1.4.2全概率公式與貝葉斯公式ppt課件

1、11.4 全概率公式與貝葉斯公式 例例1 1 有外形相同的球分別裝兩個(gè)袋子，設(shè)甲袋有有外形相同的球分別裝兩個(gè)袋子，設(shè)甲袋有6 6只白球，只白球，4 4只紅球，乙袋中有只紅球，乙袋中有3 3只白球只白球6 6只紅球，現(xiàn)在先從每袋中各任取一球再從取出的二球中任取一球，求此球是只紅球，現(xiàn)在先從每袋中各任取一球再從取出的二球中任取一球，求此球是白球的概率。白球的概率。2.3.4()P B123()P BABABA123()()()P BAP BAP BA112233() ()() ()() ()P B A P AP B A P AP B A P A31() ()iiiP B A P A0.1 0.60

2、.25 0.40.15 0.20.19.1()0.6,P A 1()0.1,P B A 2()0.25,P A3()0.15.P A2()0.4,P B A3()0.2P B A 在較復(fù)雜情況下直接計(jì)算在較復(fù)雜情況下直接計(jì)算P P( (B B) )不易不易, ,但但B B總是伴隨著某個(gè)總是伴隨著某個(gè)Ai出現(xiàn)，出現(xiàn)，例如例如B是由原因是由原因Ai所引起，則所引起，則B B發(fā)生的概率是發(fā)生的概率是P (B Ai)=P(Ai)P(B |Ai)每一原因都可能導(dǎo)致每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故發(fā)生，故B發(fā)生的概率是各原因引起發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和發(fā)生概率的總和. “全全”部概部概率率P(B

3、)被分解成了許多部分之和被分解成了許多部分之和. 1()P A B1()( )P ABP B11() ()( )P B A P AP B0.6 0.10.1 0.60.25 0.40.15 0.20.316.30.15 0.2()0.158.0.1 0.60.25 0.40.15 0.2P A B 當(dāng)有了新的信息（知道當(dāng)有了新的信息（知道B發(fā)生），人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小發(fā)生），人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小P(Ai | B)作新的估計(jì)作新的估計(jì).31( )() ()iiiP BP A P B A31()()(|)()()iiijjjP AP BAP ABP AP BAi =1,2,311112

4、233() ()() ()() ()() ()P B A P AP B A P AP B A P AP B A P AA1,A2,A35.6211.5nnA , A , , A定義如果 個(gè)事件滿足下列條件： 12 ,(i)nA AA兩兩不相容,ni1(ii) A,i 12, , ,nAAA則稱為樣本空間的一個(gè)劃分,.1AnA3A2A1. 樣本空間的劃分或構(gòu)成一個(gè)完備事件組或構(gòu)成一個(gè)完備事件組.注意(2) 當(dāng)n=2時(shí),若A1,A2是一個(gè)完備事件組,則A1,A2為對(duì)立事件.712n1.3A , A , , A,.1,inBAin 定理設(shè) 個(gè)事件構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分是一個(gè)事件當(dāng)P()0( = ,)

5、時(shí),() ()( )( )0,1, .=1當(dāng)時(shí), ()=P()P()iiiniiiP A P B AP BP A BinAB A1( ) ( )() ()niiiP BP A P B ABayes（公式）2. 全概率公式和貝葉斯公式全概率公式的來由全概率公式的來由, , 不難由上式看出不難由上式看出: :“全全”部概率部概率P( (B B) )被分解成了許多部分之和被分解成了許多部分之和. .全概率公式在貝葉斯公式中，在貝葉斯公式中，P P( (Ai) )和和P P( (Ai | |B) )分別稱為原因的驗(yàn)前概率和驗(yàn)后概率分別稱為原因的驗(yàn)前概率和驗(yàn)后概率. .P P( (A Ai)()(i=1

6、,2,=1,2, ,n) )是在沒有進(jìn)一步信息（不知道事件是在沒有進(jìn)一步信息（不知道事件B B是否發(fā)生）的情況下，人們對(duì)諸是否發(fā)生）的情況下，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí)事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí). . 當(dāng)有了新的信息（知道當(dāng)有了新的信息（知道B B發(fā)生），人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小發(fā)生），人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小P P( (Ai | | B) )有了新有了新的估計(jì)的估計(jì). .貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化。貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化。8BA1A2A3An. 11:()()nniiiiBBBAAB 證明 由于1,( )nnniiiiiABA BnP BP ABP A P B A=1

7、=1是 個(gè)兩兩互不相容的事件,因此 =()=( ) () : 當(dāng)一個(gè)復(fù)雜事件是由多種 原因 產(chǎn)生的樣本點(diǎn)構(gòu)成時(shí)往往可以考慮用全概率公式計(jì)算它的概率.當(dāng)已知試驗(yàn)結(jié)果而要追查 原因 時(shí),使用貝葉斯公式常常有效注.( )() ()()( )iiiiniiiP A P B AP ABP A BP BP A P B A=1條義()=() () 由由件件概概率率的的定定與與全全概概率率公公式式得得到到9求取得白球的概率. 設(shè)個(gè)則樣間個(gè)iiABiiB 解 :=取得白球,=球取自第盒,=1,2, 3,是本空的一劃分. 31 ( ) () ( | )iiiP AP BP AB則12131223333434363

8、 全概率公式貝葉斯公式的應(yīng)用舉例 例2 有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1,2,3，1號(hào)箱裝有1個(gè)黑球2個(gè)白球，2號(hào)箱裝有1個(gè)黑球3白球，3號(hào)箱裝有2個(gè)黑球2白球. 現(xiàn)從中等可能的取一盒,再從該盒中任取一球,321102) 誤判問題.11( )P B() ( )() ( )P B A P AP B A P A95% 0.1% 5% 99.9%0.0509.() ( )()() ( )() ( )95% 0.1%0.02.95% 0.1%5% 99.9%P B A P AP A BP B A P AP B A P A12132514331421423元件元件5 5不能正常工作不能正常工作元件元件5 5能正常工作能正常工作）可靠性問題.分析14 甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊, , 三人三人擊中的概率分別為擊中的概率分別為0.40.4、0.50.5、0.7. 0.7.