二項式系數(shù)教學課件

1、 第第5 5章章 二項式系數(shù)二項式系數(shù) 5.1 Pascal5.1 Pascal公式公式 一、一、PascalPascal公式（帕斯卡）公式（帕斯卡） C? ?Cknkn? ?1? ?Ck? ?1n? ?1(1? ?k? ?n? ?1) 證明證明1 1：數(shù)學驗證即可。數(shù)學驗證即可。 證明證明2 2：組合學證明組合學證明兩種計數(shù)方法。兩種計數(shù)方法。 直接選取一個直接選取一個k-k-組合：組合： Ckn 任意選定一個元素任意選定一個元素a： 含有含有a 的的k-k-組合有組合有 Ck? ?1n? ?1kn? ?1 不含有不含有a 的的k-k-組合有組合有 C二、二、PascalPascal公式的意

2、義公式的意義 迭代生成組合數(shù)迭代生成組合數(shù) ? ?C? ?C? ?C? ?0nC? ?1 ,C? ?nn? ?1n? ?1 ,2 ,3 ,.knkn? ?1k? ?1n? ?10 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 3 3 6 6 1 1 4 4 1 1 5 5 1 1 6 6 1 1 7 7 1 1 8 8 1 1 1 1 2 2 3 3 迭代過程會生成迭代過程會生成PascalPascal三角形，三角形， 即楊輝三角形。即楊輝三角形。 4

3、4 5 5 6 6 7 7 8 8 5 5 10 10 10 10 6 6 15 15 20 20 15 15 7 7 21 21 35 35 35 35 21 21 8 8 28 28 56 56 70 70 56 56 28 28 三、楊輝三角形中的組合公式三、楊輝三角形中的組合公式 1 1、行和、行和 0 0 C? ?C? ?.? ?C? ?20n1nnnn0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 1 1 3 3 6 6 1 1 4

4、 4 1 1 5 5 1 1 6 6 1 1 7 7 1 1 8 8 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 21222242522722863010 10 10 10 15 15 20 20 15 15 21 21 35 35 35 35 21 21 28 28 56 56 70 70 56 56 28 28 三、楊輝三角形中的組合公式三、楊輝三角形中的組合公式 2 2、第一列、第一列 C? ?C? ?.? ?C? ?1? ?2? ?.? ?nn(n? ?1)? ?22? ?Cn? ?111121n0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8

5、 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 1 1 3 3 6 6 1 1 4 4 1 1 5 5 1 1 6 6 1 1 7 7 1 1 8 8 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 10 10 10 10 15 15 20 20 15 15 21 21 35 35 35 35 21 21 28 28 56 56 70 70 56 56 28 28 三、楊輝三角形中的組合公式三、楊輝三角形中的組合公式 3 3、第二列、第二列 C? ?C? ?.? ?C? ?

6、C313n? ?121222n0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 1 1 3 3 6 6 1 1 4 4 1 1 5 5 1 1 6 6 1 1 7 7 1 1 1 1 2 2 3n324 4、第三列、第三列 C? ?C? ?.? ?C? ?Ck14n? ?13 3 4 4 5 5 10 10 10 10 5 5、第、第k k列列 C? ?C? ?.? ?C? ?Ck? ?1n? ?1k2kn6 6 7 7 15 15 20 20

7、15 15 21 21 35 35 35 35 21 21 8 8 1 1 8 8 28 28 56 56 70 70 56 56 28 28 8 8 1 1 例例1 1 從從P(i,j)P(i,j)出發(fā)，只能下行或右下行出發(fā)，只能下行或右下行 , ,到達到達 P(i+1,j) P(i+1,j)或或P(i+1,j+1)P(i+1,j+1)。 從點從點P(0P(0，0)0)出發(fā)出發(fā) 到達點到達點P(n,k)P(n,k)共共 有多少條的路徑？有多少條的路徑？ 解：解： 有遞推關(guān)系有遞推關(guān)系 P(n,k)= P(n-1,k-1) P(n,k)= P(n-1,k-1) + P(n-1,k) + P(n

8、-1,k) P(1,0)=1,P(1,1)= 1 P(1,0)=1,P(1,1)= 1 CP(n,k)= P(n,k)= kn0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 5.2 5.2 二項式定理二項式定理 定理定理5.2.1 5.2.1 （二項式定理）（二項式定理） (x? ?y)? ? ?C x ynknkk? ?0nnn? ?k定理定理5.2.2 5.2.2 (1? ?x)? ? ?C xnknk? ?0k 生成函數(shù)：生成函數(shù)： Cx0n0Cx1nCx2nCx3n.C.xnnn123? ?

9、1 ? ? x? ?n二項式定理的應用二項式定理的應用 更多的組合公式更多的組合公式 1.kC? ?nC0n1n0n1n2nknk? ?1n? ?1nnn2.C? ?C? ?.? ?C? ?2C? ?C? ?C? ?.? ?2C? ?C? ?C? ?.? ?21n1n3n5n4nn- 1生成函數(shù)求導生成函數(shù)求導 n- 13.1 C? ?2C? ?.? ?nC? ?n221n21n2nnnnn-1生成函數(shù)再生成函數(shù)再 求導求導 n? ?24.1 C? ?2 C? ?.? ?n C? ?n(n? ?1)25 .(C )? ?(C )? ?.? ?(C )? ?C1 2n2 2nn 2nn2n分成兩

10、個分成兩個 n-集合集合 利用生成函數(shù)利用生成函數(shù)發(fā)現(xiàn)更多的組合公式發(fā)現(xiàn)更多的組合公式 1.(1? ?x) (1? ?x)? ?(1? ?x)mnm? ?nm? ?n? ? ?mii? ? ?njjkk? ? ? ? ? ?Cmx? ? ?.? ? ?Cnx? ? ? ?Cm? ?nx? ?i? ?0? ? ?j? ?0? ?k? ?0? ?Ci? ?0ni? ?0k范德蒙范德蒙 卷積公式卷積公式 imCink-in? ?Ckm? ?n? ?CnlCn-in? ? ?Ci? ?0n? ? ? ?in2? ?Cn2n2.(1? ?x) (1? ?x)? ?xm? ?1m? ?mn(1? ?x)m

11、? ?nl? ?m? ?n3.(1? ?x) (1? ?x) (1? ?x)? ?(1? ?x)5.3 5.3 二項式系數(shù)的單峰性二項式系數(shù)的單峰性 0 0 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 3 3 6 6 1 1 4 4 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 5 5 6 6 7 7 8 8 1 1 1 1 1 1 1 1 5 5 6 6 7 7 8 8 10 10 15 15 21 21 28 28 10 10 20 20 35 35 56 56 5 5 15 15 35

12、35 70 70 1 1 6 6 21 21 56 56 1 1 7 7 28 28 1 1 8 8 1 1 定理定理5.4.1 5.4.1 （二項式系數(shù)的單峰性）（二項式系數(shù)的單峰性） C ,C ,C ,. ,C 是單峰序列是單峰序列.n為偶數(shù)時為偶數(shù)時,C ,C ,C ,. ,C的最大值是的最大值是Cn為奇數(shù)時為奇數(shù)時,C ,C ,C ,. ,C的最大值是的最大值是C0n1n2nnn0n1n2nnnn/2n0n1n2nnn.,C(n? ?1)/2n(n? ?1)/2n.推論推論5.4.2 5.4.2 （二項式系數(shù)的最大值）（二項式系數(shù)的最大值） C ,C ,C ,. ,C的最大值是的最大值

13、是Cn0n1n2nnn? ?n/2? ? ?Cn? ?n/2? ?.5.4 5.4 多項式定理多項式定理 定理定理5.5.1 5.5.1 （多項式定理）（多項式定理） (x1? ?x2? ?.? ?xk)? ?其中其中 Cn1,n2.nknnn1? ?.? ?nk? ?n? ?Cn1,n2.nknx x ? xn11n22nkkn!? ?稱為多項式系數(shù)稱為多項式系數(shù) .n1!n2!? nk!222例例1 1 (x1? ?x2? ?x3)2? ?x1? ?x2? ?x3? ?2x1x2? ?2x1x3? ?2x2x32 !x的系數(shù)為的系數(shù)為:C? ? ?10 !0 !2 !2 !1,0,1x1x

14、3的系數(shù)為的系數(shù)為:C2? ? ?21 !0 !1 !230,0,22例例2 2 (x1? ?x2? ?x3)33323223212221? ?x1? ?x2? ?x3? ?3x x2? ?3x1x? ?3x x3? ?3x1x? ?3x x3? ?3x2x? ?6x1x2x33 !x2x的系數(shù)為的系數(shù)為:C? ? ?30 !1 !2 !3 !1,1,1x1x2x3的系數(shù)為的系數(shù)為:C3? ? ?61 !1 !1 !230,1,2323證明：證明： 例例3 3 (x1? ?x2? ?.? ?x5) 的展開式中的展開式中 ,x x3x x5的系數(shù)的系數(shù)?解：解： C2,0,1,3,1772134

15、7 !? ? ?4202 !0 !1 !3 !1 !63123例例4 4 (2x1? ?3x2? ?5x3)的展開式中的展開式中,x x2x的系數(shù)的系數(shù)?解：解： ? ?2? ?(? ?3 )? ?56 !? ? ? ? ?8? ?3? ?253 !1 !2 !? ? ? ?36000C3,1,26312例例5 5 (x1? ?x2? ?.? ?xk) 的展開式共有多少項的展開式共有多少項 ?nnn解：解： 展開式中展開式中 ,一般項為一般項為x1x2. xk12kn其中其中 n1? ?n2? ?.? ?nk? ?n方程方程n1? ?n2? ?.? ?nk? ?n的非負整數(shù)解的個數(shù)為的非負整數(shù)

16、解的個數(shù)為Cnn? ?k? ? 1(n? ?k? ?1)!? ?n!(k? ?1)!nn? ?k? ?16所以，展開式共有所以，展開式共有C項項.例如例如(x1? ?x2? ?x3? ?x4) 的展開式共有的展開式共有C66? ?4? ?19 !? ?C? ? ?846 !3 !69 多項式系數(shù)的多項式系數(shù)的PascalPascal公式公式 1 .C2 .n1,n2,.,nkn? ?Cn1? ?1,n2,.,nkn? ?1? ?Cn1,n2? ?1,.,nkn? ?1? ?.? ?Cn1,n2? ?1 ,.,nk? ?1n? ?1n1? ?.? ?nk? ?n? ?Cn1,n2,.,nkn?

17、?k12n3 .CCn1,n2,.,nknn1,n2,.,nknnn? ?1 ,n ,.,n? ?Cn? ?1n1nn ,n? ?1,.,n? ?Cn? ?1n212kk.Cn1,n2,.,nknnn ,n ,.,n? ?Cn? ?1nk12k? ?15.5 5.5 牛頓二項式定理牛頓二項式定理 一、牛頓二項式定理一、牛頓二項式定理 定理定理5.6.1 5.6.1 （牛頓二項式定理）（牛頓二項式定理） 設設? ?為任意實數(shù)，為任意實數(shù)，k為任意整數(shù)，為任意整數(shù)，0? ?x? ?y,? ?(x? ?y)? ? ?C? ?x y? ?kkk? ? 0? ? ?k定理定理5.6.2 5.6.2 設設

18、? ?為任意實數(shù)，為任意實數(shù)，k為任意整數(shù)，為任意整數(shù)，0? ?x? ?1 ,(1? ?x)? ? ? ?C? ?xkk? ? 0? ?k二、廣義二項式系數(shù)二、廣義二項式系數(shù) 設設? ?為任意實數(shù)，為任意實數(shù)，k為任意整數(shù)為任意整數(shù)? ? ?(? ? ?1).(? ? ?k? ?1)? ?k!? ?kC? ? ? ? ? ? 1 k? ?0? ? ? 0 k? ?0 k? ?1例例1 1 5? ?5? ? ?5531? ?1? ? ? ?5? ? ? ?1? ? ? ?2? ? ? ?3? ? ? ? ?52? ?2? ? ?22222? ?2? ?4? ? ? ?C5/2? ? ? ? ?

19、?4 !4 !128(? ?8 )(? ?9)2C? ?8? ? ?362 !? ?23 .2C? ?0C03 .2? ?1C13 .2? ?3 .2C23 .2? ?3 .2? ?2 .2/2三、常用展開式三、常用展開式 ? ?1kk例例2 2 1 .? ? ?(? ?1 ) x ,1? ?xk? ?0 x? ?1? ?1k2 .? ? ?x ,x? ?11? ?xk? ?0? ?1kk3 .? ? ?C? ?nx ,x? ?1n(1? ?x)k? ?0(? ?n)(? ?n? ?1 ).(? ?n? ?k? ?1 )k其中其中C? ?n? ?k!kkkn(n? ?1 ).(n? ?k? ?

20、1 )? ?(? ?1 ) Cn? ?k? ?1? ?(? ?1 )k!? ?1kk4 .? ? ?Cn? ?k? ?1x ,x? ?1n(1? ?x)k? ?0例例3 3 1? ?x? ?(1? ?x)1/2? ? ?Cx ,k1/2kk? ?0? ?x? ?11? ?1? ? ? ?1? ? ? ?1? ?.? ? ?k? ?1? ?2? ?2? ? ? ?2k? ?其中其中C1/2? ?k!1 (? ?1 )(? ?3 ).(? ?2 k? ?3 )? ?k2 k!k? ?1(2 k? ?3 )!k? ?1(2 k? ?3 )!? ?(? ?1 )? ?(? ?1 )k(2 k)!2 k

21、!? ?(? ?1 )k? ?1(2 k? ?3)!(2 k? ?2 )!(2 k)!(2 k? ?2)!(2 k? ?2 )!1k? ?1k? ?1? ?(? ?1 )C2(k? ?1)2k? ?122k? ?12k(k? ?1 )!2k? ?(? ?1 )k? ?1四、帕斯卡公式四、帕斯卡公式 1 .C? ? ?C? ? ?1? ?C2 .kC? ? ? ?C? ? ?13 .C? ? ?k? ?1? ?C? ? ?C? ? ?1? ?C? ? ?2? ?.? ?C? ? ?k4 .C5 .Ck? ?1? ? ?1k? ?1n? ?1k012kkkkkk? ?1? ? ?1? ?C? ? ?C? ? ?1? ?C? ? ?2? ?.? ?C? ? ?m? ?C? ?C? ?C? ?C? ?.? ?Ck0k1k2knkkkkk? ?1? ? ?m3 .C? ? ?k? ?1? ?C? ? ?C? ? ?1? ?C? ? ?2? ?.? ?C? ? ?k0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 0 0 1 1 k012k2 2 3 3