數(shù)值分析4-5(高斯公式)

1、一、高斯點(diǎn)一、高斯點(diǎn)定義：高斯公式定義：高斯公式機(jī)械求積公式機(jī)械求積公式 nkkkbaxfAdxxf0)()(含有含有2n+2個(gè)待定參數(shù)個(gè)待定參數(shù) ),.,1 , 0(,nkAxkk 若適當(dāng)選擇這些參數(shù)使求積公式具有若適當(dāng)選擇這些參數(shù)使求積公式具有2n+1次代次代數(shù)精度，則這類(lèi)公式稱(chēng)為數(shù)精度，則這類(lèi)公式稱(chēng)為高斯公式高斯公式。(4.1)請(qǐng)回答請(qǐng)回答: :以前學(xué)過(guò)的梯形公式、辛甫生公式、柯以前學(xué)過(guò)的梯形公式、辛甫生公式、柯特斯公式、中矩形公式是高斯公式嗎？特斯公式、中矩形公式是高斯公式嗎？答：答：除中矩形公式外都不是！除中矩形公式外都不是！ 定義：高斯點(diǎn)定義：高斯點(diǎn)高斯公式的求積節(jié)點(diǎn)稱(chēng)為高斯公式的

2、求積節(jié)點(diǎn)稱(chēng)為高斯點(diǎn)高斯點(diǎn)舉例舉例求求 a,b上的一點(diǎn)和二點(diǎn)高斯公式。上的一點(diǎn)和二點(diǎn)高斯公式。解解設(shè)一點(diǎn)高斯公式為設(shè)一點(diǎn)高斯公式為)()(00 xfAdxxfba 則其代數(shù)精度應(yīng)為則其代數(shù)精度應(yīng)為110212 n即即 )(2122000abxdxxAabdxAbaba解得解得)2()()(bafabdxxfba 中矩形公式中矩形公式再設(shè)兩點(diǎn)高斯公式為再設(shè)兩點(diǎn)高斯公式為)()()(1100 xfAxfAdxxfba 則其代數(shù)精度應(yīng)為則其代數(shù)精度應(yīng)為311212 n即即 )(41)(31)(2144331130033221120022110010abdxxxAxAabdxxxAxAabxdxxAxA

3、abdxAAbabababa這 是 關(guān) 于這 是 關(guān) 于四 個(gè) 未 知四 個(gè) 未 知數(shù) 的 非 線(xiàn)數(shù) 的 非 線(xiàn)性 方 程 ，性 方 程 ，難于求解難于求解高斯點(diǎn)具有以下性質(zhì)：高斯點(diǎn)具有以下性質(zhì)：定理定理對(duì)于對(duì)于插值型求積公式插值型求積公式(4.1)，其節(jié)點(diǎn)，其節(jié)點(diǎn)),.,1 , 0(nkxk 是高斯點(diǎn)的充要條件是是高斯點(diǎn)的充要條件是以這些點(diǎn)為零點(diǎn)的多項(xiàng)式以這些點(diǎn)為零點(diǎn)的多項(xiàng)式).()()(10nxxxxxxx 與任意次數(shù)不超過(guò)與任意次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式P(x)均正均正交，即交，即0)()( badxxxP 啟發(fā)：?jiǎn)l(fā)：如何求如何求高斯高斯公式！公式！ nkkkbaxfAdxxf0)(

4、)(證明證明先證必要性，即先證必要性，即 是高斯點(diǎn)是高斯點(diǎn)kx正正交交與與)()(xPx 設(shè)設(shè)P(x)是任意次數(shù)不超過(guò)是任意次數(shù)不超過(guò) n 的多項(xiàng)式，則的多項(xiàng)式，則P(x)(x)的次數(shù)不超過(guò)的次數(shù)不超過(guò)2n+1，因此應(yīng)準(zhǔn)確，因此應(yīng)準(zhǔn)確成立成立 nkkkkbaxxPAdxxxP0)()()()( 但但),.,1 , 0(0)(nkxk 故故正正交交與與)()(xPx 再證充分性。即再證充分性。即正正交交與與)()(xPx 是高斯點(diǎn)是高斯點(diǎn)kx對(duì)于任意給定的次數(shù)不超過(guò)對(duì)于任意給定的次數(shù)不超過(guò)2n+1的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式f(x),用用 除除 f(x)，記商為，記商為P(x)，余式為，余式為Q(x)，)(

5、x 即即)()()()(xQxxPxf 2n+1n+1nn由已知條件，由已知條件，(x)與與P(x)正交，得正交，得 babadxxQdxxf)()(由于所給求積公式由于所給求積公式(4.1)是插值型的，它至少具是插值型的，它至少具有有n次代數(shù)精度，故對(duì)次代數(shù)精度，故對(duì)Q(x)能準(zhǔn)確成立：能準(zhǔn)確成立： nkkkbaxQAdxxQ0)()(再注意到再注意到(xk)=0，知，知Q(xk) = f(xk)，從而有，從而有 nkkkbaxfAdxxQ0)()(于是由前面的推導(dǎo)知于是由前面的推導(dǎo)知 babadxxQdxxf)()( nkkkbaxfAdxxf0)()(這說(shuō)明公式對(duì)一切次數(shù)不超這說(shuō)明公式對(duì)

6、一切次數(shù)不超過(guò)過(guò)2n+1的多項(xiàng)式均能準(zhǔn)確成的多項(xiàng)式均能準(zhǔn)確成立，故立，故xk是高斯點(diǎn)。是高斯點(diǎn)。)()()()(kkkkxQxxPxf 定理給我們的啟發(fā)：定理給我們的啟發(fā)：1、求出、求出a, b上與所有次數(shù)不超過(guò)上與所有次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 都正交的多項(xiàng)式都正交的多項(xiàng)式n+1(x)。2、求出、求出n+1(x)的的n+1個(gè)零點(diǎn)就是高斯點(diǎn)。個(gè)零點(diǎn)就是高斯點(diǎn)。請(qǐng)回答請(qǐng)回答: :-1，1上與所有次數(shù)不超過(guò)上與所有次數(shù)不超過(guò)0的多項(xiàng)式都的多項(xiàng)式都正交的多項(xiàng)式正交的多項(xiàng)式1(x)=？解：解：設(shè)設(shè)P0(x)=C，1(x)= x x0。由于。由于0)()(1110 dxxxP 即即0)(110 dxx

7、xC展開(kāi)，得展開(kāi)，得00 x則一個(gè)點(diǎn)的高斯公式為則一個(gè)點(diǎn)的高斯公式為)0()(011fAdxxf 中矩形公式中矩形公式二、高斯二、高斯勒讓得公式勒讓得公式特別地，取特別地，取a, b=-1, 1，其上高斯公式為：，其上高斯公式為： 110)()(nkkkxfAdxxf下面求對(duì)應(yīng)的高斯點(diǎn)。下面求對(duì)應(yīng)的高斯點(diǎn)。由于勒讓得多項(xiàng)式是由于勒讓得多項(xiàng)式是-1，1上的正交多項(xiàng)式，上的正交多項(xiàng)式，因此勒讓得多項(xiàng)式因此勒讓得多項(xiàng)式Pn+1(x)的零點(diǎn)就是高斯點(diǎn)。的零點(diǎn)就是高斯點(diǎn)。特殊地若取特殊地若取P1(x) = x 的零點(diǎn)的零點(diǎn)x0 = 0 作節(jié)點(diǎn)構(gòu)造作節(jié)點(diǎn)構(gòu)造求積公式求積公式 110)0()(fAdxxf令

8、它對(duì)令它對(duì) f(x) = 1準(zhǔn)確成立，即可定出準(zhǔn)確成立，即可定出A0 = 2.即一點(diǎn)高斯公式為即一點(diǎn)高斯公式為 11)0(2)(fdxxf中矩形公式中矩形公式 1110)31()31()(fAfAdxxf令它對(duì)令它對(duì) f(x) = 1, x 準(zhǔn)確成立，即可定出準(zhǔn)確成立，即可定出A0 ,A1可得兩點(diǎn)高斯可得兩點(diǎn)高斯勒讓得公式為勒讓得公式為再取再取 的零點(diǎn)的零點(diǎn) 作節(jié)點(diǎn)構(gòu)作節(jié)點(diǎn)構(gòu)造求積公式造求積公式 )13(21)(22 xxP31 11)31()31()(ffdxxf注：其它的高階公式詳見(jiàn)書(shū)。注：其它的高階公式詳見(jiàn)書(shū)。請(qǐng)回答請(qǐng)回答: :高斯高斯勒讓得公式僅適用于求積區(qū)間是勒讓得公式僅適用于求積區(qū)

9、間是-1，1，那么對(duì)于任意求積區(qū)間，那么對(duì)于任意求積區(qū)間a, b如如何求？何求？解解作變換作變換22batabx 可以化到區(qū)間可以化到區(qū)間-1，1上，這時(shí)上，這時(shí)dtbatabfabdxxfba)22(2)(11 三、帶權(quán)的高斯公式三、帶權(quán)的高斯公式定義：帶權(quán)的高斯公式定義：帶權(quán)的高斯公式求積公式求積公式 nkkkbaxfAdxxfx0)()()( 若該公式具有若該公式具有2n+1次代數(shù)精度，則稱(chēng)這類(lèi)公次代數(shù)精度，則稱(chēng)這類(lèi)公式為式為帶權(quán)的高斯公式帶權(quán)的高斯公式.上述上述(x)0是權(quán)函數(shù)。是權(quán)函數(shù)。高斯點(diǎn)高斯點(diǎn)定理定理),.,1 , 0(nkxk 是高斯點(diǎn)的充要條件是是高斯點(diǎn)的充要條件是).()

10、()(10nxxxxxxx 是區(qū)間是區(qū)間a, b上關(guān)于上關(guān)于(x)的正交多項(xiàng)式。的正交多項(xiàng)式。特殊的特殊的若若a, b = -1，1，權(quán)函數(shù)是，權(quán)函數(shù)是211)(xx 所建立的高斯公式為所建立的高斯公式為 nkkkxfAxxf0112)(1)(切 比 雪 夫切 比 雪 夫 高斯公式高斯公式xk是切比雪夫是切比雪夫多 項(xiàng) 式 的 零多 項(xiàng) 式 的 零點(diǎn)點(diǎn)注意：注意：運(yùn)用正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)構(gòu)造高斯求積運(yùn)用正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)構(gòu)造高斯求積公式，這種方法只是針對(duì)某些特殊的公式，這種方法只是針對(duì)某些特殊的權(quán)函數(shù)才有效。權(quán)函數(shù)才有效。構(gòu)造高斯公式的一般方法是構(gòu)造高斯公式的一般方法是待定系數(shù)法待定系數(shù)法舉例舉例要構(gòu)造下列形式的高斯公式要構(gòu)造下列形式的高斯公式)()()(1100