高中數(shù)學復習提問式學習法

1、高考數(shù)學復習提問式學習法第一章 集合與簡易邏輯 第二章 函數(shù)第三章 數(shù)列第四章 三角函數(shù) 第五章 平面向量第六章 不等式第七章 直線與圓的方程第八章 圓錐曲線第九章 立體幾何第十章 排列、組合、概率 第十一章 統(tǒng)計與導數(shù) 第一章 集合與簡易邏輯1為什么集合中的元素必須是確定的?答：“集合中的元素必須是確定的”，意思是說，“對于一個給定的集合，它的元素的意義是明確的”例如由所有直角三角形組成的集合，這個集合中的元素的意義是明確的如果說“由高個子組成的集合”，那么這個“集合”中的元素的意義是不明確的，因為“高個子”是一個沒有嚴格的數(shù)量標準的、相對模糊的概念，所以這個“高個子集合”是無法組成的2為什

2、么集合中的元素必須是互異的?答：“集合中的元素必須是互異的”，這句話通常稱為集合中元素的相異性就是說，對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的因此，如果把兩個集合1，2，3，4，3，4，5，6，7的元素合并在一起構(gòu)成一個新集合，那么新集合只有1，2，3，4，5，6，7這七個元素4.“事實上，設是集合A的任意一個元素，因為，所以，又因為，所以，從而”這段話是什么意思?答：這是“對于集合，如果，那么”這一命題的數(shù)學證明這種證明方法在集合論中常常用到要證明關(guān)系式成立，我們的方法就是從關(guān)系式左邊的集合中任取一個元素，證明也屬于關(guān)系式右邊的集合，即從推證5集合之間的關(guān)系圖是一種什么性質(zhì)的圖形，使用

3、時要注意些什么?答：這種圖在數(shù)學上也稱為文（，1834年1923年，英國邏輯學家）氏圖它僅僅起著說明各集合之間關(guān)系的示意圖的作用（就像交通示意圖只說明各車站之間的位置關(guān)系那樣），因此邊界用曲線還是直線，用實線還是虛線都無關(guān)緊要，只要封閉并把有關(guān)元素或子集統(tǒng)統(tǒng)包在里邊就行決不能理解成圈內(nèi)的每一點都是這個集合的元素（事實上，這個集合可能與“點”毫無關(guān)系）；至于邊界上的點是否屬于這個集合，也都不必考慮6.怎樣正確理解邏輯聯(lián)結(jié)詞 “ 或 ” 的意義？ 答： “ 或 ” 這個邏輯聯(lián)結(jié)詞的用法，一般有兩種解釋：一是 “ 不可兼有 ” ，即 “ 或 ” 是指，中的某一個，但不是兩者日常生活中有時采用這一解釋

4、例如 “ 你去或我去 ” ，人們在理解上不會認為有你我都去這種可能另一是 “ 可兼有 ” ，即 “ 或 ” 是指，中的任何一個或兩者例如 “ 或 ” ，是指可能屬于但不屬于（ “ 但 ” 在這里實際上等價于另一邏輯聯(lián)結(jié)詞 “ 且 ” ），也可能不屬于但屬于，還可能既屬于又屬于（即 ）又如在 “ 真或真 ” 中，可能只有真，也可能只有真，還可能，都為真數(shù)學書籍中一般采用后一種解釋，運用數(shù)學語言和解數(shù)學選擇題時，都要遵守這一點，還要注意 “ 可兼有 ” 并不意味 “ 一定兼有 ” 2 / 317.“ 或 ”“ 且 ”“ 非 ” 這三個復合命題概念后，怎樣進行真假概括？ 答：（ 1 ）對于復合命題

5、“ 或 ” ，當且僅當，中至少有一個為真（包括兩個同時為真）時，它是真命題；當且僅當，都為假時，它是假命題 （ 2 ）對于復合命題 “ 且 ” ，當且僅當，都為真時，它是真命題；當且僅當，中至少有一個為假（包括兩個同時為假）時，它是假命題 （ 3 ）對于復合命題 “ 非 ” ，當且僅當為真時，它是假命題；當且僅當為假時，它是真命題 以上也可以利用真值表示進行概括 可以看出，要使學生正確理解上述概念，還要讓他們熟練掌握并會靈活運用 “ 至少 ”“ 最多 ”“ 同時 ” ，以及 “ 至少有一個是（不是） ”“ 最多有一個是（不是） ”“ 都是（不是） ”“ 不都是 ” 這些詞語這也是學習數(shù)學的難點

6、之一，需要長期不懈地進行訓練，才能達到要求 8怎樣用推出符號對 “ 充分且不必要條件 ”“ 必要且不充分條件 ” 和 “ 充要條件 ” 進行概括？ 答：（ 1 ）若 ，且 ，則是的充分且不必要條件，是的必要且不充分條件；（ 2 ）若 ，且 ，則是的必要且不充分條件，是的充分且不必要條件； （ 3 ）若 ，且 ，則是的充要條件（此時也是的充要條件）； （ 4 ）若 ，且 ，則是的充要條件（此時也是的充要條件） 9.怎樣讓正確判斷 “ 充分且不必要條件 ”“ 必要且不充分條件 ”“ 充要條件 ” 以及 “ 不充分且不必要條件 ” ？ 答：這四種情況反映了條件和結(jié)論之間的因果關(guān)系，所以在判斷時應該讓

7、學生： （ 1 ）確定條件是什么，結(jié)論是什么； （ 2 ）嘗試從條件推導結(jié)論，從結(jié)論推導條件； （ 3 ）確定條件是結(jié)論的什么條件 要證明命題的條件是充要的，就既要證明原命題成立，又要證明它的逆命題成立證明原命題成立即證明條件的充分性，證明逆命題成立即證明條件的必要性 第二章 函數(shù) 1怎樣理解函數(shù)和映射的概念？函數(shù)與映射有什么相似點與區(qū)別?答：函數(shù)的定義為：1傳統(tǒng)定義(運動學觀點下的定義)：設在某變化過程中有兩個變量，如果對于自變量在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值，都有唯一確定的值與它對應，那么就稱是的函數(shù)，叫做自變量.自變量取值的集合叫做函數(shù)的定義域，和自變量對應的的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫

8、做函數(shù)的值域.2.現(xiàn)代定義（集合觀點下的定義）：設、是兩個非空數(shù)的集合，如果按某個確定的對應關(guān)系，使對于集合中的任意一個數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)與它相對應，那么就稱為集合到集合的一個函數(shù)，記作，其中叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，與對應的的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域.3.兩個定義在本質(zhì)上是一致的，只是敘述的出發(fā)點不同.映射是定義是：設、是兩個集合，如果按照某種對應法則，對于集合中的任意一個元素，在集合中都有唯一的一個元素和它對應，這樣的對應（包括集合、以及到的對應法則）叫做集合到集合的映射，記作：.根據(jù)映射的定義，可以發(fā)現(xiàn)：映射強調(diào)的是一種對應關(guān)系，它是一種特殊的對應

9、，其特點是：（1）映射中集合、可以是數(shù)集，也可以是點集或其他集合，同時兩個集合必須必須有先后次序，從集合到集合的映射與從集合到集合的映射是不同的.（2）映射包括集合、以及到的對應法則，三者缺一不可.（3）對于一個從到的映射而言，中每一個元素必有唯一的象，但中的每一個元素卻不一定有原象，若有也不一定只有一個.根據(jù)集合和映射的定義可以看出：函數(shù)是一種特殊的映射，是非空數(shù)集之間的對應；映射不止包含函數(shù)一種對應，還有其他的對應.2符號的含義是什么？與的區(qū)別與聯(lián)系？答：是“是的函數(shù)”的數(shù)學表示形式，是表示函數(shù)的數(shù)學符號，是自變量的函數(shù)，不是“等于與的積”；在一般情況下是個變量，它一般通過關(guān)于的解析式體現(xiàn)

10、出來，但的含義中也不一定是解析式，因為有些函數(shù)的對應法則無法用解析式來表示.與的含義不同，表示自變量時所得的函數(shù)值，它是一個常量.3怎樣理解函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間？答：如果函數(shù)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，就說在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做的單調(diào)區(qū)間.對函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間的理解要注意幾點：（1）函數(shù)的單調(diào)性是對于函數(shù)定義域內(nèi)的某個子區(qū)間而言的.有的函數(shù)在整個定義域內(nèi)是單調(diào)的；有的函數(shù)在定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的；還有的函數(shù)在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù).（2）函數(shù)的單調(diào)性具有可逆性.也就是說，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則當且時，有；若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則當且時，有； （3）函數(shù)單調(diào)性定義中的

11、兩數(shù)具有三個特性：一是任意性，即兩個數(shù)是任意選取的，沒有特殊性；二是有大小，通常我們?nèi)?；三是必在同一個單調(diào)區(qū)間.（4）在函數(shù)單調(diào)區(qū)間的書寫上，由于函數(shù)在定義域內(nèi)某點的函數(shù)值是確定的，因此討論函數(shù)在某點處的單調(diào)性沒有意義，所以在書寫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，區(qū)間的端點是開是閉沒有嚴格的規(guī)定.若函數(shù)在這點有意義，可以寫成閉區(qū)間或開區(qū)間；但若函數(shù)在這點沒有意義，則只能寫成開區(qū)間.（5）若函數(shù)在其定義域內(nèi)的兩個區(qū)間上都是增（減）函數(shù)，一般不能簡單認為在上是增（減）函數(shù).4怎樣理解反函數(shù)的概念？原函數(shù)與反函數(shù)是關(guān)系如何？答：在函數(shù)中，是自變量，是的函數(shù).設它的定義域為，值域為，我們根據(jù)函數(shù)中的關(guān)系，用把表示出來

12、，得到，如果對于在中的任何一個值，通過，在中都有唯一的值和它對應，那么就表示是自變量，是自變量的函數(shù)，這樣的函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)，記做：.注意：（1）習慣上我們都用表示自變量，表示函數(shù)，因此我們可以對換，的位置，將函數(shù)的反函數(shù)表示為.（2）函數(shù)的反函數(shù)本身也是一個函數(shù)，原函數(shù)與它的反函數(shù)互稱反函數(shù).（3）反函數(shù)的定義域和值域剛好是原函數(shù)的值域和定義域，否則不行.（4）從映射的角度看，函數(shù)是定義域集合到值域集合的映射，它的反函數(shù)是原函數(shù)值域集合到原函數(shù)定義域集合的映射.（5）不是所有的函數(shù)都存在反函數(shù).只有當定義域集合中的與值域集合中的是一一對應關(guān)系時，才有反函數(shù). 第三章 數(shù)列1數(shù)列知識在高中

13、數(shù)學中的地位如何？答:數(shù)列是高中數(shù)學重要內(nèi)容之一，重要性如下： （1） 數(shù)列具有廣泛的實際應用，如堆放物品總數(shù)的計算，產(chǎn)品規(guī)格設計的某些問題，儲蓄、分期付款等都要用到數(shù)列知識。 （2）  數(shù)列起到承前啟后的作用。由于數(shù)列這部分知識與以前所學知識具有較強的聯(lián)系，特別與函數(shù)等知識有密切聯(lián)系，新教材安排數(shù)列在函數(shù)之后教學，有利于用函數(shù)的觀點來認識數(shù)列本質(zhì)，也有利于加深鞏固對函數(shù)概念的理解。同時學習數(shù)列又為進一步學習極限等內(nèi)容作好了準備，是學習高等數(shù)學的基礎(chǔ)。 （3） 數(shù)列是培養(yǎng)學生邏輯思維、抽象思維、歸納思維等能力的良好題材，學習數(shù)列要經(jīng)常觀察，分析、歸納、猜

14、想，還要綜合應用前面知識解決數(shù)列中一些問題，有助于數(shù)學能力的提高。 2.求一個數(shù)列的通項公式時，有哪些基本方法？     答：有以下四種基本方法：     （ 1 ）直接法就是由已知數(shù)列的項直接寫出，或通過對已知數(shù)列的項進行代數(shù)運算寫出     （ 2 ）觀察分析法根據(jù)數(shù)列構(gòu)成的規(guī)律，觀察數(shù)列的各項與它所對應的項數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，經(jīng)過適當變形，進而寫出第項 的表達式即通項公式     （ 3 ）待定系數(shù)法求通項公式的問題，就是當 1 ， 2 ， 時求（），使（）依次等于 1

15、， 2 ， 的問題因此我們可以先設出第項 關(guān)于變數(shù)的表達式，再分別令 1 ， 2 ， ，并取 分別等于 1 ， 2 ， ，然后通過解方程組確定待定系數(shù)的值，從而得出符合條件的通項公式     （ 4 ）遞推歸納法根據(jù)已知數(shù)列的初始條件及遞推公式，歸納出通項公式3等差數(shù)列有哪些基本性質(zhì)？     答：（ 1 ）當 0 時，等差數(shù)列中的數(shù)隨項數(shù)的增大而增大；當 0 時，等差數(shù)列中的數(shù)隨項數(shù)的減小而減?。划?0 時，等差數(shù)列中的數(shù)等于一個常數(shù)注意：不能說等差數(shù)列或它的通項公式是一次函數(shù)，等差數(shù)列只是某個一次函數(shù)的一系列孤立的函數(shù)值；一次函數(shù)

16、是有嚴格定義的，它的定義域是實數(shù)集，圖象是（連續(xù)的）一條直線這是目前教學中普遍出錯的地方 !     （ 2 ）在有窮的等差數(shù)列中，與首末兩項等距離的兩項的和都相等，且等于首末兩項的和     （ 3 ）如果（，都是正整數(shù)，那么 ）。       （ 4 ）如果等差數(shù)列的各項都加上一個相同的數(shù)，那么所得的數(shù)列仍是等差數(shù)列，且公差不變     （ 5 ）兩個等差數(shù)列各對應項的和組成的數(shù)列仍是等差數(shù)列，且公差等于這兩個數(shù)列的公差的和 4.等比數(shù)列有哪些基本性質(zhì)？

17、60;   答：（ 1 ）當 1 時，如果存在一項 0 （或 0 ），那么等比數(shù)列中的數(shù)隨項數(shù)的增大而增大（或減?。划?0 1 時，如果存在一項 0 （或 0 ），那么等比數(shù)列中的數(shù)隨項數(shù)的增大而減?。ɑ蛟龃螅?；當 1 時，等比數(shù)列中的數(shù)等于同一個常數(shù)；當 0 時，等比數(shù)列中的數(shù)不具有單調(diào)性     （ 2 ）在有窮的等比數(shù)列中，與首末兩項等距離的兩項的積都相等，且等于首末兩項的積     （ 3 ）如果（，都是正整數(shù)），那么 · ·     （ 4 ）如果數(shù)列

18、是等比數(shù)列，那么它所有的項都不等于 0 ，且所有的 · n 2 0     （ 5 ）如果數(shù)列 是等比數(shù)列，那么數(shù)列 （為常數(shù)）， 1 ， 也都是等比數(shù)列，且其中 的公比不變， 1 的公比等于原公比的倒數(shù)， 的公比等于原公比的絕對值     （ 6 ）兩個等比數(shù)列各對應項的積組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，且公比等于這兩個數(shù)列的公比的積5.求一個數(shù)列的通項公式時，有哪些基本方法？    答：有以下四種基本方法：    （1）直接法就是由已知數(shù)列的項直接寫出，或通過對已知數(shù)列

19、的項進行代數(shù)運算寫出    （2）觀察分析法根據(jù)數(shù)列構(gòu)成的規(guī)律，觀察數(shù)列的各項與它所對應的項數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，經(jīng)過適當變形，進而寫出第項的表達式即通項公式    （3）待定系數(shù)法求通項公式的問題，就是當1，2，時求（），使（）依次等于1，2，的問題因此我們可以先設出第項關(guān)于變數(shù)的表達式，再分別令1，2，并取分別等于1，2，然后通過解方程組確定待定系數(shù)的值，從而得出符合條件的通項公式    （4）遞推歸納法根據(jù)已知數(shù)列的初始條件及遞推公式，歸納出通項公式   6.數(shù)列與函數(shù)有哪

20、些區(qū)別？    答：（1）數(shù)列并不只是一個或一些函數(shù)值，而是有序排列好的函數(shù)值的“隊”    （2）定義域為正整數(shù)集*或它的有限子集1，2，中的1，2，“不可省略如果只留下*的有限子集”幾個字，例如3，6，7，1，9等，那么按這樣的子集的順序排列的函數(shù)值，并不是以為自變量的函數(shù)    （3）不能認為只有定義在*或它的有限子集1，2，上的函數(shù)，將其函數(shù)值排列好才能形成數(shù)列，實際上，對于任意一個函數(shù)（），隨便取幾個自變量值，一一列出對應的函數(shù)值（這已經(jīng)有序了）后，也形成了一個數(shù)列例如對于定義在實數(shù)集上的函數(shù)（

21、），函數(shù)值列 （0），（），（），（），就是一個數(shù)列，它與數(shù)列（1），（2），（），是不同的這說明：數(shù)列可以看成一類特殊函數(shù)的有序排列好的函數(shù)值，但不是這樣的特殊函數(shù)，其函數(shù)值也能有序排列好，從而形成數(shù)列第四章 三角函數(shù)1三角函數(shù)的定義和在各象限內(nèi)的符號是怎樣的？答：（1）三角函數(shù)的定義設是角終邊上的任意一點，且，則有：；.（2）三角函數(shù)的符號如下表： 象限函數(shù) 符號+2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式有哪些？答：（1）平方關(guān)系：；（2）商數(shù)關(guān)系：；（3）倒數(shù)關(guān)系：；3誘導公式有哪些，有何記憶規(guī)律？答：誘導公式是指角的三角函數(shù)與諸如，等同角三角函數(shù)的關(guān)系，其內(nèi)容相似，極易混淆，其記憶規(guī)律是：“奇變偶不

22、變，符號看象限”，其中奇變偶不變中的奇、偶分別是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍.利用誘導公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的基本步驟是：任意角的三角函數(shù)0到2p的三角函數(shù)正角的三角函數(shù) Þ Þ Þ銳角三角函數(shù)4三角恒等化簡和證明的常用方法是什么？答：（1）異名化同名，即不同名稱的化為相同名稱的函數(shù)，如常用的是切割化弦；（2）異角化同角，即把不同的角化為相同的角，常把倍角利用二倍角公式化為單角；（3）高次化低次，即通過降次公式把高次降成低次來處理；（4）利用一些已知的三角恒等式實現(xiàn)化簡和證明.5兩角和與差的三角函數(shù)有哪些基本公式？答：（1）兩角和差公式；（2）倍角公式；（

23、3）降次公式；6三角函數(shù)的性質(zhì)有哪些？答：如下表所示函數(shù)定義域RR值域R周期性22奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性2kp-,2kp+­2kp+,2kp+¯2kp,2kp+p¯2kp-p,2kp­（kp-,kp+）­7如何用變換作圖法作出？答：（1）振幅變換：®，將上的各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍（橫坐標不變）；（2）相位變換：®，將圖象上的所有點向左或向右平移個單位；（3）周期變換：®，將圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變）.（4）由的圖象變換到的圖象，一般先作相位變換，后作周期變換，即®®

24、.第五章平面向量1哪些向量與起點有關(guān)？哪些向量與起點無關(guān)？答：在實際問題中，像力這樣的向量，既有大小、方向、又有作用點，因此它是與起點有關(guān)的.但像位移這樣的向量，就只有大小與方向，它與起點無關(guān).由于一切向量的共性是它們都有大小與方向，所以在數(shù)學上我們只研究與起點無關(guān)的向量，并稱這種向量為自由量（簡稱向量），即只考慮向量的大小與方向，而不管它的起點在何處.當遇到與起點有關(guān)的向量（例如談到某一質(zhì)點的運動速度時，這一速度就是與所考慮的質(zhì)點的位置有關(guān)的向量），可以在一般原則下作特別處理.    順便指出，有向線段通常包含起點、方向、長度這三個要素.向量就是有向線

25、段.如上所述，我們在數(shù)學上只研究與起點無關(guān)的向量，那么向量的大小實質(zhì)上指向量的長度（即模）的大小.向量只能從長度上比較它們的大小，有的書上也把向量的長度稱為向量的絕對值.2如何畫出模（長度）為積的向量？答：我們在初中學過作一條線段，使成為三條已知線段的第四比例項，即a:bc:x由此例基本性質(zhì)，可得     所以，我們?nèi)為復平面內(nèi)一個單位長度的線段，b為r1，c為r2，于是可以畫出線段xr1r2的向量.3學習定比分點公式時要注意什么問題？(1)定比分點、中點坐標公式是解析幾何重要的概念，在求點的坐標、直線方程及動點軌跡方面有重要的應用；尤其是中點坐標在有

26、關(guān)對稱問題中有特殊的應用(2)定比分點公式的變形使用注意靈活選擇分點和確定分比，當取不同的點為分點時，便得到不同的值，如果分點選得適當，則可簡化解題過程(3)要明確是有向線段的數(shù)量的比，而不是有向線段的長度的比；在中，分子是起點到分點的有向線段的數(shù)量，分母是分點到終點的有向線段的數(shù)量，這個比不可顛倒（4）在運用定比分點公式時，特別要注意這是里的是有向線段起點的坐標，而是有向線段終點的坐標，坐標位置不能搞錯，否則求得的坐標不合要求4在有向線段、定比分點中用解析法能解決什么問題？(1)運用解析法，利用兩點間的距離公式和線段的定比分點公式證明一些幾何問題，特別是兩點間的距離公式在第二章圓錐曲線中經(jīng)常

27、用到(2)解析法體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，對于有些幾何問題的論證，如選用恰當?shù)闹苯亲鴺讼担墒拐撟C變得容易(3)中點坐標公式在以后處理對稱問題，特別是中心對稱問題時經(jīng)常用到5解斜三角形時要注意什么？ 三角形的形狀和大小，決定于它的六個組成元素：三個角和三條邊，這六個元素不是彼此獨立、孤立存在的，而是互相聯(lián)系、互相制約、互相依存的.一個元素的變化必然牽動其元素的相應變化.根據(jù)初中平面幾何的知識（主要是作三角形的條件），我們知道一旦知道了六個元素中的三個元素（至少有一邊）或元素間的關(guān)系，且這些已知量或已知關(guān)系又符合平面幾何作三角形的條件,就可以根據(jù)已知條件求出所有的元素,因而確定這三角形的形

28、狀和大小.這樣的從已知量求出未知量,從而確定三角形的過程我們稱之為解三角形.在三角形中，從角與角之間的關(guān)系來看，主要有三角形的內(nèi)角和定理、外角定理及直角三角形兩銳角互余關(guān)系；從邊與邊之間的關(guān)系來看，主要有任意兩邊之和大于第三邊（或任意兩邊之差小于第三邊）以及直角三角形中的勾股定理；從邊與角之間的關(guān)系來看，主要有直角三角形中銳角三角函數(shù)的定義，正弦定理、余弦定理以及射影定理等.     如果已知量的三個獨立條件不完全是三角形的邊和角，要解這類三角形時，就不能直接運用解三角形的基本方法，而必須運用三角形的邊角關(guān)系.從題型而言，主要有兩類：一類是證明三角形中的

29、邊角等式；另一類是根據(jù)題設條件，確定三角形的形狀.   第六章 不等式1.不等關(guān)系的性質(zhì)，與相等關(guān)系的性質(zhì)相比，有哪些異同?答：（1）相等關(guān)系的第一條性質(zhì)是“自反性”：任何一個數(shù)量都等于它自身，即不等關(guān)系“”“”沒有自反性，但“非嚴格的”不等關(guān)系“”“”具有自反性（2）相等關(guān)系的第二條性質(zhì)是“對稱性”：的充要條件是不等關(guān)系“”“”沒有對稱性（例如的充要條件不是），但有“反對稱性”（例如的充要條件是）；不等關(guān)系“”具有對稱性，“”“”具有反對稱性（3）相等關(guān)系的第三條性質(zhì)是“傳遞性”：如果，且，那么不等關(guān)系“”“”與非嚴格的不等關(guān)系“”“”也有傳遞性，但不等關(guān)系“”

30、沒有傳遞性（例如23，且32，但22）2.不等式的其他性質(zhì)各有什么名稱?答：性質(zhì)“”可稱為不等式的加法保序性；（2）性質(zhì)“，且0”可稱為不等式的乘正數(shù)保序性，性質(zhì)“，且”可稱為不等式的乘負數(shù)反序性；（3）性質(zhì)“0（）可稱為不等式對正數(shù)次方根的保序性（4）“兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理”（即“0，且0（）2”）也可稱為均值不等式（大綱不要求擴展到三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)定理）3.解不等式時，常用的等價轉(zhuǎn)化有哪些情況 ? 答：設 1 和 2 都是的函數(shù)，那么下列各不等式等價： （ 1 ） 1 2 （ 2 0 ） 2 1 2 ， 1 2 （ 2 0 ） 1 2

31、或 1 2 ； （ 2 ） 1 （ 0 ） 1 2 2 ， 1 （ 0 ） 1 2 2 ； （ 3 ） 1 · 2 0 1 0 且 2 0 ，或 1 0 且 2 0 ， 1 · 2 0 1 0 且 2 0 ，或 1 0 且 2 0 ； （ 4 ） 1 2 0 （ 2 0 ） 1 · 2 0 ， 1 2 0 （ 2 0 ） 1 · 2 0 4.證明不等式可以運用哪些常用的數(shù)學方法 ? 答：（ 1 ）分析法從要證明的不等式出發(fā)，尋找使這個不等式成立的某一充分條件，如此逐步往前追溯（執(zhí)果索因），一直追溯到已知條件或一些真命題為止例如要證 2 ，我們通過分析知道

32、， 2 的某一充分條件是 2 0 ，即（） 0 ，因此只要證明（） 0 就行了由于（） 0 是真命題，所以 2 成立分析法的證明過程表現(xiàn)為一連串的 “ 要證 只要證 ” ，最后推至已知條件或真命題 （ 2 ）綜合法從已知（已經(jīng)成立）的不等式或定理出發(fā)，逐步推出（由因?qū)Ч┧C的不等式成立例如要證 2 ，我們從（） 0 ，得 2 0 ，移項得 2 綜合法的證明過程表現(xiàn)為一連串的 “ 因為 所以 ” ，可用一連串的 “ ” 來代替 綜合法的證明過程是分析法的思考過程的逆推，而分析法的證明過程恰恰是綜合法的思考過程當我們不易找到作為出發(fā)點的不等式來證明結(jié)論時，通常改用分析法來證明 （ 3 ）比較法根

33、據(jù)與 0 等價，所以要證甲式大于乙式，只要證明甲式減去乙式所得的差式在兩式中的字母的可取值范圍內(nèi)取正值就可以了這就是比差法還有一種比較法是比商法，例如已知甲式、乙式在其中字母的可取值范圍內(nèi)均取正值，那么要證甲式大于乙式，只要證明甲式除以乙式所得的商式在這一字母取值范圍內(nèi)均取大于 1 的值就可以了比商法較為復雜，使用時務必注意字母的取值范圍 （ 4 ）逆證法這是分析法的一種特殊情況，即從要證明的等式出發(fā)，尋找使這個不等式成立的充要條件，如此逐步往前追溯，一直追溯到已知條件或一些真命題為止逆證法的證明過程表現(xiàn)為一連串的 “ 即 ” ，可用一連串的 “” 來代替，最后推至已知條件或真命題 （ 5 ）

34、放縮法這也是分析法的一種特殊情況，它的根據(jù)是不等式關(guān)系的傳遞性 ， ，則 ，所以要證 ，只要證明 “ 大于或等于 ” 的 就行了 （ 6 ）反證法先假定要證的不等式的反面成立，然后推出與已知條件（或已知的真命題）相矛盾的結(jié)論，從而斷定反證假定是錯誤的因而要證的不等式一定成立 （ 7 ）窮舉法對要證的不等式按已知條件分成各種情況一一加以證明（防止重復或遺漏某一可能情況） 要注意：在證明不等式時，應靈活運用上述方法，并通過運用多種方法來提高他們的思維能力第七章 直線與圓的方程 1.直線方程的五種形式是什么？其適用范圍是什么？答：如圖：名稱方程適用范圍一般式平面直角坐標系中的直線都適用.斜截式不含垂

35、直于軸的直線點斜式不含直線兩點式不含直線和直線但沒有約束條件.截距式不含垂直于坐標軸的直線和過原點的直線（注：截距不是距離，有正負之分）注：有時為了避免對斜率的討論，我們可以把過點且不平行于的直線設為.2.線性規(guī)劃的一般步驟是什么？線性規(guī)劃有什么典型應用？答：線性規(guī)劃的一般步驟是：（1）首先，要根據(jù)線性約束條件畫出可行域（即畫出不等式組所表示的公共區(qū)域）此時要依據(jù)“直線定界，原點地域“的原則.（2）設，畫出直線.（3）觀察、分析、平移直線，從而找到最優(yōu)解.（4）最后求得目標函數(shù)的最大值及最小值.應用線性規(guī)劃除了解決我們實際生活問題外還可以解決以下兩類題型：（1）二元不等式組的充要條件問題.如命

36、題甲：是命題乙：的必要非充分條件.（畫圖即可得到）（2）解決直線與線段相交問題.如（2002年高考北京文科卷）若直線與直線的交點位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是.略解：直線l需與第一象限的線段相交，即兩點在直線l的異側(cè)，則有，故可求解傾斜角的范圍.3.常見的曲線（直線）系有哪些？應用它們的好處是什么？答：我們常見的曲線（直線）系有：（1）與直線平行的直線系為；（2）與直線垂直的直線系為；（3）過兩條曲線和 交點的曲線系方程為（） .應用曲線系解題的好處是簡化計算.如（2005高考湖北卷第二問）設是橢圓（）上的兩點，交其于兩點，線段的垂直平分線交其于兩點.試判斷是否存在這樣的，使得四點

37、在同一個圓上？并說明理由.略解：設過的曲線系方程為（），根據(jù)圓的方程的特點我們可以解得：時為圓.4.如何判斷直線與圓的位置關(guān)系？直線與圓的位置怎樣？答：判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見的方法有兩種：（1）根據(jù)直線方程與圓的方程組成的方程組的解的個數(shù)來判斷.（2）根據(jù)圓心到直線的距離與圓的半徑的關(guān)系來判斷，當時，該直線與圓相交；時，直線與圓相切；時，直線與圓相離.根據(jù)上述原理不難判斷：點在圓上時，直線與圓相切；點在圓內(nèi)時，直線與圓相離；點在圓外時，直線與圓相交，若此時過點作圓的兩條切線切點分別是，則的直線方程為.第八章圓錐曲線1學習橢圓的標準方程時，要注意些什么？（1）把橢圓的位置特征與標準方程的形

38、式統(tǒng)一起來，橢圓的位置由其中心的位置和焦點的位置確定，即“如果橢圓的中心在原點，焦點在x軸上.那么這個位置是標準位置，此時由于長軸也在x軸上，半長軸的平方是方程中含項的分母，所以方程為；如果橢圓的中心在原點，焦點在y軸上，那么這個位置也是標準位置，此時由于長軸在x軸上，半長軸的平方是方程中含項的分母，所以方程為 . （2）要求橢圓的標準方程包括“定位”和“定量”兩個方面.“定位”是指確定橢圓與坐標系的相對位置，在中心是原點的前提下，確定焦點位于哪條坐標軸上，以判斷方程的形式：“定量”則是指確定的具體數(shù)值，常用待定系數(shù)法. （3）理解橢圓的對稱軸為坐標軸的原因.這是因為如果以

39、曲線的對稱軸為x（或y）軸，那么曲線的方程中不含y（或x）的一次項.取橢圓的對稱軸為坐標軸，可以使橢圓方程只含x，y的二次項與常數(shù)項.由于x，y可以互換，所以標準方程出現(xiàn)了上述兩種形式.2學習橢圓的準線時，要注意些什么？（1）弄清橢圓與它的兩條準線的位置關(guān)系.兩條準線垂直于橢圓的長軸所在的直線.橢圓夾在兩條準線之間，兩條準線關(guān)于橢圓的短軸所在直線與橢圓的中心對稱. （2）巧記準線方程.首先記住準線與橢圓中心的距離是 ，然后根據(jù)準線的位置（指垂直于x軸還是垂直于y軸）寫出準線的方程.（3）掌握準線的性質(zhì).如教科書所述，橢圓上任何一點到焦點的距離與它到相應準線的距離之比等于離心率e，這里

40、e是一個大于0且小于1的常數(shù).（4）知道焦點到相應準線的距離叫做焦準距，記作p，易知 3雙曲線與橢圓有哪些不同？ （1）定義不同，圖形不同.我們可以提前閱看教科書上的圖表.在學習本章時，這份圖表要經(jīng)常翻閱. （2）有兩類特殊的雙曲線，它們有一些特殊的性質(zhì).    一類是等軸雙曲線.其主要性質(zhì)有：，離心率，兩條漸近線互相垂直，等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩個焦點的距離的比例中項等.    另一類是共軛雙曲線，其主要性質(zhì)有：它們有共同的漸近線，它們的四個焦點共圓，它們的離心率的倒數(shù)的平方和

41、等于1.    等軸雙曲線是一個方程所對應的幾何圖形.有兩支曲線：而互為共軛雙曲線則是兩個方程所對應的幾何圖形，每個方程各對應兩支曲線.等軸雙曲線也有它的共軛雙曲線.請同學們結(jié)合教科書上的圖對上述各點仔細體會（看著此圖，心里可想著等軸雙曲線進行對比）.4拋物線和橢圓、雙曲線比起來有什么不同？拋物線的幾何性質(zhì)和橢圓、雙曲線比較起來，差別較大，它的離心率等于1；它只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸、一條準線；它沒有中心.通常稱拋物線為無心圓錐曲線，而稱橢圓和雙曲線為有心圓錐曲線.第九章 立體幾何1.怎樣將“斜線在平面內(nèi)的射影”的概念進行推廣? 答：

42、我們將“斜線在平面內(nèi)的射影”這個概念也推廣到以下三種情況：（1）平面的斜線在這個平面內(nèi)的射影，定義為“從斜線上斜足以外的任意一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線”；（2）平面的垂線在這個平面內(nèi)的射影，定義為“這條垂線與平面的交點”；（3）平面的平行線（或在平面內(nèi)的直線）在這個平面內(nèi)的射影，定義為“這條直線上任意兩點在這個平面內(nèi)的射影的連線”歸納這三種情況，“斜線在平面內(nèi)的射影”就被推廣成“直線在平面內(nèi)的射影”相應地，“斜線段在平面內(nèi)的射影”也可以推廣成“線段在平面內(nèi)的射影”其中，線段的長度可以不是0，也可以是0；射影的長度可能不是0，也可能是02.設、是平面外的任意兩條線段，、相等能否推出它們

43、在內(nèi)的射影相等?反過來呢?答：設長度為的線段所在直線與平面所成的角為，其射影的長度為，那么·因此，決定射影的長度的因素除了線段的長度外，還有直線和平面所成的角當，但、與平面所成的角、不相等時，、在平面內(nèi)的射影、不一定相等反過來，當、在平面內(nèi)的射影、相等，但、與平面所成的角、不相等時，、也不一定相等3.怎樣區(qū)分清楚三垂線定理及其逆定理?答：我們可以把三垂線定理簡化成“垂影則垂線”，記住它是“先內(nèi)后外”；而把它的逆定理簡化成“垂線則垂影”，記住它是“先外后內(nèi)”4.怎樣理解二面角的概念?答：我們可以讓學生把二面角的概念與角的概念進行比較：角是由從同一點出發(fā)的兩條射線組成的圖形，即線點線，表

44、示為；二面角是由從同一直線出發(fā)的兩個半平面組成的圖形，即面線面，表示為二面角（或二面角）因為一個二面角的平面角的值是惟一確定的（即有且只有一個值），所以二面角可以用它的平面角的大小來度量像這樣，讓學生把立體幾何、平面幾何中的相應概念聯(lián)系起來，把它們的含義逐項進行對照，便可以加深理解舊概念，牢固樹立新概念，從而提高學習效果 5.怎樣通過“折疊問題”來提高學生的空間想象能力和鞏固他們相關(guān)的立體幾何知識?答：一般地說，這里的問題常常是把一個已知的平面圖形折疊成一個立體圖形（相反的問題是“展平問題”，即把一個已知的立體圖形展平成一個平面圖形）這就要求學生認清平面圖形中各已知條件的相互關(guān)系及其本質(zhì)，并且

45、在把這一平面圖形折疊成立體圖形以后，能分清已知條件中有哪些發(fā)生了變化，哪些未發(fā)生變化這些未變化的已知條件都是學生分析問題和解決問題的依據(jù)6.三個平面的位置關(guān)系如何分類?答：可以列表如下：三個平面的位置關(guān)系兩兩相交有三條交線三線交于一點，三線相互平行；有一條交線三平面交于一線不兩兩相交有交點（線）三平面互相平行，有兩條（平行交線） 一平面與兩平行平面相交其中“兩兩相交，且有三條交線”應分為“三線交于一點”和“三線互相平行”兩種情況7.如何將棱柱進行分類?分出的各類分別有什么特點?答：棱柱可以根據(jù)底面多邊形的邊數(shù)而分為三棱柱、四棱柱，棱柱常用的另一種分類方法是根據(jù)其側(cè)棱與底面是否垂直，結(jié)果如下：棱

46、柱斜棱柱；直棱柱底面不是正多邊形的直棱柱，正棱柱它們的特點如下表所示：棱柱類型底面?zhèn)让嫘崩庵噙呅纹叫兴倪呅沃崩庵噙呅尉匦握庵噙呅胃鱾?cè)面是全等矩形注意：（1）斜棱柱的底面可以是正多邊形，此時由于側(cè)棱不垂直于底面，所以它不是直棱柱（2）直棱柱的底面可以是正多邊形，所以正棱柱是直棱柱的特例（3）在斜棱柱的側(cè)面中，有的可以是矩形；如果棱柱有兩個相鄰的側(cè)面都是矩形，那么它們的公共側(cè)棱垂直于底面，此棱柱必為直棱柱8.如何將四棱柱進行分類?如何將其中平行六面體的性質(zhì)與平行四邊形的性質(zhì)進行比較?答：四棱柱可以分類如下（這里把平行六面體的側(cè)棱和底面多邊形的各邊統(tǒng)稱為這個平行六面體的棱）：四棱柱底面不是

47、平行四邊形的四棱柱平行六面體斜平行六面體直平行六面體底面不是矩形的直平行六面體；長方體棱長不都相等的長方體；正方體平行六面體的性質(zhì)與平行四邊形的性質(zhì)可以比較如下：平行四邊形平行六面體（1）對邊平行且相等；（2）對角線交于一點，且在這一點互相平分；（3）矩形一條對角線的平方，等于其兩條鄰邊的平方和；（4）4條邊的平方和，等于2條對角線的平方和（1）相對的面平行且相等；（2）對角線交于一點，且在這一點互相平分；（3）長方體一條對角線的平方，等于同一個頂點上三條棱的平方和；（4）12條棱的平方和，等于4條對角線的平方和9.有一個面是多邊形，其他面都是三角形的幾何體，是否一定為棱錐?為什么?答：不一定

48、例如，將兩個底面全等的三棱錐的底面重合在一起，使頂點分別在底面的兩側(cè)，這樣組成的幾何體的所有面都是三角形，但它不是棱錐第十章 排列、組合、概率1分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理及其區(qū)別是什么？答：（1）分類計數(shù)原理：完成一件事可以有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法.（2）分步計數(shù)原理：完成一件事需要分成個步驟，做第一步有種不同的方法，第二步有種不同的方法，做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法.（3）分類與分步的區(qū)別：關(guān)鍵是看事件能否完成，事件完成了就是分類；必須要若干步才能完成的則是分步，分

49、類要用分類計數(shù)原理將種數(shù)相加；分步要用分步計數(shù)原理將種數(shù)相乘.2解決排列組合問題的方法有哪些？答：（1）特殊元素法；（2）特殊位置法；（3）去雜法；（4）插空法；（5）捆綁法；（6）先選后排法；（7）隔板法等.在解決排列組合問題時總的方針是：分類用加、分步用乘、有序排列、無序組合.3二項式定理的內(nèi)容和性質(zhì)是什么？答：（1）二項式定理內(nèi)容，展開式的第項（通項）.其中叫二項式系數(shù).（2）在二項式定理中，二項式系數(shù)的性質(zhì)有：在二項式定理中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等；如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)相等并且最大，如果二項式冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項的系數(shù)相等且最大；二項式系數(shù)之和等于，即；二項展開式中，偶數(shù)項系數(shù)和等于奇數(shù)項的系數(shù)和，即4隨機事件的概率定義及內(nèi)容是