量子力學(xué)課后答案

1、=，量子力學(xué)習(xí)題及解答第一章量子理論基礎(chǔ)與溫度T成反比,1.1由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)即（常量）；m T=b并近似計(jì)算b的數(shù)值，準(zhǔn)確到二位有效數(shù)字。解根據(jù)普朗克的黑體輻射公式以及vdv8 hv33 cvvdvhvekTc，vd ，1dv，1(1)(2)(3)dvd -v()q c8 hc 15hc,e市1這里的的物理意義是黑體內(nèi)波長(zhǎng)介于入與入+d入之間的輻射能量密度。本題關(guān)注的是入取何值時(shí)，取得極大值，因此，就得要求對(duì)入的一階導(dǎo)數(shù)為零，由此可求得相應(yīng)的入的值，記作m。但要注意的是，還需要驗(yàn)證對(duì)入的二階導(dǎo)數(shù)在m處的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m就是

2、要求的，具體如下：hc6hchce kT 11hchckTkTkT1 e kT1hckT5(11 ehc肓)hckThc如果令X=-，則上述方程為kT5（1 這是一個(gè)超越方程。首先，易知此方程有解： 個(gè)解可以通過逐步近似法或者數(shù)值計(jì)算法獲得： 有x)x=0,x=,x但經(jīng)過驗(yàn)證，此解是平庸的；另外的一 經(jīng)過驗(yàn)證，此解正是所要求的，這樣則mThcxk把x以及三個(gè)物理常量代入到上式便知mT 2.9 10 3 * *m K這便是維恩位移定律。據(jù)此，我們知識(shí)物體溫度升高的話，輻射的能量分布的峰值向較短波 長(zhǎng)方面移動(dòng)，這樣便會(huì)根據(jù)熱物體（如遙遠(yuǎn)星體）的發(fā)光顏色來判定溫度的高低。1. 2在0K附近，鈉的價(jià)電

3、子能量約為 解 根據(jù)德布羅意波粒二象性的關(guān)系,3eV,求其德布羅意波長(zhǎng)。 可知E=hv,如果所考慮的粒子是非相對(duì)論性的電子（如果我們考察的是相對(duì)性的光子，那么注意到本題所考慮的鈉的價(jià)電子的動(dòng)能僅為ec2),那么E=pc3eV,遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于電子的質(zhì)量與光速平方的乘積,即0.51106eV，因此利用非相對(duì)論性的電子的能量一一動(dòng)量關(guān)系式，這樣，便有h.2eEhc2eC2E1.241020.51106 30.71 10 m0.71 nm在這里，利用了以及最后，對(duì)hc 1.24610 eV mec20.51 106eVhc2 eC2E作一點(diǎn)討論，從上式可以看出，當(dāng)粒子的質(zhì)量越大時(shí)，這個(gè)粒子的波長(zhǎng)就越短，因而

4、這個(gè)粒子的波動(dòng)性較弱，而粒子性較強(qiáng)；同樣的，當(dāng)粒子的動(dòng)能越大時(shí)，這個(gè)粒子的波長(zhǎng)就越短， 因而這個(gè)粒子的波動(dòng)性較弱，而粒子性較強(qiáng)，由于宏觀世界的物體質(zhì)量普遍很大，因而波動(dòng)性極弱，顯現(xiàn)出來的都是粒子性，這種波粒二象性，從某種子意義來說，只有在微觀世界才 能顯現(xiàn)。知本題的氦原子的動(dòng)能為3 3E -kT 尹 K5 103eV，顯然遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于核C2這樣，便有hc2 核 c? E1.24 10 6m.2 3.7 109 1.510 30.37 10 9m0.37 nm這里，利用了核c24 931 106eV3.7 109eV最后，再對(duì)德布羅意波長(zhǎng)與溫度的關(guān)系作一點(diǎn)討論，由某種粒子構(gòu)成的溫度為 T的體系,其中

5、粒子的平均動(dòng)能的數(shù)量級(jí)為kT,這樣，其相慶的德布羅意波長(zhǎng)就為hchc2 c2E2kc2T據(jù)此可知，當(dāng)體系的溫度越低， 相應(yīng)的德布羅意波長(zhǎng)就越長(zhǎng)，這時(shí)這種粒子的波動(dòng)性就越明顯，特別是當(dāng)波長(zhǎng)長(zhǎng)到比粒子間的平均距離還長(zhǎng)時(shí)，粒子間的相干性就尤為明顯，因此這時(shí)就能用經(jīng)典的描述粒子統(tǒng)計(jì)分布的玻耳茲曼分布，而必須用量子的描述粒子的統(tǒng)計(jì)分布玻色分布或費(fèi)米公布。1. 4利用玻爾一一索末菲的量子化條件，求：(1) 一維諧振子的能量；(2) 在均勻磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的電子軌道的可能半徑。已知外磁場(chǎng) H=10T,玻爾磁子Mb 9 10 24 J T 1，試計(jì)算運(yùn)能的量子化間隔E,并與T=4K及T=100K的熱運(yùn)動(dòng)能量相

6、比較。解玻爾一一索末菲的量子化條件為:pdq nh其中q是微觀粒子的一個(gè)廣義坐標(biāo)，p是與之相對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量，回路積分是沿運(yùn)動(dòng)軌道積一圈，n是正整數(shù)。(1)設(shè)一維諧振子的勁度常數(shù)為k，諧振子質(zhì)量為，于是有匚 P21 k 2Ekx2 2這樣，便有P 2 (E 2kx2)這里的正負(fù)號(hào)分別表示諧振子沿著正方向運(yùn)動(dòng)和沿著負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，一正一負(fù)正好表示一個(gè)來回，運(yùn)動(dòng)了一圈。此外，根據(jù)可解出這表示諧振子的正負(fù)方向的最大位移。這樣，根據(jù)玻爾一一索末菲的量子化條件，有xxx這樣,便有這時(shí),這樣,iL1 22(E-kx )dx212(E1 kx2)dx2xXx：2(Ex12 nx .2 (E 2kx)dx 2hX1

7、2x ( ). 2 (E 2kx )dx nhd為了積分上述方程的左邊,sin2E,k COs22 E cos2令上式左邊的積分為cos2 dk此外再構(gòu)造一個(gè)積分2 2E2A，便有2 2E2sin21kx22)dx nh2B.k B2(1)E. cos2 d(2 ) 】k這里=2 B,這樣，就有2Ecos d ,2A B E. kdsin根據(jù)式（1）和（2）,便有A E這樣，便有E2其中h 2最后，對(duì)此解作一點(diǎn)討論。首先，注意到諧振子的能量被量子化了；其次，這量子化的 能量是等間隔分布的。（2）當(dāng)電子在均勻磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，有RqBR2P這時(shí)，玻爾一一索末菲的量子化條件就為2又因?yàn)閯?dòng)能耐qB

8、Rd(R0qBR1 2 2qBR2 nhnh2nhp2E廠，所以，有E (qBR)22qBn2q2B2R22nB2nBNB,其中，M Bq是玻爾磁子，2這樣,發(fā)現(xiàn)量子化的能量也是等間隔的，而且E BM B具體到本題,109 10 24 J 9 10 23 J根據(jù)動(dòng)能與溫度的關(guān)系式3E -kT2以及1k310 eV 1.622 ,10 J可知，當(dāng)溫度 T=4K時(shí),1.5 4221.6 10 J229.6 10 J當(dāng)溫度T=100K時(shí),1.6 10 22 J1.5 1002.4 10 20 J顯然，兩種情況下的熱運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的能量要大于前面的量子化的能量的間隔。此外，還有于是，有he2 eChvpe

9、2eehehe1.242 eC10 6 曠m0.51 1062.4 10 12m2.4 10 3nm盡管這是光子轉(zhuǎn)化為電子的最大波長(zhǎng)，但從數(shù)值上看，也是相當(dāng)小的，我們知道，電子期待發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)是自然界中最輕的有質(zhì)量的粒子，如果是光子轉(zhuǎn)化為像正反質(zhì)子對(duì)之類的更大質(zhì)量的粒子， 那么所對(duì)應(yīng)的光子的最大波長(zhǎng)將會(huì)更小，這從某種意義上告訴我們，當(dāng)涉及到粒子的衰變， 產(chǎn)生，轉(zhuǎn)化等問題，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子間的轉(zhuǎn)化等現(xiàn)象就越豐富， 這樣，也許就能發(fā)現(xiàn)新粒子，這便是世界上在造越來越高能的加速器的原因： 象，新粒子，新物理。第二章波函數(shù)和薛定諤方程證明在定態(tài)中，幾率流與時(shí)間無關(guān)。 證：對(duì)于定態(tài)，可令

10、(r，t) (r)f(t)丄Et(r)eJ k(iEt(r)eiEt(r)eiEt(r)eiEt(r)e )(r)*(r)*(r)(r)可見J與t無關(guān)。由下列定態(tài)波函數(shù)計(jì)算幾率流密度：1 ikr er(2)從所得結(jié)果說明解：JJ2只有r分量1表示向外傳播的球面波,1er2表示向內(nèi)（即向原點(diǎn)）ikr傳播的球面波。在球坐標(biāo)中1roerre1r sI n(1) J1 ( 1* *1 11)2mI 1 Ikr e/ 1 ikr (e )1 eIkr/1 ikr、(e)ro2m rr rrr rikr)ro2 1(2m r12 Ik ) rr1( 12r rkk2 ro3rmrmr山與r冋向。表示向外傳

11、播的球面波。*2m222Ir 1Ikr,1 ikr 、1ikre -(e )e2mrr rrIr1 111 “1(2Ik )-(22mr rrrrkk2 1d3 rmrmr*(即向原點(diǎn))傳播的球面波。z1 Ikr .一(e) ror r1 ik-)rr可見,J2與r反向。表示向內(nèi)補(bǔ)充：設(shè)(x) eIkx，粒子的位置幾率分布如何？這個(gè)波函數(shù)能否歸一化?* dx dx2波函數(shù)不能按 (x) dx 1方式歸一化。其相對(duì)位置幾率分布函數(shù)為21表示粒子在空間各處出現(xiàn)的幾率相同。 d2-2 (x) U(x) (x) E (x) 2m dx在各區(qū)域的具體形式為一粒子在一維勢(shì)場(chǎng),x0U(x)0,0x a,xa

12、中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)。解：U(x)與t無關(guān)，是定態(tài)問題。其定態(tài)S方程n：川：2 d222m dx二蘭2m dx22 d22m dx2U(x)1（X）2（X）3（X）U(x) i(x) EE 2(x)U(x) 3(x) E1(x)3（X）由于（1）、（3）方程中，由于1（x）02（ x） 0 即粒子不能運(yùn)動(dòng)到勢(shì)阱以外的地方去。2d 2 （x） 2mE萬程可變?yōu)?2、丿要等式成立，必須令k2dx2(x)，得d2 2(x)k2dx22 （x） Asin kx B coskx根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件確定系數(shù)其解為2(a)2(0)3(a)1(0)B 0A，2(X)0B,由連續(xù)性條件，得Asin

13、 ka 0sinkaka n(n1,2,3,2（X）Asin x a由歸一化條件A2a 2 sin20asin b a2（X）k2En2(X) dxxdx ax sin2 . n.，一 sin x a a2mE2xdx a1,2,3,）可見E是量子化的。對(duì)應(yīng)于En的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為2 n- Entn(X,t)sin xea ax a,0,證明()式中的歸一化常數(shù)是證:n /A sin (xa0,得由歸一化,A2A22a),2dxa 11 a2aaA2 A2A2()a 2A sinacos(xaA22a n cos asin n(x a)dx aa)dxa(xa)dxa)由1（x）的表達(dá)式可

14、知，x 0,x時(shí)，1（x）0。顯然不是最大幾率的位置。A2a1歸一化常數(shù)A 2! 2川：32 (U0 E)23o令ki22(Uo2E)k; ?E2則I：k21 k1i on：k22 k22 0川：3k2k1102 dx按勢(shì)能U （x）的形式分區(qū)域的具體形式為E (x)2（x） u（x） （x）各方程的解為k1xk1x1 Ae 1 Be 12 Csi nk2xD cosk2X3 Ee k1x Fek1x由波函數(shù)的有限性,有1(）有限A 03（）有限E 0因此1 BekX3 Fek/由波函數(shù)的連續(xù)性，有1( a)2( a),Bek1aCsin k2a Dcosk2a(10)1( a)2( a),k

15、1Be k1ak2Ccosk2a k2Dsin k2a(11)2(a)3(a),Csin k?aD cosk2a Fe w(12)2(a)3(a),k2Ccosk2ia k2Dsink2ak1Fe k1a(13)整理（1O）、（11）、（12）、（13）式，并合并成方程組，得kia ek2 cosk2asin k2ak2 cosk 2asin k2a k1e kiasin k2ak2 cosk2acosk2a cosk2a k2s in k2a0e kiak1ek1aekiakik?e kia cos k?ak；ekia sin k2acosk2ae kiaB sink2aC cosk2aD

16、00k kiaB k2 cosk2aC k2 sink2aD 0 00 sink2aC cosk2aD e kiaF 00 k2 cosk2aC k2 sink2aDkiaF 0解此方程即可得出 B、C、D、F,進(jìn)而得出波函數(shù)的具體形式，要方程組有非零解，必 須kia esin k2acosk2a01ki akie ik2 cosk2ak2 sin k2a00sin k2acosk2ae kia0k2 cosk2ak2 sin k2akiBe kia0k2 s in k2a0cosk2ae kiak2 sin k2a kie kiakik2e kia sin2 k2a k；e kia sin

17、k2acosk2a kie kiakie kiasin k2acosk2a k2e kiacos2 k2a kie kia sin k2acosk2a k2e kia sin2 k2ae 2kia 2kik2 cos2k2a k；sin2k2a ki2 sin2k2a e 2kia(k2 k2)sin2k?a 2kik? cos2k2a2ki ae 02 2 .二(k2 ki )sin 2k2a 2kik2 cos2k2a 0即(k； k；)tg2k2a 2ki k2 0為所求束縛態(tài)能級(jí)所滿足的方程。#解法二：接(i3)式Csin k2a Dcosk2akiCcosk2 ak2kiDsin k

18、2aCsin k2a Dcosk2a Ccosk2aki且 Ds in k2akik2cosk2a sin k2a k1k2 cosk2a sin k2a k1k2(cosk2ak1(coskzak1(coskza k1k2 sin k2a k1/k(sin k2a k1k2sin k2a)(si nk2ak1sin k2a)(k2s in k2ak1sin kza)(旦 sin k2ak1cosk2acosk2a)cosk2a)cosk2a)coskza)kf i .2sin k2acosk2a k；邑 si n2k2akik?2cosk1k2a sin k2acosk2a 0(k；k|)

19、i 2.2)s in 2k2a k1kfjsin 2k2acos2k2ak12k1k2 cos2k2a#解法三：(11)-(13)(10)+(12)(11) (13)(10) (12)(11) +(13)(12) -(10)(1 )?(1 )2k2Dsin k2a2D cosk2a ek2tgk2a k1(1令k1ak1ek1a(B(BF)F)(a)2k2C cosk2ak,F2Csin k2a (F B)e ik1a? k ctg a ? ?k)?(1 )2k2 1k2a,k2a,則tgctg2 2(k1k：)2 Ua22B)eiki a(c)(d)(f)合并（a）、b）:tg2k2a2k1

20、k2利用tg2k2a2tgk2a1 tg2k2a解法四：（最簡(jiǎn)方法-平移坐標(biāo)軸法）I:1 U。1 E 1(x 0)22n：2 E 2(0 x 2 a )2#212川：23u。3 E3(X2a )2(U0E)01212E022223(U02E)301 kf10(1)kf2(U0 E)22 k220(2)k22E. 2束縛態(tài)0 v E v U3 k：301kXAeBekXC sin k2xD cosk2xEekXFe1 ()有限3()有限因此AekX1(0)2(0), A D1(0)2(0), k1A k2C(5)2 (2a)3(2a),k2Ccos2k2a k2Dsin2k2ak1Fe 2k1a

21、2 (2a)3(2a),Csin2k2a Dcos2k2a Fe 2k1a(7)3由波函數(shù)的連續(xù)性，有代入k1 xFeC si n2k2a Dcos2k2a利用、(5)，得k1A sin2k2a A cos2k2a k2k1C cos2k2aA cos2k2ak1k2H)sin2k2a 2cos2k2a 0k1k2 r,2 Dsin 2k?a k1k2k1Dsi n2k2ak1k2“)sin 2k2a 2cos2k2a 0k1兩邊乘上(&k2)即得(k； kf)sin2k2a 2k1k2 cos2k2a 0分子間的范德瓦耳斯力所產(chǎn)生的勢(shì)能可以近似表示為0U(x)UU,0,a,b,b求束縛態(tài)的能

22、級(jí)所滿足的方程。 解：勢(shì)能曲線如圖示，分成四個(gè)區(qū)域求解。定態(tài)S-方程為2 d27T (X) U(X) (X)2 dx對(duì)各區(qū)域的具體形式為2E (x)U(x)(x0)n：U。(0x a)川：Ui(ab)IV:對(duì)于區(qū)域I,2U(x) 1(X)0 2 (U02(b x)E)2 (U12粒子不可能到達(dá)此區(qū)域,E)2 ET對(duì)于束縛態(tài)來說,ki2(U E)2k322 (Ui E)2Ae 1 BekX4k4 4各方程的解分別為kxC sin k2xk3XEeFeD cosk2xk3X4由波函數(shù)的有限性，得4()有限， E 04 Fe由波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)，得k3X 22(a)3(a)3(b)3(b)2(

23、0)A(ek3x3(a)3(a)4(b)B Ae k3x)A(ek3xAk1 (ek3aC sin k2be k3x) C sin k2a D cosk2a e k3a) Ck2 cosk2a Dk2 sin k2a D cosk2b Fe k3b由、，得4(bk1 ek1ak1 ak2 e 1Ck2 sin k2b Dk2 cosk2bFk3e k3bk1aC cosk2a Dcosk2aCsin k2a D cosk2aekiae 1(11)(k2 cosk2b)C (k2 sin k2b)D ( k3 sink2b)C (k3cosk2b)Dk2k2(-cosk2b sink2b)C (

24、-cosk2b sink2b)D 0 (12)kakg人e1 e 1k1令 千 百，則式變?yōu)閑 1 e 1 k2( sin k2a cosk2a)C ( cosk2a sink2a)D 0聯(lián)立(12)、(13)得，要此方程組有非零解，必須k2k2(cosk2b sin k2b)( sin k2bk3k3( sink2a cosk2a)( cosk2ak2即(cosk2a sin k2a)( -coskzbk3由、得cosk2b)sin k2a)sin kzb)(sin k?a coskza)k2(2sin k2b cosk2b) 0 k3且cosk2bcosk2ak3sin k2bs in k

25、2acosk2bs in k2asin k2(btgk2(b代入即得a)(a) (1邑 si nk2bsi nk2ak3k sink2bsin k2ak3cosk2bcosk2ak2k32k3sin k2bcosk2asin k2bcosk2a)cosk2(ba)(邑1) 0k3e k1a / (1 kek1aek1a)./即為所要求的束縛態(tài)tgk2(b a)kak2 e 1kakakaekpe 1臺(tái)匕冃匕k2級(jí)所滿足的方附：從方程之后也可以直接用行列式求解。見附頁。(ekiakiae i (ekia(ekiae kia)kia)k2sin k2ak2 cosk2asin k2bk2 cosk

26、2 bcosk2ak2 sin k2acosk2bk2 sin k2b0k3a(ekiakia )kiaki(ek ak 4 a /(e i e i )(e(ekia(kiki a(kiek3e k3ak2 cosk2asin k2bk2 cosk2bk2 sin k2acosk2bk2 sin k2bsin k2a sin k2b k2 cosk2bk 3ak2k3ek3akia )ek3e0k3acosk2a cosk2b k2 sin k2b20k3ae k3ak3ekqa3 sin k2asin k2asin k2b k；e k3a cosk2asin k2b)k3bcosk2acos

27、k2b k2- 2 - ksacoskzb kzkse ki(ekib e kib)(k2k3e k3bsink2acosk2b k2ecosk2b k3e k3bcosk2asin k2b k2ek a2i ) k2k3 cosk2(b a) k2 sin k2(b a)ek ae i )kik3sink2(b a) kik2 cosk2(bk3)k2 cosk2(b a) (k； kik3)sin k2(b2k3)k2cosk2(b a) (k2kik3)sin k2(b a)ek3bk3b cosk2a sin k2as in k2b)k3bk3ba)ea)e k3bk3b(ki(ki

28、k3)k2 (kf(ki此即為所求方程。k3)k2 (k；kik3)tgk2(b a)e k3b(k；(kf0kik3)tgk2(b a)e2kakik3)ek3)k2#kik3)tgk2(b a)(ki k3)k2e2kia補(bǔ)充練習(xí)題一i、設(shè)(x) Ae解：由歸一化條件,(為常數(shù))，有i A22x2d(x)A2-2x2d(x)A2i edy A利用e y dy二 A2、求基態(tài)微觀線性諧振子在經(jīng)典界限外被發(fā)現(xiàn)的幾率。1解：基態(tài)能量為E02設(shè)基態(tài)的經(jīng)典界限的位置為a ,則有1 2 2 Eoa在界限外發(fā)現(xiàn)振子的幾率為式中 1 t2/2式中 eV2當(dāng)x2時(shí)的值I1二 a2ao2了2T2Te?eaoe

29、aoe? ?x d ?e? x d (? ?擰佇 (0e?x )x2x2dxx)2d(2dy2y dyX）（偶函數(shù)性質(zhì)2y dy.2 12xe% dt(令y12t)1dt為正態(tài)分布函數(shù)（x）U2（,2）0.92廠 0.92丁 Z在經(jīng)典極限外發(fā)現(xiàn)振子的幾率為。2(10.92)0.16/2dt3、試證明（x）12x2e 2(23 x）是線性諧振子的波函數(shù),并求此波函數(shù)對(duì)應(yīng)的能量。證：線性諧振子的 S-方程為12 dx把（x）代入上式，有(X)2 (x) E(x)-d- (x) dxdx-2x22 (2x)2x(23 x)(6丄2x2)e22x29 3x3 ed dxx4932x 3d2 (x)dx

30、212x22xe 2/42(x(2e127 2)2x2533、(8 x 18 x)2x2(23x3x)(dx24x27 2) (x)(x)代入式左邊，得左邊2 d2 (x)dx22x(x)72右邊 E(X)(X)(x)時(shí)，左邊=右邊。3 dxe一維諧振子處在基態(tài)(X)(1)勢(shì)能的平均值動(dòng)能的平均值解:X2X41 2x22 (222P ；2 ；3x第三章12 2 x動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。1(1)? U -22X233 x)，是線性諧振子的波函數(shù),量子力學(xué)中的力學(xué)量】丄t2，求：x2e2 2x dx其對(duì)應(yīng)的能量12 12 22214(x)?2(x)dx2n ax213 5(2n 1)0 x e dx

31、腫n02 a22 c( p)21 2x22(12-2x：dx2x2dx)e32 2x dxx2e2 2x dx21412(x)dxp(x)2x2丄Pxe dxee2(x2e122x212 e2 俘)2丄Pxdxdxp22 2p22 2 2p22 2動(dòng)量幾率分布函數(shù)為(p) c(p).氫原子處在基態(tài)(r, , ) e ，求:V a；(1) r的平均值；2e(2) 勢(shì)能的平均值；r(3) 最可幾半徑；動(dòng)能的平均值；(5)動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。2解： r r (r, , ) da3 0 02r / ao 2.re r sin 0drd4ao2r/aodrnax in!x edxn 10an 143!3

32、ao3ao22()2 e3ao20 01 e 0 r2r/aor2sin drd d2 e2e2r/aor sindrd da；0 004e23 aoe02r/aordr4e212 e32ao_2aoaoUaor+dr球殼內(nèi)出現(xiàn)的幾率為電子出現(xiàn)在(r)dr(r, , )2r2 sin drd$e2r/aor2drao(r)d (r)dre ao4 (23ao2r/aor2r)re ao2r/aod (r)drr10,o,o,aod2時(shí),d2(r)(r)(r)dr2drr aoo為幾率最小位置(2ao83eao8rao*r2)e ao2r/a2222r a是最可幾半徑。(r2) r r r si

33、n1(sin )2sin13 aer/a0 2(er/a0)r2sin drd4ear /aoa。2a。1 d 2 dr/a02 .r (e 0)r sin dr dr2-)e r/a0 dra02(2r2a。 c( p)p(r)(r, , )dc(p) (2 )3/2r /a2r dripr cosesin(23/230)a2(2嚴(yán)30a22e a02 r(2)3/2 , a； iP 0r/a0 ,dri一 pr cosd(ddrd ddcos )r/ aiprcosredreiprir/apr0(eipr)drn ax in!x e dx n 10an 12 (2 嚴(yán)，a； iP1J(p)

34、a1(丄 Lp) a-212a； 3 ip4ip1a0 ( 2 a。44a02 22pT)24_.2a； 3 a0 (a0 p (2a 嚴(yán) (a2p2動(dòng)量幾率分布函數(shù)2)2(P)2)2c(p)28a： 52 (a p22)4#證明氫原子中電子運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的電流密度在球極坐標(biāo)中的分量是J erJe 0Jersin證：電子的電流密度為rsinn m dSJe eJe-2在球極坐標(biāo)中為1 e r式中er、e、e為單位矢量errlrsinJe J才de行1 e - r sinn m (errer sinm可見，* 1n mrnm中的JeJ erJee (. r sinr和部分是實(shí)數(shù)。rsinn m )i

35、e2 r sinJe 0(im| n2 im2)ersine m r sin#由上題可知，氫原子中的電流可以看作是由許多圓周電流組成的。(1)(2)求一圓周電流的磁矩。 證明氫原子磁矩為meMz(SI)me2 c原子磁矩與角動(dòng)量之比為(CGS)MzLz(SI)(CGS)這個(gè)比值稱為回轉(zhuǎn)磁比率。解：(1) 一圓周電流的磁矩為dM iA Je dS A為圓周電流，A為圓周所圍面積)e m rsin2dSe mrsini#_1/I/11/I0f(rsin )22e m 2 . r sin氫原子的磁矩為M dM00em220em220 0em00drd(dS rdrd )在CGS單位制中M原子磁矩與角動(dòng)量之比為Mz M匚匚一剛性轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2 2r sin drd(SI)子(SI)2 2r sin drd2 2r sin drdMz匚，它的能量的經(jīng)典表示式是2I，L為角動(dòng)量,(CGS)求與此對(duì)應(yīng)的量子體系在下列情況下的定態(tài)能量及波函數(shù):(1)(2)轉(zhuǎn)子繞一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)子繞一固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：解：(1)設(shè)該固定軸沿Z軸方向，則有L2哈米頓算符其本征方程為2IH與t無關(guān)，屬定態(tài)問題)2 d22T廠( d2 (2取其解為(由波函數(shù)的單值性，(即