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1、哈爾濱師范大學(xué)學(xué) 年 論 文題 目 論極限思想發(fā)展及應(yīng)用學(xué) 生 李超男指導(dǎo)教師 何英華 講師年 級(jí) 2008級(jí)專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系 別 數(shù)學(xué)系學(xué) 院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院哈爾濱師范大學(xué) 2011年6月 論 文 提 要極限思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想,數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ),極限理論為主要工具來(lái)研究函數(shù)的一門學(xué)科。所以,對(duì)極限概念及理論的理解和掌握的好壞將直接影響到整個(gè)本課程的學(xué)習(xí)。極限理論是從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的重要轉(zhuǎn)折,極限概念描述的是變量在某一刻過(guò)程中的變化趨勢(shì),是從有限到無(wú)限,近似到精確,量變到質(zhì)變的過(guò)程,與初等數(shù)學(xué)中的概念有很大的區(qū)別,因此學(xué)生掌握起來(lái)比較困難,一些學(xué)生到了畢業(yè),還對(duì)
2、為什么要用如此抽象的“”定義來(lái)描述微積分的極限理論不甚理解。但是如果能從數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史中了解極限思想和極限理論的形成過(guò)程,弄清極限理論概念的描述和邏輯表述形式并輔以典型的例題來(lái)加深理解,對(duì)于掌握和應(yīng)用極限概念會(huì)起到很重要的作用。論極限思想發(fā)展及應(yīng)用 李超男摘 要:極限思想是微積分的基本思想,數(shù)學(xué)分析中的一系列重要概念,如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分等等都是借助于極限來(lái)定義的,所謂極限思想,是用極限概念分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想,用極限思想解決問(wèn)題的一般步驟可概括為:對(duì)于被考察的未知量,先設(shè)法構(gòu)造一個(gè)與它有關(guān)的變量,確認(rèn)這變量通過(guò)無(wú)限過(guò)程的結(jié)果就是所求的未知量;最后用極限計(jì)算來(lái)得到這結(jié)果.
3、所以證明極限存在和求極限的方法就需要我們?nèi)ヌ骄?關(guān)鍵詞:極限思想 無(wú)窮小 數(shù)學(xué)分析一、極限思想的形成與發(fā)展1.1極限思想的由來(lái)和一切科學(xué)的思想方法一樣,極限思想也是社會(huì)實(shí)踐的產(chǎn)物.極限的思想可追溯到古代,劉徽到了16世紀(jì),荷蘭數(shù)學(xué)家斯泰文在考察三角形中心的過(guò)程中改進(jìn)了古希臘人的窮竭法,他借助幾何直觀大膽的運(yùn)用極限思想思考問(wèn)題,放棄了歸謬法的證明,因此,他就在無(wú)意中“提出了把極限方法發(fā)展成為一個(gè)使用概念的方法”.然而,微積分學(xué)在其創(chuàng)立初期由于歷史條件的限制,人們對(duì)他的基本概念及其關(guān)系的認(rèn)識(shí)還不能突破力學(xué)和幾何直觀的局限,許多概念還沒(méi)有確切的數(shù)學(xué)定義,特別是一些定理和公式的推導(dǎo)還處在邏輯混亂的局面
4、.1.2極限思想的完善極限思想的完善的割圓術(shù)就是建立在直觀基礎(chǔ)上的一種原始的極限思想的應(yīng)用;古希臘人的窮竭也蘊(yùn)含了極限思想,但由于希臘人“對(duì)無(wú)限的恐懼”,他們避免明顯的“取極限”,而是借助于間接證法一一歸謬法來(lái)完成有關(guān)的證明.1917年,波爾察諾的著作純粹分析的證明的出版是微積分開(kāi)始嚴(yán)格化的標(biāo)志.在該書中波爾察諾處于證明代數(shù)基本定理的需要,首次用極限觀點(diǎn)給出了連續(xù)性的定義,如在區(qū)間內(nèi)任一處,只要充分小,就能使兩點(diǎn)間距離任意小,則說(shuō)明該函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù),他把導(dǎo)數(shù)定義為無(wú)限接近的趨向的量,波爾察諾是微積分開(kāi)始嚴(yán)格化的前驅(qū).柯西被公認(rèn)為近代分析的主要奠基人,事實(shí)上,他在19世紀(jì)20年代陸續(xù)發(fā)表了3
5、本著作:工科學(xué)學(xué)分析教程、無(wú)限小計(jì)算概要和微積分講義,其中革新了微積分中長(zhǎng)期沿襲下來(lái)的模糊的舊概念重整了他的理論,把它納入到一個(gè)新的嚴(yán)密的理論體系之中,柯西看出核心的問(wèn)題是極限,他把極限概念理解為潛無(wú)限。并且定義“當(dāng)一個(gè)變量逐次所取的值無(wú)限趨近于一個(gè)定值,最終是變量和改定值之差要多小就多小”.這個(gè)定值就叫做所有其它值的極限,第一次使極限概念擺脫了與幾何和運(yùn)動(dòng)直觀的任何牽連,給出了建立在屬于函數(shù)概念上清楚的定義.但是,柯西的極限概念并沒(méi)有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義而是停留在直觀的描述上面,所以在他的著作的敘述中不是用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá),他的函數(shù)概念并沒(méi)有完全脫離解析方式的束縛,在函數(shù)的連續(xù)性和可微性方面也欠
6、明確等等.因此,他的微積分雖然具有近代的形式但它的基礎(chǔ)并不牢固.19世紀(jì)50年代,魏爾斯特拉斯(weierstrass,18151897)在分析嚴(yán)密化方面的工作改進(jìn)了波爾察諾、阿貝爾和柯西的工作,他力求避免直觀而把分析奠基在算數(shù)概念上,提出了關(guān)于極限的純算術(shù)定義,從而完成了數(shù)學(xué)分析的嚴(yán)密化工作,從此,極限理論才得以充實(shí)和嚴(yán)密的自身體系成為微積分的基礎(chǔ)理論,微積分也從此完全脫離過(guò)去集合的直觀和不確切地描述,進(jìn)入了一個(gè)新的發(fā)展時(shí)期.極限思想在現(xiàn)代數(shù)學(xué)乃至物理學(xué)等學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用,這是由它本身固有的思維功能決定的,極限思想揭示了變量與常量、無(wú)限與有限的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系,使唯物辯證法的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)
7、學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用借助于極限思想,人們可以從有限認(rèn)識(shí)無(wú)限、從不變認(rèn)識(shí)變、從直線形認(rèn)識(shí)曲線形、從量變認(rèn)識(shí)質(zhì)變、從近似認(rèn)識(shí)精確.二、極限思想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用2.1極限思想在概念里的滲透極限的思想方法貫穿于數(shù)學(xué)分析課程的始終,可以說(shuō)數(shù)學(xué)分析中的幾乎所有的概念都離不開(kāi)極限,在幾乎所有的數(shù)學(xué)分析著作中都是先介紹函數(shù)理論和極限的思想方法給出連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、極數(shù)的斂散性,重積分和曲線積分與曲面積分的概念.(1) 如以函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的定義.記稱為自變量(在點(diǎn))的增量或改變量,設(shè),相應(yīng)的函數(shù)(在點(diǎn))的增量記為,可見(jiàn),函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)等價(jià)于,是當(dāng)自變量得增量時(shí),函數(shù)值得增量趨于零時(shí)的極限.(2)函數(shù)在點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的定義
8、.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義,若極限存在,則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),令,則可寫為,所以,導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.(3) 函數(shù)在區(qū)間上的定積分的定義。設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù),是一個(gè)確定的實(shí)數(shù),若對(duì)認(rèn)給的正數(shù),總存在某一正數(shù),使對(duì)的任何分割,以及在其上任意選取的點(diǎn)集,只要,就有,則稱函數(shù)為在上的定積分,記。是當(dāng)分割細(xì)度趨于零時(shí),積分和式的極限.(4)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性是用部分和數(shù)列,的極限來(lái)定義的等等.2.2極限思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的思想最初是由法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬(Fermat)為研究極值問(wèn)題而引入的,但與導(dǎo)數(shù)概念直接相聯(lián)系的是以下兩個(gè)問(wèn)題:已知運(yùn)動(dòng)規(guī)律求速度和已知曲線求它的切線.(1) 瞬時(shí)
9、速度 設(shè)一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)規(guī)律為,若為某一確定的時(shí)刻,為鄰近于的時(shí)刻,則是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段上的平均速度. 若時(shí)平均速度的極限存在,則稱極限為質(zhì)點(diǎn)時(shí)刻的瞬時(shí)速度.(2)切線的斜率 曲線在其上一點(diǎn)處的切線PT是割線PQ當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q沿此曲線無(wú)限接近于點(diǎn)p時(shí)的極限位置.由于割線PQ斜率為因此當(dāng)時(shí)如果的極限存在,則極限即為切線PT的斜率.給出導(dǎo)數(shù)的定義:設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰城內(nèi)有定義,若極限存在,則稱函數(shù) 在點(diǎn)處可導(dǎo),并稱該極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),記作.令,則上式可改寫為.2.3極限思想在積分中的應(yīng)用積分是數(shù)學(xué)分析中的重要概念,其中的不定積分是求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算而定積分則是某種特殊和式的極限,下面給出在定積分中極
10、限思想的重要應(yīng)用.定積分提出的背景:曲邊梯形是由非負(fù)連續(xù)曲線.直線以及x軸所圍成,求此曲邊梯形的面積?(1) 將曲邊梯形分成個(gè)小曲邊梯形(2) 當(dāng)很大,且當(dāng)所有的都很少小時(shí),每個(gè)小時(shí)曲邊梯形都可看成小矩形第個(gè)小曲邊梯形面積其中,此時(shí).(3)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),即當(dāng)個(gè)無(wú)限趨近于0時(shí),就無(wú)限趨近于曲邊梯形的面積,故.定積分在閉區(qū)間內(nèi)有個(gè)點(diǎn),依次為它們把分成個(gè)小區(qū)間, ,這些分點(diǎn)或這些閉子區(qū)間構(gòu)成對(duì)的一個(gè)分割,記或。小區(qū)間長(zhǎng)度為并記設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù),是一個(gè)確定的實(shí)數(shù),若對(duì)任給正數(shù),總有在某一正數(shù),使得對(duì)的分割,以及在其上任意選取的點(diǎn)集,只要就有,則稱函數(shù)在區(qū)間上可積,數(shù)稱為上的定積分,記作.三、證
11、明極限存在及求極限的方法求函數(shù)和數(shù)列的極限是數(shù)學(xué)分析的基本運(yùn)算,求極限的主要方法有用定義、四則運(yùn)算、兩邊夾法則、實(shí)數(shù)連續(xù)性定理等,除這些常規(guī)的方法外還有許多技巧,這些技巧隱含在函數(shù)論的相關(guān)理論中,以下主要以例題的形式介紹相關(guān)方法與技巧.3.1用極限的四則運(yùn)算法則和簡(jiǎn)單技巧求極限利用極限的四則運(yùn)算法求函數(shù)極限時(shí)需對(duì)所給的函數(shù)進(jìn)行逐一驗(yàn)證,若滿足條件才可利用此法則進(jìn)行計(jì)算,并不是不滿足極限四則運(yùn)算法則條件的函數(shù)就沒(méi)有極限,可將函數(shù)進(jìn)行恒等變形使其符合條件后再求,而對(duì)函數(shù)進(jìn)行恒等變形時(shí)往往運(yùn)用一些簡(jiǎn)單技巧,如拆項(xiàng)、分子分母有理化、變量替換等.例1:求解:此式為型,且分母極限為,因此先分子有理化,所以
12、,原式.3.2用迫斂性準(zhǔn)則求極限收斂數(shù)列的迫斂性:設(shè)收斂數(shù)列,都以為極限,數(shù)列滿足:存在正數(shù),當(dāng)時(shí)有,則數(shù)列收斂,且.函數(shù)極限的迫斂性:設(shè),且在某內(nèi)有,則.例2:求由所以,根據(jù)迫斂性定理有:原式 .3.3用泰勒公式求極限常用的泰勒公式:.例3:求解:由泰勒公式知 所以,原式.3.4用等價(jià)無(wú)窮小求極限常用的等價(jià)無(wú)窮?。寒?dāng)時(shí), ,.例4:解:因?yàn)?,所以,原式.3.5用洛比達(dá)法則求極限洛比達(dá)法則只直接適用于型和型不定式極限,等類型,經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單變換,可化為型或型極限.例5:求解:由是型不定式極限,有恒等變形轉(zhuǎn)化為型不定式極限。所以,應(yīng)用洛必達(dá)法則原式.3.6利用微分中值定理和積分中值定理求極限(1)第
13、一積分中值定理:若在上連續(xù),則至少有在一點(diǎn) 使得(2)第二積分中值定理:設(shè)函數(shù)在上可積。若在上減(增)且,則存在 使或.例6:求解:有微分中值定理 (介于與之間)原式.例7:求解:令,在上可積,故不變號(hào)連續(xù),由積分第一中值定理,由為有界量,為無(wú)窮小量故.四、總結(jié)極限理論是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ),數(shù)學(xué)分析主要研究微分和積分,而極限又是微積分學(xué)大廈的基石,可以說(shuō)沒(méi)有充分的極限理論就不可能有今天數(shù)學(xué)蓬勃發(fā)展的局面,所以,我們應(yīng)學(xué)好極限理論及極限思想.參考文獻(xiàn): 1明清河:數(shù)學(xué)分析的思想與方法 M.山東大學(xué)出版社.2004.2李克典,馬云苓:數(shù)學(xué)分析選講M.廈門大學(xué)出版社.2005.3華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系:數(shù)學(xué)
14、分析M.高等教育出版社.1999.9. 4 M.克萊因:古今數(shù)學(xué)思想(第四冊(cè))M.上??萍汲霭嫔?1983.10.附件一學(xué)年論文(設(shè)計(jì))成績(jī)表論文題目極限思想的應(yīng)用作者李超男指導(dǎo)教師何英華職稱講師指導(dǎo)教師評(píng)語(yǔ)1. 論文選題合理,充分的論述了極限思想的歷史以及由來(lái),并能從各個(gè)方向闡明極限思想的在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用。寫作態(tài)度認(rèn)真,時(shí)效性強(qiáng),按期圓滿完成學(xué)年論文。論文觀點(diǎn)明確,能較好的闡述所要論述的問(wèn)題。數(shù)據(jù)資料翔實(shí),分析方法選用得當(dāng)。綜合運(yùn)用知識(shí)的能力較強(qiáng)。該論文結(jié)構(gòu)合理,內(nèi)容豐富,分析方法先進(jìn),寫作進(jìn)度安排合理,可以應(yīng)用于數(shù)學(xué)極限方面更好的學(xué)習(xí)與理解。2. 論文完全符合學(xué)院規(guī)定,內(nèi)容完整,層次結(jié)構(gòu)安
15、排科學(xué),主要觀點(diǎn)突出,論述緊扣主題,邏輯關(guān)系清楚,有一定的個(gè)人見(jiàn)解。論文選題符合專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo),并且選題有一定的研究?jī)r(jià)值,與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系比較密切。書寫工整,格式及標(biāo)點(diǎn)規(guī)范。說(shuō)明書、圖紙完備、整潔、正確、符合規(guī)范。指導(dǎo)教師簽字等級(jí)內(nèi)部資料請(qǐng)勿外傳9JWKffwvG#tYM*Jg&6a*CZ7H$dq8KqqfHVZFedswSyXTy#&QA9wkxFyeQ!djs#XuyUP2kNXpRWXmA&UE9aQGn8xp$R#͑GxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&ksv*3tnGK8!z89AmYWpazadNu#K
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