畢業(yè)設(shè)計(jì)論文關(guān)于集合可數(shù)的若干證明方法

1、畢 業(yè) 論 文題 目 關(guān)于集合可數(shù)的若干證明方法 學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) 所在院(系) 數(shù) 學(xué) 系 專業(yè)班級(jí) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2003級(jí)4班 指導(dǎo)教師 2007年 5月 22日關(guān)于集合可數(shù)的若干證明方法（陜西理工學(xué)院數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2）指導(dǎo)教師： 摘 要 本文主要介紹了有關(guān)集合可數(shù)的五種證明方法,這些方法是:一.依據(jù)定義構(gòu)造無窮序列證明集合可數(shù);二.依據(jù)伯恩斯坦定理通過建立映射證明集合可數(shù);三.通過集合之間取并集來證明有些集合可數(shù);四.用數(shù)學(xué)歸納法證明集合可數(shù);五.運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想.通過以上方法的討論,本文對有關(guān)集合可數(shù)的證明做了一個(gè)比較全面的介紹.關(guān)鍵詞 可數(shù)集;1-1映射;無窮序列 引言集

2、合是整個(gè)數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ),可數(shù)集是實(shí)變函數(shù)中的一個(gè)最基本的概念,對后續(xù)的測度論以及l(fā)ebesgue積分的學(xué)習(xí)起著很重要的作用而且作為一類最簡單的集合在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中也有廣泛的應(yīng)用.基于此判斷并證明集合可數(shù)便顯得尤為重要,雖然可數(shù)集合數(shù)目眾多,種類繁雜,但集合可數(shù)的證明方法無分就幾類.本文將主要介紹其中常用的五種方法.作者通過閱讀大量的參考文獻(xiàn),從中搜集了大量的習(xí)題,通過認(rèn)真演算,其中少數(shù)難度較大的題目之證明來自相應(yīng)的參考文獻(xiàn),并對這些證明方法做了系統(tǒng)的歸納和總結(jié).由于本文的主要內(nèi)容是介紹解題方法,所以,本文會(huì)以大量的例題進(jìn)行講解說明. 預(yù)備知識(shí)定義2.11 設(shè)是兩個(gè)集合,如果存在二者元素之間的

3、一個(gè)對應(yīng)關(guān)系,使中任意元素,通過都恰與中某一個(gè)元素對應(yīng),而中任意的元素也一定是中某一通過在中的對應(yīng)元素,則我們就說和是對等的.記為.定義2.22凡與自然數(shù)集對等的集合稱為可列集.可列集與有限集統(tǒng)稱可數(shù)集.定理2.13(cantorbernstein) 若,則.定理2.24 任何無窮集合必有可數(shù)子集.基于以上兩個(gè)定理,我們給出集合可數(shù)的如下兩個(gè)充分條件.定理2.3 設(shè)為任意無窮集,為一可數(shù)集,且存在滿射,則可數(shù).證明 由已知必存在集合,使得在上的限制是一個(gè)雙射,即存在集合,使得為一個(gè)雙射,也就是說.又由定理2.2,必有可數(shù)子集,即存在,且,也就是說.從而由定理2.1知,又,故即可數(shù).定理2.4

4、設(shè)為任意無窮集,為一可數(shù)集,且存在單射,則可數(shù).證明 由已知,而顯然為一雙射,故.由定理2.2知必有可數(shù)子集,即存在,使得,因此由定理2.1知,即可數(shù).定理2.55 若都是可數(shù)集合,則是可數(shù)的.用數(shù)學(xué)歸納法不難把定理2.7的結(jié)論推廣到個(gè)集合的情形,即推論2.11 若對于每一個(gè)是可數(shù)集合,則是可數(shù)集合.下面的定理2.6我們再將結(jié)論進(jìn)一步推廣到可數(shù)個(gè)集合的情形.定理2.66 如果的每一個(gè)都是可數(shù)集合,則也是可數(shù)集合.3 關(guān)于集合可數(shù)的一些證明方法 以下文中例題選自參考文獻(xiàn)7,8,9,10.3.1 依據(jù)定義構(gòu)造無窮序列證明集合可數(shù)依據(jù)上面的定義無窮集合可數(shù)與可列等價(jià),那么要證明一個(gè)無窮集合可數(shù)只要找

5、到其元素的一個(gè)無窮序列便可.例3.1 全體有理數(shù)構(gòu)成的集合可數(shù).證明 由于任意有理數(shù)都可以用分?jǐn)?shù)表示, 我們構(gòu)造集合集合序列如下,則這些所有集合的全體元素可做排列,其排列規(guī)則為排第一位,當(dāng)時(shí),排在第位, 將上述排列中的重復(fù)元素只取其一個(gè)最簡形式,便可得到一個(gè)全體有理數(shù)的無窮序列為,故而由定義可知全體有理數(shù)構(gòu)成一可數(shù)集.例3.2 證明直線上以有理數(shù)為端點(diǎn)的區(qū)間全體所組成的集合可數(shù).證明 設(shè)直線上的全體有理點(diǎn)為,令,則中的元素可排列如下：,將以上排列重排成無窮序列如下：.故可數(shù).例3.3 證明整數(shù)集可數(shù).證明 整數(shù)集中的元素可做如下無窮序列:,故整數(shù)集可數(shù).根據(jù)定義構(gòu)造無窮序列來證明集合可數(shù)的方法

6、關(guān)鍵在于構(gòu)造無窮序列,而這其中是有很多技巧的,還要通過多做練習(xí),細(xì)加揣摩,還有多注意總結(jié)前人的經(jīng)驗(yàn)才能掌握.3.2 依據(jù)伯恩斯坦定理通過建立映射證明集合可數(shù)例3.4 直線上互不相交的開區(qū)間構(gòu)成的集合可數(shù).證明 記直線上互不相交的開區(qū)間構(gòu)成的集合為,建立有理數(shù)集到的映射如下,對于任意的,由有理數(shù)的稠密性知,存在,即存在,使得,故是一個(gè)滿射,從而根據(jù)定理2.3,可數(shù).例3.5 若直線上的集合的任意兩點(diǎn)間的距離大于,則集合可數(shù).證明 用點(diǎn)將直線分成可數(shù)個(gè)閉區(qū)間.易知每一個(gè)閉區(qū)間至多含有已知集合的一個(gè)點(diǎn),因而在集合中的點(diǎn)到閉區(qū)間之間存在一個(gè)單射,故集合可數(shù).例3.6 直線上的集合稱為離散集是指,對任意

7、給定的,存在使得與不相交,即不是的聚點(diǎn).求證直線上的離散集為可數(shù)集.證明 依據(jù)題意,使得.于是我們可以建立如下這般映射,其中滿足.易見是一單射,而是可數(shù)集.從而根據(jù)定理2.4知集合是可數(shù)集.例3.7 函數(shù)的真正極值是指,對于定義域內(nèi)一點(diǎn),如果存在,使對于任意均成立,則稱為函數(shù)的真正極大值,相應(yīng)的稱為的真正極大值點(diǎn).設(shè)為實(shí)函數(shù),令,則為一可數(shù)集.證明 設(shè)為的真正極大值點(diǎn),選區(qū)間,使得為有理數(shù)且對于任意的,有,.由真正極大值的定義知映射,為單射.于是由定理2.4為一可數(shù)集.此法主要建立在伯恩斯坦定理的基礎(chǔ)之上,根據(jù)集合對等的定義,通過建立映射來證明集合可數(shù).集合對等的定義中要求兩個(gè)集合之間存在雙射

8、,此方法在伯恩斯坦定理的基礎(chǔ)之上得到兩個(gè)定理,并通過此二定理將集合可數(shù)的條件減弱為單射或滿射.映射是數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本的概念,在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中均可看見映射的蹤影,映射也是一個(gè)大家都很熟悉的概念,因此在證明集合可數(shù)時(shí)不妨試試建立映射.此法的關(guān)鍵是建立合適的映射. 3.3 通過集合之間取并集來證明有些集合可數(shù).例3.8 證明平面上坐標(biāo)為有理數(shù)的點(diǎn)組成可數(shù)集合.證明 首先記平面上坐標(biāo)為有理數(shù)的點(diǎn)組成的集合為,將（,）中有理數(shù)全體排列起來.記橫坐標(biāo)為,縱坐標(biāo)為有理數(shù)的點(diǎn)的全體構(gòu)成的集合為,顯然,而且易知為可數(shù)集合,故為可數(shù)集合.例3.9 所有系數(shù)為有理數(shù)的多項(xiàng)式組成一個(gè)可數(shù)集.證明 記所有系數(shù)為有理數(shù)

9、的多項(xiàng)式組成的集合為,記次有理系數(shù)多項(xiàng)式為,（）.由于多項(xiàng)式由其系數(shù)所唯一確定,因此所有次有理系數(shù)多項(xiàng)式組成的集合可記為令,易知可數(shù).建立映射顯然這是一個(gè)單射,于是由定理2.4可數(shù).又,故可數(shù).例3.10 全體代數(shù)數(shù)所組成的集合可數(shù).證明 首先我們基于這樣一個(gè)事實(shí),對于任意給定的自然數(shù)全體次整系數(shù)多項(xiàng)式所組成的集合可數(shù).由代數(shù)學(xué)知識(shí)可知,次多項(xiàng)式至多有個(gè)根.從而對于任意自然數(shù),所有次整系數(shù)多項(xiàng)式的全體根所組成的集合可數(shù),記為.令,易知即為全體代數(shù)數(shù)所組成的集合.而且易見可數(shù).例3.11 當(dāng)取遍所有正整數(shù)時(shí),所有進(jìn)制有限小數(shù)組成一可數(shù)集. 證明記所有進(jìn)制有限小數(shù)組成的集合為,下證可數(shù).對于任意的

10、給定的,進(jìn)制有限小數(shù)全體顯然組成可數(shù)集記為,則,由定理2.6知為一可數(shù)集.數(shù)學(xué)中有這么一句話,所謂的復(fù)雜問題只不過是簡單問題的組合而已.這句話說得有一點(diǎn)夸大,但是對我們處理有些數(shù)學(xué)問題還是有一些啟示的.比如在證明集合可數(shù)時(shí),當(dāng)我們沒有辦法證明一個(gè)比較復(fù)雜的集合可數(shù)時(shí),不妨把它分解成很多個(gè)（當(dāng)然不能超過可數(shù)多個(gè)）簡單集合的并集,再證明每一個(gè)簡單集合可數(shù),從而根據(jù)定理說明并起來的復(fù)雜集合也是可數(shù)的.當(dāng)然分解的時(shí)候至多分解為可數(shù)多個(gè)簡單集合.此法的關(guān)鍵是找出合適的簡單集合,使之并起來為所要證明的復(fù)雜集合.這部分主要是利用定理2.5、2.6以及推論2.1采用分解之法,其它化復(fù)雜為簡單之法將在3.5有所

11、體現(xiàn).3.4 用數(shù)學(xué)歸納法證明集合可數(shù)例3.12 維空間中以有理數(shù)為坐標(biāo)的點(diǎn)構(gòu)成的集合可數(shù).證明 記.當(dāng)時(shí),是可數(shù)集合,命題成立.假設(shè)時(shí)命題成立,即可數(shù),我們將其表示成無窮序列的形式,其中每一個(gè)是一個(gè)維向量.給每一個(gè)（）添加一個(gè)有理數(shù)坐標(biāo)便可以將其擴(kuò)展成一個(gè)維向量,當(dāng)添加的坐標(biāo)取遍所有理數(shù)時(shí),每一個(gè)被擴(kuò)展成可數(shù)個(gè)維向量,我們將這可數(shù)個(gè)維向量組成的集合記為,易見,故可數(shù).綜上,由歸納法原理,對于任意自然數(shù),可數(shù).原命題成立.例3.13 可數(shù)集合的所有有限子集所組成的集合可數(shù).證明 記為一可數(shù)集合,則可以表示為,記,其中對于任意,是的元子集,用表示的所有有限子集所組成的集合,則顯然.下面用數(shù)學(xué)歸納

12、法證明對于任意,可數(shù),從而證明可數(shù).首先顯然可數(shù).假設(shè)可數(shù),下證可數(shù),中的元素可以按照這樣的方式構(gòu)成,給中的每一個(gè)元素集添加一個(gè)元素.即給添加一個(gè)元素,使之變成,從這個(gè)變換過程還可以看出實(shí)際上已經(jīng)建立了一個(gè)從到的滿射,其中為從變到所添加的那個(gè)元素.故可數(shù).綜上根據(jù)歸納法原理,對于任意自然數(shù)可數(shù).其實(shí)從以上證明可以看出可數(shù)集合的所有可數(shù)子集所組成的集合也是可數(shù)的.數(shù)學(xué)歸納法是一個(gè)應(yīng)用很廣泛的而又很基本的數(shù)學(xué)方法,可以說凡是有自然數(shù)的地方都可以看到數(shù)學(xué)歸納法.而在處理與自然數(shù)相關(guān)的問題時(shí)使用數(shù)學(xué)歸納法也的確會(huì)得心應(yīng)手,需要注意的是數(shù)學(xué)歸納法基本的三個(gè)步驟缺一不可.集合可數(shù)的命題中也有很多與自然數(shù)相

13、關(guān),尤其是維空間的子集,可謂和自然數(shù)直接相關(guān),譬如例3.12,因此在證明此類集合可數(shù)時(shí)數(shù)學(xué)歸納法也不失為一種可行之法.3.5 運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想 解決數(shù)學(xué)問題的基本的思路之一便是將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題,將陌生問題轉(zhuǎn)化為熟知問題,將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題.在集合可數(shù)性的證明中這一方法也可派上用場.我們通過六個(gè)例題簡單地介紹了此法,轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是初等數(shù)學(xué)的四大思想方法之一,是一個(gè)在大的方向上提供思路的方法,并不能提供具體的解題之招,因此具體的轉(zhuǎn)化技巧的掌握還要經(jīng)過多練習(xí),多揣摩.例3.14 證明定義在整個(gè)數(shù)軸上的單調(diào)函數(shù)之間斷點(diǎn)所組成的集合可數(shù).證明 不妨設(shè)函數(shù)為單調(diào)增函數(shù),其間斷點(diǎn)的全體記

14、為.由文獻(xiàn)10知：.及存在.的充要條件為.,若,則.故每一個(gè)對應(yīng)于直線上的開區(qū)間.且由可知這樣的開區(qū)間是互不相交的,因此可數(shù).例3.15 設(shè)是無限集,若從中任意選取不同的數(shù)所組成的無窮項(xiàng)正項(xiàng)級(jí)數(shù)總是收斂的,試證明可數(shù).證明 如果是有限集合的話,則是可數(shù)集.下面我們用反證法證明確實(shí)是有限集合.假定是無限集,我們從中選取無窮多個(gè)數(shù),記為則有,由于級(jí)數(shù)發(fā)散,從而有級(jí)數(shù)發(fā)散.這與題設(shè)矛盾,因此假設(shè)錯(cuò)誤,原命題成立,即是有限集.例3.16 設(shè)是上的閉區(qū)間族,試證明點(diǎn)集是可數(shù)集.證明 我們通過證明是離散集進(jìn)而說明其可數(shù).為敘述方便我們記,假定是其聚點(diǎn).則,使得.這已經(jīng)構(gòu)成矛盾,故為離散集.例3.17 由自

15、然數(shù)組成且公差也是自然數(shù)的等差數(shù)列之全體組成的集合可數(shù).證明 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為,故每個(gè)等差數(shù)列由其首項(xiàng)與公差所唯一決定.這樣便可在等差數(shù)列與二元實(shí)數(shù)對（其中為其首項(xiàng),為其公差.）之間建立一個(gè)一一映射.記如題所述之集合為,則,而后者是一個(gè)可數(shù)集,從而可數(shù).例3.18 若是上的實(shí)值函數(shù),集合的元素滿足,在點(diǎn)不連續(xù),但是右極限存在.試證明集合可數(shù).證明 令.對于任意自然數(shù),做.則顯然,是的連續(xù)點(diǎn)集,故,從而只需指出是可數(shù)集即可.任意取定一個(gè),并設(shè),則存在,使得對于任意成立.從而當(dāng)時(shí),就有.這說明,也就是說中每一個(gè)點(diǎn)都可以作為左端點(diǎn)構(gòu)成開區(qū)間,且與不相交.因此當(dāng)且時(shí),我們有.其實(shí),我們記,且不妨假

16、定,若,則,故,矛盾.所以因此.于是區(qū)間族是可數(shù)集.我們可以建立到區(qū)間族的滿射為,故由定理2.3是可數(shù)集.例3.19 是上的實(shí)值函數(shù),滿足及均存在,但.試證明集合可數(shù).證明 令,.則只需證明為可數(shù)集即可.下面證明為可數(shù)集,對于則情形與類似,同理可得.對任意的,取有理數(shù)滿足.再取及,使得,以及,合并這兩式我們便可以得到,其中且.我們依此便可以建立從到的映射如下,下證其為單射,從而說明是可數(shù)集.任取,假定向量,則區(qū)間且均含有及于其內(nèi),于是我們有以下二式,.而,故得矛盾.這說明確系一單射.例3.20 設(shè)為凸函數(shù),則的不可導(dǎo)點(diǎn)組成一可數(shù)集.證明 為凸函數(shù),故對于任意的,由文獻(xiàn)11有.此外對由文獻(xiàn)11有

17、.再由是的增函數(shù),故而由文獻(xiàn)10知.同理,存在且滿足.根據(jù)例3.19的結(jié)論便有上的凸函數(shù)之不可導(dǎo)點(diǎn)的集合為可數(shù)集.應(yīng)用本文所介紹的方法,簡單的集合可數(shù)問題的證明就可以順利解決了.最后一部分主要是體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的思想.一個(gè)集合的可數(shù)性不容易證明時(shí),不妨轉(zhuǎn)化為另一個(gè)集合.集合可數(shù)的證明有方法很多種,在處理問題時(shí)需要根據(jù)具體問題選取合適的方法.而且更多的時(shí)候用一種方法是很難湊效的,而需要綜合好幾種方法.例如例3.12總體是數(shù)學(xué)歸納法,但同時(shí)也用到了集合取并集.總之注意多積累、多揣摩、多總結(jié).參考文獻(xiàn)1 江澤堅(jiān),吳智泉.實(shí)變函數(shù)論m.北京:高等教育出版社,2003.12-13.2 胡適耕.實(shí)變函數(shù)m.北京:

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19、china machine press,2004.38-39.8 程其襄,張奠宙,魏國強(qiáng)等.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)m.北京:高等教育出版社,2003.15-27.9 馬立新,姜曰華,于宗義.實(shí)變函數(shù)論復(fù)習(xí)與解題研究m.青島:中國海洋大學(xué)出版社.1996.12-22.10 謝惠民,錢定邊,易法槐,惲自求.數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義(上冊)m.北京:高等教育出版社,2003.103-104.11 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊)m.北京:高等教育出版社,2004.148-149.some method about proof of the countability of setwang zhonghua(grade03,class4, major in mathematics and applied mathematics, department of mathematics,shaanxi university of technology, hanzhong 723000, shaanxi)tutor:li jinlongabstract: this paper mainly discusses five proof method to proove