現(xiàn)代控制一級倒立擺

1、倒立擺實驗電子工程學(xué)院自動化 學(xué)號：目錄1實驗設(shè)備簡介21.1倒立擺介紹21.2直線一級倒立擺32 倒立擺建模32.1 直線一階倒立擺數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)32.1.1受力分析42.1.2微分方程建模52.1.3狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型62.2 實際系統(tǒng)模型建立73系統(tǒng)定性、定量分析83.1系統(tǒng)穩(wěn)定性與可控性分析83.1.1穩(wěn)定性分析83.1.2能控性分析94極點配置的設(shè)計步驟94.1極點配置的計算94.2用MATLAB進(jìn)行極點配置的計算114.3極點配置的綜合分析125小結(jié)131實驗設(shè)備簡介1.1倒立擺介紹圖1：一級倒立擺結(jié)構(gòu)圖倒立擺是處于倒置不穩(wěn)定狀態(tài)，人為控制使其處于動態(tài)平衡的一種擺。如雜技演員頂桿的物

2、理機(jī)制可簡化為一級倒立擺系統(tǒng)，是一個復(fù)雜，多變量，存在嚴(yán)重非線性，非自制不穩(wěn)定系統(tǒng)。常見的倒立擺一般由小車和擺桿兩部分組成，其中擺桿可能是一級，二級或多級，在復(fù)雜的倒立擺系統(tǒng)中，擺桿的長度和質(zhì)量均可變化。1.2直線一級倒立擺根據(jù)自控原理實驗書上相關(guān)資料，直線一級倒立擺在建模時,一般忽略系統(tǒng)中的一些次要因素.例如空氣阻力、伺服電機(jī)的靜摩擦力、系統(tǒng)連接處的松弛程度等，之后可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)的桿組成的系統(tǒng)。倒立擺系統(tǒng)是典型的機(jī)電一體化系統(tǒng)其機(jī)械部分遵循牛頓的力學(xué)定律其電氣部分遵守電磁學(xué)的基本定理.無論哪種類型的倒立擺系統(tǒng),都具有3個特性,即:不確定性、耦合性、開環(huán)不穩(wěn)定性. 直線

3、型倒立擺系統(tǒng),是由沿直線導(dǎo)軌運(yùn)動的小車以及一端固定于小車上的勻質(zhì)長桿組成的系統(tǒng).小車可以通過傳動裝置由交流伺服電機(jī)驅(qū)動. 小車導(dǎo)軌一般有固定的行程,因而小車的運(yùn)動范圍是受到限制的。2 倒立擺建模2.1 直線一階倒立擺數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)對于忽略各種摩擦參數(shù)和空氣阻力之后，直線一即倒立擺抽象為小車和均質(zhì)桿組成的系統(tǒng)。本系統(tǒng)的參數(shù)定義如下：M小車質(zhì)量m擺桿質(zhì)量b小車摩擦系數(shù) l 擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度I 擺桿慣量F 加在小車上的力 x 小車位置（變量） 擺桿與垂直向上方向的夾角（輸出） 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）2.1.1受力分析下面我們對這個系統(tǒng)作一下受力分析。和為小

4、車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。圖1：倒立擺系統(tǒng)小車和擺桿的受力分析應(yīng)用牛頓第二定律方法來建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程過程如下：分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程： (2-1)由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式： (2-2) (2-3)把這個等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個運(yùn)動方程： （2-4）為了推出系統(tǒng)的第二個運(yùn)動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程： (2-5) (2-6)力矩平衡方程如下： (2-7)注意：此方程中力矩的方向，由于，故等式前面有負(fù)號。合并這兩個方程，約去和，得到第二個運(yùn)動方程： (2-8)2.1.2微分方程建模設(shè)，當(dāng)擺桿與垂

5、直向上方向之間的夾角與1（單位是弧度）相比很小，即 時，則可以進(jìn)行近似處理：，。為了與控制理論的表達(dá)習(xí)慣相統(tǒng)一，即一般表示控制量，用來代表被控對象的輸入力，線性化后得到該系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的微分方程表達(dá)式： (2-9)2.1.3狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型由現(xiàn)代控制理論原理可知，控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可寫成如下形式： (2-10)方程組（2-9）對解代數(shù)方程，得到如下解： (2-11)整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：(2-12)2.2 實際系統(tǒng)模型建立實際系統(tǒng)參數(shù)如下，求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間方程，并進(jìn)行脈沖響應(yīng)和階躍響應(yīng)的Matlab仿真。M小車質(zhì)量1.096kgm擺桿質(zhì)量0.109kgb小車摩擦系數(shù) 0.1N

6、/m/secl 擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度(本實驗為0.3m)0.25mI 擺桿慣量0.006kg*m*mF 加在小車上的力 x 小車位置T采樣頻率0.005秒 擺桿與垂直向下方向的夾角1）以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：3系統(tǒng)定性、定量分析3.1系統(tǒng)穩(wěn)定性與可控性分析3.1.1穩(wěn)定性分析先分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，將數(shù)據(jù)代入狀態(tài)方程中，利用matlab程序可以求出系統(tǒng)的零極點。程序段如下：num,den=ss2tf(A,B,C,D) %狀態(tài)空間表達(dá)式>傳遞函數(shù)為-2.6838/(s2-31.6926)z,p,k=tf2zp(num,den)%傳遞函數(shù)>零極點型結(jié)果如下：零點：z =

7、5.4344 0.5492 -5.4344 -0.0000極點：p = 0 -5.6516 5.6081 -0.0456由得到的p（極點）可知，有的極點在單位圓外，所以可知原系統(tǒng)是不穩(wěn)定。3.1.2能控性分析我們可以利用matlab來得到系統(tǒng)的能控性，源代碼如下：uc=ctrb(A,B)%判斷能控性r=rank(uc)%求秩r =4由得到的rank（ud）的值可知，原系統(tǒng)的能控性矩陣為4，所以我們可知原系統(tǒng)是能控的。4極點配置的設(shè)計步驟4.1極點配置的計算對于如上所述的系統(tǒng)，設(shè)計控制器，要求系統(tǒng)具有較短的調(diào)整時間和合適的阻尼。倒立擺極點配置原理圖如圖所示：極點配置步驟如下：（1）檢驗系統(tǒng)能控性

8、（以證）（2）計算特征值選取期望的閉環(huán)極點，其中：期望的特征方程為：因此可以得到：由系統(tǒng)的特征方程：因此有：系統(tǒng)的反饋增益矩陣為：（3）狀態(tài)反饋增益矩陣為： 4.2用MATLAB進(jìn)行極點配置的計算程序段如下：num,den=ss2tf(A,B,C,D) %狀態(tài)空間表達(dá)式>傳遞函數(shù)為-2.6838/(s2-31.6926)p=-10 -10 -2+3.3j -2-3.3j;%期望極點配置K=acker(A,B,p)%求狀態(tài)增益K結(jié)果相同：l 系統(tǒng)輸出響應(yīng)圖3 系統(tǒng)輸出響應(yīng)圖4.3極點配置的綜合分析極點配置法成功實現(xiàn)了同時對倒立擺擺角和小車的位置的控制，但是在極點配置時，期望極點的選取，需要考慮、研究它們對系統(tǒng)品質(zhì)的影響以及它們與零點分布狀況的關(guān)系，還需要顧及抗干擾性能方面的要求。 狀態(tài)反饋系統(tǒng)的主要優(yōu)點是極點的任意配置，無論開環(huán)極點和零點在什么位置，都可以任意配置期望的閉環(huán)極點。這為我們提供了控制系統(tǒng)的手段，假如系統(tǒng)的所有狀態(tài)都可以被測量和反饋的話，狀態(tài)反饋可以提供簡單而適用的設(shè)計。5小結(jié)通過本次讀書工程，我對狀態(tài)空間有了更深的了解，從建立系統(tǒng)傳遞函數(shù)到狀態(tài)空間方程再到對系統(tǒng)的穩(wěn)定性能控性分析，都充分的將理論與實踐結(jié)合了起來。極點配置法做得很成功，輸入?yún)?shù)后擺桿能成功倒立，當(dāng)有干擾的時候，可以迅速的恢復(fù)穩(wěn)定，也