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1、經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)線性代數(shù) 一、單項選擇題1設(shè)a為矩陣，b為矩陣，則下列運算中（ a ）可以進行. aab babt ca+b dbat 2設(shè)為同階可逆矩陣，則下列等式成立的是（ b ）a. b. c. d. 3設(shè)為同階可逆方陣，則下列說法正確的是（d ）a. 若ab = i，則必有a = i或b = i b.c. 秩秩秩 d. 4設(shè)均為n階方陣，在下列情況下能推出a是單位矩陣的是（ d ） a b c d5設(shè)是可逆矩陣，且，則（c ）.a. b. c. d. 6設(shè)，是單位矩陣，則 （ d ） a b c d7設(shè)下面矩陣a, b, c能進行乘法運算，那么（ b ）成立.aab = ac，a 

2、5; 0，則b = c bab = ac，a可逆，則b = c ca可逆，則ab = ba dab = 0，則有a = 0，或b = 08設(shè)是階可逆矩陣，是不為0的常數(shù)，則（ c ） a. b. c. d. 9設(shè)，則r(a) =（ d ） a4 b3 c2 d1 10設(shè)線性方程組的增廣矩陣通過初等行變換化為，則此線性方程組的一般解中自由未知量的個數(shù)為（ a ） a1 b2 c3 d4 11線性方程組 解的情況是（ a ）a. 無解 b. 只有0解 c. 有唯一解 d. 有無窮多解 12若線性方程組的增廣矩陣為，則當(dāng)（a）時線性方程組無解a b0 c1 d213 線性方程組只有零解，則（ b ）

3、.a. 有唯一解 b. 可能無解 c. 有無窮多解 d. 無解14設(shè)線性方程組ax=b中，若r(a, b) = 4，r(a) = 3，則該線性方程組（ b ） a有唯一解 b無解 c有非零解 d有無窮多解15設(shè)線性方程組有唯一解，則相應(yīng)的齊次方程組（ c ） a無解 b有非零解 c只有零解 d解不能確定16設(shè)a為矩陣，b為矩陣，則下列運算中（ a ）可以進行.aab babt ca+b dbat17設(shè)為同階可逆矩陣，則下列等式成立的是（ b ）a. b. c. d. 18設(shè)為同階可逆方陣，則下列說法正確的是（d ）a. 若ab = i，則必有a = i或b = i b.c. 秩秩秩 d. 19

4、設(shè)均為n階方陣，在下列情況下能推出a是單位矩陣的是（ d ）a b c d20設(shè)是可逆矩陣，且，則（c ）.a. b. c. d. 21設(shè)，是單位矩陣，則 （ d ）a b c d22設(shè)下面矩陣a, b, c能進行乘法運算，那么（ b ）成立.aab = ac，a ¹ 0，則b = c bab = ac，a可逆，則b = cca可逆，則ab = ba dab = 0，則有a = 0，或b = 023若線性方程組的增廣矩陣為，則當(dāng)（d）時線性方程組有無窮多解a1 b c2 d 24 若非齊次線性方程組am×n x = b的( c )，那么該方程組無解a秩(a) n b秩(a)

5、m c秩(a）¹ 秩 () d秩(a）= 秩()25線性方程組 解的情況是（ a ）a. 無解 b. 只有0解 c. 有唯一解 d. 有無窮多解26 線性方程組只有零解，則（b ）.a. 有唯一解 b. 可能無解 c. 有無窮多解 d. 無解27設(shè)線性方程組ax=b中，若r(a, b) = 4，r(a) = 3，則該線性方程組（ b ）a有唯一解 b無解 c有非零解 d有無窮多解28設(shè)線性方程組有唯一解，則相應(yīng)的齊次方程組（ c ）a無解 b有非零解 c只有零解 d解不能確定30. 設(shè)a, b均為同階可逆矩陣, 則下列等式成立的是( b ). a. (ab)t = atbt b. (

6、ab)t = btat c. (ab t)-1 = a-1(bt)1 d. (ab t)-1 = a-1(b1) t 解析：(ab )-1b-1 a-1(ab)t = btat故答案是b31. 設(shè)a= (1 2), b= (-1 3), e是單位矩陣, 則atb e ( a ). a. b. c. d. 解析：atb e32. 設(shè)線性方程組ax = b的增廣矩陣為, 則此線性方程組一般解中自由未知量的個數(shù)為( a ). a. 1 b. 2 c. 3 d. 4解析：33. 若線性方程組的增廣矩陣為(a, b)=, 則當(dāng)(d)時線性方程組有無窮多解. a. 1 b. 4 c. 2 d. 解析： 3

7、4. 線性方程組 解的情況是( a ). a. 無解b. 只有零解 c. 有惟一解 d. 有無窮多解解析：35. 以下結(jié)論或等式正確的是（ c ） a若均為零矩陣，則有b若，且，則 c對角矩陣是對稱矩陣 d若，則 36. 設(shè)為矩陣，為矩陣，且乘積矩陣有意義，則為（ a ）矩陣 a b c d 37. 設(shè)均為階可逆矩陣，則下列等式成立的是（c ） a， b c d 38. 下列矩陣可逆的是（ a ） a b c d 39. 矩陣的秩是（ b ） a0 b1 c2 d3 二、填空題1兩個矩陣既可相加又可相乘的充分必要條件是 與是同階矩陣2計算矩陣乘積=43若矩陣a = ，b = ，則atb=4設(shè)為

8、矩陣，為矩陣，若ab與ba都可進行運算，則有關(guān)系式 5設(shè)，當(dāng) 0 時，是對稱矩陣.6當(dāng) 時，矩陣可逆.7設(shè)為兩個已知矩陣，且可逆，則方程的解 8設(shè)為階可逆矩陣，則(a)= n 9若矩陣a =，則r(a) = 2 10若r(a, b) = 4，r(a) = 3，則線性方程組ax = b無解11若線性方程組有非零解，則-112設(shè)齊次線性方程組，且秩(a) = r < n，則其一般解中的自由未知量的個數(shù)等于 n-r 13齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為則此方程組的一般解為 (其中是自由未知量) 14線性方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣后為則當(dāng) =-1 時，方程組有無窮多解.15若線性方程組有唯一解，則

9、只有0解 . 16兩個矩陣既可相加又可相乘的充分必要條件是 . 答案：同階矩陣17若矩陣a = ，b = ，則atb=答案18設(shè)，當(dāng) 時，是對稱矩陣. 答案：19當(dāng) 時，矩陣可逆. 答案：20設(shè)為兩個已知矩陣，且可逆，則方程的解答案：21設(shè)為階可逆矩陣，則(a)= 答案：22若矩陣a =，則r(a) = 答案：223若r(a, b) = 4，r(a) = 3，則線性方程組ax = b答案：無解24若線性方程組有非零解，則答案：25設(shè)齊次線性方程組，且秩(a) = r < n，則其一般解中的自由未知量的個數(shù)等于答案：26齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為則此方程組的一般解為 .答案： (其中是自由

10、未知量)27線性方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣后為則當(dāng) 時，方程組有無窮多解. 答案：28. 計算矩陣乘積= 4 . 29. 設(shè)a為階可逆矩陣, 則(a)= n . 30. 設(shè)矩陣a =, e為單位矩陣, 則(e a) t= 31. 若線性方程組有非零解, 則 1 . 32. 若線性方程組ax=b(b ¹o)有惟一解, 則ax=o無非零解 .33.設(shè)矩陣，則的元素.答案：334.設(shè)均為3階矩陣，且，則=. 答案：35. 設(shè)均為階矩陣，則等式成立的充分必要條件是 .答案：36. 設(shè)均為階矩陣，可逆，則矩陣的解.答案：37. 設(shè)矩陣，則.答案：三、計算題 1設(shè)矩陣，求1解 因為 = =所

11、以 = 2設(shè)矩陣 ，計算 2解：= = = 3設(shè)矩陣a =，求 3解 因為 (a i )= 所以 a-1 = 4設(shè)矩陣a =，求逆矩陣 4解 因為(a i ) = 所以 a-1= 5設(shè)矩陣 a =，b =，計算(ab)-1 5解 因為ab = (ab i ) = 所以 (ab)-1= 6設(shè)矩陣 a =，b =，計算(ba)-1 6解 因為ba= (ba i )= 所以 (ba)-1= 7解矩陣方程7解 因為 即 所以，x = 8解矩陣方程. 8解：因為 即 所以，x = 9設(shè)線性方程組 討論當(dāng)a，b為何值時，方程組無解，有唯一解，有無窮多解. 9解 因為 所以當(dāng)且時，方程組無解； 當(dāng)時，方程組

12、有唯一解； 當(dāng)且時，方程組有無窮多解. 10設(shè)線性方程組 ，求其系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩，并判斷其解的情況. 10解 因為 所以 r(a) = 2，r() = 3. 又因為r(a) ¹ r()，所以方程組無解. 11求下列線性方程組的一般解： 11解 因為系數(shù)矩陣 所以一般解為 （其中，是自由未知量） 12求下列線性方程組的一般解： 12解 因為增廣矩陣 所以一般解為 （其中是自由未知量） 13設(shè)齊次線性方程組問l取何值時方程組有非零解，并求一般解. 13解 因為系數(shù)矩陣 a = 所以當(dāng)l = 5時，方程組有非零解. 且一般解為 （其中是自由未知量） 14當(dāng)取何值時，線性方程組 有解？

13、并求一般解.14解 因為增廣矩陣 所以當(dāng)=0時，線性方程組有無窮多解，且一般解為： 是自由未知量15已知線性方程組的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為問取何值時，方程組有解？當(dāng)方程組有解時，求方程組的一般解.15解：當(dāng)=3時，方程組有解. 當(dāng)=3時， 一般解為， 其中, 為自由未知量.16設(shè)矩陣 a =，b =，計算(ba)-1解 因為ba= (ba i )= 17設(shè)矩陣，是3階單位矩陣，求解：由矩陣減法運算得 利用初等行變換得即 18設(shè)矩陣，求解：利用初等行變換得即 由矩陣乘法得 19求解線性方程組的一般解 解：將方程組的系數(shù)矩陣化為階梯形一般解為 (是自由未知量) 20求當(dāng)取何值時，線性方程組有解，

14、在有解的情況下求方程組的一般解解 將方程組的增廣矩陣化為階梯形所以，當(dāng)時，方程組有解，且有無窮多解，答案：其中是自由未知量 21求當(dāng)取何值時，線性方程組解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形 當(dāng)時，方程組有解，且方程組的一般解為 其中為自由未知量 22計算解 =23設(shè)矩陣，求。解 因為所以（注意：因為符號輸入方面的原因，在題4題7的矩陣初等行變換中，書寫時應(yīng)把（1）寫成；（2）寫成；（3）寫成；）24設(shè)矩陣，確定的值，使最小。解：當(dāng)時，達到最小值。25求矩陣的秩。解： 。26求下列矩陣的逆矩陣：（1）解： （2）a =解：a-1 = 27設(shè)矩陣，求解矩陣方程解： = 四、證明題1試證：設(shè)a，b，ab均為n階對稱矩陣，則ab =ba1證 因為at = a，bt = b，(ab)t = ab 所以 ab = (ab)t = bt at = ba 2試證：設(shè)是n階矩陣，若= 0，則2證 因為 = = 所以 3已知矩陣 ，且，試證是可逆矩陣，并求. 3. 證 因為，且，即，得，所以是可逆矩陣，且. 4. 設(shè)階矩陣滿足，證明是對稱矩陣.4. 證 因為 =所以是對稱矩陣.5設(shè)a，