動態(tài)微分方程模型PPT課件

1、問題提出 本世紀(jì)初，瘟疫常在世界上某地流行，隨著人類文明的不斷進(jìn)步，很多疾病，諸如天花、霍亂已經(jīng)得到有效的控制然而，即使在今天，一些貧窮的發(fā)展中國家，仍出現(xiàn)傳染病流行的現(xiàn)象,醫(yī)療衛(wèi)生部門的官員與專家所關(guān)注的問題是：（1）如何描述傳染病的傳播過程（2）如何分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律（3）如何預(yù)報傳染病高潮的到來第1頁/共31頁問題分析 不同類型傳染病的傳播過程有不同的特點。故不可能從醫(yī)學(xué)的角度對各種傳染病的傳播過程一一進(jìn)行分析，而是按一般的傳播機(jī)理建立模型 由于傳染病在傳播的過程涉及因素較多，在分析問題的過程中，不可能通過一次假設(shè)建立完善的數(shù)學(xué)模型 思路是：先做出最簡單的假設(shè)，對得出的結(jié)果進(jìn)行分析

2、，針對結(jié)果中的不合理之處，逐步修改假設(shè)，最終得出較好的模型。第2頁/共31頁模型一模型假設(shè)：（1）一人得病后，久治不愈，人在傳染 期內(nèi)不會死亡。（2）單位時間內(nèi)每個病人傳染人數(shù)為常 數(shù)k。為什么假設(shè)不會死亡？（因為死亡后便不會再傳播疾病，因而可認(rèn)為此時已退出系統(tǒng)）第3頁/共31頁模型建立：I（t）表示t時刻病人的數(shù)量，時間：天則：I（t+t）I（ t）k0I（t） t于是模型如下：00)0()(IItIkdtdI模型的解：tkeItI00)(第4頁/共31頁舉個實例最初只有1個病人，1個病人一天可傳染1個人第5頁/共31頁模型的缺點問題：隨著時間的推移，病人的數(shù)目將無限增加， 這一點與實際情況

3、不符原因：當(dāng)不考慮傳染病期間的出生、死亡和遷移 時，一個地區(qū)的總?cè)藬?shù)可視為常數(shù)。因此 k0應(yīng)為時間t的函數(shù)。在傳染病流行初期， k0較大，隨著病人的增多，健康人數(shù)減少， 被傳染的機(jī)會也減少，于是k0將變小。模型修改的關(guān)鍵： k0的變化規(guī)律第6頁/共31頁模型二(SI模型)設(shè)t時刻健康人數(shù)為S(t)病人數(shù)為I(t)模型假設(shè)：（1）總?cè)藬?shù)為n不變，既不考慮生死，也不考慮 遷移，I(t)十S(t)n（2）一人得病后，久治不愈，且在傳染期內(nèi)不 會死亡。（3）一個病人在單位時間內(nèi)傳染的人數(shù)與當(dāng)時 健康的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k（稱之為 傳染系數(shù)）第7頁/共31頁模型改進(jìn)0( )( )(0)dIkS tI

4、 tdtII方程的解：knteInntI11)(0第8頁/共31頁對模型作進(jìn)一步分析傳染病人數(shù)與時間t關(guān)系傳染病人數(shù)的變化率與時間t的關(guān)系 染病人數(shù)由開始到高峰并逐漸達(dá)到穩(wěn)定 增長速度由低增至最高后降落下來第9頁/共31頁疾病的傳染高峰期022dtId此時計算高峰期得：knInt) 1ln(00意義：1、當(dāng)傳染系數(shù)k或n增大時，t0隨之減少，表示傳 染高峰隨著傳染系數(shù)與總?cè)藬?shù)的增加而更快 的來臨，這與實際情況比較符合。2、令=kn，表示每個病人每天有效接觸的平均 人數(shù)，稱日接觸率日接觸率。t0與 成反比。 表示該 地區(qū)的衛(wèi)生水平， 越小衛(wèi)生水平越高。故 改善衛(wèi)生水平可推遲傳染病高潮的來臨。第1

5、0頁/共31頁模型的缺點缺點：當(dāng)t時，I(t) n，這表示所有的人最 終都將成為病人，這一點與實際情況不 符合原因：這是由假設(shè)1)所導(dǎo)致，沒有考慮病人可 以治愈及病人病發(fā)身亡的情況。思考題：考慮有病人病發(fā)身亡的情況，再對模型 進(jìn)行修改。第11頁/共31頁模型三(SIS模型) 有些傳染?。ㄈ缌〖?愈后免疫力很低，還有可能再次被傳染而成為病人。模型假設(shè)：（1）健康者和病人在總?cè)藬?shù)中所占的比例分別為s(t)、i(t)， 則： s(t)+i(t)1（2）一個病人在單位時間內(nèi)傳染的人數(shù)與當(dāng)時健康人數(shù)成 正比，比例系數(shù)為k（3）病人每天治愈的人數(shù)與病人總數(shù)成正比，比例系數(shù)為(稱日治愈率日治愈率)，病人治愈

6、后成為仍可被感染的健康者， 稱1/ 為傳染病的平均傳染期平均傳染期(如病人數(shù)保持10人，每天治愈2人， 1/5，則每位病人平均生病時間為1/ 5天)。第12頁/共31頁模型的建立假設(shè)2、3得：0( ) ( )( )(0)diNNs t i tNi tdtii將假設(shè)1代入，可得模型：0(1)(0)diiiidtii第13頁/共31頁模型的解：()10101()( )1()teii tti 第14頁/共31頁閾值=/的意義 一個病人在平均傳染期內(nèi)傳染的人數(shù)與當(dāng)時健康的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為10111)(limtii第15頁/共31頁模型的意義（t , i (t)）圖（1）當(dāng)1時，指傳染期內(nèi)被傳染的

7、人數(shù)不超過當(dāng)時健康的 人數(shù)。病人在總?cè)藬?shù)中所占的比例i(t)越來越小，最終趨 于零。（2）當(dāng) l時，i(t)最終以1-1/ 為極限；（3）當(dāng)增大時，i()也增大，是因為隨著傳染期內(nèi)被傳染 人數(shù)占當(dāng)時健康人數(shù)的比例的增加，當(dāng)時的病人數(shù)所占 比例也隨之上升第16頁/共31頁模型四（SIR模型） 某些傳染病如麻疹等，治愈后均有很強(qiáng)的免疫力，所以病愈的人既非健康人，也非病人。模型假設(shè)：（1）人群分為健康者、病人、病愈免疫者三類， 這三類人在總?cè)藬?shù)中所占的比例分別為s(t)， i(t)，r(t)，則有s(t)+i(t)+r(t)1。（2）單位時間內(nèi)，一個病人傳染的人數(shù)與當(dāng)時 健康者人數(shù)成正比，比例系數(shù)為

8、k（3）在單位時間內(nèi)，病愈免疫的人數(shù)與當(dāng)時病 人人數(shù)成正比，比例系數(shù)為第17頁/共31頁模型的建立00(0)(0)disiidtdssidtiiss 從此方程無法求出i ( t )與s ( t )的解析解。我們可以從相軌線作定性分析第18頁/共31頁相軌線相軌線（s，i）000ln1)(sssisi圖中箭頭表示了隨著時間t的增加s(t)和i(t)的變化趨向第19頁/共31頁相軌線分析結(jié)果1、不論初始條件s0、i0如何病人終將消失。2、最終未被感染的健康者的比例是s，圖中 可看出是在(0，1/ )內(nèi)的單根。3、若s0 1/ ，則i(t)先增加，當(dāng)s1/ 時，i(t)達(dá)到 最大。4、若s0 1/

9、，則i(t)單調(diào)減小至零第20頁/共31頁閾值1/的意義1、減小傳染期接觸數(shù) ，即提高閾值l/ ，使得 s0 1/ (即 1/ s0)，傳染病就不會蔓延。2、衛(wèi)生、醫(yī)療水平：=/3、交換數(shù)的意義：s=s1/是傳染期內(nèi)一個病 人傳染的健康者的平均人數(shù)，稱為交換數(shù)，其含 義是一個病人被s個健康者交換。4、 的估計ssss00lnln第21頁/共31頁模型驗證印度孟買的一個例子)2(22202tchsdtdr 圖中，實際數(shù)據(jù)用圓點表示可以看出，理論曲線與實際數(shù)據(jù)吻合得相當(dāng)不錯。第22頁/共31頁SIR模型的兩個應(yīng)用 被傳染比例的估計 群體免疫和預(yù)防第23頁/共31頁被傳染比例的估計00012()2x

10、ssss011s0i假定 很小， 接近于10s其中這個結(jié)果表明，被傳染人數(shù)比例約為 的2倍，當(dāng)該地區(qū)的衛(wèi)生和醫(yī)療水平不變，即 不變時，這個比例就不會改變。而當(dāng)閾值提高時， 減小，于是這個比例就會降低。第24頁/共31頁群體免疫和預(yù)防 根據(jù)對模型的分析，當(dāng) 時，傳染病不會蔓延，因而制止傳染病蔓延的途徑有兩條 1提高衛(wèi)生和醫(yī)療水平（使閾值變大）； 2通過預(yù)防接種使群體得到免疫（降低 ）0s01/s011r只要通過群體免疫使初始時刻的移出者比例（即免疫者比例）滿足（）式，就可以制止傳染病的蔓延（）0r第25頁/共31頁課后任務(wù) 請各位同學(xué)進(jìn)行一些調(diào)查，根據(jù)模型算一算在廣州，非典型肺炎爆發(fā)的高潮大概是

11、在何時，與實際情況相吻合嗎？根據(jù)模型請給出你的建議。第26頁/共31頁思考題1 設(shè)某城市共有n+1人，其中一人出于某種目的編造了一個謠言。該城市具有初中以上文化程度的人占總?cè)藬?shù)的一半，這些人只有1/4相信這一謠言，而其他人約有1/3會相信。又設(shè)凡相信此謠言的人每人在單位時間內(nèi)傳播的平均人數(shù)正比于當(dāng)時尚未聽說此謠言的人數(shù)，而不相信此謠言的人不傳播謠言。試建立一個反映謠傳情況的微分方程模型。第27頁/共31頁思考題2 汽車停車距離可分為兩段：一段為發(fā)現(xiàn)情況到開始制動這段時間里駛過的距離DT，這段時間為反應(yīng)時間；另一段則為制動時間駛過的距離DR，現(xiàn)考核某司機(jī)，考核結(jié)果如下： 行駛速度 DT DR 3

12、6公里/小時 3米 45米 50公里/小時 5米 125米 70公里/小時 7米 245米（1）作出停車距離D的經(jīng)驗公式（2）設(shè)制動力正比于車重，建立理論分析模型并求 出D的公式。第28頁/共31頁思考題3 本世紀(jì)初，在倫敦曾觀察到一種現(xiàn)象，大約每兩年發(fā)生次麻疹傳染病。生物數(shù)學(xué)家HE索珀試圖解釋這種現(xiàn)象，他認(rèn)為易受傳染者的人數(shù)因人口中新添新的成員而不斷得到補(bǔ)充。試建立數(shù)學(xué)模型。第29頁/共31頁思考題4 房屋管理部門想在房頂?shù)倪吘壈惭b一個檐槽，其目的是為了雨天出入方便。簡單說來，從屋脊到屋檐的房頂可以看成是一個12米長，6米寬的矩形平面，房頂與水平方向的傾斜角度要視具體的房屋而定，一般說來，這個角度通常在20