(完整版)勾股定理典型例題詳解及練習(xí)(附答案)

1、典型例題知識點一、直接應(yīng)用勾股定理或勾股定理逆定理例1:如圖，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB CD EF、GH四條線段,其中能構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是（）A.CD、EF、GHC. AB、CD GHB.AB、EF、GHD. AB、CD EF愿路分樂屮1）題意分析本題考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠2）解題思器；可利用勾臉定理直接求出各邊長，再試行判斷解答過整屮在取DEAF中，Af=l, AE=2,根據(jù)勾股定理，得昇EF = Q 掄於十尸= Q +F二艮同理HE = 2 百* QH. =1CD = 25計算發(fā)現(xiàn)W十血尸=（鷗 31即血+曲=GH2,根據(jù) 勾股定理的逆宦理得到UAAE、E

2、FGH為辺的三角形是直毎三角形.故選B. *縮題后KJ思專：*1.勾股定理只適用于直角三角形，而不適用于說角三角形和鈍角三角形因此辭題時一宦妾認(rèn)真分析題目所蛤條件,看是否可用勾股定理來解口 *2.在運用勾股左理時，要正確分析題目所給的條件，不要習(xí)慣性地認(rèn)為 就是斜迫而“固執(zhí)”地運用公式川二/十就 其實，同樣是S6不一罡就等于餌，疋不一罡就昱斜辺，KABC不一定就是直角三祐3.直角三第形的判定條件與勾股定理是互逆的.區(qū)別在于勾股定理的運 用是一個從卅形 s個三角形是直角三角形）到懺 y =沖十滬） 的過程，而直角三角形的判定是一從嗦（一個三角形的三辺滿足X二護+酹的條件）到偲個三角形是直角三角形

3、）的過程.a4在應(yīng)用勾股定理解題叭 聲全面地琴慮間題.注意m題中存在的多種 可能性，遊免漏辭.初例玉如圏，有一塊直角三角形椀屈 U,兩直角迫4CM5沁丸m 現(xiàn)將直角邊AC沿直繪AD折蠡 便它落在斜邊AB上.且點C落到點E處, 則切等于（、*n題童分析，本題著查勾股定理的應(yīng)用刎：）解龜思路；車題若直接在MQ中運用勾股定理是無法求得仞的 長的，因為貝知遒一條邊衛(wèi)0的長，由題意可知，AACD和心迓門關(guān)于直線 KQ對稱.因而ACDhAED進一歩則有應(yīng) RUmCZAEDED丄AB,設(shè)UD=E2黃泱，則在Rt AABO中，由勾股定理可得=（+=83=100,得AB=10cm,在松遲 DE 中,W ClO-

4、fl） 2=d驚解得尸九 4解龜后的思琴尸勾股定理說到底是一個等式，而含有未知數(shù)的等式就是方程。所以，在利用勾 股定理求線段的長時常通過解方程來解決。勾股定理表達式中有三個量，如果 條件中只有一個已知量，必須設(shè)法求出另一個量或求出另外兩個量之間的關(guān)系， 這一點是利用勾股定理求線段長時需要明確的思路。方程的思想：通過列方程（組）解決問題，如：運用勾股定理及其逆定理求 線段的長度或解決實際問題時，經(jīng)常利用勾股定理中的等量關(guān)系列出方程來解決問題等。例3： 一場罕見的大風(fēng)過后，學(xué)校那棵老楊樹折斷在地，此刻，張老師正和占明、清華、繡亞、冠華在樓上憑欄遠眺。清華開口說道：“老師，那棵樹看起來挺高的。”“是

5、啊，有10米高呢，現(xiàn)在被風(fēng)攔腰刮斷，可惜呀！”“但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧?！惫谌A興致勃勃地說。張老師心有所動，他說：“剛才我跑過時用腳步量了一下，發(fā)現(xiàn)樹尖距離樹根恰好3米，你們能求出楊樹站立的那一段的高度嗎？”占明想了想說：“樹根、樹尖、折斷處三點依次相連后構(gòu)成一個直角三角C/)禎B. 3cmG-Icni“勾股定理一定是要用的，而且不動筆墨恐怕是不行的?！崩C亞補充說。幾位男孩子走進教室，畫圖、計算，不一會就得出了答案。同學(xué)們，你算出來了嗎？思路分析：1）題意分析：本題考查勾股定理的應(yīng)用2）解題思路：本題關(guān)鍵是認(rèn)真審題抓住問題的本質(zhì)進行分析才能得出正確的解答設(shè)直角三角形削三邊長分別為

6、久亠如圖，則圧二了米c -bc+B 1010（米）.事解題后的慝曲這是一道圈讀理解奚試蕊 這種題型特點鮮明、內(nèi)容豐富、趙越常規(guī)， 源于謹(jǐn)本，高干課本*不彳貝考査閱謹(jǐn)能力，而且還綜合考杳數(shù)學(xué)意識和數(shù) 學(xué)嫌合應(yīng)用能打尤其著查藪字思縫能力和創(chuàng)新意込解題時一股是通 過閱滿理解槪念，拿握方法碩悟思想、抓住本質(zhì)，然后才能解答間題汀知識點二、構(gòu)造直角三角形使用勾股定理例4；如圖,一個長方體形的木柜談在墻角處（與墻面和地面均沒有耀隙 有一只螞蚊從柜陽丿處沿著木柜表面爬到柜角G處.“ 謎你畫出螞觀能夠最快到達目的地的可能路徑，Q當(dāng) 曲 ，C=4匚以 時.求螞蟻爬過的震矩路徑的長尹又c-b1-a=U20（米）*1

7、0丿十g思路分析：屮1躍分析；卞題葦查勾股定理例應(yīng)用.P23解題思路；解決此糞間題的關(guān)國是把立悴圈形間題轉(zhuǎn)化丸平面圖形 問題.從而制用勾股定理解決.路徑雖無數(shù)最短卻唯一，要注意養(yǎng)洛哪一 條路徑是最短的.心解答過程：(1)如圖，木柜的表面展開圖是兩個矩珈和屮r螞秋能夠最快到達目的地的可自囲徑有如圖的/q和螞蛾沿著木柜表面經(jīng)娃段禺到G,爬過的路徑的檜是 押+(4 +對二坷” 螞軾沿著木柜表貢經(jīng)線段刀耳到爬過的路徑的長是 右二奸遍匚亨二J.,最短路徑的長是耳=毘屮恥=坐AA = =5=作耳左丄肚吁碼則夠、89沖所求.4解題后的恿考轉(zhuǎn)化的思想是將夏朶問題特他分解次簡單旳I可題，或?qū)⒛吧腎可題 轉(zhuǎn)化為

8、熟悉的間題來處理的一種慝想右法。如在許多實際間題中.首先 將師習(xí)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，另外，當(dāng)間題中沒有給出直甬三甬形時，通常通過作輔助線構(gòu)造直角三角形將它們轉(zhuǎn)化為直角三角形問題等。脣一塊直垢三用形的綠地，爲(wèi)得兩直角邊長分別為皿8m現(xiàn)在 妾將綠地擴充成等腰三角形!且擴充部分是以如為直角邊的直角三角形 求擴充后等腰三甬形綠地的周長.亠思翳分析：此題如戶圈形將變得很簡單，搔圈形解答同網(wǎng)但若沒有 圖彩，則需藝討論幾種可能的情況.這正是肚無圖題前細恩考，分糞討論 保周到二心解答5過程，在Rt曲C中，ZACB -90a,AC- & BC-6f由勾 股定理育；AS = 10.獷充部分次 RtMOD,擴充成等睡

9、他氏應(yīng)分旦 卩三種情況如圖L當(dāng)= .45=10時，可求得 屈Q 的周長酋 伽1如圖h AB = SD=W,可求CD=4t由勾股定理島 應(yīng)二4得朋D的周長劉20+40圈3)25分類討論思想是解題時常用的一種思想方法，同學(xué)們?nèi)绻莆樟诉@種方法，可以使思維的條理性、縝密性、靈活性得到培養(yǎng)，才能在解題中真正做到不重不漏。知識點三、勾股定理及其逆定理的正逆混用例6：(1圖甲是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形。若大正方形的面積為13,每個直角三角形兩條直角邊的和是5,求中間小正方形的面積。(2)現(xiàn)有一張長為6.5cm、寬為2cm的紙片，如圖乙，請你將它分割成6塊，再拼合成一個正方形

10、。(要求：先在圖乙中畫出分割線，再畫出拼成的正方形并標(biāo)明相應(yīng)數(shù)據(jù))當(dāng)AB底時設(shè)二九則UD二;r-&由勾股走理得80思路分析；屮1)題意分析：本題考查利用勾股定理進行圖形的拼剖剪接“2)解題思路，注意拼接過程中面積是不變的“(1)設(shè)直角三角形的較長直角邊長為Q,較愆直甬邊長為b,則小正 方彩的邊長為a-ba由題意得存a + b = 5 a由勾股定理，得戸+滬=1322必=12*-*所以(金2+滬-2於二13-12二1卍即所求的中間4、正方形的面積為1門(2)所拼成的正方彫的面積為6-5x2= 13(2),所以可按照圖甲制 作。“由得。-0 = 2由、組成方程組解得。，b = 2結(jié)合題意，每個直角

11、三角形的較長直角邊只能在纟氏片6.5cm的長邊上 截取，去掉四個直角三角形后，余下的面積為13 x3x2x4 = 13 12 =)2,恰好等于中間的小正方形的面積.于是，得到以下分劇拼合方法：卩3 cm3cm 0.5cm|JTT少 /、解題后的思考二這是一道綜合題，根據(jù)題目所扌是供的信息是不難解決 問題的，但是，要注意舉握和運用好題目所給的各個有用信息，否則，問 題就不容易得到解決.P知識點四.妙應(yīng)用勾股定理卩例二如圖，以等腰三角形AOB的斜辺為直角辺向外作第2個等腰直角 三角財ABAp再以等Bf直角三角形AB山的斜邊為直角邊向外作第3個等 櫻直角三角形AiBBp，如此作下去，若0 A=OB=

12、b則第n個等腰 直角三角形的醞積鼻=- 22）解題思路：先在世ZAB0中，由OA=OB = 1求出AB=返：再 在R1AAB處中，由AB=A Ax= 2求出A山=2,；再分別求出AOB、AABAISAAIBBIS的面積，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想出結(jié)論?！霸赗tAAB0中，由ZAOB = 90, OA=OB = 1可求出SjT 2AOB= 2 xx = 2 =y在現(xiàn)AB Ai中，由Z直i占B=90, AB=AAi=1) J意分析；本題若查利用勾股定理進行歸納推理1血，可求出AB=2, S2=2x72 x = l=2；在妙知盹】中，由Z1AiBBi=90%AiB=BBi=2,可求出AIBI=2血，S3=

13、2x2x2=2=21.在RtAAjB2Bi中，由ZB2AlB1= 90% A1B1=ALB2= 2,可2求出B1B2=4, S4= 2 x2龐x2龐=4=22；.,由此可以犒想加嚴(yán)2.a解題后09思歩類比歸納法是囪種或種以上在某些關(guān)糸上表現(xiàn)相似 的對彖進行對比，作出歸納利斷的一種科學(xué)研究方法.在中考數(shù):學(xué)中考查 類比歸納法，旨衽引導(dǎo)學(xué)生通過對知識的類比和歸納，把知識由點連成線， 由線織成網(wǎng)，使知識有序化、系統(tǒng)化，從而使學(xué)生拿握知識內(nèi)在的規(guī)律。P預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)亠下一講我們將講解四邊形的應(yīng)用，本講內(nèi)容是中考重點之一，如特殊 四邊形（平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等膊梯形）的性質(zhì)和判定， 以及運用這些知

14、識解決實際間題.中考中常以選擇題、坡空題、解答題和 證明題等彩式呈現(xiàn)，近年的中考中又出現(xiàn)了開啟題、應(yīng)用題、閱凌理解題、 學(xué)科間綜合題、動點問題、折蠱問題等，這些都是熱點題型，應(yīng)引起同學(xué) 們高度關(guān)注.3同步練習(xí)（答題吋間:60分鐘）a選擇題卩1.如圖，每個小正方形的邊長為1,/、從C是小正方形的頂點，則廈A5C的度數(shù)為（A. 902如圖所示，盒、B、C分別表示三個村莊，AB=1000米，BC=600米,AC=800米，化活動中心，要求這三個村莊到活動中心的距離相等，則活動中心P處的 位貫應(yīng)在（A. AB中點處C. AC中點處3.如圖，長方體的長為15,寬為10,高為20,點鳥到點 U 的距離天5

15、,一只螞瞅如果要沿著長方體冊表面從點占爬到點 ,需要爬行的最愆距離 是（）卩二.塡空題D. 3叫在社會主義新農(nóng)村建設(shè)中，為了豐富群眾生活，擬建一個文B. BC中電處 卩D. ZCffJ平分線與AB的交點處“A. 5/21C. KX/5+5D. 364.某樓梯的側(cè)醞視圖如圖所示，其中AB =4米，ZC = 30* ,ZC=90,因某種活動要求鋪設(shè)紅色地毯，則在力$段樓梯所鋪地毯的長 度應(yīng)為_O卩5. B5D RtAABC的周長是4亠牛療.斜邊上的中線長是2,則S頑=6如圖，長方體的底面邊長分別為lcm和3cm高為6cm.如果用一根 細線從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達點方，坯么所用細線最短需姜

16、cm；如果從點蟲開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞乃圈到達點B,那么所用細線最短_ cm卩7.圖甲是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直 角三角形圍成的.在gtAABC cp,若直角邊AC=6, BC=6,將四個直角三 垢形中邊長為6的直毎辺分別向夕卜延長一倍， 得到圖乙所示的數(shù)學(xué)風(fēng)車”, 則這個風(fēng)車的外圍周長 （圖乙中的實線）是_ 。卩&如圖，學(xué)校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人為了建開拐角走“捷徑3在花圃內(nèi)走出了一條“路他們僅僅少走了_ 步路（假設(shè)2步為1米），卻踩傷了花草.39.如圖所示的圓柱體中底而圓的半徑是八 高為厶若一只小蟲從4點 出灰沿希圓柱體的側(cè)面爬行到 0 點，則小蟲爬行的最

17、短路程是（結(jié) 果保笛根號人d三、解答題卩io.如圖，A,萬是公路r仃為東西走向）兩旁的兩個村莊，/村到公路？ 的距離AC=lkm, B村到公路?的距離BD=2km,村在/村的南偏東4亍 方向上卩（1）求出九行兩村之間的距離：a（2）為方便村民出行，計劃在公路邊新建一個公共汽車站F,要求該 車站到兩村的距離相等，請用尺規(guī)在圖中作出點卩的位苴（保笛淆晰的作 圖痕跡，芥簡要寫明作法）.a_你熱愛生命回?liB么別浪費時間，醫(yī)為時由是俎成生智命的材料-富蘭克林,試題答案卩1.（2+2）米2.加3. 10,2 辭十 16/（或也6十64/）【解析】由題意得：細線從點衛(wèi) 開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達點B,其最愆長度為將長方體的四個側(cè)面展 開即可構(gòu)成一個直角辺分別為8cm和6cm的直角三角形，所以細線的最短 長度應(yīng)為10cm；當(dāng)細線經(jīng)過四個側(cè)面疇n圈時，到達點B的最短長度為2丁9+6川（或J36 + 64）cm“風(fēng)車的外圍周長7% 13+6）=726. 2血卩7.解析；（1）片法一：設(shè)ABCD的