2022版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章10.1隨機(jī)事件與概率事件的相互獨(dú)立性課件新人教A版

1、10.110.1隨機(jī)事件與概率、事件的相互獨(dú)立隨機(jī)事件與概率、事件的相互獨(dú)立性性第十章第十章2022內(nèi)容索引必備知識(shí)必備知識(shí) 預(yù)案自診預(yù)案自診關(guān)鍵能力關(guān)鍵能力 學(xué)案突破學(xué)案突破素養(yǎng)提升微專題素養(yǎng)提升微專題1313“正難則反正難則反”思想在概率中的應(yīng)用思想在概率中的應(yīng)用必備知識(shí)必備知識(shí) 預(yù)案自診預(yù)案自診【知識(shí)梳理知識(shí)梳理】 1.事件的分類 確定事件必然事件作為自身的子集,包含了所有的樣本點(diǎn),在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生,所以總會(huì)發(fā)生,我們稱為必然事件不可能事件空集不包含任何樣本點(diǎn),在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生,我們稱為不可能事件隨機(jī)事件 我們將樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱事件基本事件 把只包含一

2、個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件2.頻率與概率(1)頻率的穩(wěn)定性:一般地,隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大,頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小,即事件a發(fā)生的頻率fn(a)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件a發(fā)生的概率p(a).我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.(2)大數(shù)定律闡述了隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,頻率穩(wěn)定在概率附近.(3)概率的定義:對(duì)于給定的隨機(jī)事件a,如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,事件a發(fā)生的頻率fn(a)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上,把這個(gè)常數(shù)記作p(a),稱為事件a的概率.范圍:0,1.意義:概率從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小.溫馨提示理解頻數(shù)與頻率需注意:前提:對(duì)于給定的隨機(jī)事件a,在相同的條件s下重復(fù)n次試驗(yàn),觀察事件a是否出現(xiàn)

3、.頻數(shù):指的是n次試驗(yàn)中事件a出現(xiàn)的次數(shù)na.頻率:指的是事件a出現(xiàn)的比例fn(a)= .問(wèn)題思考如何理解頻率與概率的關(guān)系?提示 (1)概率可看作頻率理論上的期望值,它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小.當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)越來(lái)越多時(shí),頻率越來(lái)越趨近于概率.當(dāng)次數(shù)足夠多時(shí),所得頻率就近似地看作隨機(jī)事件的概率.(2)通過(guò)公式fn(a)= 計(jì)算出頻率,再由頻率估算概率.3.事件的關(guān)系與運(yùn)算 事件的關(guān)系或運(yùn)算含義符號(hào)表示包含a發(fā)生導(dǎo)致b發(fā)生ab并事件(和事件)a與b至少一個(gè)發(fā)生ab或a+b交事件(積事件)a與b同時(shí)發(fā)生ab或ab互斥(互不相容)a與b不能同時(shí)發(fā)生ab=互為對(duì)立a與b有且僅有一個(gè)發(fā)生ab

4、=,ab=溫馨提示定義多個(gè)事件的和事件以及積事件.例如,對(duì)于三個(gè)事件a,b,c,abc(或a+b+c)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)a,b,c中至少一個(gè)發(fā)生,abc(或abc)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)a,b,c同時(shí)發(fā)生.4.相互獨(dú)立事件(1)定義:對(duì)任意兩個(gè)事件a與b,如果p(ab)=p(a)p(b)成立,則稱事件a與事件b相互獨(dú)立,簡(jiǎn)稱為獨(dú)立.(2)若事件a與b相互獨(dú)立,則p(ab)=p(a)p(b).由此可得出p(ab)=p(a)p(b)是事件a與b相互獨(dú)立的充要條件.溫馨提示(1)事件a與b相互獨(dú)立就是事件a的發(fā)生不影響事件b發(fā)生的概率,事件b的發(fā)生不影響事件a發(fā)生的概率.(2)互斥事件與相互獨(dú)立事件都描述兩個(gè)事件間

5、的關(guān)系,但互斥事件強(qiáng)調(diào)不可能同時(shí)發(fā)生,相互獨(dú)立事件則強(qiáng)調(diào)一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響;互斥的兩個(gè)事件可以獨(dú)立,獨(dú)立的兩個(gè)事件也可以互斥.用表格表示如下:相互獨(dú)立事件互斥事件判斷方法一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生,即ab=概率公式若事件a與b相互獨(dú)立,則p(ab)=p(a)p(b)若事件a與b互斥,則p(a+b)=p(a)+p(b)【考點(diǎn)自診考點(diǎn)自診】 1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯(cuò)誤的畫“”.(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.()(2)隨機(jī)事件和隨機(jī)試驗(yàn)是一回事.()(3)在大量重復(fù)試驗(yàn)中,概率是頻率的穩(wěn)定值.()(4)

6、兩個(gè)事件的和事件是指兩個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生.()(5)若a,b為互斥事件,則p(a)+p(b)=1.()(6)對(duì)立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是對(duì)立事件.()2.從一批羽毛球中任取一個(gè),其質(zhì)量小于4.8克的概率為0.3,質(zhì)量不小于4.85克的概率為0.32,則質(zhì)量在4.8,4.85)(單位:克)范圍內(nèi)的概率為()a.0.62 b.0.38c.0.7d.0.68答案 b解析 由互斥事件的概率計(jì)算公式可得質(zhì)量在4.8,4.85)(單位:克)范圍內(nèi)的概率為p=1-0.3-0.32=0.38.故選b.答案 b 4.口袋內(nèi)有一些大小相同的紅球、黃球和白球,從中任意摸出一球,摸出的球是紅球或黃球的概

7、率為0.4,摸出的球是紅球或白球的概率為0.9,那么摸出的球是黃球或白球的概率為()a.0.7b.0.5c.0.3d.0.6答案 a解析 設(shè)摸出紅球的概率為p(a),摸出黃球的概率是p(b),摸出白球的概率為p(c),所以p(a)+p(b)=0.4,p(a)+p(c)=0.9,且p(a)+p(b)+p(c)=1,所以p(c)=1-p(a)-p(b)=0.6,p(b)=1-p(a)-p(c)=0.1,所以p(b)+p(c)=0.7.故選a.答案 b 關(guān)鍵能力關(guān)鍵能力 學(xué)案突破學(xué)案突破考點(diǎn)考點(diǎn)1 1隨機(jī)事件的關(guān)系隨機(jī)事件的關(guān)系例(1)在一次隨機(jī)試驗(yàn)中,彼此互斥的事件a,b,c,d發(fā)生的概率分別是0

8、.2,0.2,0.3,0.3,則下列說(shuō)法正確的是()a.ab與c是互斥事件,也是對(duì)立事件b.bc與d是互斥事件,也是對(duì)立事件c.ac與bd是互斥事件,但不是對(duì)立事件d.a與bcd是互斥事件,也是對(duì)立事件(2)某校高三(1)班50名學(xué)生參加1 500 m體能測(cè)試,其中23人成績(jī)?yōu)閍,其余人成績(jī)都是b或c.從這50名學(xué)生中任抽1人,若抽得b的概率是0.4,則抽得c的概率是()a.0.14 b.0.20 c.0.40d.0.60答案 (1)d(2)a解析 (1)由于a,b,c,d彼此互斥,且abcd是一個(gè)必然事件,故其事件的關(guān)系可由如圖所示的venn圖表示,由圖可知,任何一個(gè)事件與其余3個(gè)事件的和事

9、件必然是對(duì)立事件,任何兩個(gè)事件的和事件與其余兩個(gè)事件的和事件也是對(duì)立事件.故選d.(2)由于成績(jī)?yōu)閍的有23人,故抽到c的概率為p=1- -0.4=0.14.思考如何判斷隨機(jī)事件之間的關(guān)系?解題心得 判斷隨機(jī)事件之間的關(guān)系有兩種方法:(1)定義法,就是考查它們能否同時(shí)發(fā)生,如果不能同時(shí)發(fā)生,則是互斥事件,否則,就不是互斥事件.(2)類比集合進(jìn)行判斷,把所有試驗(yàn)結(jié)果寫出來(lái),看所求事件包含哪些試驗(yàn)結(jié)果,從而斷定所給事件的關(guān)系.由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集,則事件互斥.事件a的對(duì)立事件 所含的結(jié)果組成的集合,是全集中由事件a所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集.注意:事件的包含、相等、互斥、

10、對(duì)立等,其發(fā)生的前提條件應(yīng)是一樣的;對(duì)立是針對(duì)兩個(gè)事件來(lái)說(shuō)的,而互斥可以是多個(gè)事件的關(guān)系.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)從1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù),其中:恰有一個(gè)是偶數(shù)和恰有一個(gè)是奇數(shù);至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù);至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù);至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一個(gè)是偶數(shù).上述事件中,是對(duì)立事件的是()a.b. c.d.(2)(多選)擲一枚骰子,設(shè)事件a:“向上的一面是奇數(shù)點(diǎn)”,事件b:“向上的一面點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3”,事件c:“向上的一面點(diǎn)數(shù)不小于4”,則下列說(shuō)法正確的是()a.a與b是互斥而非對(duì)立事件b.a與b不是互斥事件c.b與c是互斥而非對(duì)立事件d.b與c是對(duì)立事件答案 (1)c

11、(2)bd解析 (1)從1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)有3種情況:一奇一偶,2個(gè)奇數(shù),2個(gè)偶數(shù).其中“至少有一個(gè)是奇數(shù)”包含一奇一偶或2個(gè)奇數(shù)這兩種情況,它與兩個(gè)都是偶數(shù)是對(duì)立事件.又中的事件可以同時(shí)發(fā)生,不是對(duì)立事件,故選c.(2)將一枚骰子拋擲1次,設(shè)事件a表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù),事件b表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3,事件c表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于4,事件a與事件b能同時(shí)發(fā)生,不是互斥事件,故a錯(cuò)誤,b正確;事件b與事件c不能同時(shí)發(fā)生,也不能同時(shí)不發(fā)生,是對(duì)立事件,故c錯(cuò)誤,d正確.考點(diǎn)考點(diǎn)2 2隨機(jī)事件的頻率與概率隨機(jī)事件的頻率與概率【例2】某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位:元

12、),繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:上年度出險(xiǎn)次數(shù)012345保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況,得到如下統(tǒng)計(jì)表: 出險(xiǎn)次數(shù)012345頻數(shù)605030302010(1)記a為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”,求p(a)的估計(jì)值;(2)記b為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”.求p(b)的估計(jì)值;(3)求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值.解 (1)事件a發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2的頻率為 =0.55

13、,故p(a)的估計(jì)值為0.55.(2)事件b發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4的頻率為 =0.3,故p(b)的估計(jì)值為0.3.(3)由所給數(shù)據(jù)得調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費(fèi)為0.85a0.30+a0.25+1.25a0.15+1.5a0.15+1.75a0.10+2a0.05=1.192 5a.因此,續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值為1.192 5a(元).保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05解題心得 1.概率是頻率的穩(wěn)定值,它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小,它是頻率的科學(xué)

14、抽象.當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來(lái)越多時(shí),頻率越趨近于概率.2.求解隨機(jī)事件的概率的常用方法有兩種:(1)可用頻率來(lái)估計(jì)概率.(2)利用隨機(jī)事件a包含的基本事件數(shù)除以基本事件總數(shù).計(jì)算的方法有:列表法,列舉法,樹狀圖法.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)

15、,得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫 10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率;(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為y(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí),寫出y的所有可能值,并估計(jì)y大于零的概率.解 (1)這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶,當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25 ,由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫低于25 的頻率為 =0.6,所以這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率的估計(jì)值為0.6.(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為45

16、0瓶時(shí),若最高氣溫不低于25 ,則y=6450-4450=900;若最高氣溫位于區(qū)間20,25),則y=6300+2(450-300)-4450=300;若最高氣溫低于20 ,則y=6200+2(450-200)-4450=-100,所以,y的所有可能值為900,300,-100.y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20 ,由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫不低于20 的頻率為 =0.8,因此y大于零的概率的估計(jì)值為0.8.考點(diǎn)考點(diǎn)3 3互斥事件、對(duì)立事件概率公式的應(yīng)用互斥事件、對(duì)立事件概率公式的應(yīng)用【例3】 一盒中裝有12個(gè)球,其中5個(gè)紅球,4個(gè)黑球,2個(gè)白球,1個(gè)綠球.從中隨機(jī)取出1球,求:(1)取出1球是

17、紅球或黑球的概率;(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3 經(jīng)統(tǒng)計(jì),在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下:求:(1)至多2人排隊(duì)等候的概率是多少?(2)至少3人排隊(duì)等候的概率是多少?排隊(duì)人數(shù) 012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04解 記“0人排隊(duì)等候”為事件a,“1人排隊(duì)等候”為事件b,“2人排隊(duì)等候”為事件c,“3人排隊(duì)等候”為事件d,“4人排隊(duì)等候”為事件e,“5人及5人以上排隊(duì)等候”為事件f,則事件a,b,c,d,e,f彼此互斥.(1)記“至多2人排隊(duì)等候”為事件g,則g=abc,所以p(g)=p(abc)=p(a)+p(b)+p(c)=

18、0.1+0.16+0.3=0.56.(2)(方法一)記“至少3人排隊(duì)等候”為事件h,則h=def,所以p(h)=p(def)=p(d)+p(e)+p(f)=0.3+0.1+0.04=0.44.(方法二)記“至少3人排隊(duì)等候”為事件h,則其對(duì)立事件為事件g,所以p(h)=1-p(g)=0.44.考點(diǎn)考點(diǎn)4 4相互獨(dú)立事件概率公式的應(yīng)用相互獨(dú)立事件概率公式的應(yīng)用解題心得1.求復(fù)雜事件的概率,要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成,先將復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件或轉(zhuǎn)化為幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件,再求概率.2.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法:(1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解.(

19、2)直接計(jì)算較煩瑣或難以入手時(shí),可從其對(duì)立事件入手計(jì)算.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(2019全國(guó)1,理15)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽,采取七場(chǎng)四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí),該隊(duì)獲勝,決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績(jī),甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6,客場(chǎng)取勝的概率為0.5,且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立,則甲隊(duì)以4 1獲勝的概率是.答案 0.18解析 前五場(chǎng)中有一場(chǎng)客場(chǎng)輸時(shí),甲隊(duì)以4 1獲勝的概率是0.630.50.52=0.108;前五場(chǎng)中有一場(chǎng)主場(chǎng)輸時(shí),甲隊(duì)以4 1獲勝的概率是0.40.620.520.6=0.072.綜上所述,甲隊(duì)以4 1獲勝的概率是0.108+0.072=0.1

20、8.素養(yǎng)提升微專題素養(yǎng)提升微專題1313“正難則反正難則反”思想在概率中的應(yīng)用思想在概率中的應(yīng)用 概率求解中什么樣的問(wèn)題需用“正難則反”思想?一般來(lái)說(shuō),“正難則反”的思想是一種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想,如反證法、補(bǔ)集的思想都是“正難則反”思想的體現(xiàn).在解決問(wèn)題時(shí),如果從問(wèn)題的正面入手比較復(fù)雜或不易解決,那么嘗試采用“正難則反”思想往往會(huì)起到事半功倍的效果,大大降低題目的難度.在求對(duì)立事件的概率時(shí),經(jīng)常應(yīng)用“正難則反”的思想,即若事件a與事件b互為對(duì)立事件,在求p(a)時(shí),利用公式p(a)=1-p(b),先求容易的一個(gè),再求另一個(gè).【典例】已知射手甲射擊一次,命中9環(huán)(含9環(huán))以上的概率為0.56,命中8環(huán)的概率為0.22,命中7環(huán)的概率為0.12.(1)求甲射擊一次,命中不足8環(huán)的概率;(2)求甲射擊一次,至少命中7環(huán)的概率.解記“甲射擊一次,命中7環(huán)以下”為事件a,則p(a)=1-0.56-0.22-0.12=0.1,“甲射擊一次,命中7環(huán)”為事件b,則p(b)=0.12,由于在一次射擊中,a與b不可能同時(shí)發(fā)生,故a與b是互斥事件,(1)“甲射擊一次,命中不足8環(huán)”的事件為a+b,由互斥事件的概率加法公式,p(a+b)=p(a)+p(b)=0.1+0.12=0.22.答:甲射擊一次,命