第3講-四中真題(尖子班)解法

1、第3講 四中真題西城綜合模擬（尖子班）第一部分 北京四中歷年真題展示一、填空1、用140個(gè)棱長為1的小正方體粘成一個(gè)大的長方體，若拆下沿棱的小正方體，則余下92個(gè)小正方體(見右圖)。留下的多面體的表面積是 。分析本題是整體化思考的經(jīng)典范例。一是從整體考慮拆之前和拆之后表面積的變化關(guān)系，二是本題可以用三視圖法。由于大長方體的長、寬、高都大于2，否則拆后剩下的圖形與題意不符。用140個(gè)棱長為1的小正方體粘成一個(gè)大的長方體，體積就是140，把140分解成3個(gè)大于2的自然數(shù)的乘積，只有一種情況140754，所以大長方體的長、寬、高分別是7，5，4；表面積是(454757)2166。拆下沿棱的小正方體后

2、，對(duì)比原來的表面積，相當(dāng)于每個(gè)面減少4個(gè)111的小正方形，所以留下的多面體的表面積是: 166-46142。2、七個(gè)圓內(nèi)填入七個(gè)連續(xù)自然數(shù)，使每兩個(gè)相鄰圓內(nèi)的數(shù)之和等于連線上的已知數(shù)，那么寫A的圓內(nèi)應(yīng)填入 。解法1從整體出發(fā)，既然知道兩兩相鄰圓圈中的數(shù)之和，就很容易得到這7個(gè)圓圈中的數(shù)相加的和為（10691281114）235。而除了A以外，其他六個(gè)圓圈中數(shù)的和等于6121129，所以A35-29=6。解法2第一步與上面的解法相同， 先算出7個(gè)圓圈中的數(shù)相加的和為（10691281114）235。注意到9+8+I0+14=41，這個(gè)和41實(shí)際上等于A被計(jì)算兩遍后與其它六個(gè)數(shù)的和，所以A的值為4

3、1-35=6。3、從時(shí)鐘指向4點(diǎn)整開始，再經(jīng)過 分鐘，時(shí)針、分針正好第一次成直角。解法4點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針、分針相差20個(gè)小格；時(shí)針、分針成直角時(shí)，兩者恰好相差15個(gè)小格，所以第一次成直角時(shí)分針需要追上時(shí)針20155個(gè)小格。分針的速度為“l(fā)小格/分鐘”，而時(shí)針的速度為“個(gè)小格/分鐘”， 所以再經(jīng)過（2015）（1）5分鐘，時(shí)針、分針正好第一次成直角。 4、一輛汽車把貨物從城市運(yùn)往山區(qū)，往返共用了20小時(shí)，去時(shí)所用時(shí)間是回來的l.5倍，去時(shí)每小時(shí)比回來時(shí)慢12公里。這輛汽車往返共行駛了 公里。解法“去時(shí)所用時(shí)間是回來的l.5倍”，把回來的時(shí)間看作1份，則去時(shí)所用的時(shí)間是1.5份，所以回來的時(shí)間為20（

4、1.51)8小時(shí)，去時(shí)所用時(shí)間為81.5=12小時(shí)?！叭r(shí)所用時(shí)間是回來的l.5倍”，往返路程不變，路程相同，速度和時(shí)間成反比例。V去V回11.523V去12（32）224千米/時(shí)往返路程為24122=576(千米)。 答：這輛汽車往返共行駛了576公里。推薦精選5、某個(gè)自然數(shù)被187除余52，被188除也余52，那么這個(gè)自然數(shù)被22除的余數(shù)是 。解法“某個(gè)自然數(shù)被187除余52，被188除也余52”，這個(gè)自然數(shù)應(yīng)該是187和188的公倍數(shù)再加上52，可以設(shè)這個(gè)數(shù)為187188n52。 187188n521711942n521794（112）n521794n2252 顯然，1794n22是22

5、的倍數(shù)，因此這個(gè)數(shù)被22除的余數(shù)與52被22除的余數(shù)相同，522228，所以這個(gè)自然數(shù)被22除的余數(shù)是8。二、解答題。6、已知r滿足rrrr546，求100r。解法等是左邊有911873項(xiàng)。因?yàn)椤⒍夹∮?，所以每一項(xiàng)的得數(shù)都與r或r1相同。 是取整數(shù)的意思。因?yàn)?46737，773546873 （773511；873584）。所以這73項(xiàng)，前面的若干項(xiàng)是7，后面的若干項(xiàng)是8。根據(jù)“雞兔同籠”的解法，（ 873546）（87）38，前38項(xiàng)的整數(shù)部分是7，后35項(xiàng)的整數(shù)部分是8。即 r8 且r8 解上面的2個(gè)不等式，得r0.568 且r0.578 合并在一起考慮 7.43 r 7.44 7431

6、00 r744所以， 100r7437、下面有三組數(shù)：2，1.5，12 0.7，1.55 ，9 ，1.6，8 從每組數(shù)中取出一個(gè)數(shù)，把取出的三個(gè)數(shù)相乘，那么所有不同取法的三個(gè)數(shù)乘積的和是多少?解法先從簡單情況想起，尋找規(guī)律。假如有兩組數(shù)，（a、b）、（c、d、e）。從每組數(shù)中取出一個(gè)數(shù)，把取出的2個(gè)數(shù)相乘，那么所有不同取法的2個(gè)數(shù)乘積的和是多少呢？ （ab）（cde）a ca da eb cb db e 將等式左邊用乘法分配律展開得到的多項(xiàng)式就是所有不同取法的2個(gè)數(shù)乘積的和。 （21.512）（0.71.55）（9 1.68） 162.2520 720 說明：將（21.512）（0.71.55

7、）（9 1.68）展開，得到的多項(xiàng)式就是所有不同取法的三個(gè)數(shù)乘積的和。推薦精選8、22名家長(爸爸或媽媽，他們都不是老師。家長和老師共22人)和老師陪同一些小學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)競賽，已知家長比老師多，媽媽比爸爸多，女老師比媽媽多2入，至少有一名男老師，那么在這22人中，共有爸爸多少人?解法家長和老師共22人，家長比老師多，所以家長多于11人，家長最少是12人。老師最多不超過221210人。媽媽和爸爸和起來最少是12人，媽媽比爸爸多，所以媽媽最少是17人；女老師比媽媽多2人，所以女老師最少是72=9(人)。女老師最少是9人，而老師最多不超過10人，因此男老師至多l(xiāng)人，但題中指出，至少有1名男老師，

8、所以男老師就是l人，女老師不多于9人，也不少于9人，恰好是9人，而媽媽有7人，那么爸爸人數(shù)是：22-9-l-7=5(人),即在這22人中，爸爸有5人。小結(jié):本題多次運(yùn)用最值問題思考方法，且巧借半差關(guān)系，得出不等式的范圍。正反結(jié)合討論的方法也有體現(xiàn)。9、某工廠金工車間有77個(gè)工人。每個(gè)工人平均每天可以加工甲種零件5個(gè)，或乙種零件4個(gè)，或丙種零件3個(gè)。已知3個(gè)甲種零件、1個(gè)乙種零件和9個(gè)丙種零件恰好配成一套。問：應(yīng)安排生產(chǎn)甲、乙、丙三種零件各多少人，才能使生產(chǎn)的三種零件恰好配成套?解法首先考慮生產(chǎn)l套零件，完成甲、乙、丙三種零件各需要多少名工人。生產(chǎn)甲種零件的工人需要35人，生產(chǎn)乙種零件的工人需要

9、l4人，生產(chǎn)丙種零件的工人需要933人，所以生產(chǎn)1套零件甲、乙、丙三種零件的工人人數(shù)之比為:3=12560。當(dāng)77名工人一起生產(chǎn)時(shí)，顯然也應(yīng)該按此比例來生產(chǎn)，所以生產(chǎn)甲種零件的工人需要77=12人，生產(chǎn)乙種零件的工人需要77=5人，生產(chǎn)丙種零件的工人需要77=60人。10、一輛車從甲地開往乙地，如果把車速提高20%，可以比原定時(shí)間提前l(fā)小時(shí)到達(dá)；如果原速行駛100千米后，再將車速提高30%，也可比原定時(shí)間提前l(fā)小時(shí)到達(dá)。求甲、乙兩地之間的距離。解法題目給出的距離信息只有l(wèi)O0千米這一條，還需要找出駕車行駛100千米的時(shí)間以及行駛?cè)痰目倳r(shí)間才能求出甲、乙兩地距離。車速提高20%，那么前后兩次的

10、速度比為1（120%）56。因?yàn)榍昂髢纱嗡新烦滔嗤?，路程相同時(shí)間和速度成反比例，所以前后兩次所用的時(shí)間比為65，提速之后時(shí)間減少l小時(shí)，而恰好減少1份，由此可求出原計(jì)劃從甲地到乙地的時(shí)間為：l（65）66（小時(shí)），而汽車提速后從甲地到乙地只用5小時(shí)。而這輛車如果提速30%，提速前后的速度比為1（130%）I013，那么這輛車行駛相同路程前后兩次所花的時(shí)間為1310。原來13小時(shí)的路程，提速30%后只用10小時(shí)就行了，節(jié)省了13103小時(shí)，提速之后每行使10小時(shí)就可以比原來節(jié)省3小時(shí)，那么現(xiàn)在是“原速行駛100千米后，再將車速提高30%，也可比原定時(shí)間提前l(fā)小時(shí)到達(dá)”，則提速后行駛的時(shí)間應(yīng)該是

11、1小時(shí)，所以以原速行駛100千米的時(shí)間就是6小時(shí)。這輛車原來的速度為10060千米/小時(shí)，而原計(jì)劃從甲地到乙地的時(shí)間是6小時(shí)，所以推薦精選甲、乙兩地之間的距離為:606=360(千米)。第二部分 學(xué)而思內(nèi)部小升初全真模擬測(cè)試卷一、填空1、=+，請(qǐng)將2、4、6、8分別填入算式左端的四個(gè)方框內(nèi)，將I、3、5、7分別填入右端的四個(gè)方框內(nèi)，使之成為正確的等式。那么此式兩端的計(jì)算結(jié)果是多少?解法等號(hào)左邊只有一個(gè)除號(hào)，右邊有兩個(gè)運(yùn)算符號(hào)，顯然等式左邊是解題突破口。，考慮2、4、6、8這4個(gè)數(shù)字哪一個(gè)可以用作除數(shù)。如果2作除數(shù)，則所得的商最少是4682234，但等式右邊無論如何都不可能湊成大于200的數(shù)；

12、如果6作除數(shù)，由于2+4+8=14，14不能被3整除，2、4、8三個(gè)數(shù)字無論怎樣排列組成的三位數(shù)都不能被6整除，6也不能作除數(shù)，所以除數(shù)只能是4或8。繼續(xù)分析4和8作除數(shù)的情況。一共可以列舉出可能的除法算式：2684=67； 2648=33； 6248=78；6284=157。根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)，等式右邊是3個(gè)奇數(shù)相加減結(jié)果為奇數(shù)，所以左邊的除法算式計(jì)算結(jié)果也是奇數(shù)，因此6248=78可以被排除。而右邊無論如何不會(huì)湊出157，所以6284=157也被排除。最后用l、3、5、7構(gòu)造67和33，通過嘗試能夠構(gòu)造出37-5+l=33，但67無法構(gòu)造出來，所以此式兩端的計(jì)算結(jié)果是33。2、從1到100這

13、100個(gè)自然數(shù)中，取出兩個(gè)數(shù)，要使它們的和大于100，則共有 種不同的取法。解法設(shè)每次所取的兩個(gè)數(shù)是和b，且b，保證b100。當(dāng)l00時(shí)， b 可以取991的所有自然數(shù)，有99種取法；當(dāng)99時(shí)， b 可以取982的所有自然數(shù)，有97種取法；當(dāng)98時(shí)， b 可以取973的所有自然數(shù)，有95種取法；當(dāng)97時(shí)， b 可以取964的所有自然數(shù)，有93種取法；當(dāng)96時(shí)， b 可以取955的所有自然數(shù)，有91種取法； 當(dāng)52時(shí)， b 可以取5149的3個(gè)自然數(shù)，有3種取法；當(dāng)51時(shí)， b 可以取50這1個(gè)自然數(shù)，有1種取法；所以，共有1357997995022500種不同的取法。3、在足球表面有五邊形和六

14、邊形圖案(見右圖)，每個(gè)五邊形與5個(gè)六邊形相連，每個(gè)六邊形與3個(gè)五邊形相連。那么五邊形和六邊形的最簡整數(shù)比是 。解法設(shè)五邊形有個(gè)，六邊形有b個(gè)。 每個(gè)五邊形有5條邊，個(gè)五邊形共有5條邊。這5條邊都與六邊形的邊相鄰。 每個(gè)六邊形有6條邊，而每個(gè)六邊形有3條邊與自己的同類相鄰，被浪費(fèi)掉了，其余的633條邊才與五邊形相鄰。也就是說，每個(gè)六邊形有3條邊與五邊形相鄰，b個(gè)六邊形共有3b條邊與五邊形相鄰。于是，我們可以列出這樣的等式： 5（63）b 53b b35推薦精選 答：五邊形和六邊形的最簡整數(shù)比是35。4、新年聯(lián)歡會(huì)上，六年級(jí)一班的21名同學(xué)參加猜謎活動(dòng)，他們一共猜對(duì)了44條謎語，那么21名同學(xué)中

15、，至少有 人猜對(duì)的謎語一樣多。解法若猜對(duì)的條數(shù)各不相同，則012345678844，這個(gè)等式已經(jīng)涉及10名同學(xué)，則有2110112名同學(xué)猜對(duì)0條，也就是說有12人猜對(duì)的謎語一樣多。若猜對(duì)0條、1條、2條、的各有2人，則00112233445566244，另外還有21277人猜對(duì)0條，加上開始的2人，共有9人猜對(duì)0條，9人猜對(duì)的謎語一樣多。若猜對(duì)0條、1條、2條、的各有4人，則0000111122223333444440，這個(gè)等式已經(jīng)涉及到4520人，還有1個(gè)人，還有4條謎語，而00001111222233334444444，此時(shí)有5人猜對(duì)的謎語一樣多，這5個(gè)人都猜對(duì)了4條。用反證法證明：假設(shè)至

16、多有4人猜對(duì)的謎語一樣多，由于共有21人，那么這21人猜對(duì)的謎語的總數(shù)至少為000011112222333344444545條，與題意不符，所以假設(shè)不成立，我們前面提出的結(jié)論正確。 答：那么21名同學(xué)中，至少有5人猜對(duì)的謎語一樣多。二、解答5、從1100中，取兩個(gè)不同的數(shù)，使其和是9的倍數(shù)，有多少種不同的取法?解法從除以9的余數(shù)考慮，兩個(gè)數(shù)的和是9的倍數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)除以9的佘數(shù)之和為0或9。通過計(jì)算，得出1100這100個(gè)數(shù)中，除以9余l(xiāng)的數(shù)有112個(gè)；除以9余余數(shù)為28的各有l(wèi)l個(gè)，除以9余數(shù)為0的也有l(wèi)l個(gè)。要使余數(shù)的和為0或9，則佘l的要與佘8的相加，佘2的要與余7的相加，余3的要與余

17、6的相加，余4的要與余5的相加，余0的彼此相加，所以共有1211+11ll3+=550種。 答：每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使其和是9的倍數(shù)，有550種不同的取法。6、2個(gè)蟹將和4個(gè)蝦兵打掃龍宮的，8個(gè)蟹將和10個(gè)蝦兵就能打掃完全部龍宮。現(xiàn)在需清掃整個(gè)龍宮，那么單讓蟹將去干與單讓蝦兵去干進(jìn)行比較，蝦兵比蟹將要多用多少個(gè)?解法設(shè)1個(gè)蟹將能打掃龍宮的比例為，1個(gè)蝦兵能打掃龍宮的比例為y。 24y 解方程組得 810y1 y 如果單讓蟹將去干需要112（個(gè)），如果單讓蝦兵去干需要130（個(gè)）。蝦兵比蟹將多用了301218（個(gè)）。7、一條船往返于甲、乙兩港之間。已知船在靜水中的速度為每小時(shí)8千米，平時(shí)逆行與順

18、行所用時(shí)間比為21。一天，因下暴雨，水流速度為原來的2倍，這條船往返共用9小時(shí)，推薦精選甲、乙兩港相距多少千米？解法 平時(shí)：平時(shí)逆行與順行所用時(shí)間比為21。因?yàn)槁烦滔嗤?，速度與時(shí)間成反比例，所以平時(shí)的逆水速度和順?biāo)俣戎葹?2。設(shè)平時(shí)的水流速度為千米/小時(shí)。(8)(8)=l2，解得千米/時(shí)。暴雨后：水流速度為2千米/時(shí)。順?biāo)俣葹?千米/時(shí)。逆水速度為8千米/時(shí)。暴雨后這艘船順?biāo)湍嫠叫兴脮r(shí)間的比是15，而這條船往返共用9小時(shí)，可得暴雨后順?biāo)叫袝r(shí)間為9小時(shí)，甲乙兩港之間的距離為20千米。8、有一個(gè)三角形ABC的面積為1，如圖，且A DAB，BEBC，CFCA，求三角形DEF的面積。解法

19、三角形DEF的面積與三角形ABC的面積的比例關(guān)系不容易直接求出，但是三角形ABC中其它3個(gè)三角形的面積卻可以根據(jù)“鳥頭定理”求出來。由題意可知，BDAB，ECBC，AFAC。根據(jù)“鳥頭定理”，可得SDBE SABCSABC； SEFCSABCSABC； SADFSABCSABC； 所以，SDEF1（1）9、所有的三位數(shù)(100999)中，除以18與33余數(shù)相同的數(shù)有多少個(gè)?解法除以18與33佘數(shù)相同的數(shù)，減去這個(gè)佘數(shù)后得到的數(shù)能被18和33整除，所以要找符合條件的數(shù)，首先應(yīng)該找18和33的公倍數(shù),18和33的最小公倍數(shù)是198，所以100999中18和33的公倍數(shù)一共有5個(gè)：198、396、5

20、94、792、990。由于這些三位數(shù)除以18的余數(shù)可以為0，l，2，17，共18種，所以前4個(gè)公倍數(shù),每一個(gè)都對(duì)應(yīng)18個(gè)符合條件的三位數(shù)，如l98對(duì)應(yīng)的符合條件的數(shù)有l(wèi)98、199、200、215。最后一個(gè)990對(duì)應(yīng)的符合條件的數(shù)當(dāng)中應(yīng)該去除那些超過999的四位數(shù)，剩下10個(gè)符合條件的三位數(shù)（990999），所以符合條件的數(shù)一共有184+1082個(gè)。10、甲、乙兩班的學(xué)生人數(shù)相等，各有一些學(xué)生參加數(shù)學(xué)選修課，甲班參加數(shù)學(xué)選修課的人數(shù)恰好是乙班沒有參加的人數(shù)的，乙班參加數(shù)學(xué)選修課的人數(shù)恰好是甲班沒有參加的人數(shù)的。那么甲班沒有參加的人數(shù)是乙班沒有參加的人數(shù)的幾分之幾？推薦精選解法l設(shè)甲班沒有參加的

21、是4人。乙班沒有參加的有3y人。那么甲班參加的人數(shù)是y人,乙班參加的人數(shù)是x人由于兩班人數(shù)相等，所以4yx3y， 可得32y，即xy=23。因此甲班沒有參加的人數(shù)是乙班沒有參加的人數(shù)的4x3y89。故甲班沒有參加的人數(shù)是乙班沒有參加的人數(shù)的。解法2列一元一次方程。假設(shè)兩班人數(shù)都為“l(fā)”,設(shè)甲班參加的人數(shù)為，則甲班未參加的為（1），進(jìn)而知道乙班參加的人數(shù)是。 甲班參加的人數(shù)為，則乙班未參加的人數(shù)是3，進(jìn)而知道乙班參加的人數(shù)是13。 和13都表示乙班參加的人數(shù)，所以可以列出方程： 13 解得。 甲班未參加的為1；乙班未參加的為3，甲班沒有參加的人數(shù)是乙班沒有參加的人數(shù)的。鞏固精練1、某小學(xué)即將開運(yùn)動(dòng)會(huì)，一共有十項(xiàng)比賽，每位同學(xué)可以任報(bào)兩項(xiàng)，那么要有_人報(bào)名參