華南師范大學電磁學習題課-靜止電荷電場

1、靜止電荷的電場靜止電荷的電場 習題、例題分析習題、例題分析+21.9 一均勻帶電直線長為一均勻帶電直線長為L，線電荷密度為線電荷密度為 . 求求直線的延長線上距直線的延長線上距L中點為中點為r (r L/2)處的場強處的場強. 解解: : 建立建立ox軸，如圖所示軸，如圖所示PrLox在坐標在坐標 x 處取一長度為處取一長度為dx 的電荷元，的電荷元，xdxx其電量為其電量為xqdd電荷元到場點電荷元到場點P距離為距離為- -x, 它在它在P點處產生的場點處產生的場強為強為Ed3PrLoxxdxxEd電荷元電荷元 dx 在在P點產生的場強點產生的場強 方向如圖所示方向如圖所示. .Ed大小為大

2、小為20)(4xqEdd204xxd 各電荷元在各電荷元在 P 點的場強方向一致點的場強方向一致 場強大小直接相加場強大小直接相加4PrLoxxdxxEd22204LrLrxxEEdd)4(4220LrL寫成矢量式有寫成矢量式有iLrLE)4(4220方向：方向：0時沿時沿ox軸正方向軸正方向 0) 放在三角形的重心上放在三角形的重心上. 為為使每個負電荷受力為零，使每個負電荷受力為零，Q之值應為多大？之值應為多大？1E2E3E解：由對稱性可知，當一個負電荷解：由對稱性可知，當一個負電荷受力為零時，其它負電荷也必然受受力為零時，其它負電荷也必然受力為零力為零. 要使一個負電荷受力為零，則要使一

3、個負電荷受力為零，則其所在處的電場強度要為零其所在處的電場強度要為零.-q-q-qQrrrABC 如圖所示，其它兩個負電荷在如圖所示，其它兩個負電荷在B處負電荷處產生的電處負電荷處產生的電場強度分別為場強度分別為 、 ，電荷，電荷Q產生的電場強度為產生的電場強度為 .1E2E3E故有故有0321EEE由幾何關系可得由幾何關系可得22)33(30cos2rQkrqk解得：解得：qQ33141.12 如圖所示，兩根平行長直線間距為如圖所示，兩根平行長直線間距為2a，一端用半，一端用半圓形線連起來圓形線連起來. 全線上均勻帶電，試證明在圓心全線上均勻帶電，試證明在圓心O處的處的電場強度為零電場強度為

4、零.Oa2證明：以證明：以表示線電荷密度表示線電荷密度. .如圖所示，考慮對頂?shù)娜鐖D所示，考慮對頂?shù)膁所對所對應的電荷元應的電荷元 和和 在在O點所點所產生的電場產生的電場.dqqd 因為電荷元因為電荷元 和和 在在O點點dqqd 所產生的電場方向相反所產生的電場方向相反. .故故O點處的合電場強度大小為點處的合電場強度大小為dqqd dra22rqdkadqkdE又又coscosardrqdaddq，故可得故可得0dE15 由于結果與由于結果與無關，所以任無關，所以任一對與一對與對頂?shù)膶數(shù)膁d所對應的電所對應的電荷元在荷元在O點所產生的合電場都點所產生的合電場都為零為零.所以所以全線電荷在

5、圓心全線電荷在圓心O處處的總電場強度為零的總電場強度為零. .dqqd draOa216E1.13 一個半球面上均勻帶有電荷一個半球面上均勻帶有電荷,試用對稱性和疊加原試用對稱性和疊加原理論證下述結論成立理論證下述結論成立: 在如鼓面似地蒙住半球面的假在如鼓面似地蒙住半球面的假想圓面上各點的電場方向都垂直于此圓面想圓面上各點的電場方向都垂直于此圓面.PEE證明證明: :設圓面上任一點設圓面上任一點P處的電處的電場強度場強度 的方向與圓面不垂直的方向與圓面不垂直, ,其方向如圖所示其方向如圖所示. .EE補充下半球面補充下半球面,則它在則它在P點處產生點處產生的電場強度的電場強度 如圖所示如圖所

6、示.顯然顯然, ,0EE這與均勻帶電球面內電場強度處處為零相矛盾這與均勻帶電球面內電場強度處處為零相矛盾.所以均勻帶電半球面在圓面上產生的電場的方向都垂所以均勻帶電半球面在圓面上產生的電場的方向都垂直于此圓面直于此圓面. .171.14 (1) (1)點電荷點電荷q q位于邊長為位于邊長為a的正立方體的中心的正立方體的中心, ,通通過此立方體的每一面的電通量各是多少過此立方體的每一面的電通量各是多少? ? (2)(2)若電荷移至立方體的一個頂點上若電荷移至立方體的一個頂點上, ,那么通過每一那么通過每一個面的電通量又是多少個面的電通量又是多少? ? q(1)由對稱性知由對稱性知, ,通過各面的

7、電通量相通過各面的電通量相等等. .又由高斯定理知通過立方體各面的總電又由高斯定理知通過立方體各面的總電通量為通量為0q故通過此立方體的每一面的電通量各是故通過此立方體的每一面的電通量各是016q18(2)如圖如圖1 1所示所示, ,因為因為q q 所產生的電場線輻射所產生的電場線輻射狀向外狀向外, ,故故q q 所在的三個面的電通量為零所在的三個面的電通量為零. .圖圖2 2q 此時此時q 處于大立方體的中心處于大立方體的中心,據(jù)據(jù)(1)的結的結果可知通過大立方體各面的電通量都是果可知通過大立方體各面的電通量都是 今在圖今在圖1 1基礎上補充基礎上補充7 7個同樣大小的立個同樣大小的立方體方

8、體, ,組成一個大立方體組成一個大立方體, ,如圖如圖2 2所示所示. .q圖圖1 1016q故通過原立方體上、右、后三個面的電通量均為故通過原立方體上、右、后三個面的電通量均為0122441q 又由于對稱性又由于對稱性,可知其余三個面的電通量可知其余三個面的電通量相等，設為相等，設為 .2191.18 兩個無限長同軸圓筒半徑分別為兩個無限長同軸圓筒半徑分別為R1和和R2，單位，單位長度帶電量分別為長度帶電量分別為和和.求內筒內、兩筒間求內筒內、兩筒間和外筒外的電場分布和外筒外的電場分布. .解：解：方法一：利用高斯定理方法一：利用高斯定理R1R2hr于是于是下上側SSSSSdESdESdES

9、dErhEdSES2側 由于電荷分布具有軸對由于電荷分布具有軸對稱性，所以電場分布也具稱性，所以電場分布也具有軸對稱性有軸對稱性.作與圓筒同軸作與圓筒同軸的圓柱面為高斯面的圓柱面為高斯面,設其半設其半徑為徑為r，高為，高為h,如圖所示如圖所示.20據(jù)高斯定理有據(jù)高斯定理有rhE2)(0)()(02002101RrhhRrRhRr所以所以)(0)(2)(022101RrRrRrRrE21據(jù)題據(jù)題1.17的結果的結果:一無限長的均勻帶電薄壁圓筒的電一無限長的均勻帶電薄壁圓筒的電場分布為：場分布為：E)()(00arraar式中式中a為薄壁圓筒橫截面半徑，為薄壁圓筒橫截面半徑，為面電荷密度為面電荷密

10、度方法二：利用已知公式和場強疊加原理方法二：利用已知公式和場強疊加原理R1R2因為單位長度的均勻帶電薄壁圓筒所帶電量為因為單位長度的均勻帶電薄壁圓筒所帶電量為aq2即有即有a222故故R1R2E)(2)(00RrrRr于是對于本題，利用場強疊加原理有于是對于本題，利用場強疊加原理有E)(0)(2)(022101RrRrRrRr23證明：任一時刻電偶極子所受的電證明：任一時刻電偶極子所受的電場力的力矩場力的力矩M如圖所示如圖所示.lffMEqq 電偶極子電偶極子從與電場垂直的位置轉到與電場方向成從與電場垂直的位置轉到與電場方向成角的位置的過程中，電場力做的功角的位置的過程中，電場力做的功( (即即電偶極子所電偶極子所受電場力的力矩做的功受電場力的力矩做的功) )為為dEpMdAsi