離散時間信號與系統(tǒng)頻域分析

1、第六章第六章 離散時間信號與系統(tǒng)的頻域分析離散時間信號與系統(tǒng)的頻域分析 本章內容本章內容 6.1 z6.1 z變換的定義變換的定義 6.2 z6.2 z變換的基本性質變換的基本性質 6.3 z6.3 z反變換反變換 6.4 z6.4 z變換與拉普拉斯變換的關系變換與拉普拉斯變換的關系 6.5 6.5 離散時間系統(tǒng)的離散時間系統(tǒng)的z z變換分析法變換分析法 1.1. Z Z變換定義及其收斂域變換定義及其收斂域（1 1）變換域的基本概念）變換域的基本概念 離散時間信號與系統(tǒng)的常用分析方法離散時間信號與系統(tǒng)的常用分析方法 時域分析法：時域分析法： 系統(tǒng)與信號系統(tǒng)與信號不需任何變換而在時域直接分析、運

2、算。不需任何變換而在時域直接分析、運算。 變換域分析法：變換域分析法： 通過變換，建立時域與其頻譜間的內在聯(lián)系，利用通過變換，建立時域與其頻譜間的內在聯(lián)系，利用 頻譜分析的觀點方法對系統(tǒng)與信號進行分析和運算。頻譜分析的觀點方法對系統(tǒng)與信號進行分析和運算。6.1 z z變換的定義變換的定義 變換域分析法：變換域分析法： 頻域分析法：離散時間的傅立葉變換頻域分析法：離散時間的傅立葉變換 （4 4種情形）種情形） 頻域分析法：頻域分析法：z z變換變換 （連續(xù)時間：拉氏變換）（連續(xù)時間：拉氏變換） 變換域分析法的優(yōu)點變換域分析法的優(yōu)點 可使信號與系統(tǒng)的分析、運算變得簡便?？墒剐盘柵c系統(tǒng)的分析、運算變

3、得簡便。 例：卷積和計算例：卷積和計算 y(n)=x(n)y(n)=x(n)h(n)h(n) Y(z)=X(z)H(z) Y(z)=X(z)H(z)6.1 z z變換的定義變換的定義（續(xù)）（續(xù)）利用變換域分析法求解利用變換域分析法求解LTILTI系統(tǒng)輸出的思路系統(tǒng)輸出的思路 復復頻域頻域 z z變換變換 LTILTI系統(tǒng)系統(tǒng)信號信號時域解時域解系統(tǒng)函數系統(tǒng)函數信號信號z變換變換z變換解變換解時域：時域：復頻域：復頻域： z z反變換反變換h(n)h(n)y(n)=x(n)y(n)=x(n)h(n)h(n)Y(z)=X(z)H(z)Y(z)=X(z)H(z)H(Z)H(Z)X(Z)X(Z)x(n

4、)x(n)6.1 z z變換的定義變換的定義（續(xù)）（續(xù)）（2 2）Z Z變換定義變換定義 （ Z Z變換通常表達式：變換通常表達式： X(z)=Zx(n) X(z)=Zx(n) ） 通常通常z z變換為一有理分式，它可由分式多項式表示變換為一有理分式，它可由分式多項式表示: :nnz ) n( x) z (X為為復復變變量量 r re ez z 其其中中：j jQ(z)Q(z)P(z)P(z)X(z)X(z)分子多項式的根是分子多項式的根是x(z)x(z)的零點的零點分母多項式的根是分母多項式的根是x(z)x(z)的極點的極點（r:r:矢徑，矢徑，：復角）：復角）6.1 z z變換的定義變換的

5、定義（續(xù)）（續(xù)）（3 3）Z Z變換收斂域（定義變換收斂域（定義） 求序列的求序列的z z變換時需變換時需 同時求出其收斂域。同時求出其收斂域。 |z )n(x|nnxxR| z |Rj jr re ez z6.1 z z變換的定義變換的定義（續(xù)）（續(xù)） 1 1）序列特性對其收斂域的影響）序列特性對其收斂域的影響 右邊序列右邊序列 z z變換收斂域變換收斂域 左邊序列左邊序列 z z變換收斂域變換收斂域 雙邊序列雙邊序列 z z變換收斂域變換收斂域| zRx n1n2nnxRz|0nxxRzR|若若n n2 200，則，則 0 0|z|R|z|Rx+x+若若n n1 10 0，則，則 R Rx

6、-x- R Rx x+ + , ,則不收斂則不收斂6.1 z z變換的定義變換的定義（續(xù)）（續(xù)） 2 2）有限長序列的）有限長序列的z z變換收斂域變換收斂域 有限長序列有限長序列 n n1 1nnnn2 2 z z變換收斂域變換收斂域 （三種情形三種情形） 有限長左序列：有限長左序列： n n1 10, n0 0 z z變換收斂域：變換收斂域： 有限長雙邊序列：有限長雙邊序列：n n1 1 0, n0 0 z z變換收斂域：變換收斂域： 因果序列是一種右邊序列，其因果序列是一種右邊序列，其z z變換收斂域變換收斂域包括無窮大包括無窮大|0z|0z|0z6.1 z z變換的定義變換的定義（續(xù)）

7、（續(xù)） 3 3）Z Z變換收斂域情形的圖解變換收斂域情形的圖解 （1 1）（2 2） （3 3）（4 4） 收斂域與序列的相互關系收斂域與序列的相互關系： 因果序列因果序列 右邊序列右邊序列 ( ( 且且n n1 100） 非因果序列非因果序列 左邊序列左邊序列 4 4）收斂域的求法：）收斂域的求法： 由收斂域定義求出由收斂域定義求出z z變換的收斂域變換的收斂域 6.1 z z變換的定義變換的定義（續(xù)）（續(xù)） 例例6-16-1 求序列求序列 x(n)=ax(n)=an nu(n ) u(n ) 的的z z變換。變換。 解解 由由z z變換定義式知變換定義式知： 其收斂域為：其收斂域為： |z

8、|a|z|a| 由右邊序列特性及由右邊序列特性及z z變換極點也可知收斂域為：變換極點也可知收斂域為：|z|a| |z|a| 1 10 0n nn n1 1n nn nn na az z1 11 1) )( (a az z z z a aX X( (z z) )n(u|az|az-1-1|1|1時時6.1 z z變換的定義變換的定義（續(xù)）（續(xù)） 求序列求序列 x(n)= -ax(n)= -an nu(-n-1 ) u(-n-1 ) 的的z z變換。變換。 解解 由由z z變換定義式知變換定義式知, , ,有：有： 其收斂域為：其收斂域為： |z|a|z|a| 由左邊序列特性及由左邊序列特性及z

9、 z變換極點也可知收斂域為：變換極點也可知收斂域為：|z|a| |z|a| 11011n111nx- - -n nn n- -n nn n- -n nn nn nn nn na az z1 11 1z za a1 11 1z z) )( (a az za az za az z ) )( (X X( (z z) )|a|a-1-1z|1z|a| u(n) |z|a| x(n)=-a x(n)=-an nu(-n-1) |z|a| u(-n-1) |z|a| 由上看出，序列不同由上看出，序列不同, ,其其z z變換可能相同，但其收斂域不同。變換可能相同，但其收斂域不同。1az11)z(X收斂域：收

10、斂域：z變換：變換：6.1 z z變換的定義變換的定義（續(xù)）（續(xù)） a an n （n n00） a an nu(n) u(n) -b -bn n （n-1n-1） -b-bn nu(-n-1) u(-n-1) 解解 由于由于 x(n)= ax(n)= an nu(n)u(n)- b- bn nu(-n-1)u(-n-1) 收斂域：收斂域： |a|z|b|a|z|b| 例例6-26-2 求雙邊序列的求雙邊序列的z z變換及收斂域變換及收斂域（ |a| |b| |a| |b| 時，有公共收斂域，否則不收斂。）時，有公共收斂域，否則不收斂。）X(n)=X(n)=)bz)(az()ba2z(zbz1

11、1az11)z(X11z變換：變換：6.1 z z變換的定義變換的定義（續(xù)）（續(xù)）結論結論X(z)X(z)的極的極點相同時點相同時其收斂域其收斂域可能不同可能不同所對應的所對應的序列亦不序列亦不相同相同相同極點時的幾種收斂域情形相同極點時的幾種收斂域情形（3個極點）個極點） 2.2.常用常用z z變換變換 單位沖激序列單位沖激序列(n):(n): 指數序列指數序列a an nu(n):u(n): 單位階躍序列單位階躍序列u(n):u(n):6.1 z z變換的定義變換的定義（續(xù)）（續(xù)） 6.1 z z變換的定義變換的定義（續(xù)）（續(xù)） 設：設： x(n)x(n)的的z z變換為：變換為：x(z)

12、=Zx(n) x(z)=Zx(n) y(n) y(n)的的z z變換為：變換為：y(z)=Zy(n)y(z)=Zy(n) 1 1）線性：）線性：Zax(n)+by(n)=aX(z)+bY(z)Zax(n)+by(n)=aX(z)+bY(z) 其收斂域為兩者的公共部分其收斂域為兩者的公共部分 若有零極點對消，則收斂域擴大。若有零極點對消，則收斂域擴大。）（xxRzR|）（yy|RzR6.2 z z變換的基本性質變換的基本性質 2 2）序列移位：）序列移位： Zx(nZx(nm)=zm)=zm m X(z) X(z) 若若x(n)x(n)為雙邊序列：移位后收斂域不變?yōu)殡p邊序列：移位后收斂域不變 若

13、若x(n)x(n)為單邊（或有限長雙邊）序列：為單邊（或有限長雙邊）序列： 可能會在可能會在 z=0 z=0 或或 z=z= 不收斂不收斂 3 3）乘以指數序列（）乘以指數序列（z z域尺度變換）域尺度變換） ZaZan nx(n)=X(ax(n)=X(a-1-1z) z) （收斂域（收斂域: |a|R: |a|Rx-x-|z| |a|R|z| |a|Rx+x+ ）6.2 z z變換的基本性質變換的基本性質（續(xù)）（續(xù)） 5) 5) 反折序列反折序列 Zx(-n) = X(1/z) Zx(-n) = X(1/z) 6) 6) 初值定理初值定理 若若x(n)x(n)為因果序列為因果序列 x(n)=

14、0 x(n)=0，n n 0 0 ， 則：則：)0(x)z(Xlimz）（xxR1|z|R16.2 z z變換的基本性質變換的基本性質（續(xù)）（續(xù)） 7)7)序列卷積和（時域卷積和定理）序列卷積和（時域卷積和定理）6.2 z z變換的基本性質變換的基本性質（續(xù)）（續(xù)） 6.2 z z變換的基本性質變換的基本性質（續(xù)）（續(xù)）其他性質：其他性質： 終值定理終值定理 序列的線性加權序列的線性加權 有限項累加特性有限項累加特性 復卷積定理復卷積定理 帕塞瓦定理帕塞瓦定理 . .6.2 z z變換的基本性質變換的基本性質（續(xù)）（續(xù)） 1. 1. z z反變換反變換 根據根據z z變換及其收斂域還原其序列變

15、換及其收斂域還原其序列( ( c c為為X(z)X(z)收斂域內的一條逆時針閉合曲線收斂域內的一條逆時針閉合曲線 ) )6.3 z z反反變換變換 根據復變函數理論，根據復變函數理論，X(z)X(z)在解析的環(huán)狀區(qū)域內可展成在解析的環(huán)狀區(qū)域內可展成 羅朗級數羅朗級數 其羅朗級數系數即為其羅朗級數系數即為z z反變換反變換x(n)x(n) （可由柯西積分定理證明）可由柯西積分定理證明） z z反變換通式：反變換通式： x(n) =Zx(n) =Z-1-1X(z)X(z)6.3 z z反變換反變換（續(xù)）（續(xù)） 2. 2. 求解求解z z反變換的三種常用方法反變換的三種常用方法 留數法（圍線積分法）

16、留數法（圍線積分法） 部分分式展開法部分分式展開法 冪級數展開法冪級數展開法（長除法）（長除法） 6.3 z z反變換反變換（續(xù)）（續(xù)） * *留數法（圍線積分法）留數法（圍線積分法） 根據留數定理，若根據留數定理，若X(z)zX(z)zn-1n-1在圍線在圍線c c內有內有K K個極點個極點z zk ， 則：則：（即：（即： Z Z反變換反變換x(n)x(n)為圍線為圍線c c內所有極點留數之和內所有極點留數之和 ） X(n) X(n) 6.3 z z反變換反變換（續(xù)）（續(xù)）6.3 z z反變換反變換（續(xù)）（續(xù)） 留數求解：留數求解： z=zz=zr rz=zz=zr rz=zz=zr rz

17、=zz=zr r 留數輔助定理：留數輔助定理： 若圍線內、外分別存在若圍線內、外分別存在K K和和M M個極點，則存在個極點，則存在 下述關系：下述關系： 應用圍線外留數時的條件：應用圍線外留數時的條件： 被積函數的分母多項式階被積函數的分母多項式階數較分子多項式高數較分子多項式高2 2階以上階以上z=zz=zm mz=zz=zk k6.3 z z反變換反變換（續(xù)）（續(xù)） 收斂域：收斂域： 1/4|z|41/4|z|4 解解 z z反變換反變換x(n)x(n)為：為： 例例 用留數法求用留數法求z z反變換反變換x(n)x(n)41z)(z4(z)z(X26.3 z z反變換反變換（續(xù)）（續(xù)）

18、 分析被積函數在閉環(huán)圍線分析被積函數在閉環(huán)圍線c內外的極點、零點情況。內外的極點、零點情況。 分析分析： n+1n+1 0,0, 即即 n-1n-1時，時，極點極點：z=1/4, z=4z=1/4, z=4 n+1n+1 R|z|Rx-x- 時（右序列），時（右序列），X(z)X(z)展成展成z z的的降冪級數降冪級數 X(z) = x(n)zX(z) = x(n)zn n + x(n-1)z+ x(n-1)zn-1 n-1 + x(n-2)z+ x(n-2)zn-2 n-2 + + 收斂域收斂域 |z|R|z| 3|z| 3 解解 由收斂域判定由收斂域判定x(n)x(n)為右邊序列為右邊序列

19、 （ |z| 3 |z| 3 ） 將原式按將原式按z z的降冪排列的降冪排列: : 例例6-4 6-4 用冪級數法求用冪級數法求z z反變換反變換x(n)x(n)21-13z13z)z(X）（6.3 z z反反變換變換（續(xù)）（續(xù)） 進行多項式長除進行多項式長除 6.3 z z反反變換變換（續(xù)）（續(xù)） 歸納出冪系數通式歸納出冪系數通式 由此得：由此得：6.3 z z反反變換變換（續(xù)）（續(xù)） 1. 1. 拉普拉斯變換與拉普拉斯變換與z z變換定義式的比較：變換定義式的比較： z=ez=esTsT 時時抽樣序列的抽樣序列的z z變換變換就等于就等于理想采樣信號的拉普拉斯變換理想采樣信號的拉普拉斯變換

20、。6.4 z z變換與拉普拉斯變換的關系變換與拉普拉斯變換的關系拉普拉斯變換拉普拉斯變換Z Z變換變換抽樣抽樣f(n)=f(nTf(n)=f(nT）映射映射z=ez=esTsTsTez| ) z(F) s (F 2. 2. 拉普拉斯變換與拉普拉斯變換與z z變換的數式關系：變換的數式關系： 復平面：復平面： z z平面平面 s s平面平面 坐標系：坐標系： 映射關系：映射關系：TerT模與實部對應模與實部對應相角與虛部對應相角與虛部對應jsjrez （極坐標）（極坐標）（直角坐標）（直角坐標） sTez j j) )T T( (e ez zjrez 6.4 z z變換與拉普拉斯變換的關系變換與拉普拉斯變換的關系（續(xù)）（續(xù)） 3. 3. 拉普拉斯變換與拉普拉斯變換與z z變換的映射關系圖變