2011日年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題及解答

1、2011年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題第一試一、選擇題（每小題7分，共42分）1已知a、b、c是兩兩不相等的實(shí)數(shù)則方程（x-a）（x-b）+（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）=0根的情況為（ ） （a）必有兩個(gè)不相等的實(shí)根 （b）沒有實(shí)根 （c）必有兩個(gè)相等的實(shí)根 （d）方程的根有可能取值a、b、c2在半徑為1的圓內(nèi)，自點(diǎn)a出發(fā)的所有長度不小于該圓的內(nèi)接正abc的邊長a的弦，所組成的圖形的面積為（ ） （a）+ （b）+ （c）+ （d）+3已知a、b為實(shí)數(shù)，設(shè)b-a=2 006，如果關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+b=0的根都是整數(shù)，則該方程的根共有（ ）組 （a）4 （b）6 （c）8

2、 （d）104如圖是一個(gè)三角形數(shù)表，從上到下依次稱作第一行、第二行、已知該三角形數(shù)表中每個(gè)“”中的數(shù)均為正整數(shù)的倒數(shù)，且等于與其相連的兩腳下數(shù)之和如果第一行中的那個(gè)數(shù)是，則第三行中的數(shù)從左至右的填法有（ ） （a）恰有一種 （b）恰有兩種 （c）恰有三種 （d）有無數(shù)多種5在abc中，ab<bc<ca，且ac-ab=2，ad為bac的平分線，e為邊ac上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)be交ad于點(diǎn)g，且=2 007，則邊bc的長為（ ） （a）2 008 （b）2 007 （c）2 006 （d）2 0056某次數(shù)學(xué)競賽設(shè)選擇題（含6個(gè)小題）、填空題（含4個(gè)小題）、解答題（含3個(gè)小題）分類，其中，選

3、擇題、填空題均每小題7分，解答題中第1小題20分、第2、3小題每小題25分，滿分140分評分標(biāo)準(zhǔn)是：選擇題、填空題做對得7分，不做或做錯(cuò)得0分；解答題設(shè)0分，5分，10分，15分，20分，25分共6檔那么，這次考試所得的不同分?jǐn)?shù)最多有（ ）種 （a）141 （b）129 （c）105 （d）117二、填空題（每小題7分，共28分）1已知a、b、c均為非零實(shí)數(shù)，滿足： ，則的值為_2點(diǎn)g是abc的重心，過點(diǎn)g的直線與邊ab、ac分別交于點(diǎn)m、n已知=n則一次函數(shù)y=-x+n與x軸、y軸所圍成的三角形的面積的最小值為_3把n個(gè)大小均不相同的正方形互不重疊地拼在一起，所得的圖形的面積恰為2006，則

4、n的最小值為_4如圖，兩個(gè)全等的邊長為正整數(shù)的正a1b1c1和正a2b2c2的中心重合，且滿足a1b1a2c2，若六邊形abcdef的面積為s=，其中，m、n為有理數(shù)，則的值為_第二試一、（20分）求證：面積和周長分別對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等二、（25分）已知k、a都是正整數(shù)，2 004k+a、2 004（k+1）+a都是完全平方數(shù) （1）請問這樣的有序正整數(shù)（k，a）共有多少組？（2）試指出a的最小值，并說明理由三、（25分）如圖，已知圓內(nèi)接四邊形abcd的對角線ac、bd交于點(diǎn)n，點(diǎn)m在對角線bd上，且滿足bam=dan，bcm=dcn 求證：（1）m為bd的中點(diǎn)；（2）參考答案第一試

5、一、1a 原方程可化為3x2-2（a+b+c）x+ab+bc+ca=0 其判別式為 =4（a+b+c）2-4×3（ab+bc+ca） =2（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2 因?yàn)閍、b、c兩兩不相等，則>0，所以，方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根2d由題給條件易知，這些弦組成的圖形恰為正abc及其所對的弓形設(shè)abc的中心為o，則小扇形boc的面積為而 saob=saoc=×12×sin120°= 故所求的圖形的面積為+3b 由韋達(dá)定理得x1+x2=-a，x1x2=b，則x1+x2+x1x2=2 006 所以，（x1+1）（x2+1）=2 007=9&

6、#215;223 =-9×（-223）=3×669=-3×（-669）=1×2 007=（-1）×（-2 007） 易知方程有6組解4c 設(shè)第二行的兩個(gè)數(shù)為m、n，則=1（m、nn+）于是，m=，解得n-1=1從而，n=2，且n=2，即第二行的數(shù)只能為，設(shè)第三行中腳下的兩個(gè)數(shù)為=（m、nn+） 則m= 故（n-2）4，知n-2=1，2，4于是，故第三行的數(shù)由左到右是 ，或，或，5b如圖，過點(diǎn)e作efad交cd于點(diǎn)f，設(shè)ab=x，則 有bd=df 所以，dg為bef的中位線，則bg=ge 又bag=eag，所以，ab=ae=x 得ce=ac-ae

7、=ac-ab=2 又因efad，所以=2 故df=，cf=1 而 及，故x=2 006 因此，bc=2 0076d （1）選擇題及填空題的得分有0，7，14，70共11種可能，解答題得分有0，5，10，70共有15種可能，故產(chǎn)生11×15=165種結(jié)果 （2）下列23個(gè)分?jǐn)?shù)0，5，7，10，12，14，15，17，19，20，21，22，24，25，26，27，28，29，30，31，32，33，34可以得到且只有一種獲得方法；又35=7×5=5×7，即35分可表示為做對5個(gè)7分或7個(gè)5分的題，故前面23個(gè)分?jǐn)?shù)相應(yīng)分別加上35所得的分?jǐn)?shù)均有兩種獲得方法于是，這新的

8、23個(gè)分?jǐn)?shù)各有兩種獲得方法，且均小于70根據(jù)對稱性，用140減去新的23個(gè)分?jǐn)?shù)所得的數(shù)也均有兩種表示方法，這些數(shù)恰為71到140之間的能夠取到的分?jǐn)?shù)前后共計(jì)2×23=46個(gè)數(shù) （3）由70=7×10=5×14=7×5+5×7，知共有三種獲取方法 故滿足不重復(fù)的要求的不同分?jǐn)?shù)共 165-46-2=117（種）二、1-1或8 令=k，則 b+c=（k+1）a，c+a=（k+1）b， a+b=（k+1）c 于是，2（a+b+c）=（k+1）（a+b+c） 故a+b+c=0或b+c=2a，c+a=2b，a+b=2c 所以=-1或82如圖，在abd中，應(yīng)

9、用梅涅勞斯定理得 =1， 即 在adc中，應(yīng)用梅涅勞斯定理得=1，即 則=1 故=3，即=3 所以，3mn=m+n2，解得mn 而一次函數(shù)y=-x+n與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），（0，n），故所求的三角形的面積s=mn，且當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)，等號成立 注：本題也可以用特殊值法求解33設(shè)n個(gè)正方形的邊長分別為x1，x2，xn，則x12+x22+xn=2006.由于xi20或1（mod 4），而2 0062（mod 4），故xi中至少有兩個(gè)奇數(shù)。若n=2，則x1、x2均為奇數(shù)，設(shè)為2p+1、2q+1， 故p2+p+q2+q=501。 但是p2+p，q2+q均為偶數(shù)，矛盾 若n=3，可設(shè) x1

10、=2p+1，x2=2k，x3=2q+1 則（2p+1）2+（2k）2+（2q+1）2=2 006， 即p2+p+k2+q2+q=501 顯然，k為奇數(shù)且k，故k21 當(dāng)k=1時(shí)，p2+p+q2+q=500無正整數(shù)解； 當(dāng)k=3時(shí)，p2+p+q2+q=492有解 p=8，q=20 故得172+62+412=2 006，所以nmin=34由對稱性知，a1b1a2c2，b1c1a2b2，c1a1b2c2，即rta1af，rta2ab，rtb1cb，rtb2cd，rtc1ed，rtc2ef全等故考察rta1af 設(shè)a1b1=a（an+），aa1=x，則af=x，a1f=2x，有x+x+2x=a解得x=

11、 故sa1af=x2=（）2 則s=a2-3sa1af =a2-a2 由已知s=及a為正整數(shù)，m、n為有理數(shù)，得m=第二試一、設(shè)在rtabc和rta1b1c1中，直角邊分別為ac=b，bc=a及a1c1=b，b1c1=a1，斜邊為ab=c及a1b1=c1，根據(jù)題意得 式兩邊平方得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=a12+b12+c12+2a1b1+2b1c1+2c1a1，并結(jié)合，得c（a+b+c）=c1（a1+b1+c1） 再利用式得c=c1 于是，a+b=a1+b1=m，ab=a1b1=n 則知a、b是方程x2-mx+n=0的解，同時(shí)a1、b1也是該方程的解 故必有 不妨設(shè)a=a1，

12、b=b1于是，得a=a1，b=b1，c=c1 從而，rtabcrta1b1c1，命題得證二、（1）設(shè)2 004k+a=m2， 2 004（k+1）+a=n2， 這里m、n都是正整數(shù)，則n2-m2=2 004故（n+m）（n-m）=2 004=2×2×3×167 注意到，m+n、n-m的奇偶性相同，則 解得 當(dāng)n=502，m=500時(shí)，由式得2 004k+a=250 000 所以，a=2 004（124-k）+1 504 由于k、a都是正整數(shù)，故k可以取值1，2，124，相應(yīng)得滿足要求的正整數(shù)數(shù)組（k，a）共124組 當(dāng)n=170，m=164時(shí)，由式得2 004k+a=26 896 所以，a=2 004（13-k）+844 由于k、a都是正整數(shù)，故k可以取值1，2，13，相應(yīng)得滿足要求的正整數(shù)數(shù)組（k，a）共13組 從而，滿足要求的正整數(shù)數(shù)組（k，a）共有 124+13=137（組） （2）滿足的最小正整數(shù)a的值為1 504 滿足式的最小正整數(shù)a的值為844 所以，所求的a的最小值為844三、根據(jù)同弧所對的圓周角相等，得 dan=dbc，dcn=dba 又因?yàn)閐an=bam，bcm=dcn， 所以，bam=mbc，abm=bcm 有bamcbm，則，即bm2=am·cm 又dcm=dc