向量空間的基課件

1、目錄后頁返回1 1前頁 定理5.1.1 -向量空間的基 定義5.1.3 -線性相關(guān)與線性無關(guān) 定義5.1.4 -基 例3 例45.15.1 定義5.1.1 -向量空間 定義5.1.2 -子空間 例1 例2 例5 定義5.1.5 -維數(shù) 例6 例7 例8 例9 例10目錄后頁返回2 2前頁 定義定義5.1.1 非空集合 稱為域 上的向量空間向量空間 VF(vector space)或線性空間線性空間(linear space), 如果 關(guān)于 V加法（記作“+”）運算構(gòu)成一個交換群，并且對每個 , 在 中可惟一地確定一個元素 (稱為 kFvVVkvk與 的標(biāo)量乘法標(biāo)量乘法)，使得對所有的 ， ,

2、以 v, l mF, u vV下四個條件都滿足： (M1) ; ()()lm vl mv (M2) ; ()lm vlvmv目錄后頁返回3 3前頁 (M3) ; ()l uvlulv (M4) . 1vv 向量空間中的元素稱為向量向量(vector). 域中的元素稱為標(biāo)量標(biāo)量或者純量純量(scalar). 注注在高等代數(shù)課程中, 我們涉及到的向量空 間（或線性空間）的基域都是數(shù)域,是無限域, 且是 特征為零的域, 但我們這里的基域可以是一般的域, 它可以是有限域, 且域的特征也可以是素數(shù). 目錄后頁返回4 4前頁 例例1 集合 是域 上的 12(,)|nniFa aaaFF向量空間, 其加法運

3、算和標(biāo)量乘法運算分別為 12121122(,)( ,)(,)nnnna aab bbab abab1212( ,)(,)nnk a aaka kaka 例例2設(shè) 是素數(shù), 則 是一個域. 系數(shù)在 ppZpZ上的一元多項式環(huán) 是 上的向量空間. pxZpZ 例例3復(fù)數(shù)域 是實數(shù)域 上的向量空間, 運算 CR是通常的復(fù)數(shù)的加法和乘法運算. 目錄后頁返回5 5前頁 例例4域 上的所有 矩陣的集合 關(guān)于 F2 22( )MF如下矩陣的加法和標(biāo)量乘法運算構(gòu)成 上的向量空 F間 1212112234343344aabbababaabbabab12123434aakakakaakaka目錄后頁返回6 6前頁

4、 例例5（這個例子是例3的推廣. 雖然它看上去 很平常,但卻是域論中最重要的例子之一）設(shè) 是域， E 是 的子域, 那么 是 上的向量空間. 向量空間 FEEF的運算就是域 中的運算. 因此, 根據(jù)第三章定理 E3.6.5, 每個域都可看成是某個素域上的向量空間. 定義定義5.1.2 設(shè) 是域 上的向量空間， 是 的 VFUV非空子集. 如果 關(guān)于 的運算也構(gòu)成 上的向量空 UVF間, 則稱 為 的子空間子空間 UV目錄后頁返回7 7前頁 例例6集合 是 上 22100125|,a xa xaa a a Z5Z的由所有系數(shù)在域 上的多項式組成的向量空間 5Z 的子空間. 5 xZ 例例7設(shè) 是

5、域 上的向量空間， 是 VF12,nv vvV中的向量(它們不必互不相同), 那么子集 121 12 212,|,nn nnv vvava va va aaF 稱為 的由由 張成的子空間張成的子空間. 形如 V12,nv vv 的元素稱為 的線性組 1 12 2nna va va v12,nv vv目錄后頁返回8 8前頁合 如果 ，那么我們稱 張成張成 12,nv vvV 12,nv vv 一般地, 設(shè) 是 的任一非空子集. 如果 中任一 VBVV元素都是 中有限多個元素的線性組合, 則稱 張BB成V目錄后頁返回9 9前頁 定義定義5.1.3 向量組 稱為在 上線性線性 12,nv vvF相關(guān)

6、相關(guān)(linearly dependent), 如果存在不全為零的元 , 使得 . 如果 12,nk kkF1 12 20nnk vk vk v向量組在 上不是線性相關(guān)的, 則稱為在 上線性無線性無 FF關(guān)關(guān)(linearly independent). 例例8設(shè) , 則 中的向量組 20,1F Z3F ， ， 在 上是線性無關(guān)的. 因為假 (1,0,0) (1,1,0)(1,1,1)F設(shè)存在 , 使得 , ,a b cF目錄后頁返回1010前頁(1,0,0)(1,1,0)(1,1,1)(0,0,0)abc那么 , 于是 . (, )(0,0,0)abc bc c0abc 定義定義5.1.4

7、設(shè) 是 上的向量空間. 是 的 VFBV一個非空子集. 如果 中任一有限子集都在 線性無 BF關(guān), 且 張成 , 則稱 為 的基. BVBV目錄后頁返回1111前頁 例例9集合 5,aabVa babbZ是 上的向量空間 . 則我們可以證明 5Z1101,1011B 是 的基. V首先我們來證明 是線性無關(guān)的. B假設(shè)有 , 使得 5, a bZ目錄后頁返回1212前頁110100101100ab那么有 0000aababb所以, , 從而 線性無關(guān). 其次, 中任何 0abBV元素都具有形式 11011011aabababb因此, 生成 , 即 是 的基. BVBV目錄后頁返回1313前頁

8、定理定理5.1.1 如果 和 都 12 ,mu uu12,nw ww是域 上向量空間 的基, 那么 FVmn 證證假設(shè) . 不妨設(shè) . mnmn由于 12,mu uu張成 , 所以可設(shè) , 且這些 V11 1mmwk uk u 不全為零, 對 的順序適當(dāng)重排后可 ikF12,mu uu設(shè) ,則 張成 . 10k 12,mw uuV 設(shè) , 21122mmwl wl ul u則 中至少有 2,mll一個不為零, 設(shè) , 20l 則 張成 繼續(xù) 123,mw w uuV目錄后頁返回1414前頁這樣下去, 有 張成 . 12,mw wwV但此時 是 1mw 的線性組合, 矛盾! 12,mw ww 定義定義5.1.5如果一個向量空間 具有一個含 Vn個元素的基, 則稱 的維數(shù)維數(shù)(dimension)是 . 零空 Vn間 稱為是由空集張成的, 并規(guī)定它的維數(shù)是0. 0 可以用集合論的方法證明每個向量空間都有基. 以有限多個元素為基的向量空間(包括零空間)稱為 有限維向量空間有限維向量空間(finite dimensional vector space), 否 目錄后頁返回1515前頁則稱為無限維向量空間無限維向量空間 (infinite di