2022版高考數(shù)學一輪總復習課后限時集訓45立體幾何中的向量方法【含解析】

1、2022版高考數(shù)學一輪總復習課后限時集訓45立體幾何中的向量方法【含解析】建議用時：40分鐘一、選擇題1若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于120，則直線l與平面所成的角等于()A120B60 C30D60或30C設直線l與平面所成的角為，直線l與平面的法向量的夾角為.則sin |cos |cos 120|.又090，30.2(2020江西省五校協(xié)作聯(lián)考)如圖，圓錐的底面直徑AB4，高OC2，D為底面圓周上的一點，且AOD，則直線AD與BC所成的角為()A.B C.DB如圖，過點O作OEAB交底面圓于E，分別以OE，OB，OC所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，因為AOD，所以BO

2、D，則D(，1,0)，A(0，2,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，(，3,0)，(0，2,2)，所以cos，則直線AD與BC所成的角為，故選B.3如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為()AB CDA設CA2，則C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得向量(2,2,1)，(0,2，1)，由向量的夾角公式得cos，.4在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，AC2，BC，D，E分別是AC1和BB1的中點，則直線DE與平面BB1C1C所成的角為()A30B45

3、 C60D90A由已知AB2BC2AC2，得ABBC.以B為原點，分別以BC，BA，BB1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，設AA12a，則A(0,1,0)，C(，0,0)，D，E(0,0，a)，所以，平面BB1C1C的一個法向量為n(0,1,0)，cos，n，n60，所以直線DE與平面BB1C1C所成的角為30.故選A.5設正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，則點D1到平面A1BD的距離是()AB CDD如圖建立坐標系，則D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(2,0,2)設平面A1BD的法向量為n(x，y，z)

4、，則令z1，得n(1,1,1)D1到平面A1BD的距離d.6如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面邊長為2，直線CC1與平面ACD1所成角的正弦值為，則正四棱柱的高為()A2B3C4D5C以D為原點，以DA，DC，DD1為坐標軸建立空間坐標系如圖所示，設DD1a，則A(2,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0，a)，C1(0,2，a)，則(2,2,0)，(2,0，a)，(0,0，a)，設平面ACD1的法向量為n(x，y，z)，則令x1可得n，故cosn，.直線CC1與平面ACD1所成角的正弦值為，解得a4.故選C.二、填空題7在底面是直角梯形的四棱錐SABCD中，ABC90，AD

5、BC，SA平面ABCD，SAABBC1，AD，則平面SCD與平面SAB所成銳二面角的余弦值是_如圖所示，建立空間直角坐標系，則依題意可知，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，可知是平面SAB的一個法向量設平面SCD的一個法向量n(x，y，z)，因為，所以即令x2，則有y1，z1，所以n(2，1,1)設平面SCD與平面SAB所成的銳二面角為，則cos .8.如圖所示，四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，PD2，E是棱PB的中點，M是棱PC上的動點，當直線PA與直線EM所成的角為60時，那么線段PM的長度是_如圖建立空間直角坐標系，則A(2,0,0)，P(0,

6、0,2)，B(2,2,0)，E是棱PB的中點，E(1,1,1)，設M(0,2m，m)，則，解得m，M，PM.9.如圖，平面ABCD平面ABEF，四邊形ABCD是正方形，四邊形ABEF是矩形，且AFADa，G是EF的中點，則GB與平面AGC所成角的正弦值為_如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，則A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，(a，a,0)，(0,2a,2a)，(a，a,0)，設平面AGC的法向量為n1(x1，y1,1)，由n1(1，1，1)sin .三、解答題10(2020浙江寧波二模)中國古代數(shù)學經典九章算術中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂

7、直的四棱錐稱為“陽馬”，將四個面都為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”在如圖所示的陽馬PABCD中， 底面ABCD是矩形PA平面ABCD，PAAD2，AB，以AC的中點O為球心，AC為直徑的球面交PD于點M(異于點D)，交PC于點N(異于點C)(1)證明：AM平面PCD，并判斷四面體MCDA是否是鱉臑？若是，寫出它每個面的直角(只需寫出結論)；若不是，請說明理由(2)求直線ON與平面ACM所成角的正弦值解(1)因為AC是球的直徑，所以AMMC，又PA平面ABCD，所以CDPA，又CDAD，所以CD平面PAD，所以CDAM，所以AM平面PCD.四面體MCDA是鱉臑它的每個面的直角分別是AMC，AMD

8、，ADC，MDC.(2)如圖，以A為原點，分別以AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系則B(，0,0)，C(，2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，O.由(1)知AMPD，又PAAD，則M為PD的中點，從而M(0,1,1)所以(，2,2)，設(，2，2)(01)，則(，22，2)由ANCN，得()2(22)4210260，由0得，即.所以.設平面ACM的法向量為n(x，y，z)由取x，則y1，z1，則n(，1,1)記ON與平面ACM所成的角為，則sin .所以直線ON與平面ACM所成角的正弦值為.11(2020安徽五校聯(lián)考)如圖，已知四棱錐PABCD的底面ABCD是等

9、腰梯形，ABCD，ACBDO，PBAC，PAPBAB2CD2，AC3.(1)證明：平面PBD平面ABCD；(2)點E是棱PC上一點，且OE平面PAD，求二面角EOBA的正弦值解(1)證明：等腰梯形ABCD中，OABOCD，2，又AC3，OA2，OB2，OA2OB2AB2，OAOB，即ACBD.又PBAC，且BDPBB，AC平面PBD.又AC平面ABCD，平面PBD平面ABCD.(2)連接PO，如圖，由(1)知，AC平面PBD，ACPO，PO2，PO2OB2PB2，即POOB.以OA，OB，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0

10、)，P(0,0,2)，平面AOB的一個法向量為m(0,0,1)，OE平面PAD，OE平面PAC，平面PAC平面PADPA，OEPA.設平面EOB的法向量為n(x，y，z)，則n，則y0，nn(x，y，z)(2,0,2)0xz，令x1，則n(1,0,1)，cosm，n，sinm，n，所求二面角EOBA的正弦值是.1(2020連云港模擬)九章算術中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑，如圖，在鱉臑PABC中，PA平面ABC，ABBC，且PAABBC1，則二面角APCB的大小是()A30B45 C60D90C在鱉臑PABC中，PA平面ABC，ABBC，且PAABBC1，以B為原點，BC為x軸，

11、BA為y軸，過B作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，則A(0,1,0)，C(1,0,0)，B(0,0,0)，P(0,1,1)，(0,0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)，設平面PAC的法向量n(x，y，z)，則取x1，得n(1,1,0)，設平面PBC的法向量m(a，b，c)，則取b1，得m(0,1，1)，設二面角APCB的大小為，則cos ，60.二面角APCB的大小為60.故選C.2(2020宣城二模)如圖，正四面體ABCD的頂點A，B，C分別在兩兩垂直的三條射線Ox，Oy，Oz上，則在下列命題中，錯誤的為()AOABC是正三棱錐B二面角DOBA的平面角為C直線AD與直線OB所

12、成角為D直線OD平面ABCB正四面體ABCD的頂點A，B，C分別在兩兩垂直的三條射線Ox，Oy，Oz上，在A中，ACABBC，OAOBOC，OABC是正三棱錐，故A正確；在B中，設OB1，則A(1,0,0)，B(0,1,0)，D(1,1,1)，O(0,0,0)，(1,1,1)，(0,1,0)，設平面OBD的法向量m(x，y，z)，則取x1，得m(1,0，1)，平面OAB的法向量n(0,0,1)，cosm，n，二面角DOBA的平面角為，故B錯誤；在C中，設OB1，則A(1,0,0)，B(0,1,0)，D(1,1,1)，O(0,0,0)，(0,1,1)，(0,1,0)，cos，直線AD與直線OB所

13、成角為，故C正確；在D中，設OB1，則A(1,0,0)，B(0,1,0)，D(1,1,1)，O(0,0,0)，C(0,0,1)，(1,1,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，0，0，ODAB，ODAC，ABACA，直線OD平面ABC，故D正確故選B.3(2020廈門模擬)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面ACC1A1，ABC為正三角形，D為線段BB1的中點(1)證明：平面ADC1平面ACC1A1；(2)若AA1與平面ABC所成角的大小為60，AA1AC，求二面角ADC1B1的余弦值解(1)證明：設AC，AC1的中點分別為M，O，連接BM，MO，DO，ABC為正三角形，BMAC

14、.平面ABC平面ACC1A1，平面ABC平面ACC1A1AC，BM平面ABC，BM平面ACC1A1.M，O分別為AC，AC1的中點，MO綊CC1，在棱柱ABCA1B1C1中，BB1綊CC1，又D為BB1的中點，BD綊CC1，MO綊BD，四邊形BMOD為平行四邊形，DOBM ，DO平面ACC1A1，DO平面ADC1，平面ADC1平面ACC1A1.(2)平面ACC1A1平面ABC，A1在平面ABC內的射影落在AC上，A1AC為AA1與平面ABC所成的角，故A1AC60，連接A1O，AA1AC，則A1OAO，設AA12，則AO，A1O1，以O為原點，分別以OA，OA1，OD所在直線為x軸，y軸，z軸

15、建立如圖所示的空間直角坐標系， 則A(，0,0)，D(0,0，)，C1(，0,0)，C(0，1,0)，B1，(，0，)，平面ACC1A1平面ADC1，平面ACC1A1平面ADC1AC1，OA1AC1，OA1平面ADC1，設平面ADC1的一個法向量為(0,1,0)，設平面B1DC1的一個法向量為m(x，y，z)，則取m(1，1)，cos，m，又二面角ADC1B1為鈍角，故二面角ADC1B1的余弦值為.1(2020樂清期末)如圖在三棱錐SABC中，SASBSC，且ASBBSCCSA，M，N分別是AB和SC的中點，則異面直線SM與BN所成的角的余弦值為_，直線SM與面SAC所成角大小為_因為ASBB

16、SCCSA，所以以S為坐標原點，SA，SB，SC為x，y，z軸建立空間直角坐標系(圖略)設SASBSC2，則M(1,1,0)，B(0,2,0)，N(0,0,1)，A(2,0,0)，C(0,0,2)因為(1,1,0)，(0，2,1)，cos，所以異面直線SM與BN所成的角的余弦值為，面SAC一個法向量為(0,2,0)，則由cos，得，即直線SM與面SAC所成角大小為.2結構不良試題(2020青島模擬)試在PCBD，PCAB，PAPC三個條件中選兩個條件補充在下面的橫線處，使得PO面ABCD成立，請說明理由，并在此條件下進一步解答該題：如圖，在四棱錐PABCD中，ACBDO，底面ABCD為菱形，若_，且ABC60，異面直線PB與CD所成的角為60，求二面角APBC的余弦值解若選，由PO平面ABCD，知POAB，又PCAB，AB平面PAC，ABAC，BAC90，BCBA，這與底面是菱形矛盾，必不選，故選.下面證明：PO平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，ACBD，PCBD，PCACC，BD平面APC，PO平面APC，BDPO，PAPC，O為AC中點，POAC，又ACBDO，PO平面ABCD，以O為原點，OB，OC，OP的方向分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，ABCD，PB