2020_2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第2章等式與不等式2.2不等式2.2.4均值不等式及其應(yīng)用第2課時(shí)均值不等式的應(yīng)用學(xué)案含解析新人教B版必修第一冊(cè)

1、- 1 -第第 2 2 課時(shí)課時(shí)均值不等式的應(yīng)用均值不等式的應(yīng)用學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.熟練掌握利用均值不等式求函數(shù)的最值問(wèn)題(重點(diǎn))2會(huì)用均值不等式求解實(shí)際應(yīng)用題(難點(diǎn))1.通過(guò)均值不等式求最值，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)2借助均值不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)(1)某養(yǎng)殖場(chǎng)要用 100 米的籬笆圍成一個(gè)矩形的雞舍，怎樣設(shè)計(jì)才能使雞舍面積最大？(2)某農(nóng)場(chǎng)主想用籬笆圍成一個(gè)10 000 平方米的矩形農(nóng)場(chǎng)，怎樣設(shè)計(jì)才能使所用籬笆最省呢？問(wèn)題實(shí)例中兩個(gè)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是什么？如何求解？已知x，y都是正數(shù)(1)若xys(和為定值)，則當(dāng)xy時(shí)，積xy取得最大值s24.(2)若xyp(積為定值)

2、，則當(dāng)xy時(shí)，和xy取得最小值 2p.上述命題可歸納為口訣：積定和最小，和定積最大拓展在應(yīng)用均值不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件：一正、二定、三相等，這三個(gè)條件缺一不可一正：各項(xiàng)必須為正數(shù)例如，求代數(shù)式x1x的最值時(shí)，不能直接用x1x2x1x2.取特殊值x1，x1x2，可見(jiàn)x1x的最小值不為 2，產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是這里的x不一定為正數(shù)只有各項(xiàng)為正數(shù)時(shí)才能利用均值不等式二定：積或和為定值積為定值和有最小值；和為定值積有最大值為了利用均值不等式，有時(shí)對(duì)給定的代數(shù)式要進(jìn)行適當(dāng)變形例如：當(dāng)x2 時(shí)，x1x2(x2)1x22224(當(dāng)且僅當(dāng)x3 時(shí)，等號(hào)成立).當(dāng) 0 x83時(shí)，x(83x)13

3、(3x)(83x)- 2 -133x83x22163(當(dāng)且僅當(dāng)x43時(shí)，等號(hào)成立).三相等：等號(hào)能否取到例如，x221x22中，雖然x22與1x22的積為定值 1，但是當(dāng)x221x22時(shí)，有x21 不成立所以x221x222 中等號(hào)不成立，即此時(shí)不能用均值不等式求最值另外，在連續(xù)使用公式求最值時(shí)，取等號(hào)的條件很嚴(yán)格，要求同時(shí)滿足任何一次等號(hào)成立的字母取值存在且一致1思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)兩個(gè)正數(shù)的積為定值，一定存在兩數(shù)相等時(shí)，它們的和有最小值()(2)若a0，b0 且ab4，則ab4.()(3)當(dāng)x1 時(shí)，函數(shù)yx1x12xx1，所以函數(shù)y的最小值是 2xx1.()答案(

4、1)(2)(3)提示(1)由ab2ab可知正確(2)由abab224 可知正確(3)xx1不是常數(shù)，故錯(cuò)誤2已知a，br r，則“ab0”是“abba2”的()a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件b bab0 時(shí)，ab0，ba0，abba2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)，故充分性不成立反之，abba2，a2b2ab20，（ab）2ab0，ab0，“ab0”是“abba2”的必要不充分條件3(教材 p76 練習(xí) a改編)若x0，則x2x的最小值是_- 3 -2 2 2 2x2x2x2x2 2，當(dāng)且僅當(dāng)x 2時(shí)，等號(hào)成立4設(shè)x，yn n*滿足xy20，則xy的最大值為_(kāi)1001

5、00 x，yn n*，20 xy2xy，xy100.利用均值不等式求最值【例 1】(1)已知x54，求y4x214x5的最大值；(2)已知 0 x12，求y12x(12x)的最大值思路點(diǎn)撥(1)看到求y4x214x5的最值，想到如何才能出現(xiàn)乘積定值；(2)要求y12x(12x)的最值，需要出現(xiàn)和為定值解(1)x0，y4x214x554x154x3231，當(dāng)且僅當(dāng) 54x154x，即x1，x32(舍去)時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)x1 時(shí)，ymax1.(2)0 x0，y142x(12x)142x12x221414116.當(dāng)且僅當(dāng) 2x12x0 x0，求函數(shù)yx25x4x的最小值；(2)已知 0 x0)

6、的最小值為 9.(2)法一：0 x0.yx(13x)133x(13x)133x（13x）22112，當(dāng)且僅當(dāng) 3x13x，即x16時(shí)，等號(hào)成立當(dāng)x16時(shí)，函數(shù)取得最大值112.法二：0 x0.yx(13x)3x13x3x13x22112，當(dāng)且僅當(dāng)x13x，即x16時(shí)，等號(hào)成立當(dāng)x16時(shí)，函數(shù)取得最大值112.利用均值不等式求條件最值【例 2】已知x0，y0，且滿足8x1y1.求x2y的最小值- 5 -解x0，y0，8x1y1，x2y8x1y(x2y)10 xy16yx102xy16yx18，當(dāng)且僅當(dāng)8x1y1，xy16yx，即x12，y3時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)x12，y3 時(shí)，(x2y)min18

7、.若把“8x1y1”改為“x2y1”，其他條件不變，求8x1y的最小值解x，yr r，且x2y1，8x1y(x2y)8x1y816yxxy21016yxxy102 1618.當(dāng)且僅當(dāng)16yxxy時(shí)取等號(hào)，結(jié)合x(chóng)2y1，得x23，y16，當(dāng)x23，y16時(shí)，8x1y取到最小值 18.常數(shù)代換法求最值的方法步驟常數(shù)代換法適用于求解條件最值問(wèn)題應(yīng)用此種方法求解最值的基本步驟為：(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù)).(2)把確定的定值(常數(shù))變形為 1.(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式(4)利用均值不等式求最值跟進(jìn)訓(xùn)練- 6 -2已知a0，b0，a2b1，

8、求1a1b的最小值解法一：1a1b1a1b11a1b(a2b)12baab232baab322baab32 2，當(dāng)且僅當(dāng)2baab，a2b1，即a 21，b122時(shí)等號(hào)成立1a1b的最小值為 32 2.法二：1a1ba2baa2bb12baab232baab32 2，當(dāng)且僅當(dāng)2baab，a2b1，即a 21，b122時(shí)等號(hào)成立，1a1b的最小值為 32 2.利用均值不等式解決實(shí)際問(wèn)題【例 3】(教材 p74 例 3 改編)如圖，動(dòng)物園要圍成相同面積的長(zhǎng)方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成現(xiàn)有 36 m 長(zhǎng)的鋼筋網(wǎng)材料，每間虎籠的長(zhǎng)、寬分別設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？解

9、設(shè)每間虎籠長(zhǎng)xm，寬ym，則由條件知，4x6y36，即 2x3y18.設(shè)每間虎籠面積為s，則sxy.法一：由于 2x3y2 2x3y2 6xy，- 7 -所以 2 6xy18，得xy272，即smax272，當(dāng)且僅當(dāng) 2x3y時(shí)，等號(hào)成立由2x3y18，2x3y，解得x4.5，y3.故每間虎籠長(zhǎng)為 4.5 m，寬為 3 m 時(shí)，可使每間虎籠面積最大法二：由 2x3y18，得x932y.x0，0y6，sxyy932y32y(6y).0y0.s32（6y）y22272.當(dāng)且僅當(dāng) 6yy，即y3 時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)x4.5.故每間虎籠長(zhǎng)為 4.5 m，寬為 3 m 時(shí)，可使每間虎籠面積最大用均值不等

10、式解決實(shí)際問(wèn)題的步驟(1)理解題意，設(shè)好變量；(2)建立相應(yīng)的關(guān)系式，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化、抽象為最大值或最小值問(wèn)題；(3)在自變量范圍內(nèi)，求出最大值或最小值；(4)結(jié)合實(shí)際意義求出正確的答案，回答實(shí)際問(wèn)題跟進(jìn)訓(xùn)練3某單位用 2 160 萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少 10 層，每層 2 000平方米的樓房經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x(x10)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為 56048x(單位：元).為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？(注：平均綜合費(fèi)用平均建筑費(fèi)用平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用購(gòu)地總費(fèi)用建筑總面積)解設(shè)將樓房建為x層，則每平方米的平均購(gòu)地費(fèi)用為2 160

11、1042 000 x10 800 x.每平方米的平均綜合費(fèi)用y56048x10 800 x56048x225x.- 8 -當(dāng)x225x取最小值時(shí)，y有最小值x0，x225x2x225x30.當(dāng)且僅當(dāng)x225x，即x15 時(shí)，上式等號(hào)成立當(dāng)x15 時(shí)，y有最小值 2 000 元因此該樓房建為 15 層時(shí)，每平方米的平均綜合費(fèi)用最少知識(shí)：1利用均值不等式求最值(1)利用均值不等式求最值要把握下列三個(gè)條件： “一正”各項(xiàng)為正數(shù)； “二定”“和”或“積”為定值； “三相等”等號(hào)一定能取到這三個(gè)條件缺一不可(2)利用均值不等式求最值的關(guān)鍵是獲得定值條件， 解題時(shí)應(yīng)對(duì)照已知和欲求的式子運(yùn)用適當(dāng)?shù)摹安痦?xiàng)、添

12、項(xiàng)、配湊、變形”等方法創(chuàng)建應(yīng)用均值不等式的條件(3)在求最值的一些問(wèn)題中，有時(shí)看起來(lái)可以運(yùn)用均值不等式求最值，但由于其中的等號(hào)取不到，所以運(yùn)用均值不等式得到的結(jié)果往往是錯(cuò)誤的2不等式的應(yīng)用題大都與函數(shù)相關(guān)聯(lián)，在求最值時(shí)，均值不等式是經(jīng)常使用的工具，但若對(duì)自變量有限制，一定要注意等號(hào)能否取到方法：利用均值不等式求最值時(shí)，得出定值常用的方法有：配湊法、分離因式法、“1”的代換法等1若實(shí)數(shù)a，b滿足1a2bab，則ab的最小值為()a 2b2c2 2d4c c由題意知a0，b0，則1a2b22ab2 2ab，當(dāng)且僅當(dāng)1a2b，即b2a時(shí)，等號(hào)成立- 9 -因?yàn)?a2bab，所以ab2 2ab，即ab2 2，所以ab的最小值為 2 2，故選 c.2若正實(shí)數(shù)a，b滿足ab2，則ab的最大值為()a1b2 2c2d4a a由均值不等式得，abab221，當(dāng)且僅當(dāng)ab1 時(shí)取到等號(hào)3已知 0 x1，則x(33x)取最大值時(shí)x的值為()a12b34c23d25a a0 x0，則x(33x)3x(1x)3x1x