fā)生能帶之間的交疊。開，而可以發(fā)生能帶之間的交疊。5.5平面波方法平面波方法5.6電子的運(yùn)動(dòng)電子的運(yùn)動(dòng) v 在一定條件下，把晶體中電子在外場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)當(dāng)作準(zhǔn)經(jīng)在一定條件下，把晶體中電子在外場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)當(dāng)作準(zhǔn)經(jīng)典粒子來處理，典粒子來處理，描寫波的物理量與描寫粒子的量

59、（速度、描寫波的物理量與描寫粒子的量（速度、加速度、質(zhì)量）間的關(guān)系加速度、質(zhì)量）間的關(guān)系。 222UVEm rrv 解含外場(chǎng)的波動(dòng)方程解含外場(chǎng)的波動(dòng)方程處理晶體中電子在外場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)所采用的方法：處理晶體中電子在外場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)所采用的方法：條件：外場(chǎng)較弱、恒定，不考慮電子在不同能帶間的躍遷，條件：外場(chǎng)較弱、恒定，不考慮電子在不同能帶間的躍遷，不涉及電子的衍射和干涉等。不涉及電子的衍射和干涉等。5.6電子的運(yùn)動(dòng)電子的運(yùn)動(dòng) 波包與電子速度波包與電子速度在晶體中，可以用含時(shí)間的在晶體中，可以用含時(shí)間的Bloch函數(shù)來組成波包。函數(shù)來組成波包。5.6.1準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)0010kkdkdEdkdk波包

60、中心移動(dòng)速度（群速度）：波包中心移動(dòng)速度（群速度）： 001kkkE 三維情況下，三維情況下，波包運(yùn)動(dòng)的速度為：波包運(yùn)動(dòng)的速度為：波包波包Wave packet5.6電子的運(yùn)動(dòng)電子的運(yùn)動(dòng) 6.1準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng) 在量子力學(xué)中晶體中布洛赫電子的運(yùn)動(dòng)由波包來描述。所謂波在量子力學(xué)中晶體中布洛赫電子的運(yùn)動(dòng)由波包來描述。所謂波包由空間分布在包由空間分布在r0附近的附近的r范圍內(nèi)，波矢取值在范圍內(nèi)，波矢取值在 附近的附近的 k范圍范圍內(nèi)的布洛赫電子態(tài)組成，內(nèi)的布洛赫電子態(tài)組成， r k必須滿足不確定關(guān)系。一般必須滿足不確定關(guān)系。一般 k必必須遠(yuǎn)小于第一布里淵區(qū)的線度，這樣須遠(yuǎn)小于第一布里淵區(qū)的線度，