矢量三角形法在力平衡問題中妙用

1、矢量三角形法矢量三角形法在力的平衡問題中的妙用在力的平衡問題中的妙用 學(xué)生在解靜態(tài)平衡問題時(shí)，通常運(yùn)用平行四邊形定則運(yùn)算，難度不算大。可一旦轉(zhuǎn)入多個(gè)力的求和問題，對于動(dòng)態(tài)平衡問題，用正交分解法取代平行四邊形法則，雖然可以使問題簡化，但計(jì)算仍顯得繁瑣。如果遇上了動(dòng)態(tài)平衡的問題，因疑點(diǎn)增多，解破起來頗感棘手，若用矢量三角形法則求解，卻能一改平行四邊形法則和正交分解法繁瑣的計(jì)算程序，可謂之柳暗花明。下面讓我們上起來學(xué)習(xí)矢量三角形法在靜態(tài)平衡、動(dòng)態(tài)平衡和運(yùn)動(dòng)的合成問題中的妙用. 。 一、矢量三角形的建立v矢量三角形1：兩分力的合力為，構(gòu)成平行四邊形，如圖1甲，該平行四邊形含有兩個(gè)全等的三角形，每一個(gè)三

2、角形都包含了三個(gè)矢量的大小和方向，因此，如果我們只取其中的一個(gè)三角形，如圖1乙，利用三角形知識求力的問題，則很多力學(xué)問題就會變的簡單的多了。圖1乙中矢量三角形的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：矢量三角形2：三個(gè)力使物體處于平衡狀態(tài)，如圖2甲，由力的平衡知識知道，F(xiàn)1、F2合力與力F3等大、反向，如果把F3平移到F3/的位置上，則構(gòu)成如圖2乙的三角形。圖2乙中矢量三角形的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:l結(jié)論:三力合力為零的條件:1矢量三角形在力的靜態(tài)平衡問題中的應(yīng)用矢量三角形在力的靜態(tài)平衡問題中的應(yīng)用二、矢量三角形的解題應(yīng)用若物體受到三個(gè)力（不只三個(gè)力時(shí)可以先若物體受到三個(gè)力（不只三個(gè)力時(shí)可以先合成三個(gè)力）的作用而處于平衡狀態(tài)，

3、則合成三個(gè)力）的作用而處于平衡狀態(tài)，則這三個(gè)力一定能構(gòu)成一個(gè)力的矢量三角形。這三個(gè)力一定能構(gòu)成一個(gè)力的矢量三角形。三角形三邊的長度對應(yīng)三個(gè)力的大小，夾三角形三邊的長度對應(yīng)三個(gè)力的大小，夾角確定各力的方向角確定各力的方向例1. 如圖所示，一個(gè)物體受到七個(gè)力的作用，其中構(gòu)成一個(gè)等六邊形，已知，則求物體受到的合外力的大小。解析：根據(jù)矢量三角形1可以知道力F1、F2合力大小等于力F8，力F8與力F3合力大小等于力F7，即合力的大小等于力F7；同理可知F6 、 F5 、 F4 合力的大小等于力F7，所以物體受到的合外力的大小等于例2如圖所示，光滑的小球靜止在斜面和木版之間，已知球重為G，斜面的傾角為，求

4、下列情況下小球?qū)π泵婧蛽醢宓膲毫Γ浚?）、擋板豎直放置（2）、擋板與斜面垂直分析與解答：小球受力如圖所示，小球在重力、斜面的支持力和擋板的支持力三個(gè)力共同的作用下處于平衡狀態(tài)，因其中兩力之和恰好與第三力大小相等方向相反，故這三個(gè)力可構(gòu)成力的三角形：GN1N2GN2N1由矢量三角形的邊角關(guān)系可知：當(dāng)擋板豎直放置時(shí)， N1=Gtg N2=G/cos當(dāng)擋板與斜面垂直放置時(shí)，N1=Gsin N2=Gcos這樣比我們建立直角坐標(biāo)，再利用正交分解法來求解就簡單多了。2矢量三角形在力的動(dòng)態(tài)平衡問題中的應(yīng)用矢量三角形在力的動(dòng)態(tài)平衡問題中的應(yīng)用例3如圖所示，光滑的小球靜止在斜面和豎直放置的木板之間，已知球重為G

5、，斜面的傾角為，現(xiàn)使木板沿逆時(shí)針方向繞O點(diǎn)緩慢移動(dòng)，求小球?qū)π泵婧蛽醢宓膲毫υ鯓幼兓?？分析與解答：分析小球受力如圖所示，小球受重力、斜面的支持力和擋板的支持力，在者三個(gè)力的作用下處于平衡狀態(tài)，這三個(gè)力可構(gòu)成力的三角形（如右圖所示）擋板繞O點(diǎn)緩慢移動(dòng)，可視為動(dòng)態(tài)平衡。因擋板對小球的支持力N1的方向與水平方向之間的夾角由900緩慢變小，重力的大小和方向都不變，斜面的支持力N2的方向也不變，由矢量三角形知斜面的支持力N2必將變小，而擋板的支持力N1將先變小后變大 GN2N1GN2N1GN1N2O例4 如圖4所示，電燈懸掛于O點(diǎn)，三根繩子的拉力分別為TA、TB、TC，保持O點(diǎn)的位置不變，繩子的懸點(diǎn)B也

6、不變，則懸點(diǎn)A向上移動(dòng)的過程中，下列說法正確的是（ ）A、 TA、TB一直減少；B、 TA一直增大，TB一直減少；C、 TA先增大后減少，TB先減少后增大；D、TA先減少后增大，TB一直減少；AOBC圖4析：對于這道題，若用常規(guī)的正交分解法，先求出TA、TB的表達(dá)式，再分析當(dāng)角（TA與水平方向所成的夾角）改變時(shí)TA、TB的大小變化，問題自然會變得相當(dāng)復(fù)雜，而且也不能一眼就可看出正確的結(jié)果。若利用矢量三角形，可作如下的分析：若O點(diǎn)始終處于平衡狀態(tài)，且只受TA、TB、TC三個(gè)力作用，則這三個(gè)力構(gòu)成如下圖所示的矢量三角形。在A點(diǎn)位置向上移動(dòng)的過程中，因TC的大小和方向始終不變，TB的方向也不變，即在

7、力的三角形中，TC的長度和方向不變，TB與TC的夾角大小不變，A點(diǎn)向上移動(dòng)，且TA與水平方向的夾角由90度逐漸變小，由矢量三角形圖的變化可知，TA先減少后增大，而TB則一直減少。答案為D。TBTATC=G圖5例5 如圖所示，兩個(gè)光滑的球體，直徑均為d，置于直徑為D的圓桶內(nèi)，且dD2d，在相互接觸的三點(diǎn)A、B、C受到的作用力分別為F1、F2、F3，如果將桶的直徑加大，但仍小于2d，則F1、F2、F3的變化情況是（ ）AF1增大，F(xiàn)2不變，F(xiàn)3增大；BF1減少，F(xiàn)2不變，F(xiàn)3減少；CF1減少，F(xiàn)2減少，F(xiàn)3增大；DF1增大，F(xiàn)2減少，F(xiàn)3減少；分析：由整體法易知F2的大小不變，再隔離分析上面的小球

8、，小球受重力G、桶向左的支持力F和下面小球斜向上的支持力N三個(gè)力的作用，且處于平衡狀態(tài)，這三個(gè)力構(gòu)成矢量三角形，G的大小和方向都不變,F的方向始終水平向左，當(dāng)桶的直徑增大時(shí)，N與水平方向的夾角變小，由矢量三角形圖知F增大，所以答案為A。FGN3構(gòu)建矢量三角形，處理最值問題構(gòu)建矢量三角形，處理最值問題 ：例6. 如圖所示，在輕質(zhì)細(xì)線的下端懸掛一個(gè)質(zhì)量為m的物體，若用力F拉物體，使細(xì)線偏離豎直方向的夾角為角，且保持角不變，求拉力F的最小值。解析：以m物體為研究對象，繩的張力與對m的拉力F的合力F”與物體A的重力等大反向，由于繩的張力的方向不變，根據(jù)圖解可以看出，當(dāng)F垂直于力時(shí)，F(xiàn)取最小值 。 ，4

9、.構(gòu)建矢量三角形，找出幾何三角形，利用三角形相似解題正確作出力的三角形后，如能判定力的三角形與圖形中已知長度的三角形（幾何三角形）相似，則可用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出三角形中力的比例關(guān)系，從而達(dá)到求未知量的目的。例例7、半徑為的球形物體固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑輪，滑輪到球面的距離為，輕繩的一端系一小球，靠放在半球上的點(diǎn)，另一端繞過定滑輪后用力拉住，使小球靜止，如圖1-1所示，現(xiàn)緩慢地拉繩，在使小球由到的過程中，半球?qū)π∏虻闹С至屠K對小球的拉力的大小變化的情況是（）解析：解析：如圖所示，對小球：受力平衡，由于緩慢地拉繩，所以小球運(yùn)動(dòng)緩慢視為始終處于平衡狀態(tài)，其中重力不變，支持力，繩子的拉力一直在改變，但是總形成封閉的動(dòng)態(tài)三角形（圖中小陰影三角形）。由于在這個(gè)三角形中有四個(gè)變量：支持力的大小和方向、繩子的拉力