判別一個(gè)函數(shù)fx在ab上是否可積就是判別PPT課件

1、定理9.1 (可積必有界）若函數(shù) 在 上可積，則 在 上必有界.ff,ba,ba證 設(shè).d)(Jxxfba由定義, 對(duì)100,T,T只要無(wú)論只要無(wú)論11niiif () xJ, 于是1, (1,2, ),iiixxin 與如何選取 都有與如何選取 都有 第1頁(yè)/共15頁(yè)1,. kkxx上無(wú)界 令上無(wú)界 令(),iiikGfx 1,kkkxx 故必存在滿(mǎn)足故必存在滿(mǎn)足11niiif () xJM. ().kkMGfx ( ) , f xa b倘若在上無(wú)界，倘若在上無(wú)界，,k則必有則必有( )f x使得在使得在第2頁(yè)/共15頁(yè)于是1()niiifx 矛盾.以下例子告訴我們, 有界性并不是可積的充分

2、條件.()()kkiiikfxfx ,kkMGxGMx 第3頁(yè)/共15頁(yè),.:10bxxxaTn稱(chēng)為 f 關(guān)于分割 T 的上和,其中1( )niiiS TMx1sup( )|, ,1, 2,;iiiMf xxxxin稱(chēng)為 f 關(guān)于分割 T 的下和,其中1( )niiis Tmx1inf( )|, ,1, 2,;iiimf xxxxin , ,fa b設(shè)在上有界設(shè)在上有界對(duì)任意分割定義21(1, 2,),iiiiiMminfxx 稱(chēng)稱(chēng)為為在在上上的的.振振幅幅第4頁(yè)/共15頁(yè)定理9.3（可積準(zhǔn)則）函數(shù) f 在a, b上可積的充要條件是：0,T 分分割割使使11( )( )().nniiiiiii

3、S Ts TMmxx此定理將在本章第六節(jié)定理 9.15 中證明. 在用它振幅反映了函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的變化范圍,是一個(gè)與連續(xù)性相關(guān)聯(lián)的概念.1 niiix 證明可積性問(wèn)題時(shí),有多種方法可使第5頁(yè)/共15頁(yè)11.nniiiiixxba 常見(jiàn)的有三種方法,下面分別作出介紹.每個(gè)abi ，從而第一種方法:, , .a bf例如 在上一致連續(xù)的,便屬于這種情形例如 在上一致連續(xù)的,便屬于這種情形定理9.4（連續(xù)必可積）連續(xù)，則可積.若 , fa b在上在上 , fa b在上在上連續(xù),從而一致連續(xù).于證 , fa b在上在上 , a b在上在上第6頁(yè)/共15頁(yè)()().f xf xba iiimM 1sup(

4、)(),iif xf xx xxx，,ab 從而11.nniiiiixxba 因此當(dāng) , a bTT 上的分割滿(mǎn)足時(shí),上的分割滿(mǎn)足時(shí),0,0, , ,x xa b是是,xx 若則若則第7頁(yè)/共15頁(yè), , fa b例如在上單調(diào)時(shí),有例如在上單調(diào)時(shí),有1( )( ) ,niif bf a 1,niiM 若若有有界界 即即對(duì)對(duì)任任意意分分割割第二種方法:11|.nniiiiixTMM |,TM 則當(dāng)時(shí)則當(dāng)時(shí)1,niiM , fa b從從而而可可證證在在上上可可積積. .第8頁(yè)/共15頁(yè)定理9.5（單調(diào)必可積） , , fa bfa b若是上的單調(diào)函數(shù),則在上可積.若是上的單調(diào)函數(shù),則在上可積.f證

5、 不妨設(shè)是非常值的增函數(shù)，則對(duì)任意分割01:.,nTaxxxb1()(),1,2, ,iiif xf xin 于是 111()()( )( ).nniiiiif xf xf bf a 因此,若,( )( )Tf bf a 則則第9頁(yè)/共15頁(yè)11nniiiiixT.)()()()( afbfafbf,iix 在在中中iix 而而在在中中，,)(2abi ,)(2mMxi ,iiiiiixxx若若第三種方法:第10頁(yè)/共15頁(yè),1,2, .iMm in 于是 iiiiiixxx )()(2)()(2mMmMabab . , ,Mmfa b其中是在上的振幅 從而其中是在上的振幅 從而第11頁(yè)/共1

6、5頁(yè)0, 取滿(mǎn)足取滿(mǎn)足0().2()baMm 定理9.6（有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)必可積）若 , fa b在上在上有界,且只有有限多個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，此時(shí)可用第三種方法證明 f 可積. f 在 a, b 上可積.只有一個(gè)間斷點(diǎn),且為 b.證 不妨設(shè) , fa b在上在上 , fa b若 在上有界，且只有有限多個(gè)間斷點(diǎn)，則若 在上有界，且只有有限多個(gè)間斷點(diǎn)，則第12頁(yè)/共15頁(yè)., ,fbb界 設(shè)在上的振幅為則界 設(shè)在上的振幅為則.2)(2)( mMmM,.:110 bxxxaTn使.2Tiix 則存在分割 ,fa b 由于在上連續(xù),由于在上連續(xù), , Mmfa b其其中中與與分分別別為為在在上上的的上上確確界界與