離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)頻域分析

1、第六章第六章 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析 本章內(nèi)容本章內(nèi)容 6.1 z6.1 z變換的定義變換的定義 6.2 z6.2 z變換的基本性質(zhì)變換的基本性質(zhì) 6.3 z6.3 z反變換反變換 6.4 z6.4 z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系變換與拉普拉斯變換的關(guān)系 6.5 6.5 離散時(shí)間系統(tǒng)的離散時(shí)間系統(tǒng)的z z變換分析法變換分析法 1.1. Z Z變換定義及其收斂域變換定義及其收斂域（1 1）變換域的基本概念）變換域的基本概念 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的常用分析方法離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的常用分析方法 時(shí)域分析法：時(shí)域分析法： 系統(tǒng)與信號(hào)系統(tǒng)與信號(hào)不需任何變換而在時(shí)域直接分析、運(yùn)

2、算。不需任何變換而在時(shí)域直接分析、運(yùn)算。 變換域分析法：變換域分析法： 通過變換，建立時(shí)域與其頻譜間的內(nèi)在聯(lián)系，利用通過變換，建立時(shí)域與其頻譜間的內(nèi)在聯(lián)系，利用 頻譜分析的觀點(diǎn)方法對(duì)系統(tǒng)與信號(hào)進(jìn)行分析和運(yùn)算。頻譜分析的觀點(diǎn)方法對(duì)系統(tǒng)與信號(hào)進(jìn)行分析和運(yùn)算。6.1 z z變換的定義變換的定義 變換域分析法：變換域分析法： 頻域分析法：離散時(shí)間的傅立葉變換頻域分析法：離散時(shí)間的傅立葉變換 （4 4種情形）種情形） 頻域分析法：頻域分析法：z z變換變換 （連續(xù)時(shí)間：拉氏變換）（連續(xù)時(shí)間：拉氏變換） 變換域分析法的優(yōu)點(diǎn)變換域分析法的優(yōu)點(diǎn) 可使信號(hào)與系統(tǒng)的分析、運(yùn)算變得簡(jiǎn)便。可使信號(hào)與系統(tǒng)的分析、運(yùn)算變

3、得簡(jiǎn)便。 例：卷積和計(jì)算例：卷積和計(jì)算 y(n)=x(n)y(n)=x(n)h(n)h(n) Y(z)=X(z)H(z) Y(z)=X(z)H(z)6.1 z z變換的定義變換的定義（續(xù)）（續(xù)）利用變換域分析法求解利用變換域分析法求解LTILTI系統(tǒng)輸出的思路系統(tǒng)輸出的思路 復(fù)復(fù)頻域頻域 z z變換變換 LTILTI系統(tǒng)系統(tǒng)信號(hào)信號(hào)時(shí)域解時(shí)域解系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)信號(hào)信號(hào)z變換變換z變換解變換解時(shí)域：時(shí)域：復(fù)頻域：復(fù)頻域： z z反變換反變換h(n)h(n)y(n)=x(n)y(n)=x(n)h(n)h(n)Y(z)=X(z)H(z)Y(z)=X(z)H(z)H(Z)H(Z)X(Z)X(Z)x(n

4、)x(n)6.1 z z變換的定義變換的定義（續(xù)）（續(xù)）（2 2）Z Z變換定義變換定義 （ Z Z變換通常表達(dá)式：變換通常表達(dá)式： X(z)=Zx(n) X(z)=Zx(n) ） 通常通常z z變換為一有理分式，它可由分式多項(xiàng)式表示變換為一有理分式，它可由分式多項(xiàng)式表示: :nnz ) n( x) z (X為為復(fù)復(fù)變變量量 r re ez z 其其中中：j jQ(z)Q(z)P(z)P(z)X(z)X(z)分子多項(xiàng)式的根是分子多項(xiàng)式的根是x(z)x(z)的零點(diǎn)的零點(diǎn)分母多項(xiàng)式的根是分母多項(xiàng)式的根是x(z)x(z)的極點(diǎn)的極點(diǎn)（r:r:矢徑，矢徑，：復(fù)角）：復(fù)角）6.1 z z變換的定義變換的

5、定義（續(xù)）（續(xù)）（3 3）Z Z變換收斂域（定義變換收斂域（定義） 求序列的求序列的z z變換時(shí)需變換時(shí)需 同時(shí)求出其收斂域。同時(shí)求出其收斂域。 |z )n(x|nnxxR| z |Rj jr re ez z6.1 z z變換的定義變換的定義（續(xù)）（續(xù)） 1 1）序列特性對(duì)其收斂域的影響）序列特性對(duì)其收斂域的影響 右邊序列右邊序列 z z變換收斂域變換收斂域 左邊序列左邊序列 z z變換收斂域變換收斂域 雙邊序列雙邊序列 z z變換收斂域變換收斂域| zRx n1n2nnxRz|0nxxRzR|若若n n2 200，則，則 0 0|z|R|z|Rx+x+若若n n1 10 0，則，則 R Rx

6、-x- R Rx x+ + , ,則不收斂則不收斂6.1 z z變換的定義變換的定義（續(xù)）（續(xù)） 2 2）有限長序列的）有限長序列的z z變換收斂域變換收斂域 有限長序列有限長序列 n n1 1nnnn2 2 z z變換收斂域變換收斂域 （三種情形三種情形） 有限長左序列：有限長左序列： n n1 10, n0 0 z z變換收斂域：變換收斂域： 有限長雙邊序列：有限長雙邊序列：n n1 1 0, n0 0 z z變換收斂域：變換收斂域： 因果序列是一種右邊序列，其因果序列是一種右邊序列，其z z變換收斂域變換收斂域包括無窮大包括無窮大|0z|0z|0z6.1 z z變換的定義變換的定義（續(xù)）

7、（續(xù)） 3 3）Z Z變換收斂域情形的圖解變換收斂域情形的圖解 （1 1）（2 2） （3 3）（4 4） 收斂域與序列的相互關(guān)系收斂域與序列的相互關(guān)系： 因果序列因果序列 右邊序列右邊序列 ( ( 且且n n1 100） 非因果序列非因果序列 左邊序列左邊序列 4 4）收斂域的求法：）收斂域的求法： 由收斂域定義求出由收斂域定義求出z z變換的收斂域變換的收斂域 6.1 z z變換的定義變換的定義（續(xù)）（續(xù)） 例例6-16-1 求序列求序列 x(n)=ax(n)=an nu(n ) u(n ) 的的z z變換。變換。 解解 由由z z變換定義式知變換定義式知： 其收斂域?yàn)椋浩涫諗坑驗(yàn)椋?|z

8、|a|z|a| 由右邊序列特性及由右邊序列特性及z z變換極點(diǎn)也可知收斂域?yàn)椋鹤儞Q極點(diǎn)也可知收斂域?yàn)椋簗z|a| |z|a| 1 10 0n nn n1 1n nn nn na az z1 11 1) )( (a az z z z a aX X( (z z) )n(u|az|az-1-1|1|1時(shí)時(shí)6.1 z z變換的定義變換的定義（續(xù)）（續(xù)） 求序列求序列 x(n)= -ax(n)= -an nu(-n-1 ) u(-n-1 ) 的的z z變換。變換。 解解 由由z z變換定義式知變換定義式知, , ,有：有： 其收斂域?yàn)椋浩涫諗坑驗(yàn)椋?|z|a|z|a| 由左邊序列特性及由左邊序列特性及z

9、 z變換極點(diǎn)也可知收斂域?yàn)椋鹤儞Q極點(diǎn)也可知收斂域?yàn)椋簗z|a| |z|a| 11011n111nx- - -n nn n- -n nn n- -n nn nn nn nn na az z1 11 1z za a1 11 1z z) )( (a az za az za az z ) )( (X X( (z z) )|a|a-1-1z|1z|a| u(n) |z|a| x(n)=-a x(n)=-an nu(-n-1) |z|a| u(-n-1) |z|a| 由上看出，序列不同由上看出，序列不同, ,其其z z變換可能相同，但其收斂域不同。變換可能相同，但其收斂域不同。1az11)z(X收斂域：收

10、斂域：z變換：變換：6.1 z z變換的定義變換的定義（續(xù)）（續(xù)） a an n （n n00） a an nu(n) u(n) -b -bn n （n-1n-1） -b-bn nu(-n-1) u(-n-1) 解解 由于由于 x(n)= ax(n)= an nu(n)u(n)- b- bn nu(-n-1)u(-n-1) 收斂域：收斂域： |a|z|b|a|z|b| 例例6-26-2 求雙邊序列的求雙邊序列的z z變換及收斂域變換及收斂域（ |a| |b| |a| |b| 時(shí)，有公共收斂域，否則不收斂。）時(shí)，有公共收斂域，否則不收斂。）X(n)=X(n)=)bz)(az()ba2z(zbz1

11、1az11)z(X11z變換：變換：6.1 z z變換的定義變換的定義（續(xù)）（續(xù)）結(jié)論結(jié)論X(z)X(z)的極的極點(diǎn)相同時(shí)點(diǎn)相同時(shí)其收斂域其收斂域可能不同可能不同所對(duì)應(yīng)的所對(duì)應(yīng)的序列亦不序列亦不相同相同相同極點(diǎn)時(shí)的幾種收斂域情形相同極點(diǎn)時(shí)的幾種收斂域情形（3個(gè)極點(diǎn)）個(gè)極點(diǎn)） 2.2.常用常用z z變換變換 單位沖激序列單位沖激序列(n):(n): 指數(shù)序列指數(shù)序列a an nu(n):u(n): 單位階躍序列單位階躍序列u(n):u(n):6.1 z z變換的定義變換的定義（續(xù)）（續(xù)） 6.1 z z變換的定義變換的定義（續(xù)）（續(xù)） 設(shè)：設(shè)： x(n)x(n)的的z z變換為：變換為：x(z)

12、=Zx(n) x(z)=Zx(n) y(n) y(n)的的z z變換為：變換為：y(z)=Zy(n)y(z)=Zy(n) 1 1）線性：）線性：Zax(n)+by(n)=aX(z)+bY(z)Zax(n)+by(n)=aX(z)+bY(z) 其收斂域?yàn)閮烧叩墓膊糠制涫諗坑驗(yàn)閮烧叩墓膊糠?若有零極點(diǎn)對(duì)消，則收斂域擴(kuò)大。若有零極點(diǎn)對(duì)消，則收斂域擴(kuò)大。）（xxRzR|）（yy|RzR6.2 z z變換的基本性質(zhì)變換的基本性質(zhì) 2 2）序列移位：）序列移位： Zx(nZx(nm)=zm)=zm m X(z) X(z) 若若x(n)x(n)為雙邊序列：移位后收斂域不變?yōu)殡p邊序列：移位后收斂域不變 若

13、若x(n)x(n)為單邊（或有限長雙邊）序列：為單邊（或有限長雙邊）序列： 可能會(huì)在可能會(huì)在 z=0 z=0 或或 z=z= 不收斂不收斂 3 3）乘以指數(shù)序列（）乘以指數(shù)序列（z z域尺度變換）域尺度變換） ZaZan nx(n)=X(ax(n)=X(a-1-1z) z) （收斂域（收斂域: |a|R: |a|Rx-x-|z| |a|R|z| |a|Rx+x+ ）6.2 z z變換的基本性質(zhì)變換的基本性質(zhì)（續(xù)）（續(xù)） 5) 5) 反折序列反折序列 Zx(-n) = X(1/z) Zx(-n) = X(1/z) 6) 6) 初值定理初值定理 若若x(n)x(n)為因果序列為因果序列 x(n)=

14、0 x(n)=0，n n 0 0 ， 則：則：)0(x)z(Xlimz）（xxR1|z|R16.2 z z變換的基本性質(zhì)變換的基本性質(zhì)（續(xù)）（續(xù)） 7)7)序列卷積和（時(shí)域卷積和定理）序列卷積和（時(shí)域卷積和定理）6.2 z z變換的基本性質(zhì)變換的基本性質(zhì)（續(xù)）（續(xù)） 6.2 z z變換的基本性質(zhì)變換的基本性質(zhì)（續(xù)）（續(xù)）其他性質(zhì)：其他性質(zhì)： 終值定理終值定理 序列的線性加權(quán)序列的線性加權(quán) 有限項(xiàng)累加特性有限項(xiàng)累加特性 復(fù)卷積定理復(fù)卷積定理 帕塞瓦定理帕塞瓦定理 . .6.2 z z變換的基本性質(zhì)變換的基本性質(zhì)（續(xù)）（續(xù)） 1. 1. z z反變換反變換 根據(jù)根據(jù)z z變換及其收斂域還原其序列變

15、換及其收斂域還原其序列( ( c c為為X(z)X(z)收斂域內(nèi)的一條逆時(shí)針閉合曲線收斂域內(nèi)的一條逆時(shí)針閉合曲線 ) )6.3 z z反反變換變換 根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論，根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論，X(z)X(z)在解析的環(huán)狀區(qū)域內(nèi)可展成在解析的環(huán)狀區(qū)域內(nèi)可展成 羅朗級(jí)數(shù)羅朗級(jí)數(shù) 其羅朗級(jí)數(shù)系數(shù)即為其羅朗級(jí)數(shù)系數(shù)即為z z反變換反變換x(n)x(n) （可由柯西積分定理證明）可由柯西積分定理證明） z z反變換通式：反變換通式： x(n) =Zx(n) =Z-1-1X(z)X(z)6.3 z z反變換反變換（續(xù)）（續(xù)） 2. 2. 求解求解z z反變換的三種常用方法反變換的三種常用方法 留數(shù)法（圍線積分法）

16、留數(shù)法（圍線積分法） 部分分式展開法部分分式展開法 冪級(jí)數(shù)展開法冪級(jí)數(shù)展開法（長除法）（長除法） 6.3 z z反變換反變換（續(xù)）（續(xù)） * *留數(shù)法（圍線積分法）留數(shù)法（圍線積分法） 根據(jù)留數(shù)定理，若根據(jù)留數(shù)定理，若X(z)zX(z)zn-1n-1在圍線在圍線c c內(nèi)有內(nèi)有K K個(gè)極點(diǎn)個(gè)極點(diǎn)z zk ， 則：則：（即：（即： Z Z反變換反變換x(n)x(n)為圍線為圍線c c內(nèi)所有極點(diǎn)留數(shù)之和內(nèi)所有極點(diǎn)留數(shù)之和 ） X(n) X(n) 6.3 z z反變換反變換（續(xù)）（續(xù)）6.3 z z反變換反變換（續(xù)）（續(xù)） 留數(shù)求解：留數(shù)求解： z=zz=zr rz=zz=zr rz=zz=zr rz

17、=zz=zr r 留數(shù)輔助定理：留數(shù)輔助定理： 若圍線內(nèi)、外分別存在若圍線內(nèi)、外分別存在K K和和M M個(gè)極點(diǎn)，則存在個(gè)極點(diǎn)，則存在 下述關(guān)系：下述關(guān)系： 應(yīng)用圍線外留數(shù)時(shí)的條件：應(yīng)用圍線外留數(shù)時(shí)的條件： 被積函數(shù)的分母多項(xiàng)式階被積函數(shù)的分母多項(xiàng)式階數(shù)較分子多項(xiàng)式高數(shù)較分子多項(xiàng)式高2 2階以上階以上z=zz=zm mz=zz=zk k6.3 z z反變換反變換（續(xù)）（續(xù)） 收斂域：收斂域： 1/4|z|41/4|z|4 解解 z z反變換反變換x(n)x(n)為：為： 例例 用留數(shù)法求用留數(shù)法求z z反變換反變換x(n)x(n)41z)(z4(z)z(X26.3 z z反變換反變換（續(xù)）（續(xù)）

18、 分析被積函數(shù)在閉環(huán)圍線分析被積函數(shù)在閉環(huán)圍線c內(nèi)外的極點(diǎn)、零點(diǎn)情況。內(nèi)外的極點(diǎn)、零點(diǎn)情況。 分析分析： n+1n+1 0,0, 即即 n-1n-1時(shí)，時(shí)，極點(diǎn)極點(diǎn)：z=1/4, z=4z=1/4, z=4 n+1n+1 R|z|Rx-x- 時(shí)（右序列），時(shí)（右序列），X(z)X(z)展成展成z z的的降冪級(jí)數(shù)降冪級(jí)數(shù) X(z) = x(n)zX(z) = x(n)zn n + x(n-1)z+ x(n-1)zn-1 n-1 + x(n-2)z+ x(n-2)zn-2 n-2 + + 收斂域收斂域 |z|R|z| 3|z| 3 解解 由收斂域判定由收斂域判定x(n)x(n)為右邊序列為右邊序列

19、 （ |z| 3 |z| 3 ） 將原式按將原式按z z的降冪排列的降冪排列: : 例例6-4 6-4 用冪級(jí)數(shù)法求用冪級(jí)數(shù)法求z z反變換反變換x(n)x(n)21-13z13z)z(X）（6.3 z z反反變換變換（續(xù)）（續(xù)） 進(jìn)行多項(xiàng)式長除進(jìn)行多項(xiàng)式長除 6.3 z z反反變換變換（續(xù)）（續(xù)） 歸納出冪系數(shù)通式歸納出冪系數(shù)通式 由此得：由此得：6.3 z z反反變換變換（續(xù)）（續(xù)） 1. 1. 拉普拉斯變換與拉普拉斯變換與z z變換定義式的比較：變換定義式的比較： z=ez=esTsT 時(shí)時(shí)抽樣序列的抽樣序列的z z變換變換就等于就等于理想采樣信號(hào)的拉普拉斯變換理想采樣信號(hào)的拉普拉斯變換

20、。6.4 z z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系變換與拉普拉斯變換的關(guān)系拉普拉斯變換拉普拉斯變換Z Z變換變換抽樣抽樣f(n)=f(nTf(n)=f(nT）映射映射z=ez=esTsTsTez| ) z(F) s (F 2. 2. 拉普拉斯變換與拉普拉斯變換與z z變換的數(shù)式關(guān)系：變換的數(shù)式關(guān)系： 復(fù)平面：復(fù)平面： z z平面平面 s s平面平面 坐標(biāo)系：坐標(biāo)系： 映射關(guān)系：映射關(guān)系：TerT模與實(shí)部對(duì)應(yīng)模與實(shí)部對(duì)應(yīng)相角與虛部對(duì)應(yīng)相角與虛部對(duì)應(yīng)jsjrez （極坐標(biāo)）（極坐標(biāo)）（直角坐標(biāo)）（直角坐標(biāo)） sTez j j) )T T( (e ez zjrez 6.4 z z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系變換與拉普拉斯變換的關(guān)系（續(xù)）（續(xù)） 3. 3. 拉普拉斯變換與拉普拉斯變換與z z變換的映射關(guān)系圖變