2021屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章平面向量與復(fù)數(shù)第三節(jié)平面向量的綜合應(yīng)用教師文檔教案文北師大版

1、第三節(jié)第三節(jié)平面向量的綜合應(yīng)用平面向量的綜合應(yīng)用授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第 82 頁基礎(chǔ)梳理1向量在平面幾何中的應(yīng)用(1)用向量解決常見平面幾何問題的技巧：問題類型所用知識公式表示線平行、點共線等問題共線向量定理ababx1y2x2y10，其中 a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0垂直問題數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)abab0 x1x2y1y20，其中 a(x1，y1)，b(x2，y2)，且 a，b 為非零向量夾角問題數(shù)量積的定義cos ab|a|b|(為向量 a，b 的夾角)，其中 a，b為非零向量長度問題數(shù)量積的定義|a| a2x2y2，其中 a(x，y)，a 為非零向量(2)用向量方法解決平面幾何

2、問題的步驟平面幾何問題設(shè)向量向量問題運(yùn)算解決向量問題還原解決幾何問題2向量在解析幾何中的應(yīng)用向量在解析幾何中的應(yīng)用，是以解析幾何中的坐標(biāo)為背景的一種向量描述它主要強(qiáng)調(diào)向量的坐標(biāo)問題，進(jìn)而利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)知識來解答，坐標(biāo)的運(yùn)算是考查的主體3平面向量在物理中的應(yīng)用(1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相似，可以用向量的知識來解決(2)物理學(xué)中的功是一個標(biāo)量，是力 f 與位移 s 的數(shù)量積，即wfs|f|s|cos (為 f 與 s 的夾角)4向量與相關(guān)知識的交匯平面向量作為一種工具，常與函數(shù)(三角函數(shù))、解析幾何結(jié)合，常通過向量的線性運(yùn)算與

3、數(shù)量積，向量的共線與垂直求解相關(guān)問題1向量與平面幾何綜合問題的解法(1)坐標(biāo)法把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決(2)基向量法適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程進(jìn)行求解2平面向量與三角函數(shù)綜合問題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，再利用三角恒等變換對三角函數(shù)式進(jìn)行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)進(jìn)行求解(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，求向量的模或者其他向量的表達(dá)形式，解題思路是經(jīng)過向量的運(yùn)算

4、，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等四基自測1(基礎(chǔ)點：向量在平面幾何中的應(yīng)用)已知abc 的三個頂點的坐標(biāo)分別為 a(3，4)，b(5，2)，c(1，4)，則該三角形為()a銳角三角形b直角三角形c鈍角三角形d等腰直角三角形解析：ab(2，2)，ac(4，8)，bc(6，6)，|ab|22（2）22 2，|ac| 16644 5，|bc| 36366 2，|ab|2|bc|2|ac|2，abc 為直角三角形答案：b2.(基礎(chǔ)點：向量在物理中的應(yīng)用)如圖，一質(zhì)點受到平面上的三個力 f1，f2，f3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)已知 f1，f2成 60角，且 f1，f2的大小分別為

5、2 和 4，則 f3的大小為()a2 7b2 5c2d6解析：如題圖所示，由已知得 f1f2f30，則 f3(f1f2)，即 f23f21f222f1f2f21f222|f1|f2|cos 6028.故|f3|2 7.答案：a3(基礎(chǔ)點：向量在平面解析幾何中的應(yīng)用)平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，若定點 a(1，2)與動點p(x，y)滿足opoa4，則點 p 的軌跡方程是_解析：由opoa4，得(x，y)(1，2)4，即 x2y4.答案：x2y404(基礎(chǔ)點：向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用)已知向量 msin a，12 與向量 n(3，sin a 3cos a)共線，其中 a 是abc 的內(nèi)角，則角 a

6、的大小為_解析：因為 mn，所以 sin a(sin a 3cos a)320，所以 2sin2a2 3sin acos a3，可化為 1cos 2a 3sin 2a3，所以 sin2a6 1，因為 a(0，)，所以2a6 6，116.因此 2a62，解得 a3.答案：3授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第 83 頁考點一向量在平面幾何中的應(yīng)用挖掘用向量表示三角形的“心”/自主練透例(1)已知 o， n， p 在abc 所在平面內(nèi)， 且|oa|ob|oc|， nanbnc0， 且papbpbpcpcpa，則點 o，n，p 依次是abc 的()a重心外心垂心b重心外心內(nèi)心c外心重心垂心d外心重心內(nèi)心(注：三

7、角形的三條高線交于一點，此點為三角形的垂心)解析由|oa|ob|oc|知，o 為abc 的外心；由nanbnc0 知，n 為abc 的重心；因為papbpbpc，所以(papc)pb0，所以capb0，所以capb，即 capb，同理 apbc，cpab，所以 p 為abc 的垂心答案c(2)在abc 中，o 為abc 的重心，若boabac，則2()a12b1c.43d43解析設(shè) ac 的中點為 d，因為 o 為abc 的重心，所以bo23bd23(baad)23ab2312ac23ab13ac，所以23，13，所以243，故選 d.答案d破題技法三角形“四心”的向量表示(1)在abc 中，

8、若|oa|ob|oc|或 oa2ob2oc2，則點 o 是abc 的外心；(2)在abc 中，若gagbgc0，則點 g 是abc 的重心；(3)對于abc，o，p 為平面內(nèi)的任意兩點，若opoa(ab12bc)，(0，)，則直線ap 過abc 的重心；(4)在abc 中，若hahbhbhchcha，則點 h 是abc 的垂心；(5)對于abc，o，p 為平面內(nèi)的任意兩點，若opoa(ab|ab|ac|ac|)(0)，則直線 ap 過abc 的內(nèi)心1設(shè) p 是abc 所在平面內(nèi)的一點，若ab(cbca)2abcp且 ab2ac22bcap.則點 p是abc 的()a外心b內(nèi)心c重心d垂心解析：

9、由ab(cbca)2abcp，得ab(cbca2cp)0，即ab(cbcp)(cacp)0，所以ab(pbpa)0.設(shè) d 為 ab 的中點，則ab2pd0，故abpd0.所以 pdab，即點 p 在 ab 邊的中垂線上因為 ab2ac22bcap，所以(acab)(acab)2bcap，所以bc(acab2ap)0，設(shè) bc 的中點為 e，同上可知bcpe0，所以 pebc，即點 p 在 bc 邊的中垂線上所以 p 為 ab 與 bc 的垂直平分線的交點，即 p 是abc 的外心故選 a.答案：a2已知 o 是abc 所在平面內(nèi)一點，且滿足|oa|2|bc|2|ob|2|ca|2，則點 o(

10、)a在過點 c 且與 ab 垂直的直線上b在a 的平分線所在直線上c在邊 ab 的中線所在直線上d以上都不對解析：由|oa|2|bc|2|ob|2|ca|2得|oa|2|ob|2|ca|2|bc|2，所以(oaob)(oaob)(cabc)(cabc)， 即ba(oaob)(cacb)ba， 所以ba(oaobacbc)2ocba0，所以aboc.故點 o 在過點 c 且與 ab 垂直的直線上答案：a考點二向量在解析幾何中的應(yīng)用例(1)已知正三角形 abc 的邊長為 2 3，平面 abc 內(nèi)的動點 p，m 滿足|ap|1，pmmc，則|bm|2的最大值是()a.434b494c.376 34d

11、372 334解析如圖，由|ap|1 知點 p 的軌跡是以 a 為圓心，以 1 為半徑的圓由pmmc知，點 m 為 pc 的中點，取 ac 的中點 n，連接 mn，則|mn|12|ap|12，所以點 m的軌跡是以 n 為圓心，以12為半徑的圓因為|bn|3，所以|bm|的最大值為 31272，|bm|2的最大值為494.故選 b.答案b(2)在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中， a(12， 0)， b(0， 6)， 點 p 在圓 o： x2y250 上， 若papb20，則點 p 的橫坐標(biāo)的取值范圍是_解析因為點 p 在圓 o：x2y250 上，所以設(shè) p 點坐標(biāo)為(x， 50 x2)(5 2x5

12、2)因為 a(12，0)，b(0，6)，所以pa(12x， 50 x2)或pa(12x， 50 x2)，pb(x，6 50 x2)或pb(x，6 50 x2)因為papb20，先取 p(x,50 x2)進(jìn)行計算，所以(12x)(x)( 50 x2)(6 50 x2)20，即 2x550 x2.當(dāng) 2x50，即 x0)，a，b 兩點關(guān)于 x軸對稱若圓 c 上存在點 m，使得ambm0，則當(dāng) m 取得最大值時，點 m 的坐標(biāo)是()a.32，3 22b3 22，32c.32，3 32d3 32，32解析：由題意得圓的方程為(x1)2(y 3)21，b(0，m)設(shè) m(x，y)，由于ambm0，所以(

13、x，ym)(x，ym)0，所以 x2y2m20，所以 m2x2y2，由于 x2y2表示圓 c 上的點到原點距離的平方，所以連接 oc，并延長和圓 c 相交，交點即為 m，此時 m2最大，m 也最大|om|123，mox60，所以 xm3sin 3032，ym3sin 603 32.故選 c.答案：c2(2020河南鄭州模擬)已知平面向量 a，b，c 滿足|a|b|c|1，若 ab12，則(ab)(2bc)的最小值為()a2b3 3c1d0解析：由|a|b|1，ab12，可得a，b3.令oaa，obb，以oa的方向為 x 軸的正方向建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則 aoa(1，0)，bob12，

14、32 ，設(shè) coc(cos ，sin )(02)，則(ab)(2bc)2abac2b2bc3cos 12cos 32sin 3 3sin3 ，則(ab)(2bc)的最小值為 3 3，故選 b.答案：b考點三向量的其他應(yīng)用挖掘 1平面向量的創(chuàng)新應(yīng)用/自主練透例 1已知 o 是坐標(biāo)原點，點 a(1，2)，若點 m(x，y)為平面區(qū)域xy2，x1，y2上的一個動點，則oaom的取值范圍是()a1，0b0，1c1，3d1，4解析作出點 m(x，y)滿足的平面區(qū)域如圖陰影部分所示(含邊界)，設(shè) zoaom，因為 a(1，2)，m(x，y)，所以 zoaomx2y，即 y12x12z.平移直線 y12x，

15、由圖像可知，當(dāng)直線 y12x12z 經(jīng)過點 c(0，2)時，截距最大，此時 z 最大，最大值為 4，當(dāng)直線 y12x12z 經(jīng)過點 b 時，截距最小，此時 z 最小，最小值為 1，故 1z4，即 1oaom4.答案d破題技法以向量為載體的創(chuàng)新問題是近幾年高考命題的一個熱點，此類問題的求解策略：(1)準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化：解決數(shù)量積中創(chuàng)新問題時，一定要讀懂題目的本質(zhì)含義緊扣題目所給條件，結(jié)合題目要求恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，切忌同已有的概念或定義混淆(2)方法選?。簩τ趧?chuàng)新問題，要恰當(dāng)選取解題方法，如數(shù)形結(jié)合，等價轉(zhuǎn)化，特殊值，逐一排除等方法，并結(jié)合數(shù)量積性質(zhì)求解對于非零向量 m，n，定義運(yùn)算“*”：m*n|m|n|sin

16、 ，其中為 m，n 的夾角，有兩兩不共線的三個向量 a，b，c，下列結(jié)論正確的是()a若 a*ba*c，則 bcb(a*b)ca(b*c)ca*b(a)*bd(ab)*ca*cb*c解析：a，b，c 為兩兩不共線向量，則 a，b，c 為非零向量，故 a 不正確；設(shè) a，b 夾角為，b，c 夾角為，則(a*b)c|a|b|sin c，a(b*c)|b|c|sin a，故 b 不正確，同理 d 不正確；a*b|a|b|sin |a|b|sin()(a)*b.故選 c.答案：c挖掘 2平面向量與三角函數(shù)、解三角形的綜合應(yīng)用/互動探究例 2(2020衡陽模擬)在abc 中，若|ac|2 3，且abco

17、s cbccos aacsin b.(1)求角 b 的大??；(2)求abc 的面積解析(1)因為acabbc，所以abcos cbccos aacsin b(abbc)sin b，即(cos csin b)ab(cos asin b)bc0.而向量ab，bc是兩個不共線的向量，所以cos csin b，cos asin b，所以 cos ccos a，因為 a，c(0，)，所以 ac.在等腰abc 中，abc，所以 2ab，a2b2.所以 cos acos2b2 sinb2sin b，所以 sinb22sinb2cosb2，因為 sinb20，所以 cosb212.綜合 0b22，所以b23，b23.(2)由(1)知，ac6，由正弦定理，得|ac|sin23|bc|sin6，所以|bc|2，sabc12|ac|bc|sin6122 3212 3.破題技法利用向量的載體作用，可以將向量與三角函數(shù)、解三角形結(jié)合起來，解題時通過定義或坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使問題的條件結(jié)論明晰化在abc 中，a，b，c 的對邊分別為 a，b，c，已知向量 mcos b，2cos2c21，n(c，b2a)，且 mn0.(1)求c 的大?。?2)若點 d 為邊 ab 上一點，且滿足addb，|cd| 7，c2 3，求