測(cè)量誤差基本知識(shí)-薛海兵

1、測(cè)量誤差的基本知識(shí)建筑工程系建筑工程系 薛海兵薛海兵誤差基本知識(shí)n重點(diǎn)n誤差的分類及特點(diǎn)n中誤差相對(duì)誤差n誤差傳播定理 n難點(diǎn)n誤差傳播定理6.1 測(cè)量誤差概述 1.什么叫誤差？l誤差觀測(cè)值真值 LX 2.研究誤差的目的l怎樣提高精度？l怎樣去滿足精度進(jìn)行施測(cè)？ 3.誤差產(chǎn)生的原因l儀器、設(shè)備構(gòu)造不完善l觀 測(cè) 者眼睛的分辨率60l外 界 條 件氣溫、大氣折光、風(fēng)力等影響4.誤差的分類 觀測(cè)成果的精確程度簡(jiǎn)稱為精度，觀測(cè)精度取決于觀測(cè)時(shí)所處的條件。依據(jù)觀測(cè)條件來區(qū)分觀測(cè)值，可分為：l同等精度：觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè) l不等精度觀測(cè)：觀測(cè)條件不相同的各次觀測(cè)l在相同觀測(cè)條件下測(cè)量誤差可分為：過失

2、誤差（粗差）：觀測(cè)者錯(cuò)誤引起 問題（1）：甲建筑公司在鄭州大學(xué)行政樓施工中進(jìn)行變形觀測(cè)，一次用DS3儀器測(cè)量A點(diǎn)的沉降量為1.3mm，請(qǐng)問這次測(cè)量結(jié)果是不是過失誤差？系統(tǒng)誤差：誤差的大小符號(hào)按一定的規(guī)律變化l產(chǎn)生的原因：外界條件、儀器設(shè)備、觀測(cè)方法、計(jì)算手段l消除、減弱系統(tǒng)誤差方法： 檢校儀器 求改正數(shù) 對(duì)稱觀測(cè)偶然誤差：誤差的大小、符號(hào)無一定的規(guī)律變化，但符合某一統(tǒng)計(jì)規(guī)律l產(chǎn)生的原因：人的感覺器官、儀器的性能l處理方法：進(jìn)行多余觀測(cè) 有了多余觀測(cè)，可以發(fā)現(xiàn)觀測(cè)值中的錯(cuò)誤，以便將其剔除和重測(cè)。 有了多余觀測(cè)，觀測(cè)值之間必然產(chǎn)生矛盾（往返差、不符值或閉合差等），差值如果大到一定的程度，就認(rèn)為觀測(cè)

3、值中有錯(cuò)誤，或者說誤差超限，需要返工重測(cè)。 差值如果不超限，則按偶然誤差的規(guī)律加以處理，稱為“閉合差的調(diào)整” 問題（2）判斷下列誤差各屬于哪些誤差： 數(shù)據(jù)記錯(cuò)、尺子顛倒、溫度改正、尺長(zhǎng)改正、大氣折光誤差、 視準(zhǔn)誤差、度盤偏心誤差、豎軸誤差、尺子零點(diǎn)誤差、對(duì)中誤差、照準(zhǔn)誤差、估讀誤差5.偶然誤差的特性 n 現(xiàn)重復(fù)觀測(cè)了多個(gè)三角形內(nèi)角和，得到真誤差 iLi180，統(tǒng)計(jì)見表5-1，從這個(gè)列表中，我們可以看出偶然誤差的幾個(gè)特性：有界性密集性對(duì)稱性； 抵償性6.偶然誤差的分布曲線 誤差分布曲線一條正態(tài)分布曲線，可用正態(tài)分布概率密度函數(shù)表示：5.2衡量精度的標(biāo)準(zhǔn) 一、精度的含義n所謂精度，是指誤差分布的集

4、中與離散程度。如誤差分布集中（曲線a），則觀測(cè)精度高；若誤差分布離散（曲線b），則觀測(cè)精度就低。 二、平均誤差n/nn越小，精度越高三、中誤差 nm越小，精度越高p例1、設(shè)甲乙兩組觀測(cè)，真誤差為： 甲：4，3 ，0 ，2 ，4 乙：6，1 ，0 ，1 ，5 試比較兩組的精度。nm1、平均誤差： 甲乙2.6 甲組的離散區(qū)間（4，4） 乙組的離散區(qū)間（5，6） 所以甲組精度高。2、中誤差： 所以甲組精度高n 關(guān)于中誤差要注意兩點(diǎn) 中誤差（m）與真誤差（ ）不同，它只是表示某一組觀測(cè)值的精度指標(biāo)，并不等于任何觀測(cè)值的真誤差。若為等精度觀測(cè)，那么組中每個(gè)觀測(cè)值的精度皆為m。 中誤差的概率含義是：對(duì)任一

5、觀測(cè)值L的真誤差，落在區(qū)間m，+m的概率是0.68。四、相對(duì)誤差 p例2、假設(shè)現(xiàn)在丈量了兩段距離： 甲：1000.01米；乙： 2000.01米到底那組的精度高些呢？ n如果從中誤差來看，兩組的精度相等，但這樣顯然不合理。因?yàn)閷?shí)際上距離測(cè)量的誤差與長(zhǎng)度相關(guān)，距離越大，誤差的累積就越大,這就需要引入相對(duì)誤差： nK= m/D （注意化為分子為1的形式） K甲1/10000,K乙1/20000, 乙組精度高。p例3、12835183.8 ； 2 30815123.8，那組的精度高？五、極限誤差 lP-mm0.683lP-2m2m0.954lP-3m3m0.997l我們可以看到，對(duì)于真誤差來說，它的

6、值落在區(qū)間3m，3m幾乎是肯定的事。因此在測(cè)量工作中，我們常常取三倍中誤差作為偶然誤差的容許值（或限差），如果精度要求較高時(shí)，就可以取兩倍中誤差作為限差，即：l容士 2|m| 或 容士3|m |5.3 誤差傳播定律n誤差傳播定律：是指描述觀測(cè)值中誤差與其函數(shù)中誤差之間關(guān)系的定律 一、一般函數(shù)的中誤差 設(shè)Z=f(x1,x2,xn)，其中x1,x2,xn屬于獨(dú)立自變量（如直接觀測(cè)值），他們的中誤差分別為m1,m2,mn則函數(shù)Z的中誤差為 ：2222222121)(.)()(nnzmxfmxfmxfm二、特殊函數(shù)的中誤差1、倍數(shù)函數(shù)：Z=kx 中誤差：mz=kmx 2、和差函數(shù) ：Z=x1x2xn

7、中誤差：3、線形函數(shù) ： Z=k1x1k2x2knxn 中誤差：22221.nzmmmm2222222121)(.)()(nnzmkmkmkmp例4：在ABC中，測(cè)量得a137.2850.012m A=56 351838, B=38303226 求b及其中誤差？解：b=asin B/sin A=137.285sin 383032/sin56 3518102.402dbb/a dab ctan B (d B/) b ctan A （d A /） =206265mb（ b/a）ma（ b ctan B ）（mB/ ) （ b ctan A ） （mA/ ) 0.0000498mb0.022，則b1

8、02.402 0.022mp 例5：在O點(diǎn)觀測(cè)了3個(gè)方向，測(cè)得方向值l1、l2、l3，設(shè)各方向的中誤差均為m，求m、 m和m 。l2l1， l3l2， ，（錯(cuò)誤計(jì)算：因?yàn)楹筒⒎仟?dú)立的觀測(cè)值，因?yàn)樗鼈兌加玫搅朔较蛑祃2）正確計(jì)算應(yīng)為： l3l1， 從這道題應(yīng)該注意到中誤差傳播定律的前提是x1、x2xn為相互獨(dú)立的觀測(cè)值。 l1l2l3小結(jié)正確列出函數(shù)式； 檢查觀測(cè)值是否獨(dú)立； 求偏微分并代入觀測(cè)值確定系數(shù)； 套用公式求出中誤差。 p 思考題：一個(gè)邊長(zhǎng)為l的正方形，若測(cè)量一邊中誤差為ml1cm，求周長(zhǎng)的中誤差？若四邊都測(cè)量，且測(cè)量精度相同，均為ml，則周長(zhǎng)中誤差是多少？ 5.4等精度直接觀測(cè)值等精

9、度直接觀測(cè)值1.算術(shù)平均值原理n假設(shè)對(duì)某量X 進(jìn)行了n次等精度的獨(dú)立觀測(cè)，得觀測(cè)值l1，l2，ln n算術(shù)平均值為 ：L=(l1+l2+ln )/n=l/nn算術(shù)平均值原理:當(dāng)n時(shí)，L=Xn證明：iliX, =l nX， /n=l/n X，根據(jù)偶然誤差第4特性即證n算術(shù)平均值是觀測(cè)量的“最可靠值最可靠值”，或者叫做“最或是值最或是值”。2、或然誤差n 或然誤差：viliLn 或然誤差特性： v=03、由或然誤差求中誤差： （白塞爾白塞爾公式） 例：見教材中的例子4、算術(shù)平均值中誤差 ： 從這個(gè)公式可以看出，要使算術(shù)平均值中誤差變小，可以通過兩個(gè)方面來實(shí)現(xiàn)：一是增加觀測(cè)次數(shù)n，但觀測(cè)次數(shù)也不可能

10、無限多，而且增加到一定次數(shù)后對(duì)算術(shù)平均值中誤差 的影響不明顯，所以一般n取24；二是減小每次觀測(cè)時(shí)的中誤差m，也就是要改善觀測(cè)條件，例如用精度更高的儀器，提高觀測(cè)者的技能、責(zé)任心，在氣象條件好的環(huán)境下觀測(cè)。5.5誤差傳播定律的應(yīng)用誤差傳播定律的應(yīng)用 一、水準(zhǔn)測(cè)量的誤差分析 l每站的高差為：h = a - b ；m讀 3mml一站的高差中誤差：m站 = 4mml線路n站，則總高差：l取3倍中誤差為限差，則普通水準(zhǔn)路線的容許誤差為 ：二、水平角觀測(cè)的誤差分析l用DJ6經(jīng)緯儀進(jìn)行測(cè)回法觀測(cè)水平角，那么用盤左盤右觀測(cè)同一方向的中誤差為6 ，l所以瞄準(zhǔn)一個(gè)方向的中誤差為：l上半測(cè)回角值：半ba l半測(cè)回

11、角值差：l半測(cè)回差取2m 34 ，考慮到其它不利因素 ，所以取半測(cè)回差應(yīng)該小于40 。l一測(cè)回角值： （ 上 下 ）/2l一測(cè)回角值精度m = 8.5 l測(cè)回角值之差：= 1- 2，m =12 l測(cè)回差取2m= 24 ,規(guī)范測(cè)回差限差24 p例：為了讓某一角度的精度達(dá)到4 ,問用DJ6經(jīng)緯儀需要測(cè)幾個(gè)測(cè)回？l解：ln（8.5/4）4.5l所以需要測(cè)5個(gè)測(cè)回p假定精度達(dá)到1.7 ,用DJ6經(jīng)緯儀測(cè)幾個(gè)測(cè)回？如果用DJ2經(jīng)緯儀需要測(cè)幾個(gè)測(cè)回？lDJ6: n（8.5/1.7）25測(cè)回lDJ2: n（2.82/1.7）2.8,即3測(cè)回5.6加權(quán)平均值及其中誤差p例：假設(shè)對(duì)一個(gè)水平角進(jìn)行了兩組等精度的觀

12、測(cè)，其中甲組觀測(cè)了2測(cè)回，測(cè)得水平角分別為l1、l2，計(jì)算得平均L1=( l1+l2 )/2；乙組觀測(cè)了4測(cè)回，測(cè)得水平角分別為l3、l4、 l5、l6,計(jì)算得平均L2=( l3+l4+ l5+l6 )/4。那么這個(gè)水平角應(yīng)怎樣計(jì)算？nL=(L1+L2)/2nL=(l1+l2+l3+l4+l5+l6)/6=(2L1+4L2)/(2+4)一、非等精度觀測(cè)及觀測(cè)值的權(quán)p上例中：甲組觀測(cè)值的算術(shù)平均值精度： 而乙組觀測(cè)值的算術(shù)平均值精度為： m2m1，也就是L2的精度比L1要高。如果要將L1、L2進(jìn)行平均，應(yīng)該是精度高的數(shù)值所占的“比重”大一些，精度低的數(shù)值所占的“比重”應(yīng)該小一些，這個(gè)“比重”就是

13、通常我們所說的“權(quán)”。1、權(quán)的定義l 權(quán)：觀測(cè)值精度的可靠程度。l“權(quán)”與中誤差成反比，觀測(cè)值或觀測(cè)值函數(shù)的精度越高，其權(quán)越大 。lPi=/mi （ 是常數(shù)） 2、單位權(quán) l在Pi=/mi中，當(dāng)Pi=1，Pi為單位權(quán)Pi=1時(shí)相應(yīng)的觀測(cè)值，稱單位權(quán)觀測(cè)值單位權(quán)觀測(cè)值;Pi=1時(shí)，mi ，當(dāng)權(quán)為1時(shí)， 常數(shù)等于觀測(cè)值的中誤差，所以稱為單位權(quán)中誤差單位權(quán)中誤差（用m0表示）3、定權(quán)的常用方法 等精度觀測(cè)值算術(shù)平均值的權(quán) ：m（觀測(cè)值中誤差）， ，則Pnn水準(zhǔn)測(cè)量的權(quán)：水準(zhǔn)路線的權(quán)與路線長(zhǎng)度成反比，即PiK/Li 二、加權(quán)平均值及其中誤差 1.加權(quán)平均值 p例：L=(2L1+4L2)/(2+4)2.單位權(quán)中誤差（m0）3、加權(quán)平均值的中誤差（M0） M0p例：如圖，已知L14Km， L22.5Km，L38.5Km 10nPVVnPm0Pm HA78.324m，h1-7.980m； HB64.347m， h25.992m； HC