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1、第二部分/三、壓軸題壓軸題(一)8(2020·山東德州一模)已知函數(shù)f(x)若關(guān)于x的方程f2(x)(1m)f(x)m0有且只有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍是()a.b(,0)c(,1)(1,0)d(,0)(1,2)答案c解析當(dāng)x>0時(shí),f(x),則f(x),令f(x)>0,得0<x<e,令f(x)<0,得x>e.函數(shù)f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在e,)上單調(diào)遞減,又f(e),畫(huà)出函數(shù)圖象,如圖所示f2(x)(1m)f(x)m0,即(f(x)m)(f(x)1)0,當(dāng)f(x)1時(shí),根據(jù)圖象知有1個(gè)解,故f(x)m有1個(gè)解,根據(jù)圖象知m(,1)(

2、1,0).故選c.12(多選)(2020·山東大學(xué)附屬中學(xué)6月模擬檢測(cè))已知正方體abcda1b1c1d1的棱長(zhǎng)為2,如圖,m為cc1上的動(dòng)點(diǎn),am平面.下面說(shuō)法正確的是()a直線ab與平面所成角的正弦值范圍為b點(diǎn)m與點(diǎn)c1重合時(shí),平面截正方體所得的截面,其面積越大,周長(zhǎng)就越大c點(diǎn)m為cc1的中點(diǎn)時(shí),若平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)b,則平面截正方體所得截面圖形是等腰梯形d已知n為dd1的中點(diǎn),當(dāng)ammn的和最小時(shí),m為cc1的中點(diǎn)答案ac解析以點(diǎn)d為坐標(biāo)原點(diǎn),da,dc,dd1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系dxyz,則點(diǎn)a(2,0,0),b(2,2,0),設(shè)點(diǎn)m(0,2,a)(0a2),

3、am平面,則為平面的一個(gè)法向量,且(2,2,a),(0,2,0),|cos,|,直線ab與平面所成角的正弦值范圍為,a正確;當(dāng)m與c1重合時(shí),連接a1d,bd,a1b,ac,在正方體abcda1b1c1d1中,cc1平面abcd,bd平面abcd,bdcc1,四邊形abcd是正方形,bdac,cc1acc,bd平面acc1,ac1平面acc1,ac1bd,同理可證ac1a1d,a1dbdd,ac1平面a1bd,易知a1bd是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,其面積為sa1bd×(2)22,周長(zhǎng)為2×36.設(shè)e,f,q,n,g,h分別為棱a1d1,a1b1,bb1,bc,cd,dd1的中

4、點(diǎn),易知六邊形efqngh是邊長(zhǎng)為的正六邊形,且平面efqngh平面a1bd,正六邊形efqngh的周長(zhǎng)為6,面積為6××()23,則a1bd的面積小于正六邊形efqngh的面積,它們的周長(zhǎng)相等,b錯(cuò)誤;設(shè)平面交棱a1d1于點(diǎn)e(b,0,2),點(diǎn)m(0,2,1),(2,2,1),am平面,de平面,amde,即·2b20,得b1,e(1,0,2),點(diǎn)e為棱a1d1的中點(diǎn),同理可知,平面與棱a1b1的交點(diǎn)f為棱a1b1的中點(diǎn),則f(2,1,2),(1,1,0),而(2,2,0),efdb且efdb,由空間中兩點(diǎn)間的距離公式可得de,bf,debf,四邊形bdef為等

5、腰梯形,c正確;將矩形acc1a1與矩形cc1d1d展開(kāi)到一個(gè)平面內(nèi),如下圖所示:若ammn最短,則a,m,n三點(diǎn)共線,cc1dd1,2,dn1,mc2cc1,點(diǎn)m不是棱cc1的中點(diǎn),d錯(cuò)誤故選ac.16(2020·新高考卷)某中學(xué)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí),學(xué)生加工制作零件,零件的截面如圖所示o為圓孔及輪廓圓弧ab所在圓的圓心,a是圓弧ab與直線ag的切點(diǎn),b是圓弧ab與直線bc的切點(diǎn),四邊形defg為矩形,bcdg,垂足為c,tanodc,bhdg,ef12 cm,de2 cm,a到直線de和ef的距離均為7 cm,圓孔半徑為1 cm,則圖中陰影部分的面積為_(kāi) cm2.答案4解析設(shè)oboar,

6、如圖,過(guò)點(diǎn)a作直線de和ef的垂線,垂足分別為m,n,an交cg于點(diǎn)p.由題意知aman7,ef12,所以enam7,nfefen5,又因?yàn)閐e2,pn2,所以apanpn5,又pgnf5,所以appg,所以agp45°,因?yàn)閎hdg,所以aho45°,因?yàn)閍g與圓弧ab相切于a點(diǎn),所以oaag,即oah為等腰直角三角形在rtoqd中,oq5r,dq7r,因?yàn)閠anodc,所以21r25r,解得r2,所以等腰直角三角形oah的面積為s1×2×24,扇形aob的面積為s2××(2)23,所以陰影部分的面積為s1s2×124.2

7、1已知函數(shù)f(x)(x22aln x)(1)討論f(x)(x22aln x),x(1,e)的單調(diào)性;(2)若存在x1,x2(1,e)(x1x2),使得f(x1)f(x2)<0成立,求a的取值范圍解(1)由f(x)(x22aln x),得f(x)x(x>0),當(dāng)a0時(shí),f(x)>0恒成立,所以f(x)在(1,e)上單調(diào)遞增;當(dāng)a<0時(shí),f(x)0的解為x(舍去負(fù)值),若1,即a1,0),則f(x)在(1,e)上單調(diào)遞增;若e,即a(,e2,則f(x)在(1,e)上單調(diào)遞減;若a(e2,1),則f(x)在(1,)上單調(diào)遞減,在,e)上單調(diào)遞增(2)由(1)可知,當(dāng)ae2或a

8、1時(shí),函數(shù)f(x)在(1,e)上為單調(diào)函數(shù),此時(shí)不存在x1,x2(1,e)(x1x2),使得f(x1)f(x2)<0.當(dāng)a(e2,1)時(shí),f(x)在(1,)上單調(diào)遞減,在,e)上單調(diào)遞增,所以f(x)在x處取得極小值,f(x)極小值f()(a2aln )aaln (a),其中a(e2,1),令g(a)aaln (a),a(e2,1),則g(a)ln (a)ln (a),a(e2,1),易得g(a)>0,所以g(a)在(e2,1)上單調(diào)遞增,且g(e)0,所以當(dāng)a(e2,e)時(shí),f(x)極小值<0,此時(shí)存在x1,x2(1,e)(x1x2),使得f(x1)f(x2)<0.所

9、以a的取值范圍為(e2,e)22(2020·河北衡水中學(xué)高三質(zhì)量檢測(cè)一)已知橢圓e:1(a>b>0)以拋物線y28x的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),且離心率為.(1)求橢圓e的方程;(2)若直線l:ykxm與橢圓e相交于a,b兩點(diǎn),與直線x4相交于q點(diǎn),p是橢圓e上一點(diǎn)且滿足(其中o為坐標(biāo)原點(diǎn)),試問(wèn)在x軸上是否存在一點(diǎn)t,使得·為定值?若存在,求出點(diǎn)t的坐標(biāo)及·的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)拋物線y28x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),由題意可知a2,且e,所以c1,則b,所以橢圓e的方程為1.(2)設(shè)點(diǎn)a(x1,y1),b(x2,y2),聯(lián)立消去y并整理得(4k23)x28kmx4m2120,由(8km)24(4k23)(4m212)48(4k2m23)>0,得m2<4k23.由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1x2,則y1y2k(x1x2)2m,因?yàn)?x1x2,y1y2),所以點(diǎn)p,由于點(diǎn)p在橢圓e上,則2·2

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