第四章函數的級數表示

1、第四章 解析函數的級數表示(The representation of power series of analytic function) 4.14.1復數項級數復數項級數4.24.2復變函數項級數復變函數項級數4.34.3泰勒（泰勒（TaylorTaylor）級數）級數4.44.4洛朗洛朗(Laurent)(Laurent)級數級數 第一講4.14.1復數項級數復數項級數4.24.2復變函數項級數復變函數項級數 4.1 復數項級數一、復數序列的極限一、復數序列的極限二、復數項級數二、復數項級數(Series of complex number） , 時時的的極極限限當當稱稱為為復復數數列列

2、那那末末 nn 記作記作.lim nn . 收收斂斂于于此此時時也也稱稱復復數數列列n , ), 2 , 1( 其其中中為為一一復復數數列列設設 nn ,nnniba , 為為一一確確定定的的復復數數又又設設iba .),(, 0 nNnN時，有時，有當當總存在正整數總存在正整數如果對于任意給定如果對于任意給定lim,lim.nnnnaabb就能找到一個正數就能找到一個正數N, , 時時當當Nn ,)()( ibaibann,)()( bbiaaaannn從而有從而有.limaann 所以所以.limbbnn 同理同理 的充分必要條件是的充分必要條件是則則設復數列設復數列 nnnnnibaba

3、lim,定理定理4.14.10 ,lim nn如果如果那末對于任意給定那末對于任意給定證明證明反之反之, 如果如果,lim,limbbaannnn .2,2 bbaann ,時N n 那末當 從而有從而有)()(ibaibannn .lim nn所以所以證畢證畢)()(bbiaann , bbaann121 (4.1)nnn 稱為復數項級數稱為復數項級數. .nns 21稱為級數的部分和稱為級數的部分和.若若sn(n=1,2,)以有限復數以有限復數s s為極限為極限,二、復數項級數二、復數項級數lim()nnss 即即 是一復數列，則是一復數列，則設設n 則稱復數項無窮級數則稱復數項無窮級數(

4、4.1)(4.1)收斂于收斂于s,s,且稱且稱s s為為(4.1)(4.1)的和的和, ,寫成寫成否則稱級數否則稱級數(4.1)(4.1)為發(fā)散為發(fā)散. . 01nnz級數級數例例1-21nnzzzs , )1(11 zzzn,時時1 1z z由于當由于當 zzsnnnn 11limlim,11z z-11 . 且和為且和為時級數收斂時級數收斂1 1z z所以當所以當 1nnS 定理定理4.2 復級數復級數(4.1)收斂于收斂于s=a+ib(a,b為實數為實數)的充要條件為的充要條件為: bbaannnn 11證明證明 （留給學生課堂討論）（留給學生課堂討論） 1211n1(2) )1(1 1

5、nnninin）（判斷下列級數斂散性判斷下列級數斂散性例2例2解（解（1 1）; 111發(fā)散發(fā)散 因為因為 nnnna . 1121收斂收斂 nnnnb )1(1 1發(fā)散發(fā)散所以所以 nnin111.nnnbn 3 3 收收斂斂 原原級級數數收收斂斂。 所所以以2111;nnnan 因因為為 收收斂斂（2）例例3 3 1 112？是否收斂是否收斂級數級數 nnni 解解 .原原級級數數仍仍發(fā)發(fā)散散, 1 1發(fā)散發(fā)散級數級數因為因為 nn,1)1(1收斂收斂雖雖 nnn 11nn 11)1(nnni 1112)1(11nnnnnini 1nnz,lim0 nnz定理定理4.34.3級數級數收斂的

6、必要條件是收斂的必要條件是1nnz證明證明 因為級數因為級數 收斂的充分必要條件是收斂的充分必要條件是與與 1nnx1nny都收斂，再由實級數都收斂，再由實級數 收斂的必要條件是收斂的必要條件是,lim0 nnx得得證證。0 nnylim定理定理4.44.4若級數若級數 收斂，則級數收斂，則級數 也收斂。也收斂。 1nnz 1nnz若級數若級數 收斂收斂, , 則稱則稱 絕對收斂絕對收斂. .若級數若級數 收斂收斂, , 發(fā)散，則稱發(fā)散，則稱 |1 nnz 1nnz為條件收斂。為條件收斂。 1nnz|1 nnz 1nnz為條件收斂。為條件收斂。為條件收斂。為條件收斂。為條件收斂。為條件收斂。為

7、條件收斂。為條件收斂。 1nnz|1 nnz 1nnz|1 nnz 1nnz|1 nnz 1nnz 1nnz|1 nnz |1 nnz |1 nnz |1 nnz |1 nnz |1 nnz |1 nnz |1 nnz |1 nnz |1 nnz 收斂收斂是絕對收斂？還是條件是絕對收斂？還是條件是否收斂，若收斂，是否收斂，若收斂， n!n!(8i)(8i) 判斷級數判斷級數1 1n nn n 例例4 4, !81收斂收斂 nnn故原級數收斂故原級數收斂, 且為絕對收斂且為絕對收斂.所以由正項級數的比值判別法知所以由正項級數的比值判別法知:,!8!)8(nninn 因為因為解解故原級數收斂故原級

8、數收斂.,)1(1收收斂斂為為條條件件但但 nnn所以原級數條件收斂。所以原級數條件收斂。 i21n)1( 1nnn還是條件收斂。還是條件收斂。若收斂，是絕對收斂，若收斂，是絕對收斂，是否收斂，是否收斂，判斷級數判斷級數 例例5 5 ; )1( 1收斂收斂因為因為 nnn,211收收斂斂也也 nn解解4.2 復變函數項級數一、復變函數項級數一、復變函數項級數二、冪級數二、冪級數 (Series of function of complex variable)設復變函數項級數設復變函數項級數 f1(z)+f2(z)+f3(z)+fn(z)+ (4.2)的各項均在區(qū)域的各項均在區(qū)域D內有定義內有定

9、義,且在且在D內內存在一個函存在一個函數數f(z),對于對于D內內的每一點的每一點z,級數（級數（4.2）均收斂于）均收斂于f(z),則稱則稱f(z)為級數為級數(4.2)的和函數的和函數,記為記為:一、復變函數項級數一、復變函數項級數 1nnzfzf的復函數項級數稱為冪級數的復函數項級數稱為冪級數, ,其中其中 a a, ,c c0 0,c,c1 1, ,c c2 2 , 都是復常數都是復常數. .20121.nnnc zcc zc z 二、 冪級數 20120()()()nnnczacc zacza 4.3 4.3形如：形如：以上冪級數還可以寫成如下形式以上冪級數還可以寫成如下形式 定理定

10、理4.54.5( (阿貝爾阿貝爾) )如果冪級數如果冪級數(4.3)(4.3)在某點在某點z1(a)收斂收斂, ,則它必在圓則它必在圓K:|z-a|z1-a|(即以即以a為圓心圓周通過為圓心圓周通過z1的圓的圓) )內絕對收斂內絕對收斂. . a a1z 收斂收斂, ,它的各項必然有界它的各項必然有界, ,即有正數即有正數M M, ,使使1|() |nnczaM(n=0,1,2,),111|() | |() () |nnnnnnzazaczaczaMzaza因為因為|z-a|z2-a|的點的點z都是冪級數都是冪級數(4.3)發(fā)散發(fā)散. az1z2當當 za有以下三種情況有以下三種情況:(1)(

11、1)對所有的復數對所有的復數z z冪級數冪級數（4.34.3）均收斂均收斂. .冪級數冪級數, , 首先它在首先它在z=a點處總是收斂的點處總是收斂的，例如例如, , 級數級數 nnnzzz2221對任意固定的對任意固定的z, 從某個從某個n開始開始, 總有總有,21 nz于是有于是有,21nnnnz 故該級數對任意的故該級數對任意的z均收斂均收斂.(2) (2) 對于任意對于任意za冪級數（冪級數（4.34.3）都發(fā)散）都發(fā)散. .例如例如, ,級數級數 nnznzz2221, 0 時時當當 z通項不趨于零通項不趨于零, , 故級數發(fā)散故級數發(fā)散. . (3)(3)存在一點存在一點z1a,

12、,使級數收斂使級數收斂( (此時此時, ,根據定理根據定理4.54.5的第一部分知的第一部分知, ,它必在圓周它必在圓周|z-a|=|z1-a|內部絕內部絕對收斂對收斂),),另外又存在一點另外又存在一點z2, ,使冪級數（使冪級數（4.34.3）發(fā)散發(fā)散.(.(肯定肯定|z2-a|z1-a|);根據推論知根據推論知, ,它必在它必在圓周圓周| |z-a|=|z2-a|外部發(fā)散外部發(fā)散.).)在這種情況下在這種情況下, ,可以證明可以證明, ,存在一個有限正數存在一個有限正數R R, ,使得級數使得級數(4.3)(4.3)在圓周在圓周|z-a|=R內部絕對收斂內部絕對收斂, ,在圓周在圓周|z

13、-a|=R外部發(fā)散外部發(fā)散. .R R稱為此冪級數的收稱為此冪級數的收斂半徑斂半徑; ;圓圓|z-a|R和圓周和圓周|z-a|=R分別稱為它分別稱為它的收斂圓和收斂圓周的收斂圓和收斂圓周. .在第一情形約定在第一情形約定R=+; ;在第二情形在第二情形, ,約定約定 , ,并也稱它們?yōu)槭諗堪霃讲⒁卜Q它們?yōu)槭諗堪霃? .R=0 xyo1z.2z.R收斂圓收斂圓收斂半徑收斂半徑冪級數冪級數 0nnnzc的收斂范圍是以的收斂范圍是以a點為中心的圓域點為中心的圓域.收斂圓周收斂圓周 一個冪級數在其圓周上的斂散性有三種可能一個冪級數在其圓周上的斂散性有三種可能: : (1) (1)處處發(fā)散處處發(fā)散. (

14、2). (2)處處收斂處處收斂. . (2) (2)既有收斂點既有收斂點, ,又有發(fā)散點又有發(fā)散點. . lim|,()nnncl 柯柯西西C Ca au uc ch hy y1lim,(nnnclD Alembertc 達達朗朗貝貝爾爾）冪級數的收斂半徑的求法冪級數的收斂半徑的求法則冪級數則冪級數 的收斂半徑為的收斂半徑為: : 0)(nnnazcR=1/l (l0,l+);0 (l=+);+ (l=0).(4.4) 冪級數的和函數的解析性冪級數的和函數的解析性: :例例1 1 求下列冪級數的收斂半徑求下列冪級數的收斂半徑: :(1)(1) 13nnnz( (并討論在收斂圓周上的情形并討論在

15、收斂圓周上的情形) )(2)(2) 1)1(nnnz( (并討論并討論2,0 z時的情形時的情形) )解解 (1)(1)nnncc1lim 3)1(lim nnn因為因為, 1 所以收斂半徑所以收斂半徑, 1 R即原級數在圓即原級數在圓1 z 內收斂內收斂, , 在圓外發(fā)散在圓外發(fā)散, , 在圓周在圓周1 z上上, ,級數級數收收斂斂。 13131nnnnnz, 11limlim)2(1 nnccnnnn. 1 R即即,0時時當當 z,1)1(1收斂收斂 nnn,2時時當當 z,11 nn發(fā)散發(fā)散所以所以.2221 R例例2 2 0)1(nnnzi求求 的收斂半徑的收斂半徑. .解解)4sin

16、4(cos21 ii 因為因為,24ie nnic)1( ;)2(4inne nnnccl1 limnnn)2()2(lim1 . 2 例例3 求級數求級數 0)1(nnzn的收斂半徑與和函數的收斂半徑與和函數.利用逐項積分利用逐項積分,得得:解解12limlim 1 nnccnnnn因為因為. 1 R所以所以, 1 0000d)1(d)1(nznznnzznzzn 01nnz.1zz 所以所以)1()1(0 zzznnn.)1(12z 1 z例例4 4計算計算.,)(21d1 zczzIcnn為為其中其中 1)(nnzzS和函數和函數解解,21內內在在 z,1收斂收斂 nnz 01nnzz,

17、111zz czzzId)111(所以所以 cczzzzd11d102 i.2 i (1) (1) 冪級數冪級數 0)()(nnnazczf的和函數的和函數f(z)在其收斂圓在其收斂圓K:|z-a|R(0R+)內解析內解析. .說明：同實變函數冪級數一樣，我們有說明：同實變函數冪級數一樣，我們有可以逐項求導至任意階?？梢灾痦椙髮е寥我怆A?？梢灾痦椙蠓e分?？梢灾痦椙蠓e分。 (2)(2)在收斂圓在收斂圓K K內內, ,冪級數冪級數 0)()(nnnazczf (3)(3)在收斂圓在收斂圓K K內內, ,冪級數冪級數 0)()(nnnazczf 課后作業(yè) 一、 思考題：1、2 二、習題四：1-510

18、1100 P 第二講4.34.3泰勒（泰勒（TaylorTaylor）級數）級數4.44.4洛朗洛朗(Laurent)(Laurent)級數級數一、解析函數泰勒定理一、解析函數泰勒定理二、一些初等函數的泰勒展式二、一些初等函數的泰勒展式 4.3泰勒（Taylor）級數 (Taylors series) 一、解析函數泰勒定理一、解析函數泰勒定理 冪級數的和函數在它的收斂圓內部是一個冪級數的和函數在它的收斂圓內部是一個解析函數解析函數. .反過來，解析函數能否展開成冪級數反過來，解析函數能否展開成冪級數? ?,n)(zfn!c)z(zcf(z)RzzDzD,Rzf(z)(n)nnnn2101000

19、000 : :( (4 4. .4 4) ), , ,其其中中時時則則當當離離, ,的的邊邊界界上上各各點點的的最最短短距距到到為為在在區(qū)區(qū)域域D D內內解解析析設設定理定理4.64.6zRf(z)zRTalorzf(z)f(z)0 00即即的距離,的距離,之間之間的最近的一個奇點的最近的一個奇點到到于從于從等等展開式的收斂半徑展開式的收斂半徑的的解析點解析點在在那么那么有奇點,有奇點,說明：(1)若說明：(1)若此式稱為此式稱為 在在 的泰勒展開式的泰勒展開式, , 它右它右端的級數稱為端的級數稱為 在在 處的泰勒級數處的泰勒級數. .0z zf zf0z只能在收斂圓周上.只能在收斂圓周上.

20、奇點奇點因此,因此,大,大,收斂半徑還可以擴收斂半徑還可以擴不然的話,不然的話,不可能在收斂圓外,不可能在收斂圓外,奇點奇點不可能在收斂圓內.又不可能在收斂圓內.又所以奇點所以奇點內解析,內解析,在收斂圓在收斂圓這是因為這是因為在收斂圓上,在收斂圓上,奇點奇點(2)(2)f(z)。的的泰泰勒勒展展式式唯唯一一點點）（03zf(z)在在 zRenzzzzeneeznzzzznz收收斂斂圓圓是是所所以以該該級級數數的的收收斂斂半半徑徑在在復復平平面面上上解解析析而而解解：.!),()()(32121013200二、一些初等函數的泰勒展式二、一些初等函數的泰勒展式展開式.0的Talorcosz在zs

21、inz,e例1、求f(z)z 00!)(!)(212sinnnnnzizinzinziiieez znzzznzzznnnnn)!()(!)!()()(sincos214212124202 Rzz它們的半徑它們的半徑在全平面上解析，所以在全平面上解析，所以cos,sin znznnn012121)!()(例例2、把下列函數展開成、把下列函數展開成 z 的冪級數的冪級數1111)1(2 zzzzzn由由解：解：1)1(1)(1111 zzzzznn得得)1ln()()3()1(1)()2(11)()1(2zzfzzfzzf 1) 1(321) 1(111)1 (1) 2(112122 znzzz

22、zzzdzdzdzdznnnn:)1(,)1(01逐逐項項積積分分得得的的展展開開式式兩兩邊邊沿沿將將的的路路徑徑任任意意取取一一條條從從內內在在收收斂斂圓圓cczzz (3)(3)解：因解：因ln(1+ln(1+z z) )在從在從z=-1z=-1向左沿負實軸剪向左沿負實軸剪開開 的平面內解析，的平面內解析， ln(1+ln(1+z z) )離原點最近的離原點最近的一個奇點是一個奇點是-1,-1,它的展開式的收斂范圍為它的展開式的收斂范圍為 z z 1.R1時時, , 即即| |R, 011()nnnnnncczz收斂。因此因此, , 只有在只有在R1|z z0|R2的圓環(huán)域的圓環(huán)域, ,

23、原級數原級數才收斂才收斂. .這是這是 的冪級數的冪級數, , 設收斂半徑為設收斂半徑為R R 101RRzzR z0R1R2 在圓環(huán)域內解析的函數是否一定能夠展開成在圓環(huán)域內解析的函數是否一定能夠展開成冪級數冪級數? ? 定理定理4.7 設設 f (z)在圓環(huán)域在圓環(huán)域 R1 |z z0| R2內解析內解析, 則則010( )()1( )d . (0, 1, 2,)2()nnnnnCf zczzfcniz 其中C C為在圓環(huán)域內繞為在圓環(huán)域內繞z z0 0的任的任何一條正向簡單閉曲線何一條正向簡單閉曲線. .二、解析函數的洛朗展式二、解析函數的洛朗展式Cz0R1R2稱為函數稱為函數f (z)在以在以z0為中心的圓環(huán)域為中心的圓環(huán)域: : R1|z-z0|R2內的內的洛朗洛朗(Laurent)(Laurent)展開式展開式, , 它右它右端的級數稱為端的級數稱為 f (z)在此圓環(huán)域內的在此圓環(huán)域內的洛朗級數洛朗級數. 一個在某圓環(huán)域內解析的函數