有限元分析及應用

1、2021/3/171有限元分析及應用有限元分析及應用2021/3/172第一章 有限元法簡介22021/3/173有限元法介紹 有限元法的基本思想是將結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)離散化,用有限個容易分析的單元單元來表示復雜的對象,單元之間通過有限個結(jié)點結(jié)點相互連接,然后根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件綜合求解。由于單元的數(shù)目是有限的,結(jié)點的數(shù)目也是有限的，所以稱為有限元法(FEM，F(xiàn)inite Element Method)。 32021/3/174有限元法是最重要的工程分析技術(shù)之一。它廣泛應用于彈塑性力學、斷裂力學、流體力學、熱傳導等領(lǐng)域。有限元法是60年代以來發(fā)展起來的新的數(shù)值計算方法,是計算機時代的產(chǎn)物。

2、雖然有限元的概念早在40年代就有人提出,但由于當時計算機尚未出現(xiàn),它并未受到人們的重視。 42021/3/175隨著計算機技術(shù)的發(fā)展,有限元法在各個工程領(lǐng)域中不斷得到深入應用,現(xiàn)已遍及宇航工業(yè)、核工業(yè)、機電、化工、建筑、海洋等工業(yè),是機械產(chǎn)品動、靜、熱特性分析的重要手段。早在70年代初期就有人給出結(jié)論:有限元法在產(chǎn)品結(jié)構(gòu)設計中的應用,使機電產(chǎn)品設計產(chǎn)生革命性的變化，理論設計代替了經(jīng)驗類比設計。 52021/3/176有限元法的孕育過程及誕生和發(fā)展 牛頓(Newton)萊布尼茨(Leibniz G. W.) 62021/3/177大約在300年前,牛頓和萊布尼茨發(fā)明了積分積分法法,證明了該運算具

3、有整體對局部的可加性。雖然,積分運算與有限元技術(shù)對定義域的劃分是不同的,前者進行無限劃分而后者進行有限劃分，但積分運算為實現(xiàn)有限元技術(shù)準備好了一個理論基礎(chǔ)。 72021/3/178在牛頓之后約一百年,著名數(shù)學家高斯提出了加加權(quán)余值法及線性代數(shù)方權(quán)余值法及線性代數(shù)方程組的解法程組的解法。這兩項成果的前者被用來將微分方程改寫為積分表達式,后者被用來求解有限元法所得出的代數(shù)方程組。 高斯(Gauss)82021/3/179在18世紀,另一位數(shù)學家拉格朗日提出泛函泛函分析。泛函分析是將偏微分方程改寫為積分表達式的另一途徑。 拉格朗日(Lagrange J.)92021/3/1710在19世紀末及20世

4、紀初,數(shù)學家瑞利和里茲（Rayleigh Ritz）首先提出可對全定義全定義域運用展開函域運用展開函數(shù)來表達其上數(shù)來表達其上的未知函數(shù)的未知函數(shù)。 瑞利(Rayleigh)102021/3/17111915年,數(shù)學家伽遼金(Galerkin)提出了選擇展開函數(shù)中形函數(shù)的伽遼金法伽遼金法,該方法被廣泛地用于有限元。1943年,數(shù)學家?guī)炖实碌谝淮翁岢隽丝稍诙x域內(nèi)分片地使用展開函數(shù)來表達其上的未知函數(shù)。這實際上就是有限元的做法。 112021/3/171212（對象、變量、方程、求解途徑）各力學學科分支的關(guān)系2021/3/1713132021/3/1714(1) 橋梁隧道問題14任意變形體力學分析

5、的基本變量及方程研究對象:任意形狀的變形體幾種典型的對象2021/3/1715圓形隧道三維模型152021/3/1716(2) 中華和鐘(3) 礦山機械162021/3/1717(4) 壓力容器的成形172021/3/1718變形體及受力情況的描述182021/3/1719求解方法192021/3/1720有限元方法的思路及發(fā)展過程思路:以計算機為工具,分析任意變形體以獲得所有力學信息,并使得該方法能夠普及、簡單、高效、方便,一般人員可以使用。實現(xiàn)辦法:202021/3/1721技術(shù)路線:212021/3/1722發(fā)展過程:如何處理對象的離散化過程222021/3/1723. .常用單元的形狀

6、常用單元的形狀點點 (質(zhì)量質(zhì)量)線線(彈簧彈簧,梁梁,桿桿,間隙間隙)面面 (薄殼薄殼, 二維實體二維實體,軸對稱實體軸對稱實體)二次二次體體(三維實體三維實體)線性線性二次二次.線性線性. . . . .232021/3/1724點點 單元單元線線 單元單元一維波傳導問題一維波傳導問題 242021/3/1725點點 單元單元線線 單元單元252021/3/1726XY00.020.040.060.080.10.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.020XY0.0540.0560.0580.06-0.003-0.002-0.0010面面 單元單元282021/3/1727XY00

7、.020.040.060.080.10.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.020XY0.0540.0560.0580.06-0.003-0.002-0.0010292021/3/1728302021/3/1729受垂直載荷的托架受垂直載荷的托架312021/3/1730線性單元線性單元 / 二次單元二次單元 更高階的單元模擬曲面的精度就越高更高階的單元模擬曲面的精度就越高。低階單元低階單元更高階單元更高階單元體體單元單元322021/3/1731 有限元分析的作用有限元分析的作用l 復雜問題的建模簡化與特征等效復雜問題的建模簡化與特征等效l 軟件的操作技巧（單元、網(wǎng)格、算法參數(shù)控

8、制）軟件的操作技巧（單元、網(wǎng)格、算法參數(shù)控制）l 計算結(jié)果的評判計算結(jié)果的評判l(wèi) 二次開發(fā)二次開發(fā)l 工程問題的研究工程問題的研究l 誤差控制誤差控制362021/3/1732第二章 有限元分析的力學基礎(chǔ) 2021/3/17332.1 變形體的描述與變量定義變形體的描述與變量定義(1) 變形體 變形體:即物體內(nèi)任意兩點之間可發(fā)生相對移動。 有限元方法所處理的對象:任意變形體382021/3/1734(2) 基本變量的定義 可以用以下各類變量作為任意變形體的描述因此,在材料確定的情況下,基本的力學變量應該有:位移、應變、應力量392021/3/1735目的:對彈性體中的位移、應力、應變進行定義和

9、表達,進而建立平衡方程、幾何方程和材料物理方程(3) 研究的基本技巧采用微小體積元dxdydz的分析方法（針對任意變形體）402021/3/17362.2 彈性體的基本假設彈性體的基本假設為突出所處理的問題的實質(zhì),并使問題簡單化和抽象化,在彈性力學中,特提出以下幾個基本假定。(1) 物質(zhì)連續(xù)性連續(xù)性假定:物質(zhì)無空隙,可用連續(xù)函數(shù)來描述;(2) 物質(zhì)均勻性均勻性假定:物體內(nèi)各個位置的物質(zhì)具有相同特性;(3) 物質(zhì)(力學)特性各向同性各向同性假定:物體內(nèi)同一位置的物質(zhì)在各個方向上具有相同特性;(4) 線性彈性線性彈性假定:物體的變形與外來作用的關(guān)系是線性的，外力去除后，物體可恢復原狀;(5) 小變

10、形小變形假定：物體變形遠小于物體的幾何尺寸，在建立方程時，可以高階小量（二階以上）。 以上基本假定將作為問題簡化的出發(fā)點。412021/3/17372.3 基本變量的指標表達基本變量的指標表達指標記法的約定:自由指標自由指標:在每項中只有一個下標出現(xiàn),如 ,i,j為自由指標,它們可以自由變化;在三維問題中，分別取為1，2，3;在直角坐標系中，可表示三個坐標軸x, y, z。啞指標啞指標:在每項中有重復下標出現(xiàn)，如: ，j為啞指標。在三維問題中其變化的范圍為1,2,3ijijijbxa422021/3/1738Einstein 求和約定:啞指標意味著求和指標記法的應用指標記法的應用:對于方程組按

11、一般的寫法,可寫為若用指標記法:(2-3)式與(2-2)式等價,因為j為啞指標,意味著求和（2-1）（2-2）（2-3）432021/3/1739克羅內(nèi)克符號克羅內(nèi)克符號 在笛卡爾直角坐標系下，由ij表示的Kronecker(克羅內(nèi)克)符號定義為 jijiij如果如果 , 0 , 1亦即13322110233213312112442021/3/1740那么,矩陣 333231232221131211100010001= 是單位矩陣。根據(jù)上述定義,可以推出下列關(guān)系 3332211ii333323213132323222121213132121111aaaaaaaaaaaaaaajjjjjj452

12、021/3/1741彈性力學里假想把物體分成無限多微小六面體 ,稱為微元體。考慮任一微元體的平衡（或運動）,可寫出一組平衡（或運動）微分方程及邊界條件。但未知應力的數(shù)目總是超過微分方程的數(shù)目,所以彈性力學問題都是超靜定的,必須同時考慮微元體的變形條件以及應力和應變的關(guān)系，它們在彈性力學中相應的稱為幾何方程和物理方程。平衡平衡（或運動）方程、幾何幾何方程和物理物理方程以及邊界條件，稱為彈性力學的基本方程。2.4 彈性力學的基本方法彈性力學的基本方法462021/3/1742從取微元體入手,綜合考慮靜力（或運動）、幾何、物理三方面條件,得出其基本微分方程,再進行求解,最后利用邊界（表面）條件確定解

13、中的常數(shù)，這就是求解彈性力學問題的基本方法。472021/3/17432.5 空間問題的基本方程空間問題的基本方程dydxdz482021/3/17443D情形下的力學基本變量將正應力和正應變簡寫成492021/3/1745abbaaddccxyxyyxyxyzyzzyzyzxzxxzxz502021/3/1746由力平衡條件0X有：0Xdxdydzdxdydxdydzzdxdzdxdzdyydydzdydzdxxzxzxzxyxyxyxxxx化簡得到0Xzyxzxyxx0Y0Yzyxzyyxy0Z0Zzyxzyzxz平衡微分方程512021/3/1747平衡微分方程的矩陣形式為 0b其中，是

14、微分算子 xyzzxyzyx000000000式中，b是體積力向量，T ZYXb 522021/3/1748由力矩平衡條件有：0 xM02222dzdxdydzdxdydzzdydxdzdydxdzdyyzyzyzyyzyzyz全式除以dxdydz,合并相同的項,得 02121dzzdyyzyzyyzyz略去微量項，得 zyyzxzzx0YMyxxy0ZM剪切力互等定律532021/3/1749二維問題:平衡微分方程0Xyxyxx0Yyxyxy剪切力互等定律yxxy542021/3/1750應力邊界條件四面微分體Mabc 552021/3/1751斜微分面abc為其邊界面的一部分,其外法線N與

15、各坐標軸夾角的余弦為cos(N,x)=l,cos(N,y)=m，cos(N，z)=n。 從M點到斜微分面abc的垂直距離dh（圖中未標出）,是四面微分體的高。 562021/3/1752dAdhdV31四面微分體的體積為 假定斜微分面abc上作用的面力在三個坐標軸上的投影分別為XYZ體積力分量為X、Y、Z。 設斜微分面的面積為dA,則其它三個微分面的面積為 Mac=dAl, Mab= dAm, Mcb= dAn。 572021/3/1753考慮 0Y0YdVndAmdAldAdAYzyyxy將上式除以dA，并注意到體積力項 dhdAdV31當令dh0取極限時,體積力一項趨于零。 由此得到 Yn

16、mlzyyxy考慮 0XXnmlzxyxx考慮 0ZZnmlzyzxz應力邊界條件582021/3/1754二維問題:應力邊界條件YmlyxyXmlyxx592021/3/1755圣維南原理（局部影響原理）物體表面某一小面積上作用的外力,如果為一靜力等效的力系所代替,只能產(chǎn)生局部應力的改變,而在離這一面積稍遠處,其影響可以忽略不計。602021/3/1756612021/3/1757622021/3/1758均勻分布載荷作用下的平板,應力分布是均勻的。材料力學中的拉伸應力計算公式就是圣維南原理應用的結(jié)論。632021/3/1759一對集中力F/2作用點區(qū)域仍然有比較大的應力梯度變化,但是比等效

17、力系F作用的變化小。遠離力的作用點區(qū)域,應力分布仍然均勻。而且均勻區(qū)域更大。642021/3/1760幾何方程:位移與應變的關(guān)系B1A112652021/3/1761設P點的位移分量為u和v,由于坐標x有一增量dx,A點的位移較P點的位移也有一相應的增量,從而A點的位移分量為:。 dxxuuuAdxxvvvA同理,B點的位移分量為: dyyuuuBdyyvvvB662021/3/1762在小變形的前提下,APA1很小,可以認為,線段PA位移后的絕對伸長,可以用線段兩端點沿x軸的位移之差來表示，即:。 dxxuudxxuuuuPAAPPAxudxdxxuPAPAAPx從而線段PA的正應變 為：。

18、 x同理線段PB的正應變 為：。 yyvdydyyvPBPBBPy672021/3/1763對于三維情況的微分體，可以得到： zwz因此,可以總結(jié)為: xuxzwzyvy682021/3/1764下面,研究線段PA與PB間所夾直角的變化,即剪應變 xy。這個剪應變由兩部分組成,一部分是與x軸相平行的PA向y軸方向的轉(zhuǎn)角1;另一部分是與y軸平行的線段PB向x軸方向的轉(zhuǎn)角 2 。在小變形情況下xuxvudxxuudxvdxxvvtg111692021/3/1765上式分母中的 ，可以略去。從而上式可簡寫為： 1xxuxv1同樣可得： yu2線段PA與PB間的剪應變 xy等于1與 2 之和:yuxv

19、xy21zvywyzxwzuzx702021/3/1766xuxyuxvxyyvyzvywyzzwzxwzuzx至此,我們得到了六個應變分量與三個位移分量間的全部關(guān)系式:稱為幾何方程712021/3/1767幾何方程式的矩陣形式為 ut為微分算子t其中的轉(zhuǎn)置 T000000000 xzyzxyzyxt722021/3/1768變形連續(xù)方程由幾何方程可知,六個應變分量完全由三個位移分量u,v,w對x,y，z的偏導數(shù)所確定。因此，六個應變分量不會是互不相關(guān)的x，y，z的函數(shù)，相互之間必存在一定的關(guān)系。 732021/3/1769從物理意義方面講,物體在變形前是連續(xù)的,而在變形后仍是連續(xù)的。若六個應

20、變分量互不相關(guān),則每個微分體的變形是任意的,從而將使變形后的各微分體間出現(xiàn)“撕裂”或“重疊”，這顯然與實際情況不符。要使物體變形后仍為連續(xù)的，六個應變分量間必滿足一定的關(guān)系。下面推導這些關(guān)系。742021/3/1770六個應變分量間的關(guān)系,可以分為兩組。第一組 分別求 對y，x的二階導數(shù)，得xuxyvy2322yxuyx2322xyvxy將上兩式相加,得 yxxvyuyxxyxyyx222222這就是應變分量間的一個關(guān)系式。 752021/3/1771將x,y,z循環(huán)替換,可以得到 zyyzyzzy22222xzzxzxxz22222yxxyxyyx22222與 組成了第一組的三個關(guān)系式。 7

21、62021/3/1772第二組 分別求 對z，x，y的導數(shù)，得yuxvxyzvywyzxwzuzxzyuzxvzxy22xzvxywxyz22yxwyzuyzx22772021/3/1773將第二和第三式相加,減去第一式,得 yxwzyxxyzxyz22再求上式對z的導數(shù): yxzyxwzyxzzxyzxyz2322782021/3/1774將x,y,z循環(huán)替換,可以得到 與 組成了第二組的三個關(guān)系式。 zxyxzyyzxyzxy22zyxzyxxyzxyzx22yxzyxzzxyzxyz22上述六個微分關(guān)系式稱為變形連續(xù)方程。 792021/3/1775對于二維問題,由于幾何方程簡化為: x

22、uxyuxvxyyvy由于只存在以上三個應變分量,且都僅為x和y的函數(shù),則變形連續(xù)方程僅剩有 yxxyxyyx22222802021/3/1776物理方程前邊對物體的應力和變形分別進行了討論。這種分析適用于任何變形體,即所得出的一些結(jié)論和公式與物體的物理性質(zhì)無關(guān)。但僅有應力和應變的分析還不能解決問題,還必須進一步研究應力和應變間的物理關(guān)系。812021/3/1777由簡單的軸向拉伸試驗可知,在單向應力狀態(tài)下,處于彈性階段時,應力應變呈線性關(guān)系,即 x = Ex 其中E為材料的彈性模量。這就是虎克定律。 彈塑性范圍斜率, E彈性范圍應力Y應變822021/3/1778工程上,一般將應力與應變間的

23、關(guān)系表示為zyxxE1xzyyE1yxzzE1xyxyG1yzyzG1zxzxG1稱它們?yōu)槲锢矸匠蹋◤V義虎克定律）。832021/3/1779式中,E為彈性模量, 為泊松比,G為剪切彈性模量,而且三者之間有如下的關(guān)系:12EG這些彈性常數(shù)不隨應力的大小而改變,不隨位置坐標而改變,也不隨方向而改變。因為我們曾假設物體是完全彈性的、均勻的,而且是各向同性的。842021/3/1780物理方程用六個應力分量表示六個應變分量。當然也可以用應變分量來表示應力分量。由上頁的關(guān)系式及物理方程可以推出:zyxxE112111zyxyE112111zyxzE112111852021/3/1781xyxyE12y

24、zyzE12zxzxE12若令 Tzxyzxyzyx Tzxyzxyzyx代表應變列陣和應力列陣,則應力應變關(guān)系可寫成矩陣形式 D862021/3/1782其中 1221000001221000012210001111112111稱對ED稱為彈性矩陣,由彈性常數(shù)E和 決定。872021/3/1783由廣義虎克定律,有二維平面應力情況下的物理方程:物理方程逆形式882021/3/1784彈性問題中的能量表示彈性問題中的自然能量包括兩類: 外力功 應變能 （以位移為基本變量的表達）或應變余能（以應力為基本變量的表達） 出于研究的需要,還要定義一些由自然能量所組合的物理量,如勢能（以位移為基本變量的

25、表達）、余能（以應力為基本變量的表達）等。892021/3/1785外力功由于外力又包括作用在物體上的面力和體力，則外力功包括這兩部分力所作的功。 Part 1：外力（面力） 在對應位移ui上所作的功（on Sp） Part 2：體積力 在對于位移ui上所作的功（in ）ipib902021/3/1786則外力總功為應變能3D情形下變形體應力與應變的對應變量為912021/3/1787其變形能包括兩個部分: Part 1:對應于正應力與正應變的變形能 Part 2:對應于剪應力與剪應變的變形能正應力和正應變?nèi)鐖D所示，在xoy平面內(nèi)考察應變能，這時微體的厚度為dz，設微體dxdydz上只作用有

26、與 ，則由 （可由試驗所得）的關(guān)系求得的微體上的變形能 為922021/3/1788932021/3/1789則整個物體 上 與 所產(chǎn)生的變形能剪應力和剪應變先考察一對剪應力和剪應變（如圖所示），此時微體的厚度為dz，設微體dxdydz上只作用 與 , 則由 與 作用，在微體上產(chǎn)生的能量 942021/3/1790952021/3/1791則整個物體 上 與 所產(chǎn)生的變形能整體變形能由疊加原理,將所有方向的正應力應變和剪應力應變所產(chǎn)生的變形能相加,可得整體變形能962021/3/1792勢能定義系統(tǒng)的勢能為972021/3/1793平面應變與平面應力問題任何構(gòu)件都占有三度空間,在載荷或溫度變化

27、等的作用下,物體內(nèi)產(chǎn)生的應力、應變和位移必然是三向的。一般說來,它們都是三個坐標x、y、z的函數(shù)。這樣的問題稱為彈性力學空間問題。982021/3/1794當構(gòu)件形狀有某些特點,并且受到特殊的分布外力作用或溫度變化影響,某些空間問題可以簡化為彈性力學的平面問題。這些問題中的應力、應變和位移僅為兩個坐標（如x、y）的函數(shù)。平面問題可以進而分為平面應變問題和平面應力問題兩大類。992021/3/1795平面應變設一構(gòu)件（如圖），其縱向（z）尺寸遠大于橫向（x，y）尺寸，且與縱軸垂直的各截面都相同；受到垂直于縱軸但不沿長度變化的外力（包括體積力X、Y，同時有Z=0）的作用,而且約束條件也不沿長度變化

28、。1002021/3/1796這時,可以把構(gòu)件在縱向作為無限長看待。因此,任一橫截面都可以視為對稱面,其上各點就不會產(chǎn)生沿z向的位移,而沿x、y方向的位移也與坐標z無關(guān)。則有u=u(x, y), v=v(x, y), w=0顯然,在這種條件下構(gòu)件所有橫截面上對應點（x、y坐標相同）的應力、應變和位移是相同的。這樣,我們只需從構(gòu)件中沿縱向截出單位厚度的薄片進行分析,用以代替整個構(gòu)件的研究 。1012021/3/1797在工程和機械中,許多結(jié)構(gòu)或構(gòu)件屬于這一類問題。如直的堤壩和隧道;圓柱形長管受到內(nèi)水（油）壓力作用;圓柱形長輥軸受到垂直于縱軸的均勻壓力等,均可近似的視為平面應變問題。yyzzoox

29、xyyoo1022021/3/1798 還有一種情況,當構(gòu)件的縱向尺寸不很大但兩端面被剛性光滑面固定,不能發(fā)生縱向位移時,若其他條件與上面所述相同,也屬于平面應變問題。通常，只要是長的等直柱體或板，受到垂直于其縱軸而且沿長度方向無變化的載荷作用時，都可以簡化為平面應變問題。下面是這種情況下的應力、應變以及彈性力學的基本方程式。 1032021/3/1799由幾何方程中應變分量和位移函數(shù)的關(guān)系及位移公式,得 0, 00,321xwzuzwxuywyxyvyxxvyuyxxuzxzyzyxyx不等于零的三個應變分量是x、y和xy,而且應變僅發(fā)生在與坐標面xoy平行的平面內(nèi)。1042021/3/17

30、100將 ， 代入物理方程 0yz0zxyzyzE12zxzxE120yz0zx得 yxzzE1將 代入物理方程 0z得 yxz在z軸方向沒有應變,但其應力 z并不為零。1052021/3/17101將 yxz代入物理方程zyxxE1xzyyE1得 xyxyxyxyyyxxEGEE12111111062021/3/17102如果用應變分量來表示應力分量,則有xyxyxyyxyyxxEEEE)1 (221)21)(1 ()1 ()1 (21)21)(1 ()1 (1)21)(1 ()1 (由上面的分析可知,獨立的應力分量只有 x、y 和xy 三個。1072021/3/17103平面應力對于具有如

31、下特征的構(gòu)件,可作為平面應力問題處理。(1)物體沿一個坐標方向的尺寸(如沿z軸方向)遠小于沿其它兩個方向的尺寸,如圖所示的等厚度薄板;(2)外力作用在周邊上,并與xoy面平行,板的側(cè)面沒有外力，體積力垂直于z軸;(3)由于板的厚度很小，故外載荷面積力和體積力都可看作是沿z軸方向均勻分布，并且為常量。 1082021/3/1710422yyxzoohhh體積力沿板厚不變,且沿z軸方向的分力Z=0。在板的前后表面上沒有外力作用。即0z0zx0zy2hz時1092021/3/17105在平面應力問題中，認為 等于零，但沿z軸的應變不等于零。這與平面應變的情況剛好相反。將 代入物理方程， 有 0zzy

32、xzzE1yxzE由于認為板內(nèi)，將其代入物理方程0zx0zyyzyzG1zxzxG1，則有0yz0zx1102021/3/17106于是,物理方程的另外三式成為 121)(1)(1xyxyxyxyyyxx EGEE如果用應變分量來表示應力分量,上面三式變?yōu)閤yxyxyxyyxyyxxEEGEE211)12)(1)(1222（1112021/3/17107xyxyxyyxyyxxEEEE)1 (221)21)(1 ()1 ()1 (21)21)(1 ()1 (1)21)(1 ()1 (xyxyxyxyyxyyxxEEGEE211)12)(1)(1222（比較兩類平面問題的物理方程:平面應力平面應

33、變1122021/3/17108 D Txyyx Txyyx這里，分別為應力矩陣、應變矩陣。矩陣D稱為彈性矩陣。如果用 和 分別代換平面應力物理方程各式中的E和，就得到平面應變物理方程，因此，我們可以將兩類平面問題的物理方程寫成統(tǒng)一的格式，用矩陣方程表示為21E11132021/3/17109對于平面應力問題,彈性矩陣為 21001112稱對ED對于平面應變問題的彈性矩陣，只須在上式中，以 代E， 代即可。21E11142021/3/17110算例已知平面應變問題中某一三角形三結(jié)點單元剛度子陣為: 14101251261352114111EKe試根據(jù)兩類平面問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系寫出該子陣對應平面應力

34、問題的剛度子陣。 1152021/3/171112121uuEuu1用代E，用代u。得到平面應力問題的剛度子陣：uuuuuEuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuEKe410252635141114101112511126111351211141112122111162021/3/17112平面問題的解法彈性力學平面問題有兩個平衡微分方程，三個幾何方程，三個物理方程。共有八個方程，其中含有三個應力分量 ，三個應變分量 ，兩個位移分量u和v，共八個未知函數(shù)。從數(shù)學的觀點來看，有足夠的方程來求解這些未知函數(shù)，問題是可解的。我們要求出八個未知函數(shù)，使其滿足八個方程，同時還必須滿足全部（應力

35、及位移）的邊界條件。xyxyxyxy1172021/3/17113如前所述,在一定的邊界條件下求解基本方程,可以采用兩種基本方法:一是位移法位移法;另一種是應力法應力法。1. 位移法把兩個位移分量u(x, y), v(x, y)作為基本未知函數(shù)。為此,必須利用物理方程和幾何方程,將應力分量用位移分量表示出來。1182021/3/17114對于平面應力問題,有物理方程將幾何方程 代入以上各式，得xuxyvyyuxvxy1192021/3/17115yvxuEx21yvxuEy21yuxvExy12再將上式帶入平衡微分方程，0Xyxyxx0Yyxyxy簡化后,即得1202021/3/1711602

36、1211222222XyxvyuxuE021211222222YyxuxvyvE這就是用位移分量表示的平衡微分方程。將yvxuEx21yvxuEy21yuxvExy12代入應力邊界條件YmlyxyXmlyxx1212021/3/17117得到用位移表示的應力邊界條件:YxvyulxuyvmEXxvyumyvxulE21121122位移邊界條件：vvAuuA由此可見,用位移法求解平面應力問題,歸結(jié)為求解平衡微分方程,并在邊界上滿足邊界條件。1222021/3/17118如果所求的問題直接給出了邊界上的位移 ，則應使得到的位移分量滿足位移邊界條件。求出位移分量后，即可用幾何方程求得應變分量，再由物

37、理方程求出應力分量。xyxyxyxyyxyyxxEEGEE211)12)(1)(1222（vvAuuAuv對于平面應變問題，只需將上面各方程中的E換為 ，將換為 。21E11232021/3/171192. 應力法對于彈性力學平面問題，往往已知構(gòu)件所承受的載荷。一般以應力作為基本未知量較為方便，因此應力法應用較為廣泛。在這里以三個應力分量 、 和 為基本未知函數(shù)，需要運用平衡微分方程變形連續(xù)方程 共同決定這三個未知函數(shù)。yxx,yxy,yxxy,0Xyxyxx0Yyxyxyyxxyxyyx222221242021/3/17120在這三個方程中,兩個平衡方程已經(jīng)用應力表示了,尚需將應變表示的變形

38、連續(xù)方程改為用應力來表示,為此,將物理方程 121)(1)(1xyxyxyxyyyxx EGEExyxyxyxyyyxxEGEE1211111或yxxyxyyx22222代入變形連續(xù)方程即可。1252021/3/17121進一步可由物理方程求應變,再通過幾何方程xuxyvyyuxvxyYmlyxyXmlyxx把所得結(jié)果再與平衡方程聯(lián)立求解,即可得出三個應力分量,同時使它們滿足邊界條件求位移,使其滿足位移邊界條件。1262021/3/17122第三章 有限元分析的數(shù)學基礎(chǔ) 2021/3/171233.1 簡單問題的解析求解3.1.1 1D拉壓桿問題一個左端固定的拉桿在其右端承受一外力P,該拉桿的

39、長度為l,橫截面積為A,彈性模量為E,如圖所示。1282021/3/17124（1） 基本變量由于該問題是為沿x方向的一維問題,因此只有沿x方向的變量,而其它變量為零。即1292021/3/17125（2） 基本方程對原三維問題的所有基本方程進行簡化,只保留沿x方向的方程,有該問題的三大基本方程和邊界條件如下:0 xx1302021/3/17126xux1312021/3/17127（3） 求解對方程進行直接求解,可得到以下結(jié)果1322021/3/17128其中c和c1為待定常數(shù)，由邊界條件BC和，可求出中的常數(shù)c1=0，因此，有最后的結(jié)果：1332021/3/17129（4） 討論1若用經(jīng)驗

40、方法求解（如材料力學的方法），則需先作平面假設，即假設 為均勻分布，則可得到再由虎克定律可算出1342021/3/17130再計算右端的伸長量為經(jīng)驗方法求解的結(jié)果與彈性力學解析的結(jié)果完全一致。1352021/3/17131（5） 討論2該問題有關(guān)能量的物理量的計算為應變能外力功勢能 1362021/3/171323.1.2 平面梁的彎曲問題受分布載荷的簡支梁如圖所示,由于簡支梁的厚度較薄,外載沿厚度方向無變化,該問題可以認為是一平面問題（xoy）1372021/3/17133（1） 基本方程的建立基本方程的建立描述該變形體同樣應有三大方程和兩類邊界條件,有以下兩種方法來建立基本方程。(a)用彈

41、性力學中dxdy微體建模方法推導三大方程(b) 用簡化的“特征建?！狈椒ㄍ茖蠓匠獭Ｏ旅娼o出簡化的“特征建?！狈椒ǖ耐茖н^程,其思想是用工程宏觀特征量進行描述。1382021/3/17134基本變量1392021/3/17135下面取具有全高度梁的dx ”微段”來推導三大方程1402021/3/17136針對圖中“微段”，應有三個平衡方程，由 ，有其中，y為距梁中性層的坐標。由 ，有 ，即-1412021/3/17137由 ，有 ，即由變形后的幾何關(guān)系,可得到其中，y為距中性層的坐標， 為梁撓度的曲率，即1422021/3/17138由虎克定律對以上方程進行整理,有描述平面梁彎曲問題的基本方

42、程將原始基本變量定為中性層的撓度v(x),則可求出其它參量。1432021/3/17139該簡支梁的邊界為梁的兩端,作用在梁上的q(x)已在平衡方程中考慮,因此不作為力的邊界條件。兩端位移兩端力（彎矩）1442021/3/17140將彎矩以撓度的二階導數(shù)來表示,即（2） 求解求解若用基于dxdy微體所建立的原始方程（即原平面應力問題中的三大類方程）進行直接求解,比較麻煩,并且很困難,若用基于以上簡化的“特征建?！狈椒ㄋ玫降幕痉匠踢M行直接求解則比較簡單,對本例問題（如為均勻分布），其方程為:1452021/3/17141這是一個常微分方程,其解的形式有1462021/3/17142其中c0c

43、3為待定系數(shù),可由四個邊界條件BC求出,最后有結(jié)果（3） 討論討論該問題有關(guān)能量的物理量計算為:應變能1472021/3/17143外力功勢能1482021/3/17144第四章 桿梁結(jié)構(gòu)的有限元分析原理2021/3/17145本章提到的FEM即 有限元方法(Finite Element Method)FEA即 有限元分析(Finite Element Analysis)4.1 一個簡單結(jié)構(gòu)一個簡單結(jié)構(gòu)FEA求解的完整過程求解的完整過程一個階梯形狀的二桿結(jié)構(gòu)如圖所示,其材料的彈性模量和結(jié)構(gòu)尺寸如下:1502021/3/17146該結(jié)構(gòu)由兩根桿件組成,作為一種直覺,需要研究相應的“特征結(jié)構(gòu)”,即

44、桿單元,將該“特征結(jié)構(gòu)”抽象為具有兩個結(jié)點的單元，如下圖所示。1512021/3/17147e下面考察該簡單問題的FEA求解過程。(1) 離散化離散化兩個桿單元,即:單元和單元1522021/3/17148(2) 單元的特征及表達單元的特征及表達對于二結(jié)點桿單元，設該單元的位移場為 ，那么它的兩個結(jié)點條件為設該單元的位移場具有模式（考慮兩個待定系數(shù)）1532021/3/17149利用結(jié)點條件,可以確定系數(shù)a0和a1,即將系數(shù)a0和a1代入 ，可將 表達成結(jié)點位移(u1, u2)的關(guān)系，即1542021/3/17150其中由一維問題幾何方程和物理方程,則該單元的應變和應力為1552021/3/1

45、7151其中1562021/3/17152單元的勢能其中叫做單元剛度矩陣。2021/3/17153叫做單元結(jié)點外載。在得到“特征單元”的單元剛度矩陣和單元結(jié)點外載后，就可以計算該單元的勢能，因此，計算各單元的矩陣 和 是一個關(guān)鍵，下面就本題給出了個單元的 和 。2021/3/17154具體就單元,有單元的結(jié)點位移向量單元的剛度矩陣單元的結(jié)點外載其中P1為結(jié)點1的支反力。2021/3/17155具體就單元,有單元的剛度矩陣單元的結(jié)點外載單元的結(jié)點位移向量2021/3/17156(3) 裝配集成以得到系統(tǒng)的總體勢能裝配集成以得到系統(tǒng)的總體勢能計算整體的勢能2021/3/17157(4) 處理位移邊

46、界條件并求解處理位移邊界條件并求解由圖可知,其邊界條件為左端固定,即u1=0, 將該條件代入總體勢能公式,有這時由全部結(jié)點位移0 u2 u3分段所插值出的位移場為全場許可位移場。2021/3/17158由最小勢能原理（即針對未知位移u2和u3求一階導數(shù)）,有可解出2021/3/17159(5) 計算每個單元的應變及應力計算每個單元的應變及應力在求得了所有的結(jié)點位移后,由幾何方程可求得各單元的應變2021/3/17160由方程可求得各單元的應力2021/3/17161(6) 求結(jié)點求結(jié)點1的支反力的支反力就單元 的勢能,對相應的結(jié)點位移求極值,可以建立該單元的平衡方程,即有則結(jié)點1的外力為:20

47、21/3/17162(7) 討論討論如果我們在處理位移邊界條件之前,先對總勢能取極值,有在上述方程的基礎(chǔ)上,再處理位移邊界條件(BC),即令u1=0,即可從上述方程求出u2,u3和P1，其求解的值與前面的結(jié)果完全相同。2021/3/17163這就給我們提供了一個方便,即,可以先進行各單元的裝配集成,以形成該系統(tǒng)的整體極值方程,類似于上頁的式子，最后才處理位移邊界條件，同時也可以通過該整體方程直接求出支反力。這樣可以適應更多的邊界條件工況，更具有通用性。2021/3/171644.2 有限元分析的基本步驟和表達式有限元分析的基本步驟和表達式從上面的簡單實例中,可以總結(jié)出有限元分析的基本思路（以桿

48、單元為例）:2021/3/17165 單元的位移（場）模式（唯一確定性原則,完備性原則）基本步驟及相應的表達式基本步驟及相應的表達式(1) 物體幾何的離散化物體幾何的離散化 單元的結(jié)點描述為具有特征的單元。(2) 單元的研究單元的研究（所有力學信息都用結(jié)點位移來表達）為幾何位置坐標。2021/3/17166 所有物理量的表達（所有力學量都用結(jié)點位移來表達）其中2021/3/17167 單元的平衡關(guān)系上式的實質(zhì)（物理含義）是對應于單元體內(nèi)的力平衡和單元結(jié)點上的力平衡。(3) 裝配集成裝配集成 整體平衡關(guān)系2021/3/17168其中(4) 處理處理BC并求解結(jié)點位移并求解結(jié)點位移目的是獲得滿足位

49、移邊界條件的許可位移場。其中,qu為未知結(jié)點位移,qk為已知結(jié)點位移,Pu為未知結(jié)點力（即支反力）,Pk為已知結(jié)點力。2021/3/17169將上頁方程代入以下兩個方程表達式:可以先由（1）式直接求出未知結(jié)點位移:（1）（2）2021/3/17170(5) 求支反力求支反力(6) 其它力學量的計算其它力學量的計算在求出未知結(jié)點位移qu后,由上頁的(2)式可求出支反力單元和整體的應變及應力2021/3/171714.3 桿單元及坐標變換桿單元及坐標變換4.3.1 局部坐標系中的單元描述局部坐標系中的單元描述局部坐標系中的桿單元2021/3/17172上圖所示的桿單元，設有兩個端結(jié)點(Node1和

50、Node2)，結(jié)點位移向量 和結(jié)點力向量 為利用函數(shù)插值、幾何方程、物理方程以及勢能計算公式，可以將單元的所有力學參數(shù)（場變量）( 和 )用結(jié)點位移向量來表示。2021/3/17173(1) 單元位移場單元位移場ue(x)的表達的表達由于有兩個結(jié)點位移條件,可假設該單元的位移場為具有兩個待定系數(shù)的函數(shù)模式,即其中a0和a1為待定系數(shù)。 由該單元的結(jié)點位移條件2021/3/17174可求出上頁的a0和a1，則 可重新寫成其中， 叫做單元的形狀函數(shù)矩陣，即2021/3/17175由彈性力學中的幾何方程（這里為一維問題）有(2) 單元應變場單元應變場 的表達的表達其中 叫做單元的幾何函數(shù)矩陣，即20

51、21/3/17176由彈性力學中的物理方程,有(3) 單元應力場單元應力場 的表達的表達其中， 為該單元的彈性模量， 叫做單元的應力函數(shù)矩陣，即2021/3/17177(4) 單元勢能單元勢能 的表達的表達其中， 叫做單元的剛度矩陣，即2021/3/17178(5) 單元的剛度方程單元的剛度方程由最小勢能原理（針對該單元），將 對待定的結(jié)點位移向量 取一階極小值，有這就是單元的剛度方程,由最小勢能原理的性質(zhì)（系統(tǒng)的勢能最小可推導出力的平衡方程和力的邊界條件）可知,上式的物理含義是:該單元的力的平衡關(guān)系。2021/3/171794.3.2 平面問題中桿單元的坐標變換平面問題中桿單元的坐標變換20

52、21/3/17180在工程實際中,桿單元可能出于整體坐標系中的任意一個未知,如上圖所示,這需要將原來在局部坐標系中所得到的單元表達等價地變換到整體坐標系中,這樣，不同位置的單元才有公共的坐標基準，以便對各個單元進行集成和裝配。上圖中局部坐標系中的結(jié)點位移2021/3/17181上圖中整體坐標系中的結(jié)點位移對于結(jié)點1，整體坐標系下的結(jié)點位移 和其合成的結(jié)果應完全等效于 ；對于結(jié)點2，結(jié)點位移 和 合成的結(jié)果應完全等效于 ，即存在以下的等價變換關(guān)系2021/3/17182寫成矩陣形式2021/3/17183其中 為坐標變換矩陣，即下面推導整體坐標系下的剛度方程，由于單元的勢能是一個標量（能量），不

53、會因坐標系的不同而改變，因此，將結(jié)點位移 的坐標變換關(guān)系代入單元勢能 公式，有2021/3/17184其中， 為整體坐標系下的單元剛度矩陣， 為整體坐標系下的結(jié)點力，即2021/3/17185對于本節(jié)給出的桿單元,具體有由最小勢能原理（針對該單元），將 對待定的結(jié)點位移向量 取一階極小值，有整體坐標系中的剛度方程2021/3/171864.3.3 空間問題中桿單元的坐標變換空間問題中桿單元的坐標變換2021/3/17187就空間問題中桿單元,局部坐標系下的結(jié)點位移還是而整體坐標系中的結(jié)點位移為桿單元軸線在整體坐標系中的方向余弦為2021/3/17188其中 和 分別為結(jié)點1和結(jié)點2在整體坐標系

54、中的位置，l是桿單元的長度，和平面情形類似， 與 之間存在以下轉(zhuǎn)換關(guān)系：2021/3/17189剛度矩陣和結(jié)點力的變化與平面情形相同,即為其中 為坐標變換矩陣，即2021/3/171904.4 梁單元及其坐標變換梁單元及其坐標變換4.4.1 局部坐標系中的純彎梁單元局部坐標系中的純彎梁單元2021/3/17191上圖所示為一局部坐標系中的純彎梁，設有兩個端結(jié)點（Node1和Node2），結(jié)點位移 和結(jié)點力 為和前面推導桿單元時的情形類似，利用函數(shù)插值、幾何方程、物理方程以及勢能計算公式，我們可以將單元的所有力學參量（場變量）用結(jié)點位移向量 來表示。2021/3/17192由于有四個位移結(jié)點條件

55、,可假設純彎梁單元的位移場為具有四個待定系數(shù)的函數(shù)模式,即(1) 單元位移場的表達單元位移場的表達其中 為待定系數(shù)。由該單元的結(jié)點位移條件2021/3/17193可求出 中的4個待定系數(shù)，即將上式代入 中，重寫位移函數(shù)，有2021/3/17194其中， ， 叫做單元的形狀函數(shù)矩陣，即2021/3/17195(2) 單元應變場的表達單元應變場的表達由純彎梁的幾何方程,有梁的應變表達式其中 為基于中性層的坐標， 叫做單元的幾何函數(shù)矩陣，即2021/3/17196其中2021/3/17197(3) 單元應力場的表達單元應力場的表達其中 彈性模量， 叫做單元的應力函數(shù)矩陣2021/3/17198該單元

56、的勢能為(4) 單元勢能單元勢能 的表達的表達其中應變能2021/3/17199其中 為剛度矩陣，即2021/3/17200其中 為慣性矩，則外力功為2021/3/17201(5) 單元的剛度方程單元的剛度方程同樣，由最小勢能原理，將 對 取一階極小值，有剛度方程其中剛度矩陣 和力矩陣 分別在以上的計算中給出。注意上式中的下表(44)(41)(41)為各個矩陣的維數(shù)（即行和列）。2021/3/172024.4.2 局部坐標系中的平面梁單元局部坐標系中的平面梁單元為推導平面問題中的梁單元的坐標變換公式,我們在純彎梁的基礎(chǔ)上疊加軸向位移（由于為線彈性問題,滿足疊加原理）,如下圖所示2021/3/1

57、7203上圖所示平面梁單元的結(jié)點位移 和結(jié)點力 為相應的剛度方程為2021/3/17204將桿單元剛度矩陣與純彎梁單元剛度矩陣進行組合,可得到剛度矩陣2021/3/172054.4.3 平面問題中梁單元的坐標變換平面問題中梁單元的坐標變換2021/3/17206局部坐標系下的結(jié)點位移整體坐標系中的結(jié)點位移注意：轉(zhuǎn)角 和 在兩個坐標系中是相同的。2021/3/17207按照兩個坐標系中的位移向量相等效的原則,可推導出以下變換關(guān)系。寫成矩陣形式有2021/3/17208其中T為坐標變換矩陣,即2021/3/17209則整體坐標系中的剛度方程為其中2021/3/17210空間梁單元除承受軸力和彎矩外

58、,還可能承受扭矩的作用,而且彎矩可能同時在兩個坐標面內(nèi)存在,如下圖4.4.4 空間梁單元及坐標變換空間梁單元及坐標變換2021/3/17211下面,我們分別基于前面桿單元和平面梁單元的剛度矩陣分別寫出上圖中各對應結(jié)點位移的剛度矩陣,然后進行組合以形成完整的剛度矩陣。對應于上圖中梁單元，其局部坐標系中的結(jié)點位移 和結(jié)點力 為2021/3/17212(1) 對應于圖中的結(jié)點位移對應于圖中的結(jié)點位移(u1, u2)這是軸向位移,有剛度矩陣(2) 對應于圖中的結(jié)點位移對應于圖中的結(jié)點位移( , )這是桿受扭時的情形,其剛度矩陣為其中J為橫截面的扭轉(zhuǎn)慣性矩,G為剪切模量。2021/3/17213這是梁在

59、xoy平面內(nèi)的純彎曲情形,有剛度矩陣(3) 對應于圖中對應于圖中xoy平面內(nèi)的結(jié)點位移平面內(nèi)的結(jié)點位移其中Iz為梁的橫截面繞z軸的慣性矩。2021/3/1721422223)44()(46266126122646612612lllllllllllllEIyeOxzK(4) 對應于圖中對應于圖中xoz平面內(nèi)的結(jié)點位移平面內(nèi)的結(jié)點位移這是梁在xoz平面內(nèi)的純彎曲情形,有剛度矩陣2021/3/17215(5) 將各分剛度矩陣進行組合以形成完整的將各分剛度矩陣進行組合以形成完整的單元剛度矩陣單元剛度矩陣將上述各分剛度矩陣的元素進行組合,則可形成局部坐標系中空間梁單元的完整剛度矩陣,即2021/3/17

60、2162021/3/17217(6) 空間梁單元坐標變換空間梁單元坐標變換空間梁單元坐標變換的原理和方法與平面梁單元的坐標變換相同,只要分別寫出兩個坐標系中的位移向量的等效關(guān)系則可得到坐標變換矩陣,即 局部坐標系中空間梁單元的結(jié)點位移整體坐標系中的結(jié)點位移2021/3/17218對應于各組位移分量,可分別推導相應的轉(zhuǎn)換關(guān)系,具體的,對結(jié)點1,有2021/3/17219同樣,對結(jié)點2有以下轉(zhuǎn)換關(guān)系2021/3/17220以上的 為結(jié)點坐標變換矩陣，即其中 分別表示局部坐標軸(x，y，z)對整體坐標軸的方向余弦。2021/3/17221將以上各式寫在一起,有其中T為坐標變換矩陣,即2021/3/1