華南師范大學(xué)電磁學(xué)習(xí)題課-靜止電荷電場

1、靜止電荷的電場靜止電荷的電場 習(xí)題、例題分析習(xí)題、例題分析+21.9 一均勻帶電直線長為一均勻帶電直線長為L，線電荷密度為線電荷密度為 . 求求直線的延長線上距直線的延長線上距L中點(diǎn)為中點(diǎn)為r (r L/2)處的場強(qiáng)處的場強(qiáng). 解解: : 建立建立ox軸，如圖所示軸，如圖所示PrLox在坐標(biāo)在坐標(biāo) x 處取一長度為處取一長度為dx 的電荷元，的電荷元，xdxx其電量為其電量為xqdd電荷元到場點(diǎn)電荷元到場點(diǎn)P距離為距離為- -x, 它在它在P點(diǎn)處產(chǎn)生的場點(diǎn)處產(chǎn)生的場強(qiáng)為強(qiáng)為Ed3PrLoxxdxxEd電荷元電荷元 dx 在在P點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng) 方向如圖所示方向如圖所示. .Ed大小為大

2、小為20)(4xqEdd204xxd 各電荷元在各電荷元在 P 點(diǎn)的場強(qiáng)方向一致點(diǎn)的場強(qiáng)方向一致 場強(qiáng)大小直接相加場強(qiáng)大小直接相加4PrLoxxdxxEd22204LrLrxxEEdd)4(4220LrL寫成矢量式有寫成矢量式有iLrLE)4(4220方向：方向：0時(shí)沿時(shí)沿ox軸正方向軸正方向 0) 放在三角形的重心上放在三角形的重心上. 為為使每個(gè)負(fù)電荷受力為零，使每個(gè)負(fù)電荷受力為零，Q之值應(yīng)為多大？之值應(yīng)為多大？1E2E3E解：由對稱性可知，當(dāng)一個(gè)負(fù)電荷解：由對稱性可知，當(dāng)一個(gè)負(fù)電荷受力為零時(shí)，其它負(fù)電荷也必然受受力為零時(shí)，其它負(fù)電荷也必然受力為零力為零. 要使一個(gè)負(fù)電荷受力為零，則要使一

3、個(gè)負(fù)電荷受力為零，則其所在處的電場強(qiáng)度要為零其所在處的電場強(qiáng)度要為零.-q-q-qQrrrABC 如圖所示，其它兩個(gè)負(fù)電荷在如圖所示，其它兩個(gè)負(fù)電荷在B處負(fù)電荷處產(chǎn)生的電處負(fù)電荷處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度分別為場強(qiáng)度分別為 、 ，電荷，電荷Q產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為 .1E2E3E故有故有0321EEE由幾何關(guān)系可得由幾何關(guān)系可得22)33(30cos2rQkrqk解得：解得：qQ33141.12 如圖所示，兩根平行長直線間距為如圖所示，兩根平行長直線間距為2a，一端用半，一端用半圓形線連起來圓形線連起來. 全線上均勻帶電，試證明在圓心全線上均勻帶電，試證明在圓心O處的處的電場強(qiáng)度為零電場強(qiáng)度為

4、零.Oa2證明：以證明：以表示線電荷密度表示線電荷密度. .如圖所示，考慮對頂?shù)娜鐖D所示，考慮對頂?shù)膁所對所對應(yīng)的電荷元應(yīng)的電荷元 和和 在在O點(diǎn)所點(diǎn)所產(chǎn)生的電場產(chǎn)生的電場.dqqd 因?yàn)殡姾稍驗(yàn)殡姾稍?和和 在在O點(diǎn)點(diǎn)dqqd 所產(chǎn)生的電場方向相反所產(chǎn)生的電場方向相反. .故故O點(diǎn)處的合電場強(qiáng)度大小為點(diǎn)處的合電場強(qiáng)度大小為dqqd dra22rqdkadqkdE又又coscosardrqdaddq，故可得故可得0dE15 由于結(jié)果與由于結(jié)果與無關(guān)，所以任無關(guān)，所以任一對與一對與對頂?shù)膶數(shù)膁d所對應(yīng)的電所對應(yīng)的電荷元在荷元在O點(diǎn)所產(chǎn)生的合電場都點(diǎn)所產(chǎn)生的合電場都為零為零.所以所以全線電荷在

5、圓心全線電荷在圓心O處處的總電場強(qiáng)度為零的總電場強(qiáng)度為零. .dqqd draOa216E1.13 一個(gè)半球面上均勻帶有電荷一個(gè)半球面上均勻帶有電荷,試用對稱性和疊加原試用對稱性和疊加原理論證下述結(jié)論成立理論證下述結(jié)論成立: 在如鼓面似地蒙住半球面的假在如鼓面似地蒙住半球面的假想圓面上各點(diǎn)的電場方向都垂直于此圓面想圓面上各點(diǎn)的電場方向都垂直于此圓面.PEE證明證明: :設(shè)圓面上任一點(diǎn)設(shè)圓面上任一點(diǎn)P處的電處的電場強(qiáng)度場強(qiáng)度 的方向與圓面不垂直的方向與圓面不垂直, ,其方向如圖所示其方向如圖所示. .EE補(bǔ)充下半球面補(bǔ)充下半球面,則它在則它在P點(diǎn)處產(chǎn)生點(diǎn)處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度的電場強(qiáng)度 如圖所示如圖所

6、示.顯然顯然, ,0EE這與均勻帶電球面內(nèi)電場強(qiáng)度處處為零相矛盾這與均勻帶電球面內(nèi)電場強(qiáng)度處處為零相矛盾.所以均勻帶電半球面在圓面上產(chǎn)生的電場的方向都垂所以均勻帶電半球面在圓面上產(chǎn)生的電場的方向都垂直于此圓面直于此圓面. .171.14 (1) (1)點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷q q位于邊長為位于邊長為a的正立方體的中心的正立方體的中心, ,通通過此立方體的每一面的電通量各是多少過此立方體的每一面的電通量各是多少? ? (2)(2)若電荷移至立方體的一個(gè)頂點(diǎn)上若電荷移至立方體的一個(gè)頂點(diǎn)上, ,那么通過每一那么通過每一個(gè)面的電通量又是多少個(gè)面的電通量又是多少? ? q(1)由對稱性知由對稱性知, ,通過各面的

7、電通量相通過各面的電通量相等等. .又由高斯定理知通過立方體各面的總電又由高斯定理知通過立方體各面的總電通量為通量為0q故通過此立方體的每一面的電通量各是故通過此立方體的每一面的電通量各是016q18(2)如圖如圖1 1所示所示, ,因?yàn)橐驗(yàn)閝 q 所產(chǎn)生的電場線輻射所產(chǎn)生的電場線輻射狀向外狀向外, ,故故q q 所在的三個(gè)面的電通量為零所在的三個(gè)面的電通量為零. .圖圖2 2q 此時(shí)此時(shí)q 處于大立方體的中心處于大立方體的中心,據(jù)據(jù)(1)的結(jié)的結(jié)果可知通過大立方體各面的電通量都是果可知通過大立方體各面的電通量都是 今在圖今在圖1 1基礎(chǔ)上補(bǔ)充基礎(chǔ)上補(bǔ)充7 7個(gè)同樣大小的立個(gè)同樣大小的立方體方

8、體, ,組成一個(gè)大立方體組成一個(gè)大立方體, ,如圖如圖2 2所示所示. .q圖圖1 1016q故通過原立方體上、右、后三個(gè)面的電通量均為故通過原立方體上、右、后三個(gè)面的電通量均為0122441q 又由于對稱性又由于對稱性,可知其余三個(gè)面的電通量可知其余三個(gè)面的電通量相等，設(shè)為相等，設(shè)為 .2191.18 兩個(gè)無限長同軸圓筒半徑分別為兩個(gè)無限長同軸圓筒半徑分別為R1和和R2，單位，單位長度帶電量分別為長度帶電量分別為和和.求內(nèi)筒內(nèi)、兩筒間求內(nèi)筒內(nèi)、兩筒間和外筒外的電場分布和外筒外的電場分布. .解：解：方法一：利用高斯定理方法一：利用高斯定理R1R2hr于是于是下上側(cè)SSSSSdESdESdES

9、dErhEdSES2側(cè) 由于電荷分布具有軸對由于電荷分布具有軸對稱性，所以電場分布也具稱性，所以電場分布也具有軸對稱性有軸對稱性.作與圓筒同軸作與圓筒同軸的圓柱面為高斯面的圓柱面為高斯面,設(shè)其半設(shè)其半徑為徑為r，高為，高為h,如圖所示如圖所示.20據(jù)高斯定理有據(jù)高斯定理有rhE2)(0)()(02002101RrhhRrRhRr所以所以)(0)(2)(022101RrRrRrRrE21據(jù)題據(jù)題1.17的結(jié)果的結(jié)果:一無限長的均勻帶電薄壁圓筒的電一無限長的均勻帶電薄壁圓筒的電場分布為：場分布為：E)()(00arraar式中式中a為薄壁圓筒橫截面半徑，為薄壁圓筒橫截面半徑，為面電荷密度為面電荷密

10、度方法二：利用已知公式和場強(qiáng)疊加原理方法二：利用已知公式和場強(qiáng)疊加原理R1R2因?yàn)閱挝婚L度的均勻帶電薄壁圓筒所帶電量為因?yàn)閱挝婚L度的均勻帶電薄壁圓筒所帶電量為aq2即有即有a222故故R1R2E)(2)(00RrrRr于是對于本題，利用場強(qiáng)疊加原理有于是對于本題，利用場強(qiáng)疊加原理有E)(0)(2)(022101RrRrRrRr23證明：任一時(shí)刻電偶極子所受的電證明：任一時(shí)刻電偶極子所受的電場力的力矩場力的力矩M如圖所示如圖所示.lffMEqq 電偶極子電偶極子從與電場垂直的位置轉(zhuǎn)到與電場方向成從與電場垂直的位置轉(zhuǎn)到與電場方向成角的位置的過程中，電場力做的功角的位置的過程中，電場力做的功( (即即電偶極子所電偶極子所受電場力的力矩做的功受電場力的力矩做的功) )為為dEpMdAsi