2022版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六章數(shù)列6.3等比數(shù)列學(xué)案新人教A版

1、6.3等比數(shù)列必備知識預(yù)案自診知識梳理1.等比數(shù)列的定義一般地,如果一個數(shù)列從起,每一項與它的前一項的比都等于常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的,公比通常用字母q表示(顯然q0).2.等比數(shù)列的通項公式設(shè)等比數(shù)列an的首項為a1,公比為q,則它的通項公式為an=;通項公式的推廣an=amqn-m.3.等比中項如果在a與b中間插入一個數(shù)g,使成等比數(shù)列,那么g叫做a與b的等比中項,此時,.4.等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列an的公比為q(q0),其前n項和為sn,當(dāng)q=1時,sn=na1;當(dāng)q1時,sn=a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q.設(shè)數(shù)列an是等比數(shù)列,sn是

2、其前n項和.(1)若m+n=p+q,則aman=apaq;若2s=p+r,則apar=as2,其中m,n,p,q,s,rn*.(2)ak,ak+m,ak+2m,仍是等比數(shù)列,公比為qm(k,mn*).(3)若數(shù)列an,bn是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列,則數(shù)列ban,panqbn和panqbn也是等比數(shù)列.(4)sm+n=sn+qnsm=sm+qmsn.(5)若a1a2an=tn,則tn,t2ntn,t3nt2n,成等比數(shù)列.(6)若數(shù)列an的項數(shù)為2n,則s偶s奇=q;若項數(shù)為2n+1,則s奇-a1s偶=q.(7)當(dāng)公比q-1時,sn,s2n-sn,s3n-s2n仍成等比數(shù)列,其公比為qn.考點自

3、診1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)滿足an+1=qan(nn*,q為常數(shù))的數(shù)列an為等比數(shù)列.()(2)g為a,b的等比中項g2=ab.()(3)等比數(shù)列中不存在數(shù)值為0的項.()(4)如果an為等比數(shù)列,bn=a2n-1+a2n,那么數(shù)列bn也是等比數(shù)列.()(5)如果數(shù)列an為等比數(shù)列,那么數(shù)列l(wèi)n an是等差數(shù)列.()(6)若數(shù)列an的通項公式是an=an,則其前n項和為sn=a(1-an)1-a.()2.已知數(shù)列an是等比數(shù)列,其前n項和為sn,s2=3a2,則a3+a4a1+a2=()a.14b.12c.2d.43.(2020全國2,理6)數(shù)列an中,a

4、1=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+ak+10=215-25,則k=()a.2b.3c.4d.54.若數(shù)列an是等比數(shù)列,且公比q=4,a1+a2+a3=21,則an=.關(guān)鍵能力學(xué)案突破考點等比數(shù)列的基本運算【例1】(1)已知數(shù)列an是等比數(shù)列,若a2=1,a5=18,則a1a2+a2a3+a3a4+a4a5=()a.25532b.8532c.2552d.853(2)已知等比數(shù)列an的前n項和為sn,且a1+a3=52,a2+a4=54,則snan=.解題心得解決等比數(shù)列有關(guān)問題的常見思想方法(1)方程思想:等比數(shù)列中有五個量a1,n,q,an,sn,一般可以“知三求二”,通過列

5、方程(組)求關(guān)鍵量a1和q,問題可迎刃而解.(2)分類討論思想:因為等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論,所以當(dāng)某一參數(shù)為公比進行求和時,就要對參數(shù)是否為1進行分類討論再求和.(3)整體思想:應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式時,常把qn或a11-q當(dāng)成整體進行求解.對點訓(xùn)練1(1)(2019全國3,理5)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前4項和為15,且a5=3a3+4a1,則a3=()a.16b.8c.4d.2(2)(2019全國1,理14)記sn為等比數(shù)列an的前n項和.若a1=13,a42=a6,則s5=.考點等比數(shù)列的判定與證明【例2】已知數(shù)列an和bn滿足a1=1,b1=0,4an+

6、1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)證明:an+bn是等比數(shù)列;(2)求an和bn的通項公式.解題心得1.證明數(shù)列an是等比數(shù)列常用的方法:(1)定義法,證明anan-1=q(n2,q為常數(shù));(2)等比中項法,證明an2=an-1an+1(anan-1an+10,n2,nn*);(3)通項公式法,若數(shù)列通項公式可寫成an=cqn-1(c,q均是不為0的常數(shù),nn*),則an是等比數(shù)列.2.若判斷一個數(shù)列不是等比數(shù)列,則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.對點訓(xùn)練2設(shè)數(shù)列an的前n項和為sn,已知a1=1,sn+1=4an+2.(1)設(shè)bn=an+1-2an,證明:數(shù)列

7、bn是等比數(shù)列.(2)求數(shù)列an的通項公式.考點等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用(多考向探究)考向1等比數(shù)列項的性質(zhì)及應(yīng)用【例3】(1)在等比數(shù)列an中,a1a2=1,a3a6=9,則a2a4=()a.3b.3c.3d.3(2)(多選)設(shè)an是等比數(shù)列,則下列結(jié)論中錯誤的是()a.若a1=1,a5=4,則a3=-2b.若a1+a30,則a2+a40c.若a2a1,則a3a2d.若a2a10,則a1+a32a2解題心得在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時,要注意挖掘隱含條件,利用性質(zhì)減少運算量,提高解題速度.注意以下常用性質(zhì):(1)通項公式的推廣:an=amqn-m;(2)等比中項的推廣與變形:ap2=aman(m+

8、n=2p)及akal=aman(k+l=m+n).對點訓(xùn)練3(1)(2020河南洛陽第一次聯(lián)考)在等比數(shù)列an中,a3,a15是方程x2+6x+2=0的兩根,則a2a16a9的值為()a.-2+22b.-2c.2d.-2或2(2)等比數(shù)列an的各項均為正數(shù),且a1a5=4,則log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=.考向2等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用【例4】(1)已知等比數(shù)列an共有2n項,其和為-240,且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80,則公比q=.(2)設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為sn,若s6s3=12,則s9s3=.解題心得1.在等比數(shù)列an中,設(shè)公比為q,所有

9、奇數(shù)項之和s奇與所有偶數(shù)項之和s偶具有的性質(zhì):(1)若共有2n項,則s偶s奇=q;(2)若共有2n+1項,s奇-a1s偶=q.2.在等比數(shù)列an中,sk表示它的前k項和.當(dāng)q-1時,有sk,s2k-sk,s3k-s2k,也成等比數(shù)列,公比為qk.對點訓(xùn)練4(1)在公比為正數(shù)的等比數(shù)列an中,a1+a2=2,a3+a4=8,則s8等于()a.21b.42c.135d.170(2)(多選)下列命題中正確的是()a.若數(shù)列an是等差數(shù)列,且am+an=as+at(m,n,s,tn*),則m+n=s+tb.若sn是等差數(shù)列an的前n項的和,則sn,s2n-sn,s3n-s2n成等差數(shù)列c.若sn是等比

10、數(shù)列an的前n項的和,則sn,s2n-sn,s3n-s2n成等比數(shù)列d.若sn是等比數(shù)列an的前n項的和,且sn=aqn+b(其中a,b是非零常數(shù),nn*),則a+b為零考點等差、等比數(shù)列的綜合問題【例5】(1)若公比為2的等比數(shù)列an的前n項和為sn,且a2,9,a5成等差數(shù)列,則s10=()a.245-1b.45-1c.246-1d.46-1(2)已知在等比數(shù)列an中,有a3a11=4a7,數(shù)列bn是等差數(shù)列,其前n項和為sn,且b7=a7,則s13=()a.26b.52c.78d.104解題心得等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合計算的策略(1)將已知條件轉(zhuǎn)化為等差與等比數(shù)列的基本量之間的關(guān)系,利用方

11、程思想和通項公式、前n項和公式求解.求解時,應(yīng)“瞄準(zhǔn)目標(biāo)”,靈活應(yīng)用數(shù)列的有關(guān)性質(zhì),簡化運算過程.求解過程中注意合理選擇有關(guān)公式,正確判斷是否需要分類討論.(2)一定條件下,等差數(shù)列與等比數(shù)列之間是可以相互轉(zhuǎn)化的,即若an為等差數(shù)列,則aan(a0且a1)為等比數(shù)列;若an為正項等比數(shù)列,則logaan(a0且a1)為等差數(shù)列.對點訓(xùn)練5(1)(2020山東煙臺高三模考)在等比數(shù)列an中,首項a1=1,且4a3,2a4,a5成等差數(shù)列,若數(shù)列an的前n項之積為tn,則t9=()a.29-1b.236c.210-1d.245(2)已知sn是等比數(shù)列an的前n項和,s3,s9,s6成等差數(shù)列,a2

12、+a5=4,則a8=.6.3等比數(shù)列必備知識預(yù)案自診知識梳理1.第2項同一個公比2.a1qn-1(a10,q0)3.a,g,bg2=ab考點自診1.(1)(2)(3)(4)(5)(6)2.a由題意得,s2=a2+a1=3a2,a2=12a1,公比q=12,則a3+a4a1+a2=q2=14,故選a.3.cam+n=aman,令m=1,又a1=2,an+1=a1an=2an,an+1an=2,an是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,an=2n.ak+1+ak+2+ak+10=2k+1+2k+2+2k+10=2k+11-2101-2=2k+11-2k+1=215-25.k+11=15,k+1=5,解

13、得k=4.4.4n-1因為數(shù)列an是等比數(shù)列,且公比q=4,a1+a2+a3=21,所以a1+4a1+16a1=21,解得a1=1,所以an=4n-1,故答案為4n-1.關(guān)鍵能力學(xué)案突破例1(1)b(2)2n-1(1)已知數(shù)列an是等比數(shù)列,且a2=1,a5=18,可得a2=a1q=1,a5=a1q4=18,解得a1=2,q=12,所以a1a2+a2a3+a3a4+a4a5=a12q+a12q3+a12q5+a12q7=2212+123+125+127=412+18+132+1128=8532,故選b.(2)a1+a3=52,a2+a4=54,a1+a1q2=52,a1q+a1q3=54,由除

14、以可得1+q2q+q3=2,解得q=12,代入得a1=2,an=212n-1=42n,sn=21-(12)n1-12=41-12n,snan=4(1-12n)42n=2n-1.對點訓(xùn)練1(1)c(2)1213(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q0),則a1(1-q4)1-q=15,a1q4=3a1q2+4a1,解得a1=1,q=2,所以a3=a1q2=122=4.故選c.(2)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,則a4=a1q3=13q3,a6=a1q5=13q5.a42=a6,19q6=13q5.q0,q=3.s5=a1(1-q5)1-q=13(1-35)1-3=1213.例2(1)證明因為4an+1=

15、3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4,兩式相加得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=12(an+bn).又因為a1+b1=1,所以an+bn是首項為1,公比為12的等比數(shù)列.(2)解由(1)知,an+bn=12n-1,將4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4兩式相減得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.所以an-bn是公差為2的等差數(shù)列.又因為a1-b1=1,所以an-bn=2n-1,所以an=12(an+bn)+(an-bn)=12n+n-12,bn=12(an+bn)-(an-bn

16、)=12n-n+12.對點訓(xùn)練2(1)證明由a1=1及sn+1=4an+2,有a1+a2=s2=4a1+2.a2=5,b1=a2-2a1=3.又sn+1=4an+2,sn=4an-1+2(n2),-,得an+1=4an-4an-1(n2),an+1-2an=2(an-2an-1)(n2).bn=an+1-2an,bn=2bn-1(n2),故bn是首項b1=3,公比為2的等比數(shù)列.(2)解由(1)知bn=an+1-2an=32n-1,an+12n+1-an2n=34,故an2n是首項為12,公差為34的等差數(shù)列.an2n=12+(n-1)34=3n-14,故an=(3n-1)2n-2.例3(1)

17、a(2)abc(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,因為a1a2=a12q=10,所以q0,又因為a3a6=9,所以a2a4=a1a3a2a6=9=3,故選a.(2)由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a32=a1a5=4,由于奇數(shù)項的符號相同,可得a3=2,故a不正確;a1+a30,則a2+a4=q(a1+a3),其正負由q確定,故b不正確;若a2a1,則a1(q-1)0,于是a3-a2=a1q(q-1),其正負由q確定,故c不正確;若a2a10,則a1qa10,可得a10,q1,所以1+q22q,則a1(1+q2)2a1q,即a1+a32a2,故d正確.故選abc.對點訓(xùn)練3(1)b(2)5(1)設(shè)等比數(shù)列an

18、的公比為q,因為a3,a15是方程x2+6x+2=0的兩根,所以a3a15=a92=2,a3+a15=-6,所以a30,a150,q=2,a1(1+q)=a1(1+2)=2,a1=23,s8=23(28-1)2-1=170.(2)對于a,取數(shù)列an為常數(shù)列,對任意m,n,s,tn*,都有am+an=as+at,故a錯誤;對于b,設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1,公差為d,則sn=a1+a2+an,s2n-sn=an+1+an+2+a2n=a1+nd+a2+nd+an+nd=sn+n2d,同理,s3n-s2n=a2n+1+a2n+2+a3n=an+1+an+2+a2n+n2d=s2n-sn+n2d,2(s2n-sn)=sn+(s3n-s2n),sn,s2n-sn,s3n-s2n是等差數(shù)列,故b