1981年高考數(shù)學(xué)全國卷(理科)及其參考答案-1981年高考數(shù)學(xué)

1、1981年高考數(shù)學(xué)全國卷（理科）及其參考答案一（本題滿分6分）設(shè)A表示有理數(shù)的集合，表示無理數(shù)的集合，即設(shè)A=有理數(shù),B=無理數(shù),試寫出：l.AUB,2.AQB.解：l.AUB=實數(shù),2.AGB二+二（本題滿分6分）在A、B、C、D四位候選人中，（1）如果選舉正、副班長各一人，共有幾種選法？寫出所有可能的選舉結(jié)果：（2）如果選舉班委三人，共有幾種選法？寫出所有可能的選舉結(jié)果+解:1.選舉種數(shù)P2=12（種）所有可能的選舉結(jié)果：4AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC.2.選舉種數(shù)C3=4（種）所有可能的選舉結(jié)果：4ABC、ABD、ACD、BCD三（本題滿分8分）

2、下表所列各小題中，指出A是B的充分條件，還是必要條件，還是充要條件，或者都不是.ABA是B的什么條件1四邊形ABCD為平行四邊形四邊形ABCD為矩形必要條件2a=3a|=3充分條件3e=1500sine=12充分條件4點（a,b）在圓X2+y2二R2上a2+b2=R2充要條件解：見上表+四（本題滿分8分）寫出余弦定理（只寫一個公式即可），并加以證明”證二：解析法：以A為原點，射線AB為x軸正向，建立直角坐標(biāo)系,則得A（0,0）,B（c,0）,C（bcosA,bsinA）由兩點距離公式得：a2=|BC|2=（c-bcosA）2+（-bsinA）2=b2+c2-2bccosA.五（本題滿分10分）

3、解不等式（x為未知數(shù)）：x-ab-cax-bc>0.-abx-c解：右式=X2（x-a-b-c）0原不等式解是xH0,xa+b+c_六（本題滿分10分）用數(shù)學(xué)歸納法證明等式xxxxsinxcos-cos-cosAcos=222232n2nsin丄2n對一切自然數(shù)n都成立.證：略+七（本題滿分15分）設(shè)1980年底我國人口以10億計算，（1）如果我國人口每年比上年平均遞增2%，那么到2000年底將達到多少？（2）要使2000年底我國人口不超過12億，那么每年比上年平均遞增率最高是多少？下列對數(shù)值可供選用：lgl.0087=0.00377lgl.0092=0.00396lgl.0096=0.

4、00417lgl.0200=0.00860lgl.2000=0.07918lgl.3098=0.11720lgl.4568=0.16340lgl.4859=0.17200lgl.5157=0.18060解：1.所求人口數(shù)x（億）是等比數(shù)列10,10X1.02,10X（1.02）2,的第21項，即x=10X（1.02）20,兩邊取對數(shù)，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,x=14.859（億）2.設(shè)人口每年比上年平均遞增率最高是y%，按題意得10X（1+y%）20W12,（1+y%）2°W1.2.根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)上升性，對上列不等式兩邊取對數(shù)得20lg(l+y%)Wlgl

5、.2.即lg(l+y%)W0.00396.l+y%W1.0092,y%W0.0092.答:略八(本題滿分17分)在1200的二面角P-a-Q的兩個面P和Q內(nèi)，分別有點A和點B已知點A和點B到棱a的距離分別為2和4,且線段AB=10，1求直線AB和棱a所成的角；2求直線AB和平面Q所成的角+解：1.在平面P內(nèi)作直線AD丄a于點D;在平面Q內(nèi)，作直線BE丄a于點E,從點D作a的垂線與從點B作a的平行線相交于點CZABC等于AB和a所成的角.ZADC為兩面角P-a-Q的平面角，ZADC=12Oo.又AD=2,BCDE為矩形，CD二BE=4.連接AC,由余弦定理得AC二2訂.又因AD丄a,CD丄a,所

6、以a垂直于ACD所在的平面+再由BCa得知BC垂直于ACD所在的平面，BC丄AC*在直角ABC中,sinZABC二AABC=arcsin52.在ACD所在的平面內(nèi)，作AF丄CD交CD的延長線于點F因為ACD所在的平面丄平面Q,AF丄平面Q.在AADF中，ZADF=60o,AD=2,：AF二2sin60o.'3連結(jié)BF,于是ZABF是AB和平面Q所成的角，而AABF為直角三角形，所以sinAABF=AF=AABF=arcsinAB1010九(本題滿分17分)給定雙曲線X2-竺=1.21. 過點A(2，l)的直線L與所給的雙曲線交于兩點P及P，求線12段PP的中點P的軌跡方程+122. 過

7、點B(1，1)能否作直線m，使m與所給雙曲線交于兩點Q及1Q，且點B是線段QQ的中點？這樣的直線m如果存在，求出它的方212程;如果不存在，說明理由解：設(shè)直線L的方程為y=k(x-2)+1,(1)將(1)式代入雙曲線方程，得：(2k2)X2+(4k22k)x4k2+4k3二0(2)又設(shè)P(xy),P(x,y),p(x,y),則x,x必須是(2)的兩個實根，所11,122212以有4k22kx+x=(k2一2豐0).12k227按題意x=*xi+x2）；X=容因為（x,y）在直線（1）上所以2(2k1)k222k2ky=k(x一2)+1=k(一2)+1=k22再由x,y的表達式相除后消去k而得所

8、求軌跡的普通方程為8（_1、4（y）28（x一1）22=1,這就是所求的軌跡方程.772設(shè)所求直線方程為y=k（x-1）+1，代入雙曲線方程，整理得(2k2)X2+(2k22k)xk2+2k3二0(3)設(shè)Q(X,y),Q(X,y),則x,x必須是(3)的兩個實根，即11122212x+x=*2k如果B是QQ的中點，就有x+x=1，即x+x=2,12k2一2.121212所以有容=2.綜合起來，k應(yīng)滿足2k)24(2k2)(k2+2k3)>0,亠二2.k22由第二式解出k=2，但k=2不滿足第一式，所以（I）無解,故滿足題設(shè)中條件的直線不存在+十（附加題，本題滿分20分，計入總分）已知以AB為直徑的半圓有一個內(nèi)接正方形CDEF，其邊長為1如圖)設(shè)AC=a，BC=b，作數(shù)列u=a-b，u=a2-ab+b2，1u=a3-a2b+ab2-b3，,u二akak-ib+ak-2b2+(-1)b；k求證：u=u+u(n$3)nn-1n-238證：通項公式可寫成u二ak-ak-ib+ak-2b2+(-l)b二a黒(一D"1+1因a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1,FOCka+bab=ACBC=CD2=1*an-1(1)n-1bn-1&qu