浙教版初中數(shù)學(xué)《“兩點之間線段最短”公理的應(yīng)用》教學(xué)新探

1、回歸數(shù)學(xué)的本質(zhì)-“兩點之間線段最短”公理的應(yīng)用教學(xué)新探一、問題的提出3月12日，植樹節(jié)，一個播種希望的季節(jié)。我?！靶抡n程下有效課堂教學(xué)策略的研究”課題也播下了希望的種子。作為其中的一名“植樹人”，經(jīng)歷著課程改革的點滴風(fēng)雨，感受著一線教師在課堂教學(xué)中不同教學(xué)方式的嘗試與變化，從對傳統(tǒng)教學(xué)的批判到合作學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)形式的流行，倘若把握不住學(xué)習(xí)的本質(zhì)便會使我們的教學(xué)從一個極端走向另一個極端：在熱鬧的課堂表象下是對數(shù)學(xué)本質(zhì)的流失。 中國古人對學(xué)習(xí)有著深刻的認識：在象形文字中，學(xué)上半部分是兩個手把著的算籌，下半部分為一個專門的場所，引申為從書本上、教師里獲取間接知識；習(xí)的上半部分是“羽”，代表雛鷹，雛鷹

2、離開巢臼試著飛行稱之為習(xí)，引申為從經(jīng)驗中、個體實踐中獲取知識?？梢妼W(xué)生的學(xué)習(xí)是教師與學(xué)生兩者之間的有機結(jié)合，任何一方的忽視都是不可行的。二、理論依據(jù)數(shù)學(xué)是研究客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，它具有很強的概括性、抽象性和邏輯性。數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維過程的教學(xué)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程是在頭腦中建構(gòu)認知結(jié)構(gòu)的過程，是主體的一種自主行為。它遵循著人類認識的一般規(guī)律，也有其特殊規(guī)律。2007年4月教育部數(shù)學(xué)教育高級研修班在寧波舉行會議。華師大數(shù)學(xué)系汪曉勤副教授在這次會議中作了歷史的相似性及其教學(xué)啟示報告，報告中提到要像數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)問題、思考問題那樣進行教學(xué)，而這一重要思想就如偉大科學(xué)家愛因斯坦給m.索洛文的

3、信中所提及的那樣，愛因斯坦把經(jīng)驗、直覺與理論描述為如右圖的圖景：從直接經(jīng)驗到建立公理（a），這是一種直覺聯(lián)系，從公理到導(dǎo)出命題（a ），那是一種邏輯必然聯(lián)系，從導(dǎo)出命題到實際（s）則是一種實踐、實驗驗證，從中得到的經(jīng)驗還可修正已有的公理，如此循環(huán)往復(fù)。三、實踐研究下面從“兩點之間線段最短”這一公理出發(fā)，對教學(xué)過程中的若干問題、環(huán)節(jié)進行如下的實踐與探究：（一）從直接經(jīng)驗中得到公理浙教版數(shù)學(xué)（七上）的教材中是通過生活常識引入這一公理：（1） 小狗看到遠處的骨頭，總是徑直奔向食物； ab（2） 從a地到b地有3條路可走（如圖1），為了盡快到達，人們通常選擇其中的直路。從上面的兩個事例中，你能發(fā)現(xiàn)什么

4、共同之處嗎？ 而在對應(yīng)的作業(yè)題中，有這樣一題： （圖1）如圖2，a、b、c、d表示4個村莊，村民們準備合打一口水井， （圖2）（1）水井的位置現(xiàn)有p、q兩種選擇方案，哪一種方案中，水井到各村莊的距離總和較小？（2）你能給出一種使水井到各村莊的距離之和最小的方案嗎？若能，請標出水井的位置，并說明理由。這個公理的正確性無庸質(zhì)疑，學(xué)生都有這樣的生活經(jīng)驗，但這個對應(yīng)的課后練習(xí)對一部分學(xué)生產(chǎn)生了難度，他們 可能會有個大概的感覺是在中間，卻還無法與“兩點之間線段最短”這一知識產(chǎn)生聯(lián)系。教師通過講解先讓學(xué)生對這一公理的應(yīng)用有一初步的感知，不急于揭示本質(zhì)，但也不停留于此，而是通過下面幾個問題的設(shè)計，進行類比，

5、引發(fā)學(xué)生積極思考。（圖3）（二）從公理導(dǎo)出的問題問題1：如圖3，a、b兩地位于河的兩岸，現(xiàn)要求架設(shè)一座橋，使從a到對岸b的路程最短，并使橋與和河兩岸垂直，怎樣選擇橋址呢？請畫出架設(shè)橋的地方。步驟：橋架設(shè)的位置與河岸垂直，因此河的寬度這一條件不起作用，通過多媒體演示將河兩岸靠攏（圖3.2）；步驟：在圖3.2中，學(xué)生很容易找到a、b之間的最短距離（圖3.3）； 圖3.1 圖3.2 圖3.3 圖3.4步驟：再用多媒體演示將河兩岸分開（見圖3.4），此時橋的位置p1p2就確定下來了。最后指導(dǎo)學(xué)生畫圖，理解“兩點之間線段最短”在此題中的應(yīng)用。通過多媒體的演示體現(xiàn)知識之間的結(jié)構(gòu)與關(guān)系，挖掘“知識附著點”，

6、即對學(xué)習(xí)新知、解決新問題起支撐作用的原有知識，或者說將其固定于原有認知結(jié)構(gòu)之中的那些知識，引導(dǎo)學(xué)生通過類比，進行思考，抓住知識的內(nèi)涵本質(zhì)。問題2：如圖4，某人想從a地到河邊去取水，然后倒入設(shè)在b地的水桶內(nèi)，怎樣才能使行走路線最短，試畫出行走路線。 ( 圖4 )圖4.1 類比：圖4.1與圖4.2中 點a、b的不同位置 圖4.2 思考：如何將本題（圖4.1）轉(zhuǎn) 化到學(xué)生的知識附著點（圖4.2）問題3：為了豐富學(xué)生的課余生活，某校決定舉辦一次機器人投籃大賽。規(guī)則是：如圖5，操縱者站在距線段ab為2米的c處，使機器人從a處出發(fā)，到c處取到籃球，然后行使到b處，將籃球投入設(shè)在b處的籃筐內(nèi)，用時少的即為勝

7、利者。為了獲得勝利，請你設(shè)計出c 的最佳位置（保留畫圖痕跡），若ab=3米，求出機器人行使的最短路程。 聯(lián)系上題的知識附著點（圖5.1） （圖5） 圖5.1關(guān)鍵：畫出到ab距 利用對稱找離為2的直線（圖5.2） 到c點位置 圖5.2 圖5.3教師抓住這幾個數(shù)學(xué)問題之間的結(jié)構(gòu)、關(guān)系及順序，并恰當?shù)母淖兯鼈?，從而?chuàng)造出一系列的問題，引導(dǎo)學(xué)生以不同的角度和不同的情形去看待它們，讓學(xué)生感受到“萬變不離其宗”，而這“宗”就是最核心問題，從而掌握知識的本質(zhì)，達到教學(xué)的最佳效果。（三）回歸公理，剖析公理的本質(zhì)abp3p1p2從以上幾個問題中，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)，我們研究的都是點與點之間的距離最短問題，那么再次回到

8、浙教版數(shù)學(xué)（七上）這一公理的引入。在狗去吃骨頭的三種路線中（如圖6所示）：a、p1、b與a、p3 、b不在同一直在線，唯有a、p2、b在一直線上，讓學(xué)生抓住“兩點之間線段最短”的實質(zhì)就是這些點所形成的路線是直線，而非 （圖6）曲線或是折線。特別是a、p3、b這條折線的路線較長還有一個理由-兩邊之和大于第三邊，而三角形的三邊關(guān)系這個性質(zhì)也是基于“兩點之間線段最短”這一公理之上的。（四）把經(jīng)驗應(yīng)用于實際，抓住本質(zhì)，將問題引入更深層次通過教師以上搭建的不同腳手架，使學(xué)生一步一步扎扎實實地抓住了“兩點之間線段最短”這個公理的核心內(nèi)容，在學(xué)生的學(xué)習(xí)知識結(jié)構(gòu)中建立了這一知識的應(yīng)用模型，在此基礎(chǔ)上，創(chuàng)設(shè)下面

9、兩個應(yīng)用，開展探究性學(xué)習(xí)模式，將問題引入更深層次，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。應(yīng)用一：1、 新年聯(lián)歡會上，同學(xué)在禮堂四周擺了一圈長條桌子，其中北邊條桌上擺滿了蘋果，東邊條桌上擺滿了香蕉，禮堂中間放一把椅子。游戲規(guī)則是這樣的：甲、乙兩人從a處（如圖7）同時出發(fā)，先去拿蘋果，再去拿香 蕉，然后回到椅子所在的b處，誰先坐到椅子上誰贏。 （圖7）小聰和小明比賽，比賽一開始，只見小聰直奔東北角兩張條桌的交點m處，左手抓蘋果，右手拿香蕉，回頭直奔b處，不料還未跑到b處，只見小明已經(jīng)手捧蘋果和香蕉穩(wěn)穩(wěn)的坐在b處的椅子上了。如果小明不比小聰跑得快，是不是還有快捷方式呢？ 教學(xué)中先分析小聰?shù)穆肪€(如圖8)，引導(dǎo)學(xué)生思考

10、：如果小聰走的是最短路線，即am+bm最小，能否讓am與bm在同一直線上嗎？然后進行實驗操作-畫不同的對稱點，通過多次的實驗比較，學(xué)生定能找到問題的答案（如圖8）。 （圖8）2、 在直角坐標系中，有四個點a（- 8，3）、b（- 4，5）、c（0，）、d（，0），當四邊形abcd的周長最短時，的值是_.通過第1題的思維練習(xí)，學(xué)生對于第2題一定能迎刃而解。而第1題這一生活化的例子是對第2題的鋪設(shè)，縮小知識之間的潛在距離，使探究活動更具有效性。應(yīng)用二：1、設(shè)、為正數(shù)，且，求的最小值。 圖本題應(yīng)用中，引導(dǎo)學(xué)生將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化到幾何模型，如何創(chuàng)設(shè)“兩點之間線段最短”這個幾何模型呢？顯然我們要將問題中的與

11、看作兩條線段的長，把問題轉(zhuǎn)化為求兩條線段和的最小值。根據(jù)代數(shù)式的特征引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系直角三角形的勾股定理這一知識。（1）如圖，作長為6的線段ab，過a、b兩點在同側(cè)作ab的垂線段ac、bd，使ac = 1，bd = 2；圖（2）設(shè)p是ab上的一個動點，設(shè)pa =，pb =，則，連結(jié)pc、pd，則pc = ，pd = （3）如圖，只要在ab上找到使pc+pd為最小的點p的位置，就可以計算出的最小值。2、某漁夫在a地捕魚（如圖9），a 離海岸（直線）最近點距離為6，點b離家c距離為10，因為受到水流影響，他劃船的速度只能達到3，而步行速度能達到6，打完魚后，漁夫為盡快到家，他應(yīng)該在bc之間哪點著陸？請

12、畫圖并作必要說明，同時算出回家所用的時間。 先列式：設(shè)著陸點為p，則 （圖9）再引導(dǎo)：如何將此代數(shù)式轉(zhuǎn)化成幾何模型？此時探究活動教師的適度介入會使學(xué)生的探究活動更有意義：將式子適當變形成，見下圖：如何構(gòu)造這一線段 ，使得與ap在同一直線上？引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想含30°的直角三角形應(yīng)用二的兩個例子是對學(xué)生已建立起來的知識結(jié)構(gòu)的又一次沖擊，是打破思維定勢的又一次創(chuàng)新。數(shù)和形在本環(huán)節(jié)中得到了有機的結(jié)合，啟發(fā)學(xué)生如何應(yīng)用“兩點之間線段最短”的經(jīng)典幾何模型，通過對比、聯(lián)想等適當?shù)霓D(zhuǎn)變思維方向，調(diào)節(jié)思維策略，不斷在原有基礎(chǔ)上突破思維定勢，創(chuàng)設(shè)新問題的模型，達到學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。結(jié)束語：認識論告訴我們，人們創(chuàng)造或接受一種新的知識，便都想認識它、學(xué)習(xí)它、研究它，并進而發(fā)展它。數(shù)學(xué)教學(xué)在某種意義上也正是反映了這三個層次，即傳授知識，教育學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)；啟迪思維，引導(dǎo)學(xué)生認識數(shù)學(xué)；培養(yǎng)能力，鼓勵學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)?！皟牲c之間線段最短”這一問題的研究設(shè)計正是充分體現(xiàn)了這三個層次的一個有機結(jié)合，有表及里，有感性到理性，有形象到抽象，精心設(shè)計每個問題，環(huán)環(huán)深入，揭露本質(zhì)，通過教師的步步引導(dǎo)，學(xué)生在細膩中見扎實，在體