矢量微積分(修改版)

1、矢量微積分(修改版)矢量微積分(修改版) 矢量微分矢量微分 直角坐標系中的矢量微分直角坐標系中的矢量微分 曲線坐標系中的矢量微分曲線坐標系中的矢量微分 矢量微分應用舉例矢量微分應用舉例 矢量積分矢量積分 直角坐標系中的矢量積分直角坐標系中的矢量積分 曲線坐標系中的矢量積分曲線坐標系中的矢量積分矢量微積分(修改版)任何一個矢量,都可以表示成的形式，其中 ， 是 的單位矢量。從而在直角坐標系中，由于基失是常矢量，不難得到在曲線坐標系中，由于基矢方向可變，故曲線坐標系中的矢量微分比起直角坐標系來相對要復雜些。直角坐標系中的矢量微分直角坐標系中的矢量微分AAaAAaAdAdAaAdaxyzdAdA i

2、dA jdA k矢量微積分(修改版)1.在極坐標系（三維即為柱坐標系） 中，應用幾何知識，可以得出。則曲線坐標系中的矢量微分曲線坐標系中的矢量微分cossinreijsincoseij zeksincosrdeij dd e cossinrdeij dd e 0zde 矢量微積分(修改版)設柱坐標系中的任意矢量為則曲線坐標系中的矢量微分曲線坐標系中的矢量微分rrzzAA eA eA errrrzzrrrzzdAdA eA d edA eA d edA edAA dedAA dedA e矢量微積分(修改版)2.在球坐標系中，同樣應用幾何知識可得則曲線坐標系中的矢量微分曲線坐標系中的矢量微分sin

3、cossinsincosreijkcoscoscossinsineijksincoseij sinrded ed e cosrded ed e cossindedij 矢量微積分(修改版) 微分的結果，已無法在球坐標系中表述。在理論力學中，為研究方便起見，引入輔助基矢 ，它相當于直角坐標系中的 ，是球坐標系中 時的 ，于是曲線坐標系中的矢量微分曲線坐標系中的矢量微分errded ed kerded ed ke ded kekk0re矢量微積分(修改版)設則曲線坐標系中的矢量微分曲線坐標系中的矢量微分rrAA eA eA er rrrrrrrrrrdA dAeAd eAd k edAeAd ed

4、 k edAeA d k edAAdedAAdedAedAk eAk eA k e 矢量微積分(修改版)求地球表面物體的運動受力情況。解：地球時刻不停地在自轉，因此在地球表面的物體，無論是其運動狀況還是其受力狀況，都不可避免地受地球自轉的影 響。我們不妨把地球視為理想球體，并把所求的問題放在以球心為坐標原點，以地球自轉軸為 的球坐標系中來處理。設地球半徑為R，自轉角速度為 ，任意時刻 A 物體的位置矢量顯然是 ，速度 ，根據球坐標中的微分表達式有：矢量微分的應用舉例矢量微分的應用舉例00errRrvdr dtRdedtrvRddteRddtke矢量微積分(修改版)令 而 ，則這里， 中包含 ，

5、把 分離出來，則物體相對于地球運動的分速度為因地球自轉而使物體有一個牽連分速度即使物體相對于地球表面靜止， 仍然存在，這就是所謂的“坐地日行八百里”。物體的加速度 為矢量微分的應用舉例矢量微分的應用舉例k,ddtddt rvR eRe000vR er 0vr va矢量微積分(修改版)從而這個結論在理論力學中很重要，可用來解釋許多 自然現象。這里討論兩種特殊情況:矢量微分的應用舉例矢量微分的應用舉例22222cossincosrrdvdaR erdtdtdedddrReRrdtdtdtdtddReReRerR erdtdtddReReRReRkdtdt 2222cossincosrddFmamR

6、emRemRRemRkdtdt 矢量微積分(修改版)(1).當物體相對于地面靜止時 , 從而 ，又 ，故 。此時物體所受的力為：由于 的存在，致使物體受力 （重力）不指向地心（ 的反方向），并隨地球緯度的改變而不同。(2).當物體做緯向運動時， ， ，此時物體所受力中有一個徑向分力 。令 ， ， 。則此徑向分力可改寫為 ，這個力就是科里奧利力，用科氏力可以解釋河流沖刷右岸等自然現象。矢量微分的應用舉例矢量微分的應用舉例0ddt 0ddt0C0ddt2200cosrFmRemRk 20cosmRkre0C0ddt02cosmReRv vev00k02mv矢量微積分(修改版) 矢量微分矢量微分 直

7、角坐標系中的矢量微分直角坐標系中的矢量微分 曲線坐標系中的矢量微分曲線坐標系中的矢量微分 矢量微分應用舉例矢量微分應用舉例 矢量積分矢量積分 直角坐標系中的矢量積分直角坐標系中的矢量積分 曲線坐標系中的矢量積分曲線坐標系中的矢量積分矢量微積分(修改版)在直角坐 標系中，由于基矢方向恒定，矢量積分可以直接進行。例：求載流直導線周圍的磁感強度解：設直角坐標系如圖，即原點在導線中心軸上，讓y軸與導線中心軸重合，y 軸方向與電流同向，讓x軸通過場點p，則于是,直角坐標系中的矢量積分直角坐標系中的矢量積分22,.dldyj rxiyj rxy,dlrxdyk 2211003 23220212222214

8、44yyyyIIxdlrdyBkrxyIyykxxyxy 矢量微積分(修改版)(1).如果導線長為L ,且 ，即求導線中垂直面上的磁感強度，則(2).如果導線無限長（ ），則直角坐標系中的矢量積分直角坐標系中的矢量積分Lx12yy 02224ILBkxxL 02IBkx 矢量微積分(修改版)在曲線坐標中，由于基矢方向可變，矢量積分應慎重。例：求圓形載流線圈中心軸上的 。解：設柱坐標系如圖，則這個答案明顯是錯誤的，因為被積矢量中基矢 本身是一個會隨著積分變量而改變的變矢量。曲線坐標系中的矢量積分曲線坐標系中的矢量積分BdldleRd ezrReze 22rzR2zdlrR d eRzd e222

9、003 2300222003 23 222224422zLzIIdlrBR deRzderRzIRIRzeeRzRze矢量微積分(修改版)如果將 表示成某一定點基矢的函數 ，答案就不會錯了。曲線坐標系中的矢量積分曲線坐標系中的矢量積分00222003 23002222203 20022203 22244cossin42zLzzIIdlrBR deRzderRzIR deRzdeeRzIReRze00cossineee矢量微積分(修改版)而在有些情況下，曲線坐標系中進行矢量積分，又會得到非常理想的結果。例：求無限長載流 直導線周圍的磁感應強度 。解：我們把它放在柱坐標系中解決。設 Z 軸與導線重合并與電流同向，