2022版新教材高考數學一輪復習第十章10.1隨機事件與概率事件的相互獨立性課件新人教A版VIP

1、10.110.1隨機事件與概率、事件的相互獨立隨機事件與概率、事件的相互獨立性性第十章第十章2022內容索引必備知識必備知識 預案自診預案自診關鍵能力關鍵能力 學案突破學案突破素養(yǎng)提升微專題素養(yǎng)提升微專題1313“正難則反正難則反”思想在概率中的應用思想在概率中的應用必備知識必備知識 預案自診預案自診【知識梳理知識梳理】 1.事件的分類 確定事件必然事件作為自身的子集,包含了所有的樣本點,在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生,所以總會發(fā)生,我們稱為必然事件不可能事件空集不包含任何樣本點,在每次試驗中都不會發(fā)生,我們稱為不可能事件隨機事件 我們將樣本空間的子集稱為隨機事件,簡稱事件基本事件 把只包含一

2、個樣本點的事件稱為基本事件2.頻率與概率(1)頻率的穩(wěn)定性:一般地,隨著試驗次數n的增大,頻率偏離概率的幅度會縮小,即事件a發(fā)生的頻率fn(a)會逐漸穩(wěn)定于事件a發(fā)生的概率p(a).我們稱頻率的這個性質為頻率的穩(wěn)定性.(2)大數定律闡述了隨著試驗次數的增加,頻率穩(wěn)定在概率附近.(3)概率的定義:對于給定的隨機事件a,如果隨著試驗次數的增加,事件a發(fā)生的頻率fn(a)穩(wěn)定在某個常數上,把這個常數記作p(a),稱為事件a的概率.范圍:0,1.意義:概率從數量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小.溫馨提示理解頻數與頻率需注意:前提:對于給定的隨機事件a,在相同的條件s下重復n次試驗,觀察事件a是否出現

3、.頻數:指的是n次試驗中事件a出現的次數na.頻率:指的是事件a出現的比例fn(a)= .問題思考如何理解頻率與概率的關系?提示 (1)概率可看作頻率理論上的期望值,它從數量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小.當試驗的次數越來越多時,頻率越來越趨近于概率.當次數足夠多時,所得頻率就近似地看作隨機事件的概率.(2)通過公式fn(a)= 計算出頻率,再由頻率估算概率.3.事件的關系與運算 事件的關系或運算含義符號表示包含a發(fā)生導致b發(fā)生ab并事件(和事件)a與b至少一個發(fā)生ab或a+b交事件(積事件)a與b同時發(fā)生ab或ab互斥(互不相容)a與b不能同時發(fā)生ab=互為對立a與b有且僅有一個發(fā)生ab

4、=,ab=溫馨提示定義多個事件的和事件以及積事件.例如,對于三個事件a,b,c,abc(或a+b+c)發(fā)生當且僅當a,b,c中至少一個發(fā)生,abc(或abc)發(fā)生當且僅當a,b,c同時發(fā)生.4.相互獨立事件(1)定義:對任意兩個事件a與b,如果p(ab)=p(a)p(b)成立,則稱事件a與事件b相互獨立,簡稱為獨立.(2)若事件a與b相互獨立,則p(ab)=p(a)p(b).由此可得出p(ab)=p(a)p(b)是事件a與b相互獨立的充要條件.溫馨提示(1)事件a與b相互獨立就是事件a的發(fā)生不影響事件b發(fā)生的概率,事件b的發(fā)生不影響事件a發(fā)生的概率.(2)互斥事件與相互獨立事件都描述兩個事件間

5、的關系,但互斥事件強調不可能同時發(fā)生,相互獨立事件則強調一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響;互斥的兩個事件可以獨立,獨立的兩個事件也可以互斥.用表格表示如下:相互獨立事件互斥事件判斷方法一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響兩個事件不可能同時發(fā)生,即ab=概率公式若事件a與b相互獨立,則p(ab)=p(a)p(b)若事件a與b互斥,則p(a+b)=p(a)+p(b)【考點自診考點自診】 1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.()(2)隨機事件和隨機試驗是一回事.()(3)在大量重復試驗中,概率是頻率的穩(wěn)定值.()(4)

6、兩個事件的和事件是指兩個事件至少有一個發(fā)生.()(5)若a,b為互斥事件,則p(a)+p(b)=1.()(6)對立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是對立事件.()2.從一批羽毛球中任取一個,其質量小于4.8克的概率為0.3,質量不小于4.85克的概率為0.32,則質量在4.8,4.85)(單位:克)范圍內的概率為()a.0.62 b.0.38c.0.7d.0.68答案 b解析 由互斥事件的概率計算公式可得質量在4.8,4.85)(單位:克)范圍內的概率為p=1-0.3-0.32=0.38.故選b.答案 b 4.口袋內有一些大小相同的紅球、黃球和白球,從中任意摸出一球,摸出的球是紅球或黃球的概

7、率為0.4,摸出的球是紅球或白球的概率為0.9,那么摸出的球是黃球或白球的概率為()a.0.7b.0.5c.0.3d.0.6答案 a解析 設摸出紅球的概率為p(a),摸出黃球的概率是p(b),摸出白球的概率為p(c),所以p(a)+p(b)=0.4,p(a)+p(c)=0.9,且p(a)+p(b)+p(c)=1,所以p(c)=1-p(a)-p(b)=0.6,p(b)=1-p(a)-p(c)=0.1,所以p(b)+p(c)=0.7.故選a.答案 b 關鍵能力關鍵能力 學案突破學案突破考點考點1 1隨機事件的關系隨機事件的關系例(1)在一次隨機試驗中,彼此互斥的事件a,b,c,d發(fā)生的概率分別是0

8、.2,0.2,0.3,0.3,則下列說法正確的是()a.ab與c是互斥事件,也是對立事件b.bc與d是互斥事件,也是對立事件c.ac與bd是互斥事件,但不是對立事件d.a與bcd是互斥事件,也是對立事件(2)某校高三(1)班50名學生參加1 500 m體能測試,其中23人成績?yōu)閍,其余人成績都是b或c.從這50名學生中任抽1人,若抽得b的概率是0.4,則抽得c的概率是()a.0.14 b.0.20 c.0.40d.0.60答案 (1)d(2)a解析 (1)由于a,b,c,d彼此互斥,且abcd是一個必然事件,故其事件的關系可由如圖所示的venn圖表示,由圖可知,任何一個事件與其余3個事件的和事

9、件必然是對立事件,任何兩個事件的和事件與其余兩個事件的和事件也是對立事件.故選d.(2)由于成績?yōu)閍的有23人,故抽到c的概率為p=1- -0.4=0.14.思考如何判斷隨機事件之間的關系?解題心得 判斷隨機事件之間的關系有兩種方法:(1)定義法,就是考查它們能否同時發(fā)生,如果不能同時發(fā)生,則是互斥事件,否則,就不是互斥事件.(2)類比集合進行判斷,把所有試驗結果寫出來,看所求事件包含哪些試驗結果,從而斷定所給事件的關系.由各個事件所含的結果組成的集合彼此的交集為空集,則事件互斥.事件a的對立事件 所含的結果組成的集合,是全集中由事件a所含的結果組成的集合的補集.注意:事件的包含、相等、互斥、

10、對立等,其發(fā)生的前提條件應是一樣的;對立是針對兩個事件來說的,而互斥可以是多個事件的關系.對點訓練1(1)從1,2,3,4,5這5個數中任取兩個數,其中:恰有一個是偶數和恰有一個是奇數;至少有一個是奇數和兩個都是奇數;至少有一個是奇數和兩個都是偶數;至少有一個是奇數和至少有一個是偶數.上述事件中,是對立事件的是()a.b. c.d.(2)(多選)擲一枚骰子,設事件a:“向上的一面是奇數點”,事件b:“向上的一面點數不超過3”,事件c:“向上的一面點數不小于4”,則下列說法正確的是()a.a與b是互斥而非對立事件b.a與b不是互斥事件c.b與c是互斥而非對立事件d.b與c是對立事件答案 (1)c

11、(2)bd解析 (1)從1,2,3,4,5這5個數中任取兩個數有3種情況:一奇一偶,2個奇數,2個偶數.其中“至少有一個是奇數”包含一奇一偶或2個奇數這兩種情況,它與兩個都是偶數是對立事件.又中的事件可以同時發(fā)生,不是對立事件,故選c.(2)將一枚骰子拋擲1次,設事件a表示向上的一面出現奇數,事件b表示向上的一面出現的點數不超過3,事件c表示向上的一面出現的點數不小于4,事件a與事件b能同時發(fā)生,不是互斥事件,故a錯誤,b正確;事件b與事件c不能同時發(fā)生,也不能同時不發(fā)生,是對立事件,故c錯誤,d正確.考點考點2 2隨機事件的頻率與概率隨機事件的頻率與概率【例2】某險種的基本保費為a(單位:元

12、),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數的關聯如下:上年度出險次數012345保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機調查了該險種的200名續(xù)保人在一年內的出險情況,得到如下統(tǒng)計表: 出險次數012345頻數605030302010(1)記a為事件:“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”,求p(a)的估計值;(2)記b為事件:“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”.求p(b)的估計值;(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值.解 (1)事件a發(fā)生當且僅當一年內出險次數小于2.由所給數據知,一年內出險次數小于2的頻率為 =0.55

13、,故p(a)的估計值為0.55.(2)事件b發(fā)生當且僅當一年內出險次數大于1且小于4.由所給數據知,一年內出險次數大于1且小于4的頻率為 =0.3,故p(b)的估計值為0.3.(3)由所給數據得調查的200名續(xù)保人的平均保費為0.85a0.30+a0.25+1.25a0.15+1.5a0.15+1.75a0.10+2a0.05=1.192 5a.因此,續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.192 5a(元).保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05解題心得 1.概率是頻率的穩(wěn)定值,它從數量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小,它是頻率的科學

14、抽象.當試驗次數越來越多時,頻率越趨近于概率.2.求解隨機事件的概率的常用方法有兩種:(1)可用頻率來估計概率.(2)利用隨機事件a包含的基本事件數除以基本事件總數.計算的方法有:列表法,列舉法,樹狀圖法.對點訓練2某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據往年銷售經驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:)有關.如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數據

15、,得下面的頻數分布表:最高氣溫 10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天數216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率;(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為y(單位:元),當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時,寫出y的所有可能值,并估計y大于零的概率.解 (1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶,當且僅當最高氣溫低于25 ,由表格數據知,最高氣溫低于25 的頻率為 =0.6,所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.(2)當這種酸奶一天的進貨量為45

16、0瓶時,若最高氣溫不低于25 ,則y=6450-4450=900;若最高氣溫位于區(qū)間20,25),則y=6300+2(450-300)-4450=300;若最高氣溫低于20 ,則y=6200+2(450-200)-4450=-100,所以,y的所有可能值為900,300,-100.y大于零當且僅當最高氣溫不低于20 ,由表格數據知,最高氣溫不低于20 的頻率為 =0.8,因此y大于零的概率的估計值為0.8.考點考點3 3互斥事件、對立事件概率公式的應用互斥事件、對立事件概率公式的應用【例3】 一盒中裝有12個球,其中5個紅球,4個黑球,2個白球,1個綠球.從中隨機取出1球,求:(1)取出1球是

17、紅球或黑球的概率;(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率.對點訓練3 經統(tǒng)計,在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數相應的概率如下:求:(1)至多2人排隊等候的概率是多少?(2)至少3人排隊等候的概率是多少?排隊人數 012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04解 記“0人排隊等候”為事件a,“1人排隊等候”為事件b,“2人排隊等候”為事件c,“3人排隊等候”為事件d,“4人排隊等候”為事件e,“5人及5人以上排隊等候”為事件f,則事件a,b,c,d,e,f彼此互斥.(1)記“至多2人排隊等候”為事件g,則g=abc,所以p(g)=p(abc)=p(a)+p(b)+p(c)=

18、0.1+0.16+0.3=0.56.(2)(方法一)記“至少3人排隊等候”為事件h,則h=def,所以p(h)=p(def)=p(d)+p(e)+p(f)=0.3+0.1+0.04=0.44.(方法二)記“至少3人排隊等候”為事件h,則其對立事件為事件g,所以p(h)=1-p(g)=0.44.考點考點4 4相互獨立事件概率公式的應用相互獨立事件概率公式的應用解題心得1.求復雜事件的概率,要正確分析復雜事件的構成,先將復雜事件轉化為幾個彼此互斥的事件的和事件或轉化為幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件,再求概率.2.求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法:(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解.(

19、2)直接計算較煩瑣或難以入手時,可從其對立事件入手計算.對點訓練4(2019全國1,理15)甲、乙兩隊進行籃球決賽,采取七場四勝制(當一隊贏得四場勝利時,該隊獲勝,決賽結束).根據前期比賽成績,甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設甲隊主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結果相互獨立,則甲隊以4 1獲勝的概率是.答案 0.18解析 前五場中有一場客場輸時,甲隊以4 1獲勝的概率是0.630.50.52=0.108;前五場中有一場主場輸時,甲隊以4 1獲勝的概率是0.40.620.520.6=0.072.綜上所述,甲隊以4 1獲勝的概率是0.108+0.072=0.1

20、8.素養(yǎng)提升微專題素養(yǎng)提升微專題1313“正難則反正難則反”思想在概率中的應用思想在概率中的應用 概率求解中什么樣的問題需用“正難則反”思想?一般來說,“正難則反”的思想是一種常見的數學思想,如反證法、補集的思想都是“正難則反”思想的體現.在解決問題時,如果從問題的正面入手比較復雜或不易解決,那么嘗試采用“正難則反”思想往往會起到事半功倍的效果,大大降低題目的難度.在求對立事件的概率時,經常應用“正難則反”的思想,即若事件a與事件b互為對立事件,在求p(a)時,利用公式p(a)=1-p(b),先求容易的一個,再求另一個.【典例】已知射手甲射擊一次,命中9環(huán)(含9環(huán))以上的概率為0.56,命中8環(huán)的概率為0.22,命中7環(huán)的概率為0.12.(1)求甲射擊一次,命中不足8環(huán)的概率;(2)求甲射擊一次,至少命中7環(huán)的概率.解記“甲射擊一次,命中7環(huán)以下”為事件a,則p(a)=1-0.56-0.22-0.12=0.1,“甲射擊一次,命中7環(huán)”為事件b,則p(b)=0.12,由于在一次射擊中,a與b不可能同時發(fā)生,故a與b是互斥事件,(1)“甲射擊一次,命中不足8環(huán)”的事件為a+b,由互斥事件的概率加法公式,p(a+b)=p(a)+p(b)=0.1+0.12=0.22.答:甲射擊一次,命