邊界元法PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1邊界元法邊界元法 邊界元法是把邊值問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為邊界積分方程問題，然后利用有限邊界元法是把邊值問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為邊界積分方程問題，然后利用有限元離散技術(shù)所構(gòu)造的一種方法，其主要特點(diǎn)是：元離散技術(shù)所構(gòu)造的一種方法，其主要特點(diǎn)是： 1）降低問題求解的空間維數(shù)。本方法將給定場域的邊值問題通過包圍該）降低問題求解的空間維數(shù)。本方法將給定場域的邊值問題通過包圍該場域邊界面上的邊界積分方程來表示，從而降低了問題求解的空間維數(shù)。場域邊界面上的邊界積分方程來表示，從而降低了問題求解的空間維數(shù)。也就是說，三維問題可利用邊界表面積分降維為二維問題；而二維問題則也就是說，三維問題可利用邊界表面積分降維為二維

2、問題；而二維問題則利用邊界的線積分降維為一維問題。因此，有限元離散僅對應(yīng)于二維曲面利用邊界的線積分降維為一維問題。因此，有限元離散僅對應(yīng)于二維曲面單元或一維曲線單元，使方法的構(gòu)造大為簡化。單元或一維曲線單元，使方法的構(gòu)造大為簡化。2）方程組階數(shù)降低，輸入數(shù)據(jù)量減少。如前所述，待求量將僅限于邊界）方程組階數(shù)降低，輸入數(shù)據(jù)量減少。如前所述，待求量將僅限于邊界節(jié)點(diǎn)，這不僅簡化了問題的前處理過程，而且大幅度降低了待求離散方程節(jié)點(diǎn)，這不僅簡化了問題的前處理過程，而且大幅度降低了待求離散方程組的階數(shù)。組的階數(shù)。3）計(jì)算精度高。本方法直接求解的是邊界廣義場源的分布。根據(jù)不同的）計(jì)算精度高。本方法直接求解的是

3、邊界廣義場源的分布。根據(jù)不同的問題，廣義場源可以是位勢、場源或等效場源。場域中任一點(diǎn)的場量將通問題，廣義場源可以是位勢、場源或等效場源。場域中任一點(diǎn)的場量將通過線性疊加各離散的廣義場源的作用而求得，毋需再經(jīng)微分運(yùn)算。此外，過線性疊加各離散的廣義場源的作用而求得，毋需再經(jīng)微分運(yùn)算。此外，由于只對邊界離散，離散化誤差僅僅來源于邊界。所以邊界元法較之有限由于只對邊界離散，離散化誤差僅僅來源于邊界。所以邊界元法較之有限元法，可望有較高的計(jì)算精度。元法，可望有較高的計(jì)算精度。4）易于處理開域問題。本方法只對有限場域或無限場域的有限邊界進(jìn)行）易于處理開域問題。本方法只對有限場域或無限場域的有限邊界進(jìn)行離散

4、化處理并求解，因此特別適用于開域問題。離散化處理并求解，因此特別適用于開域問題。第1頁/共48頁然而，邊界元法與有限元法相比較，其明顯的不足之處是：然而，邊界元法與有限元法相比較，其明顯的不足之處是：1）系數(shù)矩陣為非對稱性的滿陣。顯然，這就引發(fā)了應(yīng)用計(jì)算機(jī)求解大型離散）系數(shù)矩陣為非對稱性的滿陣。顯然，這就引發(fā)了應(yīng)用計(jì)算機(jī)求解大型離散方程組的困難，從而約束了邊界元方程組的階數(shù)。方程組的困難，從而約束了邊界元方程組的階數(shù)。2）系數(shù)矩陣元素值需經(jīng)數(shù)值積分處理，故系數(shù)矩陣的建立需要較多的計(jì)算機(jī)）系數(shù)矩陣元素值需經(jīng)數(shù)值積分處理，故系數(shù)矩陣的建立需要較多的計(jì)算機(jī)時(shí)。時(shí)。3）不易處理多種媒質(zhì)共存的問題。）不

5、易處理多種媒質(zhì)共存的問題。第2頁/共48頁8.2 基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識8.2.1 格林公式格林公式 設(shè)設(shè)V為空間中某一閉域，其表面為為空間中某一閉域，其表面為S。若有兩個(gè)標(biāo)量函數(shù)。若有兩個(gè)標(biāo)量函數(shù)和和，它們在，它們在V域內(nèi)及域內(nèi)及S面上分別存在連續(xù)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)，則所構(gòu)成的向量面上分別存在連續(xù)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)，則所構(gòu)成的向量 滿滿足如下的高斯散度定理：足如下的高斯散度定理：式中，式中，en為為S面的外法線方向的單位向量；面的外法線方向的單位向量； 為法向?qū)?shù)。根據(jù)向量恒等式為法向?qū)?shù)。根據(jù)向量恒等式將式（將式（8-2）代入式（）代入式（8-1）可得）可得 上式稱為格林第一公式。若將上式稱為格

6、林第一公式。若將和和交換位置，即對向量交換位置，即對向量進(jìn)行同樣的處進(jìn)行同樣的處理，便得理，便得 第3頁/共48頁以式（以式（8-3）減去式（）減去式（8-4），則有），則有 上式稱為格林第二公式，亦稱為格林定理。上式稱為格林第二公式，亦稱為格林定理。8.2.2 基本解基本解若考慮一線性微分方程若考慮一線性微分方程式中，式中，L是線性微分算子，是線性微分算子，f是給定的激勵(lì)源。則滿足方程是給定的激勵(lì)源。則滿足方程的解的解u（r，r）稱為對應(yīng)于方程（）稱為對應(yīng)于方程（8-6）的基本解。式（）的基本解。式（8-7）中的激勵(lì)源項(xiàng)）中的激勵(lì)源項(xiàng)為狄拉克為狄拉克函數(shù)，由定義式（函數(shù)，由定義式（7-20）

7、可見其具有點(diǎn)源性質(zhì)。）可見其具有點(diǎn)源性質(zhì)。u（r，r）亦可）亦可稱為下列方程的基本解，即稱為下列方程的基本解，即 限于篇幅，這里不討論基本解的求解方法，而是直接給出電磁場工程問限于篇幅，這里不討論基本解的求解方法，而是直接給出電磁場工程問題，如靜態(tài)電磁場問題常用的基本解。題，如靜態(tài)電磁場問題常用的基本解。第4頁/共48頁靜態(tài)場問題可由泊松方程或拉普拉斯方程的定解問題一般地描述為靜態(tài)場問題可由泊松方程或拉普拉斯方程的定解問題一般地描述為其二維問題的基本解為其二維問題的基本解為三維問題的基本解為三維問題的基本解為第5頁/共48頁式中，式中，r是源點(diǎn)到場點(diǎn)間的距離；是源點(diǎn)到場點(diǎn)間的距離；u則代表位勢

8、或場量的某一分量。則代表位勢或場量的某一分量。 從以上基本解的定義可以看出，基本解的實(shí)質(zhì)是集中量（點(diǎn)源）從以上基本解的定義可以看出，基本解的實(shí)質(zhì)是集中量（點(diǎn)源）C（r-r）在空間產(chǎn)生的效應(yīng)。就線性微分方程而言，如果激勵(lì)場源是一連）在空間產(chǎn)生的效應(yīng)。就線性微分方程而言，如果激勵(lì)場源是一連續(xù)分布量，那么它所產(chǎn)生的效應(yīng)可以根據(jù)線性疊加原理，表示成無數(shù)個(gè)集中續(xù)分布量，那么它所產(chǎn)生的效應(yīng)可以根據(jù)線性疊加原理，表示成無數(shù)個(gè)集中量所產(chǎn)生的效應(yīng)的疊加。也就是說，連續(xù)分布量所產(chǎn)生的效應(yīng)可以用基本解量所產(chǎn)生的效應(yīng)的疊加。也就是說，連續(xù)分布量所產(chǎn)生的效應(yīng)可以用基本解乘以連續(xù)分布量的密度函數(shù)的積分來表示。乘以連續(xù)分布

9、量的密度函數(shù)的積分來表示。 顯然，如靜電場中泊松方程的基本解式（顯然，如靜電場中泊松方程的基本解式（8-11a），即表示在無界），即表示在無界空間位矢為空間位矢為r的點(diǎn)上放置一電量為的點(diǎn)上放置一電量為0的正電荷，它在與其相距的正電荷，它在與其相距r處所產(chǎn)生的電處所產(chǎn)生的電位值位值=1/(4r)。由此可知，呈體電荷密度。由此可知，呈體電荷密度分布的場源在該場點(diǎn)產(chǎn)生的電位分布的場源在該場點(diǎn)產(chǎn)生的電位就等于此基本解乘以就等于此基本解乘以dV/0，然后對應(yīng)于源區(qū)的體積分，即，然后對應(yīng)于源區(qū)的體積分，即第6頁/共48頁8.2.3 加權(quán)余量法的推廣加權(quán)余量法的推廣 在第在第7章中已經(jīng)討論了可以構(gòu)成矩量法、

10、伽遼金有限元法等的共同數(shù)學(xué)章中已經(jīng)討論了可以構(gòu)成矩量法、伽遼金有限元法等的共同數(shù)學(xué)基礎(chǔ)基礎(chǔ)加權(quán)余量法。該方法表明，給定微分方程的近似解加權(quán)余量法。該方法表明，給定微分方程的近似解 在場域內(nèi)在場域內(nèi)不能精確地滿足微分方程，因而存在余量不能精確地滿足微分方程，因而存在余量 ，于是通過令該余量在平，于是通過令該余量在平均意義上，其加權(quán)積分為零，即得加權(quán)余量式（均意義上，其加權(quán)積分為零，即得加權(quán)余量式（7-4）。應(yīng)該指出，該式對）。應(yīng)該指出，該式對應(yīng)的是加權(quán)余量法的最簡情況，即所選擇的近似函數(shù)應(yīng)的是加權(quán)余量法的最簡情況，即所選擇的近似函數(shù) 可以精確地滿足邊可以精確地滿足邊界條件，但不能精確地滿足微分方

11、程。界條件，但不能精確地滿足微分方程。 現(xiàn)在從一般性的加權(quán)余量法展開討論，假設(shè)定解問題為式（現(xiàn)在從一般性的加權(quán)余量法展開討論，假設(shè)定解問題為式（8-9a）、）、式（式（8-9b）和式（）和式（8-9c）所描述的三維線性泊松場。設(shè)其近似解）所描述的三維線性泊松場。設(shè)其近似解 是某一是某一線性無關(guān)的完備函數(shù)集合線性無關(guān)的完備函數(shù)集合在一般情況下，把近似解在一般情況下，把近似解 代入該定解問題，微分方程（代入該定解問題，微分方程（8-9a）和邊界條件）和邊界條件（8-9b）、（）、（8-9c）都將不能精確滿足，由此產(chǎn)生相應(yīng)的誤差，其余量可分）都將不能精確滿足，由此產(chǎn)生相應(yīng)的誤差，其余量可分別表示為別

12、表示為 第7頁/共48頁如前所述，為了使這些在場域內(nèi)和邊界如前所述，為了使這些在場域內(nèi)和邊界S1、S2上的余量為最小，可引入一上的余量為最小，可引入一個(gè)權(quán)函數(shù)個(gè)權(quán)函數(shù)W，使之在平均意義上令余量的加權(quán)積分為零。根據(jù)誤差分布原，使之在平均意義上令余量的加權(quán)積分為零。根據(jù)誤差分布原理理5 ，不難導(dǎo)得，不難導(dǎo)得 上式表明，所選擇的近似解既不滿足基本方程，也不滿足相應(yīng)的邊界條件。上式表明，所選擇的近似解既不滿足基本方程，也不滿足相應(yīng)的邊界條件。因此，式（因此，式（8-14）可以看作是前述加權(quán)余量式（）可以看作是前述加權(quán)余量式（7-4）的推廣，并由此可以求）的推廣，并由此可以求出近似解出近似解 。 已如前

13、述，從數(shù)學(xué)意義上分析，加權(quán)余量法是其他多種數(shù)值計(jì)算方法已如前述，從數(shù)學(xué)意義上分析，加權(quán)余量法是其他多種數(shù)值計(jì)算方法的基礎(chǔ)，取決于不同的權(quán)函數(shù)的基礎(chǔ)，取決于不同的權(quán)函數(shù)W的選擇，可派生出不同類型的相應(yīng)計(jì)算方的選擇，可派生出不同類型的相應(yīng)計(jì)算方法。就邊界元法而言，即可直接由加權(quán)余量法出發(fā)，導(dǎo)得構(gòu)造邊界元法的法。就邊界元法而言，即可直接由加權(quán)余量法出發(fā)，導(dǎo)得構(gòu)造邊界元法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)邊界積分方程，并選取相應(yīng)的權(quán)函數(shù)為基本解展開闡述。邊界積分方程，并選取相應(yīng)的權(quán)函數(shù)為基本解展開闡述。第8頁/共48頁8.3 邊界積分方程邊界積分方程8.3.1 邊界積分方程邊界積分方程為了書寫簡便起見，往后將近似解為

14、了書寫簡便起見，往后將近似解 改記為改記為u。從而，式（。從而，式（8-14）可以重寫為）可以重寫為 根據(jù)格林第二公式式（根據(jù)格林第二公式式（8-5），上式左邊可表示為），上式左邊可表示為式中，在邊界式中，在邊界S1、S2上，記上，記 。將式（。將式（8-16）代入式（）代入式（8-15），經(jīng)整理得），經(jīng)整理得上式是電磁場邊界積分方程的原始公式，由此可推導(dǎo)出直接邊界積分方程。上式是電磁場邊界積分方程的原始公式，由此可推導(dǎo)出直接邊界積分方程。第9頁/共48頁8.3.2 直接邊界積分方程（直接法公式）直接邊界積分方程（直接法公式） 直接邊界積分方程中的未知量是邊界上客觀的物理量。如位函數(shù)直接邊界積

15、分方程中的未知量是邊界上客觀的物理量。如位函數(shù)、A，磁場強(qiáng)度磁場強(qiáng)度H及電場強(qiáng)度及電場強(qiáng)度E等。一旦這些未知量被確定，場域內(nèi)任一點(diǎn)上的物等。一旦這些未知量被確定，場域內(nèi)任一點(diǎn)上的物理量值便即可求得。這就是應(yīng)用于邊界元法的直接法。理量值便即可求得。這就是應(yīng)用于邊界元法的直接法。在電磁場問題中，現(xiàn)取權(quán)函數(shù)在電磁場問題中，現(xiàn)取權(quán)函數(shù)W為基本解。仍以三維泊松場為例，由式為基本解。仍以三維泊松場為例，由式（8-11a）可知，基本解）可知，基本解W=1/(4r)滿足以下方程：滿足以下方程：將式（將式（8-18）代入式（）代入式（8-17），該式左邊），該式左邊 式中，式中，ui是是V域內(nèi)節(jié)點(diǎn)域內(nèi)節(jié)點(diǎn)i處的

16、處的u值。因此，式（值。因此，式（8-17）可以寫成）可以寫成 由上式可見，一旦求出邊界上的物理量由上式可見，一旦求出邊界上的物理量u和和 ，便可解得，便可解得V域內(nèi)任域內(nèi)任一點(diǎn)的物理量值一點(diǎn)的物理量值ui。第10頁/共48頁 可以看出，當(dāng)求解邊界上的物理量時(shí)，在場可以看出，當(dāng)求解邊界上的物理量時(shí)，在場點(diǎn)與源點(diǎn)重合（即點(diǎn)與源點(diǎn)重合（即r=0）處，式（）處，式（8-19）中的面積）中的面積分項(xiàng)會出現(xiàn)奇異積分。此時(shí)處理方法如下：分項(xiàng)會出現(xiàn)奇異積分。此時(shí)處理方法如下： 設(shè)邊界面設(shè)邊界面S1光滑，在該邊界面上，以場點(diǎn)光滑，在該邊界面上，以場點(diǎn)i為球心，半徑為球心，半徑r0=作半球面作半球面 ，如圖，如

17、圖8-1所示。所示。然后令然后令0，以求得相應(yīng)面積分在點(diǎn)，以求得相應(yīng)面積分在點(diǎn)i上的極限上的極限值。這一分析將包含以下三種情況：值。這一分析將包含以下三種情況：（1）場點(diǎn)位于）場點(diǎn)位于S1面外，且場點(diǎn)不在面外，且場點(diǎn)不在V域內(nèi)域內(nèi) 此時(shí)，基本解滿足拉普拉斯方程此時(shí)，基本解滿足拉普拉斯方程2W=0，式（，式（8-17）可簡化成）可簡化成 （2）場點(diǎn)在）場點(diǎn)在S1面上面上第11頁/共48頁當(dāng)當(dāng)0時(shí)，上式右邊第一項(xiàng)中時(shí)，上式右邊第一項(xiàng)中 ，故有，故有且以基本解代入式（且以基本解代入式（8-21）右邊第二項(xiàng)，并注意到當(dāng)）右邊第二項(xiàng)，并注意到當(dāng)0時(shí)，時(shí)， ，得，得式中，式中，為場點(diǎn)為場點(diǎn) i 對于對于

18、面所張的立體角面所張的立體角將式（將式（8-22）、式（）、式（8-23）代入式（）代入式（8-21），可得），可得 第12頁/共48頁（3）場點(diǎn)在）場點(diǎn)在S2面上面上類同于場點(diǎn)在類同于場點(diǎn)在S1面上時(shí)的分析，可以導(dǎo)得面上時(shí)的分析，可以導(dǎo)得顯然，以上三種情況可以統(tǒng)一表示為顯然，以上三種情況可以統(tǒng)一表示為式中式中第13頁/共48頁式（式（8-26）亦可表示為）亦可表示為若為拉普拉斯方程定解問題，則若為拉普拉斯方程定解問題，則f=0，對于二維場問題，通過類似的推導(dǎo)，最終統(tǒng)一表達(dá)式應(yīng)為對于二維場問題，通過類似的推導(dǎo)，最終統(tǒng)一表達(dá)式應(yīng)為 式中式中且其基本解且其基本解 。第14頁/共48頁 式（式（8-

19、27）和式（）和式（8-28）即為直接邊界積分方程。當(dāng)邊界面（線）光滑，）即為直接邊界積分方程。當(dāng)邊界面（線）光滑，且場點(diǎn)且場點(diǎn)i位于邊界上時(shí)，對應(yīng)于三維和二維問題的位于邊界上時(shí)，對應(yīng)于三維和二維問題的ci=1/2（=2；=）。由）。由此，可求出邊界上的未知量。然后，再令直接邊界積分方程中的此，可求出邊界上的未知量。然后，再令直接邊界積分方程中的ci=1，即可，即可解出場域內(nèi)任一點(diǎn)處的場量。解出場域內(nèi)任一點(diǎn)處的場量。 基于式（基于式（8-17），還可導(dǎo)出應(yīng)用于邊界元法的間接邊界積分方程（間），還可導(dǎo)出應(yīng)用于邊界元法的間接邊界積分方程（間接法公式）接法公式）8。但就邊界元法而言，直接法比間接法的

20、計(jì)算步驟少，。但就邊界元法而言，直接法比間接法的計(jì)算步驟少，計(jì)算精度高，故本書以直接邊界積分方程為基礎(chǔ)，展開敘述邊界元法。計(jì)算精度高，故本書以直接邊界積分方程為基礎(chǔ)，展開敘述邊界元法。第15頁/共48頁8.4 邊界元方程及方法實(shí)施邊界元方程及方法實(shí)施 在給定邊界條件和場域幾何形態(tài)的情況下，采用解析的方法求解邊界在給定邊界條件和場域幾何形態(tài)的情況下，采用解析的方法求解邊界積分方程是十分困難的，因此，作為一種有效的數(shù)值計(jì)算方法積分方程是十分困難的，因此，作為一種有效的數(shù)值計(jì)算方法邊界元邊界元法，借助于有限元技術(shù)，通?？捎梢韵虏襟E組成：法，借助于有限元技術(shù)，通常可由以下步驟組成：1）邊界）邊界S被離

21、散成一系列邊界單元，在每個(gè)單元上，假定位勢及其導(dǎo)數(shù)是被離散成一系列邊界單元，在每個(gè)單元上，假定位勢及其導(dǎo)數(shù)是按節(jié)點(diǎn)值的內(nèi)插函數(shù)形式變化。按節(jié)點(diǎn)值的內(nèi)插函數(shù)形式變化。2）基于邊界積分方程，按邊界單元上節(jié)點(diǎn)的配置，在相應(yīng)節(jié)點(diǎn)上建立離）基于邊界積分方程，按邊界單元上節(jié)點(diǎn)的配置，在相應(yīng)節(jié)點(diǎn)上建立離散方程。散方程。3）采用數(shù)值積分法，計(jì)算每個(gè)單元上的相應(yīng)積分項(xiàng)。）采用數(shù)值積分法，計(jì)算每個(gè)單元上的相應(yīng)積分項(xiàng)。4）按給定的邊界條件，確立一組線性代數(shù)方程組，即邊界元方程。然后）按給定的邊界條件，確立一組線性代數(shù)方程組，即邊界元方程。然后，采用適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)解法，解出邊界上待求的位勢或其導(dǎo)數(shù)的離散解。，采用適當(dāng)?shù)拇?/p>

22、數(shù)解法，解出邊界上待求的位勢或其導(dǎo)數(shù)的離散解。5）同樣基于邊界積分方程，在上述邊界元法所得離散解的基礎(chǔ)上，可得）同樣基于邊界積分方程，在上述邊界元法所得離散解的基礎(chǔ)上，可得場域內(nèi)任一點(diǎn)的位函數(shù)與場量解。場域內(nèi)任一點(diǎn)的位函數(shù)與場量解。 本節(jié)討論應(yīng)用于二維問題的邊界元法。關(guān)于三維問題的邊界元法，其本節(jié)討論應(yīng)用于二維問題的邊界元法。關(guān)于三維問題的邊界元法，其基本思想類同，但由于離散的邊界單元將是平面或曲面形單元，處理過程基本思想類同，但由于離散的邊界單元將是平面或曲面形單元，處理過程較為繁復(fù)，限于篇幅，不再展開闡述和討論。較為繁復(fù)，限于篇幅，不再展開闡述和討論。第16頁/共48頁 二維場的邊界積分方

23、程已由式（二維場的邊界積分方程已由式（8-28）給出。該二維場域）給出。該二維場域D的邊界的邊界L是是一維曲線，現(xiàn)按有限元離散方法，將邊界離散成一維曲線，現(xiàn)按有限元離散方法，將邊界離散成N個(gè)邊界單元（個(gè)邊界單元（L1，L2，LN），并規(guī)定單元序號（或節(jié)點(diǎn)序號），并規(guī)定單元序號（或節(jié)點(diǎn)序號 ）與邊界定向線段）與邊界定向線段L的走向的走向一致，即所論場域一致，即所論場域D始終位于始終位于L的左側(cè)。如圖的左側(cè)。如圖8-2所示。插值函數(shù)有各種類所示。插值函數(shù)有各種類型，基本上可分為常數(shù)型、線性型和高次插值。下面從最簡單的常數(shù)單元型，基本上可分為常數(shù)型、線性型和高次插值。下面從最簡單的常數(shù)單元入手，推導(dǎo)

24、邊界元方程。入手，推導(dǎo)邊界元方程。第17頁/共48頁8.4.1 常數(shù)單元常數(shù)單元 常數(shù)單元是指每個(gè)邊界單元上的常數(shù)單元是指每個(gè)邊界單元上的u和和q值都設(shè)定為相應(yīng)的常數(shù)，且等于值都設(shè)定為相應(yīng)的常數(shù)，且等于該單元中點(diǎn)上的值。各單元中心即其兩端點(diǎn)連線的中心點(diǎn)，亦稱節(jié)點(diǎn)，如該單元中點(diǎn)上的值。各單元中心即其兩端點(diǎn)連線的中心點(diǎn)，亦稱節(jié)點(diǎn)，如圖圖8-3所示。圖中所示。圖中L1、L2分別標(biāo)記給定的第一類和第二類邊界條件所對應(yīng)的分別標(biāo)記給定的第一類和第二類邊界條件所對應(yīng)的邊界。邊界。設(shè)場域設(shè)場域D內(nèi)位函數(shù)內(nèi)位函數(shù)u滿足拉普拉斯方程，則直接邊界積分方程（滿足拉普拉斯方程，則直接邊界積分方程（8-28）可以寫為）可

25、以寫為 第18頁/共48頁當(dāng)邊界離散后，按邊界單元上節(jié)點(diǎn)的配置，上式可改寫為當(dāng)邊界離散后，按邊界單元上節(jié)點(diǎn)的配置，上式可改寫為式中，式中，i為節(jié)點(diǎn)序號；為節(jié)點(diǎn)序號；j為單元序號。由于在各個(gè)邊界單元為單元序號。由于在各個(gè)邊界單元Lj（j=1，2，N）上上u與與q均分別設(shè)定為相應(yīng)的常數(shù)，故可將其提出積分號，得均分別設(shè)定為相應(yīng)的常數(shù)，故可將其提出積分號，得各單元各單元Lj上的積分僅與節(jié)點(diǎn)上的積分僅與節(jié)點(diǎn)i和單元和單元j相關(guān)。令相關(guān)。令和和第19頁/共48頁 和和Gij一般可由數(shù)值積分算出，對于邊界幾何形狀非常簡單的情況，當(dāng)一般可由數(shù)值積分算出，對于邊界幾何形狀非常簡單的情況，當(dāng)然也可以有解析解。這樣

26、，式（然也可以有解析解。這樣，式（8-30）即為）即為 前已指出，惟有當(dāng)場點(diǎn)與源點(diǎn)重合時(shí)，即前已指出，惟有當(dāng)場點(diǎn)與源點(diǎn)重合時(shí)，即i=j時(shí)，時(shí)，ci=1/2（邊界光滑時(shí)），其（邊界光滑時(shí)），其余均為零。故若再令余均為零。故若再令 式（式（8-34）又可改寫成）又可改寫成第20頁/共48頁 因?yàn)樵谶吔缫驗(yàn)樵谶吔鏛1上有上有N1個(gè)單元屬于第一類邊界條件，即其個(gè)單元屬于第一類邊界條件，即其N1個(gè)單元上的個(gè)單元上的u值是已知的，但其值是已知的，但其q值未知；而邊界值未知；而邊界L2上對應(yīng)的上對應(yīng)的N2（=N-N1）個(gè)單元屬于第）個(gè)單元屬于第二類邊界條件，即其二類邊界條件，即其N2個(gè)單元上的個(gè)單元上的q值

27、已知，但值已知，但u值未知。因此，離散的邊值未知。因此，離散的邊界積分方程的未知量應(yīng)由界積分方程的未知量應(yīng)由N1個(gè)個(gè)q值和值和N2個(gè)個(gè)u值所組成。式（值所組成。式（8-36）是對應(yīng)于第）是對應(yīng)于第i個(gè)節(jié)點(diǎn)所列出的離散邊界積分方程，就整體個(gè)節(jié)點(diǎn)所列出的離散邊界積分方程，就整體N個(gè)邊界節(jié)點(diǎn)的集合而言，即個(gè)邊界節(jié)點(diǎn)的集合而言，即構(gòu)成構(gòu)成N階方程，可寫成如下矩陣形式：階方程，可寫成如下矩陣形式：重新排列上式，將所有包含有未知量的項(xiàng)移置方程的左端，而將已知項(xiàng)置于重新排列上式，將所有包含有未知量的項(xiàng)移置方程的左端，而將已知項(xiàng)置于方程的右端，可得重排后的方程的右端，可得重排后的N階線性方程組，即邊界元方程為

28、階線性方程組，即邊界元方程為式中，式中，X表示由未知量表示由未知量u和和q所組成的列向量；所組成的列向量；F是是N維列向量，表示給定的邊維列向量，表示給定的邊界條件；界條件； A為為NN階系數(shù)矩陣，表征了節(jié)點(diǎn)階系數(shù)矩陣，表征了節(jié)點(diǎn)i與各單元與各單元j之間的關(guān)聯(lián)。一旦方之間的關(guān)聯(lián)。一旦方程（程（8-38）解出，即可求得邊界上所有未知的）解出，即可求得邊界上所有未知的u和和q值，而按式（值，而按式（8-29）場域）場域內(nèi)任一點(diǎn)的位函數(shù)內(nèi)任一點(diǎn)的位函數(shù)u的計(jì)算公式為的計(jì)算公式為第21頁/共48頁基于同樣的離散化過程，其離散形式是基于同樣的離散化過程，其離散形式是值得注意的是，與式（值得注意的是，與式

29、（8-35）不同，現(xiàn)節(jié)點(diǎn)）不同，現(xiàn)節(jié)點(diǎn)i位于場域內(nèi)部，不會出現(xiàn)位于場域內(nèi)部，不會出現(xiàn)i=j的情況，故的情況，故ci=1。 若繼續(xù)求解場域內(nèi)點(diǎn)若繼續(xù)求解場域內(nèi)點(diǎn)i處的場強(qiáng)，即處的場強(qiáng)，即u的導(dǎo)數(shù)時(shí)，由于式（的導(dǎo)數(shù)時(shí)，由于式（8-39）中的）中的被積函數(shù)只有基本解被積函數(shù)只有基本解W與點(diǎn)與點(diǎn)i相關(guān)，即只有相關(guān)，即只有W是是r的函數(shù)，所以的函數(shù)，所以 式中，式中，=x，y?？梢钥闯?，?？梢钥闯?， 與與u有相同的精度，即場強(qiáng)與位勢有同階的有相同的精度，即場強(qiáng)與位勢有同階的計(jì)算精度，這是邊界元法的固有特點(diǎn)。計(jì)算精度，這是邊界元法的固有特點(diǎn)。若問題滿足的是泊松方程，則有若問題滿足的是泊松方程，則有第22頁

30、/共48頁將場域?qū)鲇駾離散化為離散化為M個(gè)面單元個(gè)面單元Dk（k=1，2，M），令），令通常通常f為已知的場源分布項(xiàng)，因此為已知的場源分布項(xiàng)，因此Bi項(xiàng)的引入，僅使式（項(xiàng)的引入，僅使式（8-38）中右端項(xiàng)）中右端項(xiàng)F有所變化，但并不增加未知量。式（有所變化，但并不增加未知量。式（8-42）的離散形式為）的離散形式為第23頁/共48頁8.4.2 線性單元線性單元 線性單元是將每個(gè)邊界單元的端點(diǎn)取為節(jié)點(diǎn)，如圖線性單元是將每個(gè)邊界單元的端點(diǎn)取為節(jié)點(diǎn)，如圖8-4所示，邊界所示，邊界L離散離散為為M個(gè)線性單元（設(shè)定每一個(gè)單元內(nèi)個(gè)線性單元（設(shè)定每一個(gè)單元內(nèi)u和和q的數(shù)值呈線性變化）。的數(shù)值呈線性變化）。

31、 由于單元中由于單元中u和和q值不是常數(shù)，所以式（值不是常數(shù)，所以式（8-30）中的）中的u和和 不可能提到不可能提到積分號外，此時(shí)系數(shù)矩陣的建立較常數(shù)單元費(fèi)時(shí)，其方法如下：積分號外，此時(shí)系數(shù)矩陣的建立較常數(shù)單元費(fèi)時(shí)，其方法如下： 取任意取任意j號單元（號單元（Lj為單元長度），建立如圖為單元長度），建立如圖8-5所示的局部坐標(biāo)系。此所示的局部坐標(biāo)系。此時(shí)單元上任一點(diǎn)的時(shí)單元上任一點(diǎn)的u和和q值可用相關(guān)節(jié)點(diǎn)值值可用相關(guān)節(jié)點(diǎn)值uj、uj+1和和qj、qj+1以及以及N1、N2兩個(gè)兩個(gè)線性函數(shù)來表達(dá)，即線性函數(shù)來表達(dá)，即 第24頁/共48頁式中，式中，N1、N2為插值基函數(shù)為插值基函數(shù)亦稱為形狀函

32、數(shù)，其特點(diǎn)是：在該單元節(jié)點(diǎn)上相應(yīng)取值為亦稱為形狀函數(shù)，其特點(diǎn)是：在該單元節(jié)點(diǎn)上相應(yīng)取值為1；在其余單元；在其余單元的節(jié)點(diǎn)上取值為零。的節(jié)點(diǎn)上取值為零。將式（將式（8-44）代入式（）代入式（8-30），可得），可得令令 第25頁/共48頁則有則有 上式亦可表示為上式亦可表示為式中式中因?yàn)檫吔缫驗(yàn)檫吔鏛是一閉合曲線，所以當(dāng)是一閉合曲線，所以當(dāng)j=1時(shí)，（時(shí)，（j-1）即為）即為M。式（。式（8-50）還可簡）還可簡化為化為第26頁/共48頁式中式中對應(yīng)于對應(yīng)于i=1，2，M所有節(jié)點(diǎn)列出的離散方程（所有節(jié)點(diǎn)列出的離散方程（8-52），可寫成矩陣形式為），可寫成矩陣形式為顯然，上式與式（顯然，上式與

33、式（8-37）的形式完全相同，只是系數(shù)矩陣元素計(jì)算關(guān)系式不）的形式完全相同，只是系數(shù)矩陣元素計(jì)算關(guān)系式不同。經(jīng)整理后，同樣最終可得如式（同。經(jīng)整理后，同樣最終可得如式（8-38）所示的邊界元方程。）所示的邊界元方程。 對于二次或更高次的邊界單元來說，差異僅在于插值基函數(shù)，即形狀函對于二次或更高次的邊界單元來說，差異僅在于插值基函數(shù)，即形狀函數(shù)的構(gòu)造將更為復(fù)雜，這時(shí)對應(yīng)的是曲線形元素（常數(shù)及線性單元屬于直線數(shù)的構(gòu)造將更為復(fù)雜，這時(shí)對應(yīng)的是曲線形元素（常數(shù)及線性單元屬于直線單元）。原則上，它們對曲線邊界的擬合將更好，計(jì)算精度高，但由于形狀單元）。原則上，它們對曲線邊界的擬合將更好，計(jì)算精度高，但由

34、于形狀函數(shù)的復(fù)雜性所帶來的數(shù)值積分誤差較大，其結(jié)果往往得不償失。因此，當(dāng)函數(shù)的復(fù)雜性所帶來的數(shù)值積分誤差較大，其結(jié)果往往得不償失。因此，當(dāng)邊界幾何形狀較簡單或剖分足夠精細(xì)時(shí)，通常采用線性單元即已可滿足分析邊界幾何形狀較簡單或剖分足夠精細(xì)時(shí)，通常采用線性單元即已可滿足分析需要。需要。第27頁/共48頁8.4.3 系數(shù)矩陣元素的確定系數(shù)矩陣元素的確定在建立系數(shù)矩陣時(shí)，會遇到諸如式（在建立系數(shù)矩陣時(shí)，會遇到諸如式（8-32）、式（）、式（8-33）和式（）和式（8-47）、式）、式（8-48）等所示的積分計(jì)算。這里分別就常數(shù)單元與線性單元討論如下：）等所示的積分計(jì)算。這里分別就常數(shù)單元與線性單元討論

35、如下：（1）常數(shù)單元）常數(shù)單元1）主對角元素）主對角元素根據(jù)式（根據(jù)式（8-32）式中，被積函數(shù)是基本解式中，被積函數(shù)是基本解W的梯度在單元的梯度在單元i的法線方向的法線方向en上的投影?？梢钥瓷系耐队??？梢钥闯?，由于出，由于en與單位向量與單位向量 （節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)i到單元到單元i上任一點(diǎn)的單位向量，即上任一點(diǎn)的單位向量，即W的梯度的梯度方向）相互垂直，故積分為零，即方向）相互垂直，故積分為零，即將基本解式（將基本解式（8-10a）代入式（）代入式（8-33），有），有第28頁/共48頁由于常數(shù)單元的節(jié)點(diǎn)，即等效源的源點(diǎn)，位于單元中心，因此，在由于常數(shù)單元的節(jié)點(diǎn)，即等效源的源點(diǎn)，位于單元中心，因

36、此，在0lLi/2區(qū)域內(nèi)，區(qū)域內(nèi)，l0與與r0的方向相反，如圖的方向相反，如圖8-6所示。所以所示。所以2）非對角線元素）非對角線元素 前面已經(jīng)指出，一般情況下，式（前面已經(jīng)指出，一般情況下，式（8-32）和式（）和式（8-33）不可能應(yīng)用解析方）不可能應(yīng)用解析方法求積。因此借助于法求積。因此借助于3.3節(jié)中一維高斯求積公式（節(jié)中一維高斯求積公式（3-11），可以方便地求得），可以方便地求得Hij和和Gij如下：如下：第29頁/共48頁和和 式中，式中，en是單元是單元j的法線方向；的法線方向；角是角是en與與x軸的夾角，如圖軸的夾角，如圖8-7所示。所示。可以表可以表示為示為 ，Ak是權(quán)系數(shù)

37、，是權(quán)系數(shù)，N為高斯積分點(diǎn)數(shù)，為高斯積分點(diǎn)數(shù)，k是第是第k個(gè)高斯積分點(diǎn)的坐標(biāo)。個(gè)高斯積分點(diǎn)的坐標(biāo)。 第30頁/共48頁（2）線性單元）線性單元1）主對角線元素）主對角線元素 采用線性單元離散曲線邊界，相當(dāng)于采用線性單元離散曲線邊界，相當(dāng)于用用N條直線段去逼近曲線。設(shè)定節(jié)點(diǎn)為線條直線段去逼近曲線。設(shè)定節(jié)點(diǎn)為線段的端點(diǎn)，顯然節(jié)點(diǎn)處曲線不再光滑，如段的端點(diǎn)，顯然節(jié)點(diǎn)處曲線不再光滑，如圖圖8-8所示。根據(jù)式（所示。根據(jù)式（8-51）和式（）和式（8-52），），對角線元素為對角線元素為和和 式中，式中，ci=1-/2，是節(jié)點(diǎn)是節(jié)點(diǎn)i所張的平面角。由于單元中所張的平面角。由于單元中r0與與en相互垂直，經(jīng)相互垂直，經(jīng)過與式（過與式（8-54）和式（）和式（8-56）相類似的推導(dǎo)，可以得出）相類似的推導(dǎo)，可以得出和和第31頁/共48頁2）非對角線元素）非對角線元素此時(shí)此時(shí)根據(jù)式（根據(jù)式（8-47）和式（）和式（8-48），并注意到），并注意到l=Lj（1+）/2，所以有，所以有同理可得同理可得第32頁/共48頁和和 式中，式中，r是是的函數(shù)，的函數(shù)，如上所述，應(yīng)用高斯求積公式，即可算得以上各系數(shù)矩陣的元素值。如上所述，應(yīng)用高斯求積公式，即可算得以上各系數(shù)矩陣的元素值。第33頁/共4