理學(xué)動力學(xué)專題質(zhì)點的運動微分方程PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1理學(xué)動力學(xué)專題質(zhì)點的運動微分方程理學(xué)動力學(xué)專題質(zhì)點的運動微分方程第 17章（4） 質(zhì)點的運動微分方程4-2 質(zhì)點的運動微分方程4-1 動力學(xué)基本定律第1頁/共31頁引 言2. 力學(xué)模型：1. 動力學(xué)的研究內(nèi)容：研究物體的機械運動與它的 質(zhì)量和受力情況之間的關(guān)系。(1) 質(zhì)點：具有一定質(zhì)量，而其形狀和大小對所研究的問題不起主要作用，可以忽略不計的物體。 例如： 研究衛(wèi)星的軌道時，衛(wèi)星 質(zhì)點； 剛體作移動時,剛體 質(zhì)點。第2頁/共31頁(2) 質(zhì)點系：由有限或無限個有著一定聯(lián)系的質(zhì)點組成的系統(tǒng)。 非自由質(zhì)點系：質(zhì)點系中的質(zhì)點的運動受到約束的限制。質(zhì)點系是力學(xué)中普遍的抽象化模型；包括剛體、彈

2、性體、流體。 自由質(zhì)點系：質(zhì)點系中各質(zhì)點的運動不受約束的限制。 剛體是一個特殊的質(zhì)點系，由無數(shù)個相互間保持距離不變的質(zhì)點組成。又稱為不變質(zhì)點系。第3頁/共31頁3. 動力學(xué)分類：質(zhì)點動力學(xué)質(zhì)點系動力學(xué)質(zhì)點動力學(xué)是質(zhì)點系動力學(xué)的基礎(chǔ)。4. 動力學(xué)的基本問題：大體上可分為兩類：綜合性問題： 已知部分力，部分運動求另一部分力、部分運動。 已知主動力，求運動，再由運動求約束力。 第一類：已知物體的運動情況，求作用力； 第二類：已知物體的受力情況，求物體的運動。第4頁/共31頁4-1 動力學(xué)基本定律 動力學(xué)基本定律是動力學(xué)的基礎(chǔ),但它們只能直接應(yīng)用于質(zhì)點。對于質(zhì)點系,應(yīng)該將它們分別應(yīng)用于每一質(zhì)點,然后導(dǎo)

3、出質(zhì)點系的運動規(guī)律。 質(zhì)點是物體最簡單、最基本的模型，是構(gòu)成復(fù)雜物體系統(tǒng)的基礎(chǔ)，質(zhì)點動力學(xué)基本方程給出了質(zhì)點受力與其運動變化的關(guān)系，質(zhì)點動力學(xué)的基礎(chǔ)是三個基本定律，這些定律是牛頓在總結(jié)前人研究成果基礎(chǔ)上提出的，稱為牛頓三定律。 1. 動力學(xué)基本定律第5頁/共31頁第一定律（慣性定律） 質(zhì)點如不受外力作用，則將保持靜止或作勻速直線運動。 質(zhì)點保持靜止或作勻速直線運動，也就是保持其運動狀態(tài)不變，這種性質(zhì)稱為慣性。故點的勻速直線運動，稱為慣性運動。所以第一定律也稱為慣性定律。 當質(zhì)點受到外力作用，而這些作用又不互相抵消時，它的運動狀態(tài)將按一定規(guī)律發(fā)生變化。第二定律就表明了這一變化規(guī)律。第6頁/共31

4、頁第二定律（力與加速度之間關(guān)系的定律）Fam (16-1) 質(zhì)點受外力作用時，將產(chǎn)生加速度，加速度的方向與力的方向相同，大小與力的大小成正比。上式稱為質(zhì)點動力學(xué)基本方程。 當質(zhì)點受到多個力作用時，該式中的力 應(yīng)為匯交力系的合力；從該式還可以看出，質(zhì)點質(zhì)量越大，其運動狀態(tài)越不容易改變，也就是質(zhì)點的慣性越大，因此，質(zhì)量是質(zhì)點慣性的度量。F第7頁/共31頁第三定律（作用與反作用定律） 由于作用與反作用，引起了機械運動在相互作用的兩質(zhì)點（物體）間發(fā)生轉(zhuǎn)移。力就是這種機械運動轉(zhuǎn)移的反映。 兩個質(zhì)點間相互作用的力，總是大小相等，方向相反，且沿著同一直線，分別作用在這兩個質(zhì)點上。 在靜力學(xué)里，研究物體的平衡

5、用到它。在動力學(xué)里，這一定律依然成立。第8頁/共31頁 以牛頓三定律為基礎(chǔ)的力學(xué)，稱為古典力學(xué)或經(jīng)典力學(xué)，在此范疇，質(zhì)量、空間和時間是“絕對”的，與運動沒有關(guān)系，但近代物理已經(jīng)證明，質(zhì)量、時間和空間都與物體的運動速度有關(guān)，只是當物體的運動速度遠小于光速時，物體的運動對質(zhì)量、時間和空間的影響是微不足道的。 2. 慣性參考系 動力學(xué)基本定律在其中能正確成立的參考系稱為慣性參考系,簡稱慣性系。在一般問題中,與地球固接的參考系或相對于地面作慣性運動的參考系,可近似看成慣性系。 第9頁/共31頁 要使車子在水平直線軌道上勻速前進，為什么還需不斷對它施加水平推力？這與慣性定律有無矛盾？ 試比較下述幾種情況

6、下站在電梯中的人對電梯地板的壓力大小：(a) 電梯靜止不動；(b) 電梯勻速上升；(c) 電梯勻速下降；(d) 電梯加速上升；(e) 電梯減速下降。思 考 題 4-1思 考 題 4-2第10頁/共31頁 以下說法是否正確？(a) 質(zhì)點如有運動則它一定受力，其運動方向總是與所受力的方向一致；(b) 質(zhì)點運動時，如速度大則它所受的力也大，速度小則所受的力也小，若速度為零則質(zhì)點不受力；(c) 機車以某一力牽引車輛加速前進時，車輛給機車的反力必小于機車對列車的牽引力。思 考 題 4-3 若不計空氣阻力，自由下落的石塊與向下仍（即給以向下的初速）的石塊，哪一個加速度較大？思 考 題 4-4第11頁/共3

7、1頁4-2 質(zhì)點的運動微分方程 dd22Ftrm Fam (16-2)(16-3) 動力學(xué)基本方程是矢量方程，為了便于計算，常將它改寫成投影式，并表示為微分形式的方程，稱為質(zhì)點的運動微分方程。第12頁/共31頁yxFtymFtxm 2222dd dd(16-4) 1. 質(zhì)點運動微分方程在直角坐標投影 設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點M，作平面曲線運動。取直角坐標系Oxy，將質(zhì)點受到的力與加速度在直角坐標軸上投影得：第13頁/共31頁式(16-4) 和(16-5)是兩種常用的質(zhì)點運動微分方程?？梢郧?解質(zhì)點動力學(xué)兩類問題。2. 質(zhì)點運動微分方程在自然軸上投影n2tddFvmFtvm (16-5)動力學(xué)基本方程在

8、自然軸系上的投影為：由運動學(xué)知,ddttva 2nva 第14頁/共31頁5) 求解未知量。(1) 第一類：已知質(zhì)點的運動，求作用在質(zhì)點上的力（微分問題）解題步驟和要點： 1) 正確選擇研究對象；（一般選擇聯(lián)系已知量和待求量的質(zhì)點）。 2) 正確進行受力分析,畫出受力圖； (應(yīng)在一般位置上進行分析)。3) 正確進行運動分析；（分析質(zhì)點運動的特征量）。 4) 選擇并列出適當形式的質(zhì)點運動微分方程；（建立坐標系）。第15頁/共31頁 5) 求解未知量。根據(jù)力的函數(shù)形式?jīng)Q定如何積分，并利用運動的初始條件，求出質(zhì)點的運動。(2) 第二類：已知作用在質(zhì)點上的力，求質(zhì)點的運動（積分問題）解題步驟如下：1)

9、 正確選擇研究對象。 2) 正確進行受力分析，畫出受力圖。判斷力是什么性質(zhì)的力（應(yīng)放在一般位置上進行分析，對變力建立力的表達式）。 3) 正確進行運動分析。(除應(yīng)分析質(zhì)點的運動特征外，還要確定出其運動初始條件）。4) 選擇并列出適當形式的質(zhì)點運動微分方程。第16頁/共31頁 橋式起重機跑車用鋼絲繩吊掛一質(zhì)量為m的重物，沿水平橫梁作勻速運動，速度為v0，重物中心至懸掛點距離為l。突然剎車，重物因慣性繞懸掛點向前擺動，求鋼絲繩的最大拉力。解：1. 選重物(抽象為質(zhì)點)為研究對象2. 受力分析3. 運動分析，沿以懸掛點為圓心, l為半徑的圓弧擺動。例題 4-1第17頁/共31頁)1( sindd ,

10、 tt mgtvmFma )2( cos , T2nn mgFlvmFma 4. 列出質(zhì)點運動微分方程為變量。為變量。其中其中式得式得由由vglvmgF, )(cos )2(2T maxTT , 0 , )1(FF 時時因因此此重重物物作作減減速速運運動動式式知知由由 )1(20maxTglvmgF 5. 求解未知量P=mg第18頁/共31頁例題 4-1討論(1) 減小繩子拉力途徑：減小跑車速度或者增加繩子長度。(2) 拉力FTmax由兩部分組成, 一部分等于物體重量,稱為靜拉力。一部分由加速度引起，稱為附加動拉力。全部拉力稱為動拉力。)1(20maxTglvmgF 第19頁/共31頁例題 4

11、-2 煤礦用填充機進行填充, 為保證充填材料拋到距離為s=5 m，H=1.5 m的頂板A處。求 (1)充填材料需有多大的初速度v0 ？ (2)初速 與水平的夾角 0？ 不計空氣阻力。0v第20頁/共31頁選擇填充材料M為研究對象，畫受力圖，M作斜拋運動。待求待求0000000000,sin,cos; 0, 0, 0 vvvvvyxtyx yxvvHysxAMt , , , , , 瞬時瞬時解：已知力為常量，屬于第二類問題。mgP 第21頁/共31頁列直角坐標形式的質(zhì)點運動微分方程并對其積分運算 422312121dddddd0ddctcgtyctcxcgttyctxmgtvmtvmyx0,si

12、n,cos : 43002001 ccvcvc 代代入入初初始始條條件件得得2000021sin,cos :gttvytvx 則運動方程為則運動方程為第22頁/共31頁2000021sin,cos :gttvytvx 運動方程為運動方程為022020cos21tan : vxgxy 則軌跡方程為則軌跡方程為代入最高點A處值，得： 即 將到達A點時的時間t，x=s，y=H 代入運動方程，得, 0sindd00 gtvty ,sin00gvt gHsgv2cos00 gHv2sin00 第23頁/共31頁拋射初速度大小與發(fā)射角0為：m/s 5 .10m/s5 . 181. 925 . 181. 9

13、2581. 922)sin()cos(22222002000 gHgHsgvvv 31 55 . 12tan 2tancossintan11000010sHvv 第24頁/共31頁 鉛垂上拋的物體，至少應(yīng)具有多大的初速才可不再回到地球。這一速度稱為第二宇宙速度。不計空氣阻力。2222xmgRFRmMfmgxmMfF 所所以以因因為為2222dd xmgRtxm 建建立立質(zhì)質(zhì)點點運運動動微微分分方方程程例題 4-3 解：取物體（視為質(zhì)點)為研究對象，建立坐標，并作受力圖。M地球質(zhì)量，f萬有引力常數(shù)第25頁/共31頁xgRgRvv2022)2( 則在任意位置時的速度) ,0( dd0220vvRxtxxmgRRxvmvvvxxx 時時 即：)dddddddddd( dd2222xvvtxxvtvtxxmgRxvmvxxxxxx 第26頁/共31頁 可見，v隨著x的增加而減小。若 則在某一位置 x=R+H 時速度將減小到零，物體回 落。若 時，無論x多大（甚至為），物體也不會回落。因此脫離地球引力而一去不返 時（）的最小初速度gRv220 gRv220 xkm/s 2 .11km6370/skm108 . 922230 gRv（第二宇宙速度）xgRgRvv2022)2( 第27頁/共31頁 站在磅秤上的人，在他突然下蹲的瞬時，指針向讀數(shù)大的一邊偏，還是向讀數(shù)小的一邊偏？為什么？