2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案-全國(guó)1卷

1、A.C.P4:若復(fù)數(shù)z R，則z R .2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)本試卷5頁(yè)，23小題，滿分150分。考試用時(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1 答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼橫貼在答題 卡右上角“條形碼粘貼處”。2 作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后， 用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答 案信息點(diǎn)涂黑；如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能 答在試卷上。3 非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后

2、再寫上新答案； 不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4 考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 項(xiàng)是符合題目要求的。1 已知集合 A x|x 1 , B x|3x 1，則2如圖，正方形 ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖 正方形內(nèi)切 圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是B.-8D.43.設(shè)有下面四個(gè)命題1P1 :若復(fù)數(shù)z滿足 R，則z R ;zP2:若復(fù)數(shù)z滿足z2R，則z R ;P3 :若復(fù)數(shù)Z1,Z2滿足Z1Z2 R，

3、貝U乙 Z2 ；絕密啟用前A. AI B x|x 0B. AUB RC. AU B x|x 1D. AI B其中的真命題為AP1, P3B.P1, P4C. P2, P3D. P2, P44.記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a424 ,48，則an的公差為A. 1B. 2C. 4D. 85 .函數(shù)f(X)在()單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若則滿足 1f(x 2)1的x的取值范圍是A. 2,2B- 1,1C.0,4D.1,36. (1 )(1x)6展開(kāi)式中x2的系數(shù)為xA. 15B. 20C. 30D. 357某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為

4、2,俯視圖為等腰直角三角形面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為A.10B. 12C. 14D. 168.右面程序框圖是為了求出滿足 3n 2n 1000的最小偶 數(shù) n ,那么在V鋼和-兩個(gè)空白框中，可以分別填入A.A 1000和nn1B.A 1000和nn2C.A 1000和nn1D.A 1000和nn29 .已知曲線G :ycosx,C2面結(jié)論正確的是:y sin(2x )，則下3A.把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變,6B.C.單位長(zhǎng)度，得到曲線C2把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線 C2把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的單位長(zhǎng)度，得到曲線C22倍，

5、縱坐標(biāo)不變,1倍，縱坐標(biāo)不變,2再把得到的曲線向左平移再把得到的曲線向右平移n124.記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a424 ,48，則an的公差為7tA. 440B. 330C. 220D. 11013.已知向量a, b的夾角為60,| a|=2 , | b|=1，則 | a +2 b |=.14設(shè)x,y滿足約束條件x 2y 12x y 1，則z 3x 2y的最小值為x y 02 215已知雙曲線C:務(wù)爲(wèi) 1（aa2 b20,b 0）的右頂點(diǎn)為 A以A為圓心，b為半徑做圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M N兩點(diǎn)。若 MAN 60，則C的離心率為1D.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的一

6、倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移2 12個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線 C210.已知F為拋物線C: y2 4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線 h, J，直線h與C交 于A、B兩點(diǎn)，直線12與C交于D、E兩點(diǎn)，貝U |AEB+| DE的最小值為A. 16B. 14C.12D. 1011.設(shè)xyz為正數(shù)，且2x3y 5z,則A. 2x 3y 5zB.5z2x3yC. 3y 5z 2xD.3y2x5z12.幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件。為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列 1, 1 , 2, 1 , 2

7、, 4, 1, 2, 4, 8, 1 , 2, 4, 8, 16，其中第一項(xiàng)是20，接下來(lái)的兩項(xiàng)是20,21，再接下來(lái)的三項(xiàng)是 20,21,22，依此類推。求滿足如下條件的最小整數(shù)N:N 100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)幕。那么該款軟件的激活碼是、填空題：本題共 4小題，每小題5分，共20分。16如圖，圓形紙片的圓心為O半徑為5 cm,該紙片上的等邊三角形 ABC勺中心為 O DE、F為圓O上的點(diǎn)， DBC ECA FAB分別是以BC CA AB為底邊的等腰三角形。 沿虛線剪開(kāi)后，分別以 BC CA AB為折痕折起 DBC ECA FAB使得 D E、F 重合，得到三棱錐。當(dāng) ABC的邊長(zhǎng)變

8、化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cmf）的最大值為每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。17.(12分) ABC的內(nèi)角A B,C的對(duì)邊分別為a, b, c,已知 ABC勺面積為2a3sin A18.(2)若 6cos BcosC 1,a3，求 ABC的周長(zhǎng).(12 分)90o.19.(12 分)16個(gè)產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N( , 2).零件，并測(cè)量其尺寸(單位:(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第1721題為必考題,(一)必考題：共 60分。(1)求 sin BsinC;(2)若 PA=PD=AB=DC APD

9、90o，求二面角 A-PB-C的余弦值.為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取cm).根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(3 ,3 )之外的零件數(shù)，求P(X 1)及X的數(shù)學(xué)期望;(2) 天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(3 ,3 )之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.(i)試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性；(ii) 下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04如圖，在四棱錐(1)證

10、明：平面2已知橢圓C：篤a當(dāng))，P4( 1,10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得 x Jxi 9.97 , sU(16x2 16X2)20.212,16 i iYl6 i iYl6 i i i其中Xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i 1,2, ,16.用樣本平均數(shù)x作為 的估計(jì)值？，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值？，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除(？ 3? 3?)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和(精確到0.01).附：若隨機(jī)變量 Z服從正態(tài)分布 N( , 2)，則P( 3 Z 3 )0.997 4 ,0.997 4160.959 2 ,.

11、 0.0080.09 .20.(12 分)2汁(ab0)，四點(diǎn) P (1,1 (0,1)/ (- 1，)中恰有三點(diǎn)在橢圓 C上.2(1) 求C的方程；(2) 設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A B兩點(diǎn)。若直線P2A與直線P2B的斜率的和為 -1，證明：I過(guò)定點(diǎn).21.(12 分)已知函數(shù) f(x) ae2x (a 2)ex x(1) 討論f (x)的單調(diào)性；(2) 若f (x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第 一題計(jì)分。22.選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為 x 3cos

12、 ( e為參數(shù))，直線l的參數(shù)方y(tǒng) sin ,程為x a 4t(t為參數(shù)).y 1 t,(1 )若a=-1，求C與 l的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為.17，求a.23.選修4 5 :不等式選講(10分)已知函數(shù) f(x)x2 ax 4, g(x) |x 1| |x 1|(1 )當(dāng)a 1時(shí)，求不等式f (x) g (x)的解集；(2)若不等式f (x) g (x)的解集包含-1, 1，求a的取值范圍81. A 2.B3. B4. C5. D6. C7.B8.D9.D10. A11. D12. A_、填空題: 本題共4小題，每小題5分， 共20分。13.2,314.-515.2.

13、3316. 4、15cm3三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第1721題為必考題,、選擇題：本題共17. （12分） ABC的內(nèi)角A B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,已知 ABC的面積為2a3sin A1由題設(shè)得一acsin B22a3sin A，即1-csin B2a3sin A由正弦定理得sin C si n B2sin A3sin A由題設(shè)及(1 )得 cosBcosC sinBsinC即 cos(BC)3sin A，即 bc由余弦定理得b22 2c bc 9，即(b c)3bc 9，得 b c 332017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)參考答案1

14、2小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有（一）必考題：共 60分。(1)求 sin Bsin C;(2)若 6cosBcosC=1, a=3,求厶 ABC的周長(zhǎng).故sin BsinC(2)2所以B c ，故A 31由題設(shè)得一 bcsi nA2故ABC的周長(zhǎng)為3.3318. (12 分)解:項(xiàng)是符合題目要求的。每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。33(1)由已知 BAP CDP 90，得 AB AP , CD PD由于AB/CD，故AB PD ,從而AB 平面PAD又AB 平面PAB，所以平面 PAB 平面PAD(2)在平面PAD內(nèi)作PF AD，

15、垂足為F由(1)可知，AB 平面PAD，故AB PF ,可得PF 平面ABCDuuruuu以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A的方向?yàn)閤軸正方向，| AB |為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F xyz由(1)及已知可得 A( ,0,0), P(0,0/), B( ,1,0), C( ,1,0)2 2 2 2所以u(píng)uu22 uuu _ULWPC ( R, RCB ( 2,0,0),PAJ2 uuu,0, RAB (0,1,)可取(x, y,z)是平面PCB的法向量，則uuu n PCuuu n CB0,即02x2y 0設(shè)m (x, y, z)是平面PAB的法向量，則urnPAuuuAB0,即0?2z200

16、,可取 m (1,0,1)19.(1)貝V cos n, m所以二面角A(12分)解:n m|n|m|PB C的余弦值為抽取的一個(gè)零件的尺寸在(3 ，3 )之內(nèi)的概率為0.9974，從而零件的尺寸在33又由11 132 ab2a24b2知,11,因此b2解得a2132 14b2b22 a故由題設(shè)知 C經(jīng)過(guò)P3,P4兩點(diǎn)C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)R，所以點(diǎn)P,在C上41(3 ,3 )之外的概率為0.0026，故X B(16,0.0026)，因此P(X 1) 1 P(X 0)10.9974160.0408X的數(shù)學(xué)期望為EX 16 0.0026 0.0416(2) (i )如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在(3 ,3

17、 )之外的概率只有 0.0026 ,一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在(3 ,3 )之外的零件的概率只有0.0408，發(fā)生的概率很小。因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在 這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查，可見(jiàn)上 述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法是合理的。(ii)由X 9.97, s 0.212，得的估計(jì)值為？ 9.97,的估計(jì)值為？ 0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在(？ 3 ?, ? 3 ?)之外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查。剔除(？ 3?, ? 3?)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1(16 9.97 9.22) 10.0215因此的

18、估計(jì)值為10.02162 2 2Xi16 0.21216 9.971591.134i 1剔除(？ 3?, ? 3?)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為1 (1591.134 9.222 15 10.022) 0.00815因此的估計(jì)值為、0.008 0.0920. ( 12 分)解:2故C的方程為y214(2)設(shè)直線P2A與直線P，B的斜率分別為k1,k2如果I與x軸垂直，設(shè)l :x t，由題設(shè)知t 0，且|t| 2，可得 代B的坐標(biāo)分別為(1)由于F3,P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱,25)則 k)k24 t22. 4 t222t2t1，得t 2，不符合題設(shè)從而可設(shè)丨:ykx m(m 1)，將

19、ykx2X2m代入 y 1得4由題設(shè)可知(4 k21)x28kmx4m2216(4 k1)設(shè)人（洛，）, B（X2, y2）,XiX28 km4k21，X1X224m 44k2 1k1k2yiy2 1X1（t，孚附）2 2X2kx1 m 1 kX2 m 1X12kx-ix2 (m 1)(x1 x2)由題設(shè)k1k21，故(2 k1)X-|X2(m1)(X1X2)04m2 48km即(2k1)2(m 1)2404k 14k 1解得km 12當(dāng)且僅當(dāng)m1時(shí)，0，于是1 :ym 1x m，2所以1過(guò)定點(diǎn)（2, 1）12分）解：f（x）的定義域?yàn)椋?，），f (x)2ae2x/(a2)ex 1 (aex(i )若 a0，則 f (x)0，所以f(x)在(,）單調(diào)遞減（ii）若 a0，則由f(x)0的Xln a當(dāng)x (,ln a)時(shí)，f (x)0 ；x1x221.(1)1)(2ex 1)當(dāng) x ( In a,)時(shí)，f (x)0(2) (i )則 f(n。)en0(aen0a 2) noenno2n0n003由于In( 1) In a，因此f (x)在( aIn a,)有一個(gè)零點(diǎn)綜上，a的取值范圍為(0,1)22.解:(1)曲線C的普通方程為2xy9 y1時(shí)，直線I的普通方程為4y 34y 3 0,解得y2 1爲(wèi)或21252425從而C與I的交點(diǎn)坐標(biāo)為