計(jì)算流體力學(xué)中科院力學(xué)所第9講-有限體積法ppt課件

1、計(jì)算流膂力學(xué)講義計(jì)算流膂力學(xué)講義 第九講第九講 有限體積法有限體積法1李新亮李新亮lixlimech.ac ；力學(xué)所主樓；力學(xué)所主樓219； 82543801 知識(shí)點(diǎn)：知識(shí)點(diǎn)： 1講義、課件上傳至講義、課件上傳至 cfluid (流體中文網(wǎng)流體中文網(wǎng) - “流體論壇流體論壇 -“ CFD根底實(shí)際根底實(shí)際 講課錄像及講義上傳至網(wǎng)盤講課錄像及講義上傳至網(wǎng)盤 cid-1cc0dcbff560c149.skydrive.live/browse.aspx/.PublicCopyright by Li Xinliang有限體積法的根本概念有限體積法的根本概念 重構(gòu)和反演重構(gòu)和反演迎風(fēng)型有限體積法迎風(fēng)型有限

2、體積法Riemann求解器；求解器；Roe格式的新了解：近似格式的新了解：近似Riemann解解多維迎風(fēng)型有限體積法多維迎風(fēng)型有限體積法坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)Copyright by Li Xinliang2知識(shí)回想知識(shí)回想1. 差分方法的根本概念：差分方法的根本概念：差分格式、修正方程、相容性、收斂性、穩(wěn)定性、差分格式、修正方程、相容性、收斂性、穩(wěn)定性、LAX等價(jià)定理等價(jià)定理0 xuatu011xuuatuunjnjnjnj2. 精度分析、穩(wěn)定性分析與分辨率分析修正波數(shù)精度分析、穩(wěn)定性分析與分辨率分析修正波數(shù)Taylor分析分析Fourier分析分析jjikxnneAu jjikxnneAu11n

3、nAAG/1jjikxjikxjexkFeu,xikk修正波數(shù)修正波數(shù) 激波捕捉格式激波捕捉格式 GVC, NND, Roe, Godnov, MUSCL, TVD, WENOEuler (N-S) 方程的通量分裂方程的通量分裂 逐點(diǎn)分裂、特征投影分裂逐點(diǎn)分裂、特征投影分裂 建議運(yùn)用建議運(yùn)用Roe平均平均5. 隱格式求解的隱格式求解的LU-SGS方法方法要點(diǎn)：要點(diǎn)： a. 引入差量，方程線性化引入差量，方程線性化 b. 單邊差分，隱式代數(shù)方程顯式推進(jìn)化單邊差分，隱式代數(shù)方程顯式推進(jìn)化0)(xuftu以一維為例，多維可直接推行以一維為例，多維可直接推行012/112/11xfftuunjnjnj

4、nj方法方法1：直接隱式離散：直接隱式離散直接求解非線性方程組，計(jì)算量大非線性方程組，計(jì)算量大)()()(11nnnnnufxufufxtuu方法方法2nnnnnnnnnuuuufAuAufuf11,)()(差量化線性化線性化nnnnnRHSufxtqAxtq)(知項(xiàng)線化微分方程線化微分方程nnuqCopyright by Li Xinliang3Copyright by Li Xinliang4求解思緒：假設(shè)直接離散，得到線性代數(shù)方程組，仍需求解，計(jì)算量大多維情況求解思緒：假設(shè)直接離散，得到線性代數(shù)方程組，仍需求解，計(jì)算量大多維情況njnjnnjnnjRHSxqAqAtqjj21111多對(duì)角

5、方程組，不好解多對(duì)角方程組，不好解多維情況多維情況njnjnnjnnjRHSxqAqAtqjj11xtAqARHSqnjnnjnjnjj/),1/()(11nnnnRHSqAxtq中心雙側(cè)離散Copyright by Li Xinliang5nnnnRHSqAxtqnnnRHSqAAxtq)(nnjjnjjnjjnjjnjRHSqAqAqAqAq)(1111強(qiáng)行單側(cè)差分會(huì)不穩(wěn)定的強(qiáng)行單側(cè)差分會(huì)不穩(wěn)定的njnjjnjjnjRHSqAqAq1111*)1 (*)(21分裂：AAAALF近似近似LU分解分解xt /Step 1:RHS)UL(DQRHS)QU(D)DL(D1近似LU分解RHSUQLD

6、1njnjjnjRHSqAq11*)1 (Step 2:QUQDRHSQL1njnjjnjqqAq)1 ()1 (*11*均為遞推求解均為遞推求解 兩次掃描，免受解方程組之苦兩次掃描，免受解方程組之苦j -1 - jj+1 j以上描畫適用于求解定常問題，求解非定常以上描畫適用于求解定常問題，求解非定常問題該過程可用于內(nèi)迭代。問題該過程可用于內(nèi)迭代。迭代收斂后迭代收斂后q趨于趨于0，精度由右端項(xiàng)決議精度由右端項(xiàng)決議Copyright by Li Xinliang6 9.1 有限體積法入門有限體積法入門有限體積法主要優(yōu)勢：有限體積法主要優(yōu)勢： 處置復(fù)雜網(wǎng)格處置復(fù)雜網(wǎng)格差分法處置復(fù)雜外形差分法處置復(fù)

7、雜外形 坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換),(),(),(zzyyxx321321VVVffftU)(32111fffJfzyx),(),(1zyxJ坐標(biāo)變換函數(shù)必需足夠光滑坐標(biāo)變換函數(shù)必需足夠光滑 否那么損失精否那么損失精度度實(shí)踐問題：實(shí)踐問題： 外形復(fù)雜，外形復(fù)雜， 光滑的構(gòu)造網(wǎng)格生成困難光滑的構(gòu)造網(wǎng)格生成困難差分法差分法有限體積法有限體積法優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)簡單、計(jì)算量小、易簡單、計(jì)算量小、易于提高精度于提高精度本身包含幾何信息，本身包含幾何信息，易處置復(fù)雜網(wǎng)格易處置復(fù)雜網(wǎng)格缺乏缺乏差分別散與幾何解耦，差分別散與幾何解耦，難以處置復(fù)雜網(wǎng)格難以處置復(fù)雜網(wǎng)格復(fù)雜、不易提高精度復(fù)雜、不易提高精度Copyright by

8、 Li Xinliang79.1.1 有限體積法有限體積法 的根本概念的根本概念本質(zhì)：本質(zhì)： 把幾何信息包含于離散過程中把幾何信息包含于離散過程中雖然簡單，但有助于建立根本概念0)(xuftu j-1 j j+1j-1/2 j+1/21. 全離散型過程全離散型過程0)(12/12/1 nnjjttxxdxdtxuftu0)()(12/12/12/12/11nnjjttjjxxnndtffdxuu含義：含義： f在在j+1/2點(diǎn)的值點(diǎn)的值留意與差分法的區(qū)別留意與差分法的區(qū)別在控制體上積分原方程在控制體上積分原方程2/12/1)(1jjxxnnjdxxuxu定義：定義：空間平均空間平均1)(12/

9、12/1nnttjnjdttftf時(shí)間平均時(shí)間平均02/12/11xfftuunjnjnjnj準(zhǔn)確推導(dǎo)，不含誤差準(zhǔn)確推導(dǎo)，不含誤差提示：提示：為區(qū)間內(nèi)的空間及時(shí)為區(qū)間內(nèi)的空間及時(shí)間平均值，假設(shè)把它間平均值，假設(shè)把它們了解為某點(diǎn)的值，們了解為某點(diǎn)的值，會(huì)產(chǎn)生誤差會(huì)產(chǎn)生誤差 njunjf2/1Copyright by Li Xinliang80)(xuftu02/12/11xfftuunjnjnjnj積分準(zhǔn)確積分準(zhǔn)確2/12/1)(1jjxxnnjdxxuxu 重構(gòu)重構(gòu)Reconstruction)有限差分法的離散：數(shù)值微分過程有限差分法的離散：數(shù)值微分過程有限體積法的離散：數(shù)值積分過程有限體積法

10、的離散：數(shù)值積分過程積分方程積分方程離散化離散化2/12/1)(12/12/1jjttjnjdtxftf 反演反演evolution)(xuunnj2/12/1)(1)(2/12/1jjttjnjndtxftfxu(1) 重構(gòu)過程重構(gòu)過程A. 零階重構(gòu)，假設(shè)分片常數(shù)零階重構(gòu)，假設(shè)分片常數(shù) j-1 2/12/1)(jjjnxxxuxu B. 線性重構(gòu)，假設(shè)分片線性函數(shù)線性重構(gòu)，假設(shè)分片線性函數(shù)零階重構(gòu)與一階重構(gòu)表示圖零階重構(gòu)與一階重構(gòu)表示圖 j j+1)()(jjnjnxxDuxuxuuDnjnjj1xuuDnjnjj1orxuuDnjnjj211or或其他方法或其他方法C. 更高階的重構(gòu)例如更

11、高階的重構(gòu)例如: 分片二次函數(shù)分片二次函數(shù) PPM, WENO等等重構(gòu)是有限體積的空間離散化重構(gòu)是有限體積的空間離散化過程，有多種方法過程，有多種方法Copyright by Li Xinliang92 演化過程演化過程 以線性方程為例以線性方程為例 1)(12/12/1nnttjnjdttftf0,)(, 0)(aauufxuftu需求得知時(shí)間演化信息，通常利用特征方程需求得知時(shí)間演化信息，通常利用特征方程0, 0axuatu)(),(0atxutxu)()()(2/12/12/1njnjjttaxautautf假設(shè)采用零階重構(gòu)：假設(shè)采用零階重構(gòu)：2/12/1)(jjjnxxxuxu那么：那

12、么：jnjnuttaxu)(2/1jjuaf2/1假設(shè)時(shí)間步長足夠小假設(shè)時(shí)間步長足夠小,)(2/12/12/1jjnjxxttax那么方程為：那么方程為：011xuuatuunjnjnjnj等價(jià)于一階迎風(fēng)差分等價(jià)于一階迎風(fēng)差分Riemann解解Copyright by Li Xinliang10假設(shè)采用線性重構(gòu)假設(shè)采用線性重構(gòu))()(jjnjnxxDuxu)(),(0atxutxu)(2()()()(2/12/12/1njnjjnjjnjnjnjttaxDuxttaxDuttaxututDaxDuadttautfjjnjttjnjnn2)2()(122/12/1102/12/11xfftuun

13、jnjnjnjxDDtaxDDxuuatuujjjjnjnjnjnj2)(2/ )(12111假設(shè)假設(shè)xuuDnjnjj1xuuutaxuuatuunjnjnjnjnjnjnj2)2(112111xuuDnjnjj1xuuutaxuuuatuunjnjnjnjnjnjnjnj2)2(234122121Warming-BeamLax-Wendroff0階重構(gòu)階重構(gòu) 1階精度階精度線性重構(gòu)線性重構(gòu) 2階精度階精度 一維均勻網(wǎng)格的有限體積法等價(jià)于有限差分法一維均勻網(wǎng)格的有限體積法等價(jià)于有限差分法Euler方程：方程：演化過程可經(jīng)過演化過程可經(jīng)過Riemann解或近似解或近似Riemann解進(jìn)展解進(jìn)展

14、Copyright by Li Xinliang112. 半離散方法半離散方法全離散：全離散： 積分方程積分方程 代數(shù)方程代數(shù)方程 守恒性好，但復(fù)雜守恒性好，但復(fù)雜半離散：半離散： 積分方程積分方程 常微分方程常微分方程 簡便，便于運(yùn)用簡便，便于運(yùn)用R-K等成熟方法等成熟方法0)(xuftu0)(2/12/1jjxxdxxuftu僅空間積分02/12/1xfftunjnjnj2/12/1),(1)(jjxxjdxtxuxtuf 在在j+1/2點(diǎn)的值，仍需求點(diǎn)的值，仍需求運(yùn)用周圍點(diǎn)運(yùn)用周圍點(diǎn) 進(jìn)展插值進(jìn)展插值njf2/1 通常無法準(zhǔn)確計(jì)算， 可采用近似值 替代njf2/102/12/1xfftu

15、njnjnj212/1njnjnjuuaf0211xuuatunjnjnj等價(jià)于二階中心差分等價(jià)于二階中心差分半離散 j-1 j j+1j-1/2 j+1/2)(kuf)()(2/12/1jnjnnjxuffxuu重構(gòu)重構(gòu)Copyright by Li Xinliang129.1.2 一維一維Euler方程的迎風(fēng)型有限體積法方程的迎風(fēng)型有限體積法 j-1 j j+1j-1/2 j+1/20 xtf(U)U02/12/1xtnjnjnjffU半離散1. 重構(gòu)重構(gòu)控制體積 j-1 j j+1左重構(gòu)值左重構(gòu)值右重構(gòu)值右重構(gòu)值選擇不同的模板會(huì)得到不同的重構(gòu)方案選擇不同的模板會(huì)得到不同的重構(gòu)方案向左偏的

16、模板產(chǎn)生向左偏的模板產(chǎn)生向右偏的模板產(chǎn)生向右偏的模板產(chǎn)生差分法差分法 同一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)可運(yùn)用向前差分和向后差分，根據(jù)特征方向選擇之同一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)可運(yùn)用向前差分和向后差分，根據(jù)特征方向選擇之Lj2/1URj2/1U例如：例如： 0階重構(gòu)階重構(gòu) 1階單邊重構(gòu)階單邊重構(gòu)12/12/1,jRjjLjUUUU)3(21),3(21212/112/1jjRjjjLjUUUUUU根據(jù)特征方向，選擇左通量或右通量根據(jù)特征方向，選擇左通量或右通量Lj2/1URj2/1Unj2/1f途徑途徑1： FVS途徑途徑2：FDSCopyright by Li Xinliang132. 分裂方法分裂方法 1: FVS方法方法 流

17、通矢量分裂流通矢量分裂 逐點(diǎn)分裂逐點(diǎn)分裂 fff 詳細(xì)方法： Steger-Warming 分裂 Lax-Friedrichs分裂 Van Leer分裂： Liou-Steffen分裂： 壓力項(xiàng)與其他項(xiàng)分開， AUSM類格式的根底2kkkwcucuucucuu232221321321)(2)(2) 1()()() 1(2) 1(22)(f2/ )(*Uff根據(jù)當(dāng)?shù)馗鶕?jù)當(dāng)?shù)豈ach數(shù)分裂數(shù)分裂保證保證 的的Jocabian陣特征值為正，陣特征值為正， 的為負(fù)的為負(fù)ffUAf)2/12/12/1RjLjnj(Uf(Uff正通量：正通量： 向左偏斜重構(gòu)；向左偏斜重構(gòu)； 負(fù)通量：負(fù)通量： 向右偏斜重構(gòu)

18、向右偏斜重構(gòu) 偏重向上游偏重向上游 與迎風(fēng)差分法類似：與迎風(fēng)差分法類似： 網(wǎng)格基或權(quán)重偏重上游網(wǎng)格基或權(quán)重偏重上游差分、有限體積都可運(yùn)用差分、有限體積都可運(yùn)用一個(gè)參數(shù)，反映全部特征一個(gè)參數(shù)，反映全部特征Copyright by Li Xinliang14小知識(shí)：小知識(shí)： Liou-Steffen分裂分裂)()(2200)()(pcFFpupEuuupEpuuf(U)對(duì)流項(xiàng)壓力項(xiàng)思緒：思緒： 決議特征的關(guān)鍵參數(shù)決議特征的關(guān)鍵參數(shù) 當(dāng)?shù)禺?dāng)?shù)豈ach數(shù)數(shù)1 1 , 00 , 11cuMa超音速，超音速，x-方向方向超音速，超音速，x+方向方向0, 0, 0321cucuu321,0, 0, 0321

19、因此，對(duì)因此，對(duì)Mach數(shù)進(jìn)展分裂更為簡約！數(shù)進(jìn)展分裂更為簡約！1當(dāng)01當(dāng)4/) 1(1當(dāng)2MMMMMMaHauaMFc)(114/) 1(102MMMMMM1012/ )1 (1MMMpMpp112/ )1 (10MpMMpMp顯然：顯然： pppMMMfff010paHauaMf參考文獻(xiàn)：參考文獻(xiàn)：Toro: Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, section 8.4.4Liou: Ten Years in the making AUSM family, NASA TM-2001-210977類似類似 Van

20、Leer分裂，但壓力單獨(dú)處置分裂，但壓力單獨(dú)處置MM保證光滑過渡保證光滑過渡M=1Copyright by Li Xinliang15(3) FDS 方法方法 通量差分分裂通量差分分裂特征投影分裂特征投影分裂 1. 利用準(zhǔn)確利用準(zhǔn)確Riemann解解Godnov格式格式目的：Lj2/1URj2/1Unj2/1f j-1 j j+1j-1/2 j+1/2控制體積 j-1 j j+1左重構(gòu)值左重構(gòu)值右重構(gòu)值右重構(gòu)值 1 準(zhǔn)確求解Riemann問題Lj2/1URj2/1U2/12/12/12/1),(jRjjLjnxxUxxUtxU2)f(Uf),()(1/2j2/1txtnj精度：精度： 取決于重

21、構(gòu)的精度取決于重構(gòu)的精度 原那么上可恣意階原那么上可恣意階 差分法：Godnov格式運(yùn)用分片常數(shù)，精度1階 有限體積法：先重構(gòu)，再解Riemann問題，可高階準(zhǔn)確準(zhǔn)確Riemann解見本講座第解見本講座第2講需迭代求解，計(jì)算量大講需迭代求解，計(jì)算量大 - 近似近似Riemann解解整體思緒：整體思緒： 先重構(gòu)自變量兩種方案得到先重構(gòu)自變量兩種方案得到 ，再求解再求解Riemann問題或用問題或用FVS得到通量的方法通得到通量的方法通常稱為常稱為MUSCL方法。方法。Lj2/1URj2/1UCopyright by Li Xinliang16差分法與有限體積法區(qū)別與差分法與有限體積法區(qū)別與聯(lián)絡(luò)二

22、階迎風(fēng)聯(lián)絡(luò)二階迎風(fēng)+FVS為例為例差分、有限體積差分、有限體積0 xtf(U)U0 xtf(U)U0 xxtffU02/12/12/12/1xxtiiiiiffffU差分通常做法：差分通常做法： 直接插值通量直接插值通量fi+1/2)/2f(3ff)/2f(3ff2i1i1/2i1ii1/2i有限體積：先插值自變量有限體積：先插值自變量U，然后計(jì)，然后計(jì)算通量算通量f：)/2U(3U)()/2U(3U)(2i1i2/11ii2/1ffffff1/2i1/2iRiLiUU先插值自變量，再計(jì)算通量的先插值自變量，再計(jì)算通量的方法，稱為方法，稱為MUSCL類方法。類方法。是有限體積法的常用方法差是有

23、限體積法的常用方法差分法也可以用分法也可以用單偏重構(gòu)，以防止跨過激波單偏重構(gòu)，以防止跨過激波還可運(yùn)用還可運(yùn)用FDS方法，重構(gòu)后求解方法，重構(gòu)后求解Riemann問題問題當(dāng)f=f(U) 延續(xù)時(shí)，對(duì)f插值與對(duì)U插值精度一樣。UGUfUUf)()( 稱為數(shù)值流通量稱為數(shù)值流通量 的含義的含義Copyright by Li Xinliang17重要概念廓清：重構(gòu)與插值0)(xuftuA. 有限差分法：有限差分法：xffxfjjj2/12/1j+1/2切線切線j-1/2jj-12/1jf)(2/1jxf2/1jf2/1jf 留意： 與 f 在xj+1/2點(diǎn)的值含義不同！2/1jf用周圍幾個(gè)點(diǎn)的值用周圍幾

24、個(gè)點(diǎn)的值 計(jì)算計(jì)算 的過程稱為的過程稱為“重構(gòu)，不能了重構(gòu)，不能了解為用解為用 來插值來插值2/1jf jf jf)(2/1jxf記號(hào)記號(hào) 確實(shí)容易混淆，讓人容易聯(lián)想起確實(shí)容易混淆，讓人容易聯(lián)想起 。記為。記為 更好些更好些2/1jf)(2/1jxf2/1jf否那么，最高只否那么，最高只能到達(dá)能到達(dá)2階精度了！階精度了！ 是控制體內(nèi)的平均值 稱為數(shù)值流通量稱為數(shù)值流通量 的含義的含義Copyright by Li Xinliang18重要概念廓清：重構(gòu)與插值0)(xuftuB. 有限體積法：有限體積法：02/12/1xfftujjjj+1/2j-1/2)(2/12/1jjxff2/1jf2/1

25、)(2/12/1jxxjjfxuff確實(shí)為確實(shí)為f在在xj+1/2點(diǎn)的值點(diǎn)的值 ！ 通常做法： 1 用 計(jì)算出 2 ju2/1ju)(2/12/1jjuff)(2/12/1jjxuuu在xj+1/2點(diǎn)的值！關(guān)鍵：關(guān)鍵： 是用是用 計(jì)算計(jì)算 稱為重構(gòu)稱為重構(gòu) ，而不是用，而不是用 計(jì)算計(jì)算 是規(guī)范的插值；否那么最高也只能到達(dá)是規(guī)范的插值；否那么最高也只能到達(dá)2階精度。階精度。 ju2/1ju ju2/12/1)(1jjxxjdxxuxujuju1ju1ju2/1ju19概念：MUSCL與非MUSC類方法0)(xuftuxffxujjj2/12/1j+1/2切線切線j-1/2j-12/1jf2/1

26、jf2/1jfxffxujjj2/12/1差分差分有限體積有限體積juju方法方法1 非非MUSCL類：類： 直接利用周圍幾個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值直接利用周圍幾個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值 或或 直接計(jì)算直接計(jì)算 或或 如何計(jì)算如何計(jì)算 或或 ？2/1jf2/1jf方法方法2 MUSCL類：類： 利用周圍幾個(gè)點(diǎn)的自變量值利用周圍幾個(gè)點(diǎn)的自變量值 或或 計(jì)算出計(jì)算出 或或 ；然后再計(jì)算然后再計(jì)算 或或 jf)(juf2/1jf2/1jfjuju2/1ju2/1ju)(2/12/1jjuff)(2/12/1jjuff當(dāng)當(dāng)f=f(u)是連函數(shù)時(shí)，二者精度一樣是連函數(shù)時(shí)，二者精度一樣uCufuuff)()(00f的誤差與的誤差

27、與u的誤差同階的誤差同階Copyright by Li Xinliang202. 近似近似Riemann解解 例：例： Roe格式格式)U(U21)f(U)f(U21fLjRjRjLjjSS2/12/112/12/12/1)UA(A )/()()/()(2/ )(2RLRRLLRLRRLLRLHHHuuu與差分法的與差分法的Roe格式方式一樣格式方式一樣了解：了解： 近似近似Riemann解解Euler方程方程 常系數(shù)線性化解常系數(shù)線性化解uf(u)uLuRuRoe0 xtf(U)U2/12/12/12/1),(jRjjLjnxxUxxUtxU0 xtnU)A(UU利用利用Roe平均，平均，

28、剛好是左剛好是左右兩點(diǎn)間的平均增長率，實(shí)現(xiàn)右兩點(diǎn)間的平均增長率，實(shí)現(xiàn)了常系數(shù)線性化。了常系數(shù)線性化。常系數(shù)雙曲方程組，易解！常系數(shù)雙曲方程組，易解！思緒：思緒： 用平均增長率矩陣用平均增長率矩陣 取代瞬時(shí)增長率矩陣取代瞬時(shí)增長率矩陣A,不但實(shí)現(xiàn)了線性化，而且實(shí)現(xiàn)了常系數(shù)不但實(shí)現(xiàn)了線性化，而且實(shí)現(xiàn)了常系數(shù)化?；?。 利用二次齊函數(shù)的性質(zhì)，可找到了利用二次齊函數(shù)的性質(zhì)，可找到了Roe點(diǎn)即點(diǎn)即Roe平均點(diǎn)，該點(diǎn)處的增長率剛好等于平均點(diǎn)，該點(diǎn)處的增長率剛好等于平均增長率。平均增長率。ARoe平均)UA(0 xtU)UA(U常系數(shù)化常系數(shù)化線性化線性化)()()(LRLRUfUfUU)UA(常系數(shù)線性單波

29、方程的常系數(shù)線性單波方程的Riemann問題問題太簡單了太簡單了210 xtU)UA(U常系數(shù)方程組的常系數(shù)方程組的Riemann問題問題0 xtUSSU1SUV 0 xtVV0 xvtvkkk解耦了的單波方程，有準(zhǔn)確解解耦了的單波方程，有準(zhǔn)確解2/12/12/12/1),(jRjjLjnxxUxxUtxU初值初值2/12/12/12/1)()(),(jRjkjLjknkxxvxxvtxvLjkv2/1)(Rjkv2/1)(Copyright by Li Xinliang22Ljkv2/1)(Rjkv2/1)(解為解為)()(sgn(21)()(210)(0)(),(2/12/12/12/12

30、/12/12/1LjkRjkkRjkLjkkRjkkLjkjkvvvvfvifvtxv)(sgn(21)(212/12/12/12/12/1LjRjRjLjjVVVVV)()sgn(21)(212/12/112/12/12/1LjRjRjLjjUUSSUUUSUV VSU1)U(U21)f(U)f(U21fLjRjRjLjjSS2/12/112/12/12/12/12/12/1jjjUAf線性化條件線性化條件 并利用齊函數(shù)性質(zhì)并利用齊函數(shù)性質(zhì)與差分法的與差分法的Roe格式一樣格式一樣)sgn(還有各種其他類型的近似還有各種其他類型的近似Riemann解今后引見解今后引見Copyright by

31、 Li Xinliang239.1.3 多維問題的有限體積法多維問題的有限體積法0y(U)fx(U)ftU21二維問題二維問題1111,pvu2222,pvu一維一維Riemann問題，坐標(biāo)選取不當(dāng)，問題，坐標(biāo)選取不當(dāng)，變?yōu)樽優(yōu)?“二維二維Riemann問題問題xy差分法：差分法： 獨(dú)立計(jì)算獨(dú)立計(jì)算只思索各自的特征方向只思索各自的特征方向 由于非線性，由于非線性， 實(shí)踐二維特征方向并非實(shí)踐二維特征方向并非x,y方向特征量的線性方向特征量的線性組合。組合。 特征方向計(jì)算不嚴(yán)厲，帶來誤差特征方向計(jì)算不嚴(yán)厲，帶來誤差差分方法：差分方法： 多維情況，特征實(shí)際復(fù)雜，通常多維情況，特征實(shí)際復(fù)雜，通常x,y

32、方向獨(dú)立計(jì)算方向獨(dú)立計(jì)算轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為 x方向與方向與y方方向的兩個(gè)一維問題向的兩個(gè)一維問題xUAx(U)f11逐點(diǎn)分裂逐點(diǎn)分裂特征投影分裂特征投影分裂yyUA(U)f22完全按照一維情況獨(dú)立處置完全按照一維情況獨(dú)立處置部分坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)？部分坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)？ 差分算法設(shè)計(jì)呵斥部分旋轉(zhuǎn)困難差分算法設(shè)計(jì)呵斥部分旋轉(zhuǎn)困難差分法差分法的多維的多維處置方法處置方法1. 小知識(shí)：小知識(shí)： 差分方法如何處置高維問題的差分方法如何處置高維問題的 ？優(yōu)缺陷？優(yōu)缺陷？優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)： 簡單簡單缺陷：特征方缺陷：特征方向計(jì)算不準(zhǔn)向計(jì)算不準(zhǔn)Copyright by Li Xinliang242. 二維有限體積方法的離散過程二維有限體

33、積方法的離散過程0y(U)fx(U)ftU210F(U)tU在以某節(jié)點(diǎn)為中心的控制體上積分在以某節(jié)點(diǎn)為中心的控制體上積分i,jk非構(gòu)造網(wǎng)格的控制體非構(gòu)造網(wǎng)格的控制體i+1,ji-1,ji,j+1i,j-1k3k1k2k4k5構(gòu)造網(wǎng)格的控制體構(gòu)造網(wǎng)格的控制體0dF(U)tU01dsnFtUdUU1dsdnFF(U)xyn01mmijHtU體積平均)()(1ymxmmmmnUnUss2ffnFH控制體邊境垂控制體邊境垂直于節(jié)點(diǎn)連線直于節(jié)點(diǎn)連線也可選其他也可選其他方式方式垂直平分線垂直平分線n1) 建立控制體建立控制體 mx2) 在控制體上積分在控制體上積分離散方程離散方程重構(gòu)：重構(gòu)： 由節(jié)點(diǎn)上平均

34、值由節(jié)點(diǎn)上平均值 給出函數(shù)分布，最終給出函數(shù)分布，最終給出通量給出通量ijU表示第m個(gè)界面上的值1m2m3m4m1 重構(gòu)重構(gòu) 兩種不同的重構(gòu)方案，向左偏及向右偏。兩種不同的重構(gòu)方案，向左偏及向右偏。 給出兩種結(jié)果：給出兩種結(jié)果： 及及Copyright by Li Xinliang25i,ji+1,ji-1,ji,j+1i,j-1n左重構(gòu)左重構(gòu)右重構(gòu)LmU2 由左右重構(gòu)得到的自變量：由左右重構(gòu)得到的自變量： 和和 給給出通量出通量 方案方案A: FVS 方案方案B: 解解Riemann問題問題 常用常用LjiU,2/1RjiU,2/13. 二維迎風(fēng)型有限體積法二維迎風(fēng)型有限體積法 LjU2/1

35、RjU2/1例如：例如： 0階重構(gòu)：階重構(gòu)：jiLjiUU,2/1jiRjiUU, 1,2/1 線性重構(gòu): )(21, 1, 2/1jijijiLjiUUUU)(21, 1,2, 1,2/1jijijiRjiUUUU用用i, i-1點(diǎn)的值點(diǎn)的值 插插i+1/2點(diǎn)的值點(diǎn)的值網(wǎng)格猛烈變化時(shí)，該當(dāng)用實(shí)踐坐標(biāo)插值網(wǎng)格猛烈變化時(shí)，該當(dāng)用實(shí)踐坐標(biāo)插值)()(2)(, 1, 1, 1, 2/1jijijijijjijiLjiUUxxxxUU用用i, i+1點(diǎn)的值點(diǎn)的值 插插i+1/2點(diǎn)的值點(diǎn)的值1111,pvu2222,pvuxy看似二維看似二維Riemann問題，其實(shí)是一維問題，其實(shí)是一維的，坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)一下

36、的，坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)一下就行了就行了RmU)(RmLmmU(Uf(UffCopyright by Li Xinliang261111,pvu2222,pvuxyxy 通常進(jìn)展坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)通常進(jìn)展坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)q角后的坐標(biāo)系角后的坐標(biāo)系 (x,y)性質(zhì)：性質(zhì)： Euler方程的旋轉(zhuǎn)不變性方程的旋轉(zhuǎn)不變性0y(U)fx(U)ftU21cossinsincosyxyyxxcossinsincosvuvvuu0y)U(fx)U(ftU21方式上完全不變方式上完全不變 僅需把僅需把u,v,x,y換成換成u,v,x,y即可即可TTTpEvpvuvvpEuvupuuEvu)(,(,)( ,(,),(222)U(f)U

37、(fU110000cossin00sincos00001)(T10000cossin00sincos00001)()(1TTTUU 其中：旋轉(zhuǎn)矩陣其中：旋轉(zhuǎn)矩陣0y(TU)fx(TU)ftTU21旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) q 角角矩陣表示Copyright by Li Xinliang27i,ji+1,ji-1,ji,j+1i,j-1左重構(gòu)左重構(gòu)右重構(gòu)LmURmU部分坐標(biāo)系xy1111,pvu2222,pvuxyxy旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)q角后的坐標(biāo)系角后的坐標(biāo)系 (x,y)(TU)fT(U)f(U)fnF(U)1121sincos習(xí)題：習(xí)題： 設(shè)設(shè) n 為平行為平行x軸的向量，試證明：軸的向量，試證明：證明：證明：Evu

38、vuEvucossinsincosTUsin)(cos)()(sincos)(cossin)(sincos)()()(222221vpEpvuvvupEuvpuuupEpvupuuuupEvupuvupuuupEvupuu11TTUfT2222vuvu坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，標(biāo)量不變坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，標(biāo)量不變向量的模不變向量的模不變cossinsincosvuvvuucossinsincosvuvvuuCopyright by Li Xinliang2801dsnFtU0)(1mmmijsnFtUi,ji+1,ji-1,ji,j+1i,j-1左重構(gòu)左重構(gòu)右重構(gòu)LjU2/1xy于是：01mmmmijs)U(fTtU1

39、11111,pvu2222,pvuxyxy旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)q角后的坐標(biāo)系角后的坐標(biāo)系 (x,y)其中下標(biāo)其中下標(biāo)m表示控制體第表示控制體第m個(gè)面線，個(gè)面線， 表示該面的面積表示該面的面積 長度長度ms于是，問題轉(zhuǎn)化為求控制面上的于是，問題轉(zhuǎn)化為求控制面上的TUU ULjU2/1這個(gè)量有兩個(gè)重構(gòu)方案這個(gè)量有兩個(gè)重構(gòu)方案LjLjTUU2/12/1RjRjTUU2/12/1方法方法1： FVS:方法方法2： 需求求解需求求解Riemann問題，旋轉(zhuǎn)后，問題，旋轉(zhuǎn)后，轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為“擴(kuò)展的擴(kuò)展的1維維Riemann問題問題0 xt)U(fU12/12/12/12/1),(jRjjLjnxxUxxUtxUEvuT

40、UU)(RmLmmUU(fU(ffCopyright by Li Xinliang29解釋：解釋： “擴(kuò)展的一維擴(kuò)展的一維Riemann問題問題1111,pvu2222,pvuxyxy旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)q角后的坐標(biāo)系角后的坐標(biāo)系 (x,y)0 xt)U(fU12/12/12/12/1),(jRjjLjnxxUxxUtxUEvuTUU 問題本身是一維的問題本身是一維的 ： 一切變量都只沿著一切變量都只沿著x方向分布，沿方向分布，沿y方向均勻方向均勻 允許有允許有y方向的速度方向的速度v (比純一維問題多一個(gè)變量比純一維問題多一個(gè)變量v的存在對(duì)流動(dòng)的一的存在對(duì)流動(dòng)的一維性質(zhì)無任何影響維性質(zhì)無任何影響舉例：舉

41、例： Sod激波管問題一維。激波管問題一維。假設(shè)在沿假設(shè)在沿y方向勻速運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系中察看，那么方向勻速運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系中察看，那么方程為方程為“擴(kuò)展的一維問題，但不影響其一維性擴(kuò)展的一維問題，但不影響其一維性質(zhì)質(zhì)坐標(biāo)系沿坐標(biāo)系沿y方向勻速運(yùn)動(dòng)方向勻速運(yùn)動(dòng)xy可用準(zhǔn)確可用準(zhǔn)確Riemann解，也可用解，也可用Roe等近似解等近似解Copyright by Li Xinliang30二維迎風(fēng)型有限體積法求解步驟二維迎風(fēng)型有限體積法求解步驟1 對(duì)對(duì)n時(shí)辰的平均量時(shí)辰的平均量 進(jìn)展重構(gòu)，給出控制面上的進(jìn)展重構(gòu)，給出控制面上的左、右重構(gòu)值左、右重構(gòu)值 ， 2將以上值旋轉(zhuǎn)到每個(gè)控制面法向的部分坐標(biāo)將以上值旋轉(zhuǎn)

42、到每個(gè)控制面法向的部分坐標(biāo)系下：系下： 3 求解上述求解上述“擴(kuò)展的一維擴(kuò)展的一維Riemann問題，給出后問題，給出后續(xù)時(shí)辰控制面上的值續(xù)時(shí)辰控制面上的值4利用積分型方程：利用積分型方程： 計(jì)算下一時(shí)辰的平均量計(jì)算下一時(shí)辰的平均量i,ji+1,ji-1,ji,j+1i,j-1左重構(gòu)左重構(gòu)右重構(gòu)LjU2/1xyRjU2/1LmURmU0階重構(gòu)：階重構(gòu)：jiLjiUU,2/1jiRjiUU, 1,2/11階重構(gòu)階重構(gòu) 線性重構(gòu)：線性重構(gòu)：)(21, 1, 2/1jijijiLjiUUUU)(21, 1,2, 1,2/1jijijiRjiUUUU更復(fù)雜的重構(gòu)更復(fù)雜的重構(gòu)WENO等等10000cos

43、sin00sincos00001)(T),(tUUUULmRmmm01mmmmijs)U(fTtU111nijUnijU下標(biāo)下標(biāo)m指的是第指的是第m個(gè)控制面上的值個(gè)控制面上的值LjLjTUU2/12/1RjRjTUU2/12/1Copyright by Li Xinliang31知識(shí)回想：知識(shí)回想：Riemann問題準(zhǔn)確解問題準(zhǔn)確解0)()(0)()(0)(2xpuEutExputuxut0,0,),(:0222111xpuxpuputRiemann問題問題問題描畫：問題描畫： 初始時(shí)辰，物理量分布存在初始時(shí)辰，物理量分布存在單個(gè)延續(xù)；延續(xù)兩側(cè)物理量為常數(shù)。單個(gè)延續(xù)；延續(xù)兩側(cè)物理量為常數(shù)。 求

44、解思緒：求解思緒： 采用積分方程采用積分方程 單個(gè)延續(xù)，且延續(xù)兩側(cè)物理量為常數(shù)情況下：單個(gè)延續(xù)，且延續(xù)兩側(cè)物理量為常數(shù)情況下： 積分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程積分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程代數(shù)方程：代數(shù)方程： 質(zhì)量、動(dòng)量、能量守恒質(zhì)量、動(dòng)量、能量守恒計(jì)算出計(jì)算出 ， 將將 與這三個(gè)值進(jìn)與這三個(gè)值進(jìn)展比較，判別會(huì)產(chǎn)生的情況。詳細(xì)見以下圖：展比較，判別會(huì)產(chǎn)生的情況。詳細(xì)見以下圖：Copyright by Li Xinliang32Riemann問題的詳細(xì)計(jì)算步驟問題的詳細(xì)計(jì)算步驟 全流場全流場0)()(0)()(0)(2xpuEutExputuxut0,0,),(:0222111xpuxpuput1. 判別能夠會(huì)

45、出現(xiàn)的情況五種情形之一判別能夠會(huì)出現(xiàn)的情況五種情形之一 iiiiiiiiiippppcppppcppppf*21*21*, 1)(12,21)(21),(),(),()(22*11*ppfppfpF a. 定義函數(shù) b. 進(jìn)展判別12pp 21uu )0(F)(2pF)(1pF情況5情況4情況3情況121uu )0(F)(1pF)(2pF情況5情況4情況2情況112pp 單調(diào)增函數(shù)，性質(zhì)很好)(),(),0(21pFpFF21uu Copyright by Li Xinliang332. 求解中心區(qū)的壓力和速度求解中心區(qū)的壓力和速度21*)(uupF單未知數(shù)的代數(shù)方程，迭代求解例如單未知數(shù)的代

46、數(shù)方程，迭代求解例如Newton法，法，F(xiàn)(p)性質(zhì)好，求解不困難性質(zhì)好，求解不困難pF(p)00.511.52-12-8-404Function F(p) (Eq. 2.4.11 )with p1=rho1=1, p2=0.1,rho2=0.125*p*p*p*p*u*u),(),(2111*22*21*ppfppfuuu3. 確定中心區(qū)接觸延續(xù)兩側(cè)的密度確定中心區(qū)接觸延續(xù)兩側(cè)的密度 以及左、右波傳播的速度以及左、右波傳播的速度 a. 左波為激波的情況情況左波為激波的情況情況1,3 *2*1,*2*1,*2*1,)(*11111*1uuAA)2 , 1(2121*ippcAiiii1111/

47、AuZ b. 左波為稀疏波的情況左波為稀疏波的情況 情況情況2，4，52*1*1/cp2/ )(1(*11*1uucc*1*11111;cuZcuZtailhead中中心心區(qū)區(qū)接接觸觸延延續(xù)續(xù)左左側(cè)側(cè)的的物物理理量量膨脹波的波頭及波尾速度膨脹波的波頭及波尾速度激波的傳播速度激波的傳播速度對(duì)于情況對(duì)于情況5，波尾速度為：，波尾速度為：11)5(112cuZtail中心區(qū)為真空，音中心區(qū)為真空，音速速 無定義，改由無定義，改由該式計(jì)算該式計(jì)算*1cCopyright by Li Xinliang34c. 右波為激波的情況情況右波為激波的情況情況1，2 中中心心區(qū)區(qū)接接觸觸延延續(xù)續(xù)右右側(cè)側(cè)的的物物理

48、理量量2222/AuZ)2 , 1(2121*ippcAiiii)(*22222*2uuAA b. 右波為稀疏波的情況右波為稀疏波的情況 情況情況2，4，52*2*2/cp2/ )(1(*22*2uucc*2*22222;cuZcuZtailhead4. 計(jì)算稀疏波區(qū)域的值假設(shè)有稀疏波的話a. 左稀疏波左稀疏波 b. 右稀疏波右稀疏波情況2，422)5(212cuZtail情況5：1211),(),()(),(/),(112121122ctxutxccptxccptxpctxtxutZxtZtailhead1211),(),()(),(/),(222122222cutxtxccptxccptxpctxtxutZxtZheadtail留意： 教科書32頁c的公式有誤！Copyright by Li Xinliang35有限體積法有限體積法 “擴(kuò)展的擴(kuò)展的Riemann問題