用雙線性變換法設(shè)計原型低通為切比雪夫I型數(shù)字IIR高通濾波器

1、 課 程 設(shè) 計課程設(shè)計名稱：數(shù)字信號處理課程設(shè)計專 業(yè) 班 級 ： 學(xué) 生 姓 名 ： 學(xué) 號 ： 指 導(dǎo) 教 師 ： 課程設(shè)計時間：2014-6-16至2014-6-20 電子信息工程 專業(yè)課程設(shè)計任務(wù)書學(xué)生姓名專業(yè)班級 學(xué)號題 目用雙線性變換法設(shè)計原型低通為切比雪夫I型的數(shù)字IIR高通濾波器課題性質(zhì)其他課題來源自擬指導(dǎo)教師同組姓名主要內(nèi)容用雙線性變換法設(shè)計原型低通為切比雪夫I型的數(shù)字IIR高通濾波器，要求通帶邊界頻率為500Hz，阻帶邊界頻率分別為400Hz，通帶最大衰減1dB，阻帶最小衰減40dB，抽樣頻率為2000Hz，用MATLAB畫出幅頻特性，畫出并分析濾波器傳輸函數(shù)的零極點；信

2、號經(jīng)過該濾波器，其中300Hz，600Hz，濾波器的輸出是什么？用Matlab驗證你的結(jié)論并給出的圖形。任務(wù)要求1、掌握用雙線性變換法設(shè)計原型低通為切比雪夫I型的數(shù)字IIR高通濾波器的原理和設(shè)計方法。2、求出所設(shè)計濾波器的Z變換。3、用MATLAB畫出幅頻特性圖。4、驗證所設(shè)計的濾波器。參考文獻1、程佩青著，數(shù)字信號處理教程，清華大學(xué)出版社，20012、Sanjit K. Mitra著，孫洪，余翔宇譯，數(shù)字信號處理實驗指導(dǎo)書（MATLAB版），電子工業(yè)出版社，2005年1月3、郭仕劍等，MATLAB 7.x數(shù)字信號處理，人民郵電出版社，2006年4、胡廣書，數(shù)字信號處理 理論算法與實現(xiàn)，清華大

3、學(xué)出版社，2003年審查意見指導(dǎo)教師簽字：教研室主任簽字： 2014 年06 月 12 日 說明：本表由指導(dǎo)教師填寫，由教研室主任審核后下達給選題學(xué)生，裝訂在設(shè)計（論文）首頁一、需求分析用雙線性變換法設(shè)計原型低通為切比雪夫I型的數(shù)字IIR高通濾波器，要求通帶邊界頻率為500Hz，阻帶邊界頻率分別為400Hz，通帶最大衰減1dB，阻帶最小衰減40dB，抽樣頻率為2000Hz，用MATLAB畫出幅頻特性，畫出并分析濾波器傳輸函數(shù)的零極點；信號經(jīng)過該濾波器，其中300Hz，600Hz，濾波器的輸出是什么？用Matlab驗證你的結(jié)論并給出的圖形。二、設(shè)計內(nèi)容IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計通常采用脈沖響應(yīng)不變法

4、和雙線性變換法進行設(shè)計。而我選擇的課程設(shè)計是采用雙線性變換法設(shè)計切比雪夫I型的數(shù)字IIR高通濾波器。三、設(shè)計原理1.雙線性變換法脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點是頻譜交疊產(chǎn)生的混淆，這是從S平面到Z平面的標(biāo)準變換z=e的多值對應(yīng)關(guān)系導(dǎo)致的。為了克服沖激響應(yīng)法可能產(chǎn)生的頻率響應(yīng)的混疊失真，這是因為從S平面到平面是多值的映射關(guān)系所造成的。為了克服這一缺點，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到-/T/T之間，再用z=esT轉(zhuǎn)換到Z平面上。也就是說，第一步先將整個S平面壓縮映射到S1平面的-/T/T一條橫帶里；第二步再通過標(biāo)準變換關(guān)系z=es1T將此橫帶變換到整個Z平面上去。這樣就使S平

5、面與Z平面建立了一一對應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖1所示： 圖1 雙線性變換的映射關(guān)系穩(wěn)定性分析： （1.1）令s=s+jw，則有 （1.2）為了將S平面的整個虛軸j壓縮到S1平面j1軸上的-/T到/T段上，可以通過以下的正切變換實現(xiàn) ： 式中,T仍是采樣間隔。優(yōu)點與脈沖響應(yīng)不變法相比，雙線性變換的主要優(yōu)點：靠頻率的嚴重非線性關(guān)系得到S平面與Z平面的單值一一對應(yīng)關(guān)系，整個j軸單值對應(yīng)于單位圓一周，這個關(guān)系就是式 所表示的，其中和為非線性關(guān)系。如圖圖中看到，在零頻率附近，接近于線性關(guān)系，進一步增加時，增長變得緩慢，(終止于折疊頻率處)，所以雙線性變換不會出

6、現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象。缺點雙線性變換法的缺點：與的非線性關(guān)系，導(dǎo)致數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對于模擬濾波器的幅頻響應(yīng)有畸變，(使數(shù)字濾波器與模擬濾波器在響應(yīng)與頻率的對應(yīng)關(guān)系上發(fā)生畸變)。例如，一個模擬微分器，它的幅度與頻率是線性關(guān)系，但通過雙線性變換后，就不可能得到數(shù)字微分器。另外，一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后，濾波器就不再有線性相位特性。雖然雙線性變換有這樣的缺點，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一種設(shè)計工具。這是因為大多數(shù)濾波器都具有分段常數(shù)的頻響特性，如低通、高通、帶通和帶阻等，它們在通帶內(nèi)要求逼近一個衰減為零的常數(shù)特性，在阻帶部分要求逼近一個衰減

7、為的常數(shù)特性，這種特性的濾波器通過雙線性變換后，雖然頻率發(fā)生了非線性變化，但其幅頻特性仍保持分段常數(shù)的特性。雙線性變換比脈沖響應(yīng)法的設(shè)計計算更直接和簡單。由于s與z之間的簡單代數(shù)關(guān)系，所以從模擬傳遞函數(shù)可直接通過代數(shù)置換得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。頻響這些都比脈沖響應(yīng)不變法的部分分式分解便捷得多，一般，當(dāng)著眼于濾波器的時域瞬態(tài)響應(yīng)時，采用脈沖響應(yīng)不變法較好，而其他情況下，對于IIR的設(shè)計，大多采用雙線性變換。2.切比雪夫濾波器在本課程設(shè)計中，它的作用是構(gòu)造一個模擬低通濾波器。切比雪夫濾波器，是在通帶或阻帶上頻率響應(yīng)幅度等波紋波動的濾波器。切比雪夫濾波器來自切比雪夫分布，以“切比雪夫”命名，是用以

8、紀念俄羅斯數(shù)學(xué)家巴夫尼提列波維其切比雪夫。在本次課設(shè)中，用到的是在通帶（或稱“通頻帶”）上頻率響應(yīng)幅度等波紋波動的濾波器稱為“切比雪夫I型濾波器”。在巴特沃茲濾波器中，幅度響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是單調(diào)的。因此，若濾波器的技術(shù)要求是用最大通帶和阻帶的逼近誤差來給出的話，那么，在靠近通帶低頻端和阻帶截止頻率以上的部分都會超出技術(shù)指標(biāo)。一種比較有效的途徑是使逼近誤差均勻地分布于通帶或阻帶內(nèi)，或同時在通帶和阻帶內(nèi)都均勻分布，這樣往往可以降低所要求的濾波器階次。通過選擇一種具有等波紋特性而不是單調(diào)特性的逼近方法可以實現(xiàn)這一點。切比雪夫型濾波器就具有這種性質(zhì)：其頻率響應(yīng)的幅度既可以在通帶中是等波紋的，而在阻

9、帶中是單調(diào)的（稱為I型切比雪夫濾波器），也可以在通帶中是單調(diào)的，而在阻帶中是等波紋的（稱為II型切比雪夫濾波器）。I型切比雪夫濾波器的幅度平方函數(shù)是 （1.3）式中c為有效通帶截止頻率，表示與通帶波紋有關(guān)的參量，值越大通帶不動愈大。VN（x）是N階切比雪夫多項式，定義為 （1.4）切比雪夫濾波器的振幅平方特性如圖所示： 圖2 切比雪夫濾波器的振幅平方特性N為偶數(shù)，cos2( )=1，得到min， （1.5）N為奇數(shù)，cos2( ，得到max， （1.6） 有關(guān)參數(shù)的確定: a、通帶截止頻率： 預(yù)先給定;b、與通帶波紋有關(guān)的參數(shù),通帶波紋表示成 （1.7） 所以, , 給定通帶波紋值 分貝數(shù)后，

10、可求得 。c、階數(shù)N:由阻帶的邊界條件確定。 、A2為事先給定的邊界條件,即在阻帶中的頻率點處 ,要求濾波器頻響衰減到1/A2以上。 (1-8) (1-9) (1-10) （1-11）3.數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器由數(shù)字乘法器、加法器和延時單元組成的一種算法或裝置。數(shù)字濾波器的功能是對輸入離散信號的數(shù)字代碼進行運算處理，以達到改變信號頻譜的目的。 圖3 數(shù)字濾波器的方框圖數(shù)字濾波器是一個離散時間系統(tǒng)（按預(yù)定的算法，將輸入離散時間信號(對應(yīng)數(shù)字頻率)轉(zhuǎn)換為所要求的輸出離散時間信號的特定功能裝置）。應(yīng)用數(shù)字濾波器處理模擬信號（對應(yīng)模擬頻率）時，首先須對輸入模擬信號進行限帶、抽樣和模數(shù)轉(zhuǎn)換。數(shù)字濾波器輸入

11、信號的數(shù)字頻率（2*f/fs,f為模擬信號的頻率，fs為采樣頻率，注意區(qū)別于模擬頻率),按照奈奎斯特抽樣定理，要使抽樣信號的頻譜不產(chǎn)生重疊，應(yīng)小于折疊頻率（ws/2=)，其頻率響應(yīng)具有以2為間隔的周期重復(fù)特性，且以折疊頻率即=點對稱。為得到模擬信號，數(shù)字濾波器處理的輸出數(shù)字信號須經(jīng)數(shù)模轉(zhuǎn)換、平滑。數(shù)字濾波器具有高精度、高可靠性、可程控改變特性或復(fù)用、便于集成等優(yōu)點。數(shù)字濾波器在語言信號處理、圖像信號處理、醫(yī)學(xué)生物信號處理以及其他應(yīng)用領(lǐng)域都得到了廣泛應(yīng)用。四、設(shè)計思路根據(jù)以上IIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法，下面運用雙線性變換法基于MATLAB設(shè)計一個IIR高通濾波器。1.在設(shè)計高通濾波器之前，首先要根

12、據(jù)工程實際的需要確定濾波器的技術(shù)指標(biāo)p和s；2.將數(shù)字高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)p，s，轉(zhuǎn)換公式為 ；3.利用頻率變換=1/將模擬高通濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成歸一化模擬低通濾波器G（p）的技術(shù)指標(biāo)；4.設(shè)計模擬低通濾波器G（P）,并去歸一化得：H（s）=G（p）5.采用雙線性變換將模擬低通濾波器H（s）轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器H（z）： （1.12）6.采用頻帶變換，將數(shù)字低通濾波器轉(zhuǎn)換成所需類型的數(shù)字高通濾波器。五、程序流程圖開始讀入數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)將指標(biāo)轉(zhuǎn)換成歸一化模擬高通濾波器的指標(biāo)設(shè)置歸一化低通模擬濾波器G（p）各項指標(biāo)求低通模擬濾波器G（p）用雙線性變換法將H(s)

13、轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器H(z)用雙線性變換將模擬低通傳輸函數(shù)Ha（s）轉(zhuǎn)換為數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)用頻帶變換法將數(shù)字低通轉(zhuǎn)換為數(shù)字高通六、程序源代碼clc；clear all;Fp=500;%通帶截止頻率Fs=400;%組帶截止頻率Ap=1;%通帶最大衰減As=40;%阻帶最小衰減Ft=2000;%抽樣頻率Wp=2*pi*Fp/Ft;Ws=2*pi*Fs/Ft;wp=tan(Wp/2);ws=tan(Ws/2);ws1=1 %歸一化wp1=wp/ws %估計濾波器的階數(shù)N,Wn=cheb1ord(ws1,wp1,Ap,As,s); %設(shè)計濾波器B,A=cheby1(N,1,Wn,s);BT,AT

14、=lp2hp(B,A,wp);num,den=bilinear(BT,AT,0.5)z,p,k=tf2zp(num,den) %顯示傳輸函數(shù)disp(分子系數(shù):);disp(num);disp(分母系數(shù):);disp(den); %計算增益響應(yīng)w = 0:pi/255:pi;h = freqz(num,den,w);g = 20*log10(abs(h); %繪制增益響應(yīng)figure;plot(w/pi,g);grid;%繪制切比雪夫高通濾波器幅頻特性axis(0 1 -100 1);xlabel(omega/pi);ylabel(增益/dB);title(切比雪夫高通濾波器);figure;

15、zplane(z,p); %繪制傳輸函數(shù)零極點title(傳輸函數(shù)的零極點);f1=300;f2=6000;t=0:0.0001:1x1=sin(2*pi*f1*t);x2=sin(2*pi*f2*t);x=x1+x2;figure;subplot(2,2,1)%繪制x1的波形plot(x1);grid on;axis(0,50*pi,-3,3);xlabel(t);ylabel(x1(t);title(x1的波形);subplot(2,2,2) %繪制x1的波形plot(x2);grid on;axis(0,50*pi,-3,3);xlabel(t);ylabel(x2(t);title(x

16、2的波形);subplot(2,2,3)%繪制輸入x的波形plot(x);grid on;axis(0,50*pi,-3,3);xlabel(t);ylabel(x(t);title(輸入信號x的波形)%X=fft(x);y=filter(num,den,x);%數(shù)字濾波器輸出subplot(2,2,4);%繪制輸出y的波形plot(real(y);grid on;axis(0,50*pi,-3,3);xlabel(t);ylabel(y);title(濾波器輸出y的波形);七、仿真結(jié)果圖八、參考資料1 程佩青.數(shù)字信號處理教程M，北京：清華大學(xué)出版社，20012 Sanjit K. Mitr

17、a.孫洪，余翔宇譯，數(shù)字信號處理實驗指導(dǎo)書（MATLAB版）M，北京：電子工業(yè)出版社，2005年1月3 郭仕劍等.MATLAB 7.x數(shù)字信號處理M，北京：人民郵電出版社，2006年4 胡廣書.數(shù)字信號處理 理論算法與實現(xiàn)M，北京：清華大學(xué)出版社，2003年5 楊毅明.數(shù)字信號處理M，北京：機械工業(yè)出版社，2012年九、設(shè)計心得經(jīng)過上學(xué)期數(shù)字信號處理課程的學(xué)習(xí)，我對DSP有了初步的了解。數(shù)字信號處理是研究用數(shù)字方法對信號進行分析、變換、濾波、檢測、調(diào)制、解調(diào)以及快速算法的一門技術(shù)學(xué)科。數(shù)字濾波器的實用型式很多，大略可分為有限沖激響應(yīng)型和無限沖激響應(yīng)型兩類，可用硬件和軟件兩種方式實現(xiàn)。在硬件實現(xiàn)方式中，它由加法器、乘法器等單元所組成，這與電阻器、電感器和電容器所構(gòu)成的模擬濾波器完全不同。數(shù)字信號處理系統(tǒng)很容易用數(shù)字集成電路制成，顯示出體積小、穩(wěn)定性高、可程控等