幾種典型非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究與仿真畢設(shè)論文

1、*大學(xué)畢 業(yè) 設(shè) 計(jì)（論 文）題 目： 幾種典型非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究與仿真 專 業(yè)： 電氣工程及其自動(dòng)化 學(xué)生姓名： * 班級學(xué)號： * 指導(dǎo)教師： * 指導(dǎo)單位： 自動(dòng)化學(xué)院電氣信息工程系 日期：*摘 要 論文對MATLAB軟件進(jìn)行了簡單的介紹，詳細(xì)介紹了非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)，并且對它的穩(wěn)定性進(jìn)行了簡要的分析。另外，論文對非線性系統(tǒng)的非線性環(huán)節(jié)的特性進(jìn)行了介紹。接下來，論文詳細(xì)講解了描述函數(shù)的定義和求法，而且給出了兩種非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)。在第四章里面，論文對繼電器型非線性系統(tǒng)和滯環(huán)非線性系統(tǒng)進(jìn)行了仿真分析，并且運(yùn)用nyquist定理對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了判定。關(guān)鍵詞：非線性系統(tǒng)；穩(wěn)定性；描述函

2、數(shù)；非線性環(huán)節(jié)； ABSTRACTThe article simple introduced MATLAB software and the characteristics of non-linear system, also the article analysis its stability in detail. In addition, the article introduced the characteristics of the nonlinear system links. the article explained in detail the definition and so

3、lution of the Description function and also the article gave the Description function of two nonlinear links. In the fourth chapter there, the article simulated the relay nonlinear system and hysteresis nonlinear systemand use nyquist theorem finding the stability of the system.Key words: nonlinear

4、systems, stability, Description function, nonlinear system link;目 錄第一章 MATLAB簡介.11.1 MATLAB概況.11.2 MATLAB產(chǎn)生的歷史背景.11.3 MATLAB功能和組成簡介.21.4 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述與建模.3第二章 非線性系統(tǒng).42.1 非線性系統(tǒng)的特征.42.2 非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)方法.52.3 典型非線性特性.5第三章 描述函數(shù).83.1 描述函數(shù)的定義.83.2 描述函數(shù)的求法.93.3 組合非線性特性的描述函數(shù) .113.4 非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)法 .11第四章 繪制和圖判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性.1

5、34.1 非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性判定依據(jù).134.2 繼電器型非線性環(huán)節(jié)的和圖.134.3 滯環(huán)非線性環(huán)節(jié)和圖.18結(jié)束語.24致謝.25參考文獻(xiàn).26第一章 MATLAB簡介1.1 MATLAB的概況MATLAB是矩陣實(shí)驗(yàn)室（MatrixLaboratory）之意。除具備卓越的數(shù)值計(jì)算能力外，它還提供了專業(yè)水平的符號計(jì)算，文字處理，可視化建模仿真和實(shí)時(shí)控制等功能。MATLAB的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達(dá)式與數(shù)學(xué),工程中常用的形式十分相似,故用MATLAB來解算問題要比用C,FORTRAN等語言完相同的事情簡捷得多.當(dāng)前流行的MATLAB 5.3/Simulink 3.0包括擁有數(shù)百個(gè)內(nèi)部函數(shù)

6、的主包和三十幾種工具包(Toolbox).工具包又可以分為功能性工具包和學(xué)科工具包.功能工具包用來擴(kuò)充MATLAB的符號計(jì)算,可視化建模仿真,文字處理及實(shí)時(shí)控制等功能.學(xué)科工具包是專業(yè)性比較強(qiáng)的工具包,控制工具包,信號處理工具包,通信工具包等都屬于此類. 開放性使MATLAB廣受用戶歡迎.除內(nèi)部函數(shù)外,所有MATLAB主包文件和各種工具包都是可讀可修改的文件,用戶通過對源程序的修改或加入自己編寫程序構(gòu)造新的專用工具包. 1.2 MATLAB產(chǎn)生的歷史背景 在70年代中期,Cleve Moler博士和其同事在美國國家科學(xué)基金的資助下開發(fā)了調(diào)用EISPACK和LINPACK的FORTRAN子程序庫

7、.EISPACK是特征值求解的FOETRAN程序庫,LINPACK是解線性方程的程序庫.在當(dāng)時(shí),這兩個(gè)程序庫代表矩陣運(yùn)算的最高水平. 到70年代后期,身為美國New Mexico大學(xué)計(jì)算機(jī)系系主任的Cleve Moler,在給學(xué)生講授線性代數(shù)課程時(shí),想教學(xué)生使用EISPACK和LINPACK程序庫,但他發(fā)現(xiàn)學(xué)生用FORTRAN編寫接口程序很費(fèi)時(shí)間,于是他開始自己動(dòng)手,利用業(yè)余時(shí)間為學(xué)生編寫EISPACK和LINPACK的接口程序.Cleve Moler給這個(gè)接口程序取名為MATLAB,該名為矩陣(matrix)和實(shí)驗(yàn)室(labotatory)兩個(gè)英文單詞的前三個(gè)字母的組合.在以后的數(shù)年里,MA

8、TLAB在多所大學(xué)里作為教學(xué)輔助軟件使用,并作為面向大眾的免費(fèi)軟件廣為流傳. 1983年春天,Cleve Moler到Standford大學(xué)講學(xué),MATLAB深深地吸引了工程師John Little.John Little敏銳地覺察到MATLAB在工程領(lǐng)域的廣闊前景.同年,他和Cleve Moler,Steve Bangert一起,用C語言開發(fā)了第二代專業(yè)版.這一代的MATLAB語言同時(shí)具備了數(shù)值計(jì)算和數(shù)據(jù)圖示化的功能. 1984年,Cleve Moler和John Little成立了Math Works公司,正式把MATLAB推向市場,并繼續(xù)進(jìn)行MATLAB的研究和開發(fā). 在當(dāng)今30多個(gè)數(shù)學(xué)

9、類科技應(yīng)用軟件中,就軟件數(shù)學(xué)處理的原始內(nèi)核而言,可分為兩大類.一類是數(shù)值計(jì)算型軟件,如MATLAB,Xmath,Gauss等,這類軟件長于數(shù)值計(jì)算,對處理大批數(shù)據(jù)效率高;另一類是數(shù)學(xué)分析型軟件,Mathematica,Maple等,這類軟件以符號計(jì)算見長,能給出解析解和任意精確解,其缺點(diǎn)是處理大量數(shù)據(jù)時(shí)效率較低.MathWorks公司順應(yīng)多功能需求之潮流,在其卓越數(shù)值計(jì)算和圖示能力的基礎(chǔ)上,又率先在專業(yè)水平上開拓了其符號計(jì)算,文字處理,可視化建模和實(shí)時(shí)控制能力,開發(fā)了適合多學(xué)科,多部門要求的新一代科技應(yīng)用軟件MATLAB.經(jīng)過多年的國際競爭,MATLAB以經(jīng)占據(jù)了數(shù)值軟件市場的主導(dǎo)地位. 在M

10、ATLAB進(jìn)入市場前，國際上的許多軟件包都是直接以FORTRANC語言等編程語言開發(fā)的。這種軟件的缺點(diǎn)是使用面窄，接口簡陋，程序結(jié)構(gòu)不開放以及沒有標(biāo)準(zhǔn)的基庫，很難適應(yīng)各學(xué)科的最新發(fā)展，因而很難推廣。MATLAB的出現(xiàn)，為各國科學(xué)家開發(fā)學(xué)科軟件提供了新的基礎(chǔ)。在MATLAB問世不久的80年代中期，原先控制領(lǐng)域里的一些軟件包紛紛被淘汰或在MATLAB上重建。 MathWorks公司1993年推出了MATLAB 4。0版，1995年推出4。2C版（for win3。X）1997年推出5。0版。1999年推出5。3版。MATLAB 5。X較MATLAB 4。X無論是界面還是內(nèi)容都有長足的進(jìn)展，其幫助信

11、息采用超文本格式和PDF格式，在Netscape 3。0或IE 4。0及以上版本，Acrobat Reader中可以方便地瀏覽。時(shí)至今日，經(jīng)過MathWorks公司的不斷完善，MATLAB已經(jīng)發(fā)展成為適合多學(xué)科，多種工作平臺的功能強(qiáng)大大大型軟件。在國外，MATLAB已經(jīng)經(jīng)受了多年考驗(yàn)。在歐美等高校，MATLAB已經(jīng)成為線性代數(shù)，自動(dòng)控制理論，數(shù)理統(tǒng)計(jì)，數(shù)字信號處理，時(shí)間序列分析，動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真等高級課程的基本教學(xué)工具；成為攻讀學(xué)位的大學(xué)生，碩士生，博士生必須掌握的基本技能。在設(shè)計(jì)研究單位和工業(yè)部門，MATLAB被廣泛用于科學(xué)研究和解決各種具體問題。在國內(nèi)，特別是工程界，MATLAB一定會(huì)盛行起來

12、?？梢哉f，無論你從事工程方面的哪個(gè)學(xué)科，都能在MATLAB里找到合適的功能。1.3 MATLAB功能和組成簡介MATLAB產(chǎn)品組是支持從概念設(shè)計(jì)、算法開發(fā)、建模仿真、實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)的理想的集成環(huán)境。MATLAB主要產(chǎn)品構(gòu)成包括MATLAB、MATLAB TOOLBOX、MATLAB C0MPILER、SIMULINK、STATEFLOW和SIMULINK BLOCKSET。MATLAB是所有MathWorks公司產(chǎn)品的數(shù)值分析和圖形基礎(chǔ)環(huán)境，MATLAB將2D和3D圖形、MATLAB語言能力集成到一個(gè)單一的、易學(xué)易用的環(huán)境之中。MATLAB TOOLBOX一系列專用的MATLAB函數(shù)庫，解決特定領(lǐng)域

13、的問題，工具箱是開放的可擴(kuò)展的：你可以查看其中的算法，或開發(fā)自己的算法。MATLAB COMPILER將MATLAB語言編寫的Ill文件自動(dòng)轉(zhuǎn)換成C或 C+文件，支持用戶進(jìn)行獨(dú)立應(yīng)用開發(fā)，結(jié)合Mathworks提供的C/C+數(shù)學(xué)庫和圖形庫，用戶可以利用MATLAB快速地開發(fā)出功能強(qiáng)大的獨(dú)立應(yīng)用。SIMULINK是結(jié)合了框圖界面和交互仿真能力的非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真工具，它以MATLAB的核心數(shù)學(xué)、圖形和語言為基礎(chǔ)。STATEFLOW與Simulink框圖模型相結(jié)合，描述復(fù)雜事件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的邏輯行為，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)在不同的模式之間進(jìn)行切換。REATIME WORKSHOP直接從 Simulink框圖自動(dòng)生成

14、C或Ad代碼，用于快速原型和硬件在回路仿真，整個(gè)代碼生成可以根據(jù)需要完全定制。SIMULINK BLOCKSET專門為特定領(lǐng)域設(shè)計(jì)的Simulink功能塊的集合，用戶也可以利用已有的塊或自編寫的C和MATLAB程序建立自己的塊或庫。1.4 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述與建模在線性系統(tǒng)理論中，一般常用的數(shù)學(xué)模型形式有：傳遞函數(shù)模型（系統(tǒng)的外部模型）、狀態(tài)方程模型（系統(tǒng)的內(nèi)部模型）、零極點(diǎn)增益模型和部分分式模型等。這些模型之間都有著內(nèi)在的聯(lián)系，可以相互進(jìn)行轉(zhuǎn)換。MATLAB提供了ode23、ode45等微分方程的數(shù)值解法函數(shù)，不僅適用于線性定常系統(tǒng)，也適用于非線性及時(shí)變系統(tǒng)。在MATLAB中零極點(diǎn)增益模型用

15、z,p,K矢量組表示。即：z=z1,z2,zmp=p1,p2,.,pnK=k 函數(shù)z,p,Ktf2zp(num,den)可以用來求傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)和增益。函數(shù)r,p,k=residue(b,a)對兩個(gè)多項(xiàng)式的比進(jìn)行部分展開，以及把傳函分解為微分單元的形式。向量b和a是按s的降冪排列的多項(xiàng)式系數(shù)。部分分式展開后，余數(shù)返回到向量r，極點(diǎn)返回到列向量p，常數(shù)項(xiàng)返回到k。b,a=residue(r,p,k)可以將部分分式轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式比p(s)/q(s)。借助多項(xiàng)式乘法函數(shù)conv來處理：num=4*conv(1,2,conv(1,6,6,1,6,6);den=conv(1,0,conv(1,1,con

16、v(1,1,conv(1,1,1,3,2,5); 在一些場合下需要用到某種模型，而在另外一些場合下可能需要另外的模型，這就需要進(jìn)行模型的轉(zhuǎn)換。模型轉(zhuǎn)換的函數(shù)包括：residue：傳遞函數(shù)模型與部分分式模型互換ss2tf： 狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型ss2zp： 狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)增益模型tf2ss： 傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型tf2zp： 傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)增益模型zp2ss： 零極點(diǎn)增益模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型zp2tf： 零極點(diǎn)增益模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型第二章 非線性系統(tǒng)隨著生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，對控制系統(tǒng)的性能和精度的要求越來越高，建立在線性化基礎(chǔ)上的分析和設(shè)計(jì)方法已難

17、以解決高質(zhì)量的控制問題。為此，必須針對非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，采用非線性控制理論進(jìn)行研究。此外，為了改善系統(tǒng)的性能，實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量的控制，還必須考慮非線性控制器的設(shè)計(jì)。例如，為了獲得最短時(shí)間控制，需對執(zhí)行機(jī)構(gòu)采用繼電控制，使其始終工作在最大電壓或最大功率下，充分發(fā)揮其調(diào)節(jié)能力；為了兼顧系統(tǒng)的響應(yīng)速率和穩(wěn)態(tài)精度，需使用變增益控制器。值得注意的是，非線性特性千差萬別，對于非線性系統(tǒng)，目前還沒有統(tǒng)一的且普遍適用的處理方法。2.1非線性系統(tǒng)的特征線性系統(tǒng)的重要特征是可以應(yīng)用疊加原理。由于描述非線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型為非線性微分方程，因此疊加原理不能應(yīng)用，故能否應(yīng)用疊加原理是兩類系統(tǒng)的本質(zhì)區(qū)別。非線性系統(tǒng)的運(yùn)

18、動(dòng)主要有以下特點(diǎn)：（1）穩(wěn)定性分析復(fù)雜按照平衡狀態(tài)的定義，在無外作用且系統(tǒng)輸出的各階導(dǎo)數(shù)等于零時(shí)，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。顯然，對于線性系統(tǒng)，只有一個(gè)平衡y=0，線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性即為該平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，而且只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外作用和初始條件無關(guān)。（2）可能存在自激振蕩現(xiàn)象 所謂自激振蕩是指沒有外界周期變化信號的作用時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)產(chǎn)生的具有固定振幅和頻率的穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)，簡稱自振。線性定常系統(tǒng)只有在臨界穩(wěn)定的情況下才能產(chǎn)生周期運(yùn)動(dòng)。必須指出，長時(shí)間大幅度的振蕩回造成機(jī)械磨損，增加控制誤差，因此多數(shù)情況下不希望系統(tǒng)有自振發(fā)生。但在控制中通過引入高頻小幅度的顫振，可克服間隙，死區(qū)等非線性因素的不良

19、影響。而在振蕩實(shí)驗(yàn)中，還必須使系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)。因此研究自振的產(chǎn)生條件及抑制，確定自振的頻率和周期，是非線性系統(tǒng)分析的重要內(nèi)容。（3）頻率響應(yīng)發(fā)生畸變 穩(wěn)定的線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，即正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)輸出量是與輸入同頻率的正弦信號，其幅值A(chǔ)和相位為輸入正弦信號頻率的函數(shù)。（4）系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)線性系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)形式與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān)，換句話講，線性系統(tǒng)在某一初始狀態(tài)下的零輸入響應(yīng)是單調(diào)收斂的，則在其它初始狀態(tài)下的零輸入響應(yīng)形式仍為單調(diào)收斂，不可能是其它形式（如振蕩、發(fā)散等）。而非線性系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)形式與系統(tǒng)的初始狀態(tài)卻有關(guān)。當(dāng)初始狀態(tài)不同時(shí)，同一個(gè)非線性系統(tǒng)可有不同的零輸入響應(yīng)形式

20、。2.2 非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)方法 系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的目的是通過求取系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式，以解決穩(wěn)定性問題為中心，對系統(tǒng)實(shí)施有效的控制。由于非線性系統(tǒng)形式多樣，受數(shù)學(xué)工具限制，一般情況下難以求得非線性微分方程的解析解，只能采用工程上適用的近似方法。（1）相平面法 相平面法是推廣應(yīng)用時(shí)域分析法的一種圖解分析方法。該方法通過在相平面上繪制相軌跡曲線，確定非線性微分方程在不同初始條件下解的運(yùn)動(dòng)形式。相平面法僅適用于一階和二階系統(tǒng)。（2）描述函數(shù)法 描述函數(shù)法是基于頻域分析法和非線性諧波線性化的一種圖解分析方法。該方法對于滿足結(jié)構(gòu)要求的一類非線性系統(tǒng)，通過諧波線性化，將非線性特性近似表示為復(fù)變增益環(huán)節(jié)，然后

21、推廣應(yīng)用頻率法，分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性或自激振蕩。（3）逆系統(tǒng)法 逆系統(tǒng)法是運(yùn)用內(nèi)環(huán)非線性反饋控制，構(gòu)成偽線性系統(tǒng)，并以此為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)外環(huán)控制網(wǎng)絡(luò)。2.3 典型非線性特性（1）飽和特性kM-aaxy圖2.1 飽和特性飽和非線性特性的數(shù)學(xué)描述 （2-1）飽和非線性特性的特點(diǎn)是：當(dāng)輸入信號較小時(shí)，工作在線性區(qū)域；當(dāng)輸入信號較大時(shí)，輸出呈飽和狀態(tài)。（2）死區(qū)特性k-aaxy圖2.2 死區(qū)特性死區(qū)非線性特性的數(shù)學(xué)描述 （2-2）死區(qū)非線性出現(xiàn)在一些對小信號不靈敏的裝置中，如測量元件、執(zhí)行機(jī)構(gòu)等。其特點(diǎn)是：當(dāng)輸入信號較小時(shí)，無輸出信號；當(dāng)信號大于死區(qū)后，輸出信號才隨著輸入信號變化。（3）滯環(huán)特性-bb-

22、aaxy 圖2.3 滯環(huán)特性滯環(huán)非線性也稱為間隙非線性，其數(shù)學(xué)描述為 （2-3）滯環(huán)非線性主要存在于機(jī)械加工設(shè)備由于裝配帶來的間隙，其特性是：當(dāng)輸入信號較小時(shí)，輸出為零；當(dāng)輸入信號大于a時(shí)，輸出呈線性變化；當(dāng)輸入信號反向時(shí)，輸出保持不變，直到輸入小于-a時(shí)，輸出才又呈線性變化。（4）繼電器特性-aab-bxyb-bxy 圖2.4 繼電器特性繼電器非線性有雙位繼電器特性、具有死區(qū)的繼電器特性、具有滯環(huán)的繼電器特性、具有死區(qū)和滯環(huán)繼電器特性。第三章 描述函數(shù) 從頻率域的角度研究非線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性的一種等效線性化方法。在蘇聯(lián)文獻(xiàn)中，常把這種方法稱為諧波平衡法。描述函數(shù)法是把線性控制理論中經(jīng)典頻率

23、域方法應(yīng)用于非線性系統(tǒng)研究的一種推廣，只適用于非線性程度較低的系統(tǒng)。對于非線性程度高的系統(tǒng)，應(yīng)用描述函數(shù)法可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論。在工程技術(shù)領(lǐng)域中，許多實(shí)際的控制系統(tǒng)都能滿足描述函數(shù)法的限制條件，因而也都能應(yīng)用這種方法。3.1 描述函數(shù)的定義 圖3.1 非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖（1）描述函數(shù)的基本概念設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入信號為正弦信號 （3-1）其輸出一般為非周期正弦信號，可以展開為傅氏級數(shù) （3-2）若非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出部分的靜態(tài)特性曲線是奇對稱的，即，于是輸出中將不會(huì)出現(xiàn)直流分量，從而。式中：，（3-3）同時(shí)，若線性部分的具有低通濾波器的特性，從而非線性輸出中的高頻分量部分被線性部分大大削弱，可以近

24、似認(rèn)為非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出中只包含有基波分量，即式中：，（3-4）， （3-5）（2）描述函數(shù)的定義類似于線性系統(tǒng)中的頻率特性定義：非線性元件穩(wěn)態(tài)輸出的基波分量與輸入正弦信號的復(fù)數(shù)之比稱為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，用來表示。 （3-6）顯然，時(shí)，為復(fù)數(shù)。（3）描述函數(shù)的應(yīng)用條件非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可以簡化為只有一個(gè)非線性環(huán)節(jié)和一個(gè)線性環(huán)節(jié)串聯(lián)的閉環(huán)結(jié)構(gòu)。非線性特性的靜態(tài)輸入輸出關(guān)系是奇對稱的，即，以保證非線性環(huán)節(jié)在正弦信號作用下的輸出中不包含直流分量。系統(tǒng)的線性部分具有良好的低通濾波特性，以保證非線性環(huán)節(jié)在正弦輸入作用下的輸出中的高頻分量被大大削弱。3.2 描述函數(shù)的求法描述函數(shù)求解的一般步驟是：首

25、先由非線性特性曲線，畫出正弦信號輸入下的輸出波形，并寫出輸出波形的的數(shù)學(xué)表達(dá)式。利用傅氏級數(shù)求出的基波分量。將基波分量代入描述函數(shù)定義，即可求得相應(yīng)的描述函數(shù)。下面為繼電器非線性特性的描述函數(shù)求法。 由于非線性為雙位繼電器，即在輸入大于零時(shí)，輸出等于定值，而輸入小于零時(shí)，輸出為定值，故而，在正弦輸入信號的作用下，非線性部分的輸出波形為方波周期信號，且周期同輸入的正弦信號。其波形如下圖所示。 圖3.2 繼電器非線性系統(tǒng)的輸入輸出波形圖由波形圖可見，輸出的方波周期信號為奇函數(shù)，則其傅氏級數(shù)中的直流分量與基波的偶函數(shù)分量系數(shù)均為零，即 （3-7）于是，輸出信號可表示為（3-8）取輸出的基波分量，即

26、（3-9）于是，繼電器非線性特性的描述函數(shù)為 （3-10）顯然，的相位角為零度，其幅值是輸入正弦信號幅值的函數(shù) 常見非線性特性的描述函數(shù)：繼電器非線性描述函數(shù) （3-11）滯環(huán)非線性特性的描述函數(shù)（3-12）3.3組合非線性特性的描述函數(shù)簡單非線性基本連接形式有串聯(lián)、并聯(lián)。（1）非線性特性的并聯(lián)計(jì)算 圖3.3 非線性特性的并聯(lián)結(jié)構(gòu)圖總的描述函數(shù)為 （3-13）由此可見，若干個(gè)非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)后總的描述函數(shù)，等于個(gè)并聯(lián)環(huán)節(jié)描述函數(shù)之和。（2）非線性環(huán)節(jié)的串聯(lián) 圖3.4非線性環(huán)節(jié)的串聯(lián)結(jié)構(gòu)圖兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)相串聯(lián)，串聯(lián)后總的非線性特性的描述函數(shù)并不等于個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)描述函數(shù)的乘積。而是應(yīng)該先求出這兩個(gè)串聯(lián)

27、非線性特性的等效非線性特性，然后再求這個(gè)等效非線性特性的描述函數(shù)。3.4 非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)法采用描述函數(shù)法研究的非線性系統(tǒng)應(yīng)該是如下結(jié)構(gòu)。 圖3.5 非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（1）非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性在上述所示的非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中，非線性部分可以用描述函數(shù)表示，線性部分則用頻率特性表示。由閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，可得到系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性如下 （3-14）其閉環(huán)特征方程為 （3-15）從而有 （3-16）上式稱為非線性特性的負(fù)倒描述函數(shù)。下面給出了常見非線性函數(shù)的負(fù)倒描述函數(shù)曲線，其中箭頭表示了幅值的增大方向。利用描述函數(shù)判別非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的奈奎斯特判據(jù)是：若曲線不包圍曲線，則非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若曲線包圍

28、曲線，則非線性系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；若曲線與曲線相交，理論上將產(chǎn)生振蕩，或稱為自激振蕩。穩(wěn)定ReIm不穩(wěn)定ReImcdba振蕩ReIm 圖3.6 常見非線性系統(tǒng)的和曲線第四章 繪制和圖判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性4.1 非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性判定依據(jù)（1）開環(huán)傳遞函數(shù)沒有積分環(huán)節(jié)已知開環(huán)系統(tǒng)特征方程式在S右半平面的根的個(gè)數(shù)為P，當(dāng)從變化時(shí)，開環(huán)頻率特性的軌跡在平面圍繞點(diǎn)的圈數(shù)為（規(guī)定順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正），則閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式在S右半平面的個(gè)數(shù)為，且。若，則閉環(huán)系統(tǒng)特征根均位于S左半平面，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若，則閉環(huán)系統(tǒng)有個(gè)特征根在S右半平面，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。（2）若開環(huán)傳遞函數(shù)有積分環(huán)節(jié)當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)有積分環(huán)節(jié)

29、時(shí)，處理的方法是從幅相曲線的位置開始，沿逆時(shí)針方向畫的圓弧增補(bǔ)線（理論上半徑為無窮大），在計(jì)算包圍點(diǎn)的圈數(shù)時(shí)，要連同所畫的圓弧增補(bǔ)線在內(nèi)。（3）幅相曲線圍繞點(diǎn)圈數(shù)R的計(jì)算負(fù)穿越：幅相曲線由下向上（幅角減?。┐┰絽^(qū)間的穿越稱為負(fù)穿越，計(jì)為。而從區(qū)間實(shí)軸開始的負(fù)穿越稱為半次負(fù)穿越，計(jì)為；正穿越：幅相曲線由上向下（幅角增大）穿越區(qū)間的穿越稱為正穿越，計(jì)為。而從區(qū)間實(shí)軸開始的正穿越稱為半次正穿越，計(jì)為。于是，幅相曲線圍繞點(diǎn)的圈數(shù)為：概括起來，利用描述函數(shù)判別非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的奈奎斯特判據(jù)是：若曲線不包圍曲線，則非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若曲線包圍曲線，則非線性系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；若曲線與曲線相交，理論上將產(chǎn)生振

30、蕩，或稱為自激振蕩。4.2 繼電器型非線性環(huán)節(jié)的和圖具有理想繼電器特性的非線性系統(tǒng)如下所示，其中線性部分的傳遞函數(shù)為，K=10。 圖4.1 具有理想繼電器特性的非線性系統(tǒng) 解：繼電器非線性的描述函數(shù)為 （4-1）負(fù)倒描述函數(shù)為 （4-2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此當(dāng)時(shí)，曲線為整個(gè)負(fù)實(shí)軸。又線性部分的頻率特性為 （4-3）畫出和曲線如下，-2-1ReIm 圖4.2 理想繼電器非線性系統(tǒng)的和曲線由圖可知，兩曲線在負(fù)實(shí)軸上有一個(gè)交點(diǎn)，且該自激振蕩點(diǎn)是穩(wěn)定的。令，即 （4-4）求得自激振蕩頻率。將代入的實(shí)部，得到 （4-5）由，可得到 （4-6）即有 （4-7）于是求得自激振蕩的幅值為自激振蕩頻率為由奈奎斯特判

31、據(jù)可知，當(dāng)按幅值A(chǔ)增大的方向沿-1/N(A)曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)從不穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)，所以兩根曲線的交點(diǎn)代表的自激振蕩是穩(wěn)定的。K=10時(shí)；MATLAB程序：% MATLAB PROGRAM L141.mclearsyms t x y z M A;M=1;for A=0:0.1:7 x=4*M/(pi*A); y=0; z=-1/x+j*y; plot(-1/x,y,k*) hold onendn=0 0 0 10;d=1 3 2 0;G=tf(n,d);for w=1:1:20 nyquist(G,w,w+1) hold onendfor w=20:1:40 nyquist(G,w,w+1) h

32、old onendfor w=40:1:60 nyquist(G,w,w+1) hold onendfor w=60:1:80 nyquist(G,w,w+1) hold onendfor w=80:1:100 nyquist(G,w,w+1) hold onendfor w=100:1:120 nyquist(G,w,w+1) hold onendfor w=120:1:140 nyquist(G,w,w+1) hold onendfor w=140:1:160 nyquist(G,w,w+1) hold onendfor w=160:1:180 nyquist(G,w,w+1) hold

33、onendfor w=180:1:200 nyquist(G,w,w+1) hold onendfor w=200:1:220 nyquist(G,w,w+1) hold onendfor w=220:1:240 nyquist(G,w,w+1) hold onendfor w=240:1:260 nyquist(G,w,w+1) hold onendfor w=260:1:280 nyquist(G,w,w+1) hold onendfor w=280:1:300 nyquist(G,w,w+1) hold onend運(yùn)行結(jié)果： 圖4.3 K=10時(shí)繼電器特性非線性系統(tǒng)的和曲線 圖4.4 K

34、=20時(shí)繼電器特性非線性系統(tǒng)的和曲線從運(yùn)行結(jié)果可以看到，和曲線是相交的，根據(jù)奈奎斯特判拒可知，系統(tǒng)是自激振蕩的。根據(jù)傳遞函數(shù)表達(dá)示可知，的實(shí)部和虛部都是關(guān)于K的單調(diào)函數(shù)，從仿真結(jié)果我們可以看到當(dāng)K=10時(shí)，自激振蕩點(diǎn)在-2到-1之間；當(dāng)K=20時(shí)，自激振蕩點(diǎn)在-3到-2之間；可見，當(dāng)K增大時(shí)，自激振蕩點(diǎn)是往左移動(dòng)的。根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定性判拒可知，在自激振蕩點(diǎn)左邊的區(qū)域是穩(wěn)定的，右邊的區(qū)域是不穩(wěn)定的。自激振蕩的頻率是，幅值是。4.3 滯環(huán)非線性環(huán)節(jié)和圖具有滯環(huán)非線性特性的系統(tǒng)如下圖所示。已知。試分析系統(tǒng)是否存在自振，若有自振，求出自振參數(shù) 圖4.5 具有滯環(huán)特性的非線性系統(tǒng)滯環(huán)非線性特性的描述函數(shù)

35、式如下， （4-8）可求得的計(jì)算值如表4.1所示。 表4.1 負(fù)倒數(shù)函數(shù)頻率特性A0.6250.831.252.552.381.541.18線性系統(tǒng)部分的傳遞函數(shù)是 （4-9）則系統(tǒng)線性部分的頻率特性是 （4-10）則的實(shí)部和虛部計(jì)算如表4.2所示。 表4.2 線性部分傳遞函數(shù)的頻率特性12345610-10.7-3.18-1.75-1.24-0.96-0.59-0.45-7-3.36-2.13-1.5-1.1-0.86-0.35由圖可見，兩條曲線有一個(gè)交點(diǎn)。由穩(wěn)定性分析可知，該點(diǎn)為自振點(diǎn)，自振參數(shù)，。 圖4.6 滯環(huán)非線性系統(tǒng)的和曲線MATLAB程序：% MATLAB PROGRAM L14

36、1.mclearsyms t x y z m n K b M A;M=1;b=0.5;K=1;for A=0.5:0.01:10 m=K/pi*(pi/2+asin(1-2*b/A)+2*(1-2*b/A)*sqrt(b/A*(1-b/A); n=4*K*b/(pi*A)*(b/A-1); x=-1*m/(m*m+n*n); y=n/(m*m+n*n); z=x+j*y; plot(x,y,k*) hold onendn=0 0 8 10;d=0.1 1 0 0;G=tf(n,d);for w=1:1:20 nyquist(G,w,w+1) hold onendfor w=20:1:40 ny

37、quist(G,w,w+1) hold onendfor w=40:1:60 nyquist(G,w,w+1) hold onendfor w=60:1:80 nyquist(G,w,w+1) hold onendfor w=80:1:100 nyquist(G,w,w+1) hold onendfor w=100:1:120 nyquist(G,w,w+1) hold onendfor w=120:1:140 nyquist(G,w,w+1) hold onendfor w=140:1:160 nyquist(G,w,w+1) hold onendfor w=160:1:180 nyquis

38、t(G,w,w+1) hold onendfor w=180:1:200 nyquist(G,w,w+1) hold onendfor w=200:1:220 nyquist(G,w,w+1) hold onendfor w=220:1:240 nyquist(G,w,w+1) hold onendfor w=240:1:260 nyquist(G,w,w+1) hold onendfor w=260:1:280 nyquist(G,w,w+1) hold onendfor w=280:1:300 nyquist(G,w,w+1) hold onend運(yùn)行結(jié)果：圖4.7 b=0.5時(shí)滯環(huán)非線性

39、系統(tǒng)的和曲線從運(yùn)行結(jié)果可知，和曲線是相交的，根據(jù)奈奎斯特判拒可知，系統(tǒng)是自激振蕩的。在自激振蕩點(diǎn)左邊的區(qū)域，曲線不包含曲線，在右邊的區(qū)域，曲線包含曲線，可見，在自激振蕩點(diǎn)的左邊區(qū)域是穩(wěn)定的，而在右邊的區(qū)域是不穩(wěn)定的。自激振蕩的頻率是，幅值是。結(jié)束語繼電特性，死區(qū)，飽和，間隙和摩擦是實(shí)際系統(tǒng)中常見的非線性因素。在很多情況下非線性系統(tǒng)可以表示為在線性系統(tǒng)的某些環(huán)節(jié)的輸入或輸出端加入非線性環(huán)節(jié)。因此，非線性因素的影響使線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)發(fā)生變化。有鑒于此，本文從物理概念的角度出發(fā)，基于線性系統(tǒng)的分析方法，對繼電器型和間隙特性非線性系統(tǒng)進(jìn)行定量分析，所得結(jié)論雖然不是非常的詳細(xì)，但對于分析常見非線性因素對系

40、統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響，具有一定的參考價(jià)值。本文是用描述函數(shù)法來分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性的。描述函數(shù)法主要用來分析在無外作用的情況下，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定和自振蕩問題，并且不受系統(tǒng)階次的限制，一般都能給出比較滿意的結(jié)果，因而獲得了廣泛的應(yīng)用。但是由于描述函數(shù)對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，非線性環(huán)節(jié)的特性和線性部分的性能都有一定的要求，其本身也是一種近似的分析方法，因此該方法的應(yīng)用有一定的限制條件。另外，描述函數(shù)法只能用來研究系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性，不能給出時(shí)間響應(yīng)的確切信息。通過本次設(shè)計(jì)過程中對非線性系統(tǒng)的了解，我對控制系統(tǒng)中的各個(gè)知識點(diǎn)理解的更加透徹了，以前不太熟悉的幅相曲線現(xiàn)在已經(jīng)可以很熟練的畫出來了。致 謝本研究及學(xué)位論文是

41、在我校導(dǎo)師*老師的親切關(guān)懷和悉心指導(dǎo)下完成的。她嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神，精益求精的工作作風(fēng)，深深地感染和激勵(lì)著我。在此謹(jǐn)向王瑾老師致以誠摯的謝意和崇高的敬意。我還要感謝在一起愉快的度過畢業(yè)論文小組的同學(xué)們，正是由于他們的幫助和支持，我才能克服一個(gè)一個(gè)的困難和疑惑，直至本文的順利完成。在論文即將完成之際，我的心情無法平靜，從開始進(jìn)入課題到論文的順利完成，有很多可敬的師長、同學(xué)、朋友給了我無言的幫助，在這里請接受我誠摯的謝意!最后我還要感謝培養(yǎng)我長大含辛茹苦的父母，謝謝你們! 最后，再次對關(guān)心、幫助我的老師和同學(xué)表示衷心地感謝。參考文獻(xiàn) 1廖曉昕穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)理論及應(yīng)用M武漢：華中師范大學(xué)出

42、版社1988.2鄧飛其，趙玉鵬無窮時(shí)滯非線性大系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性應(yīng)用科學(xué)學(xué)報(bào)， 1992，10（4）：184-188.3馮純伯，費(fèi)樹岷.非線性系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì).第2版M.北京：電子工業(yè)出版社，19984閻秀蘭.幾種典型非線性環(huán)節(jié)的數(shù)字仿真 J.工業(yè)儀表與自動(dòng)化裝置，1984年04期; 17-18.5施頌椒, 陳學(xué)中,杜秀華. 現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ). 高等教育出版社,2008.6侯媛彬,呂志來,韓崇昭.一種無級非線性補(bǔ)償?shù)姆椒?A.1996年中國智能自動(dòng)化學(xué)術(shù)會(huì)議論文集（下冊） C，1996年.7孫增圻.智能控制理論及其應(yīng)用.北京：清華大學(xué)出版社，1997. 8高國燊，余文烋.自動(dòng)控制原理.華南理工

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45、20:02 3kN微型裝載機(jī)設(shè)計(jì)09/20 15:09 45T旋挖鉆機(jī)變幅機(jī)構(gòu)液壓缸設(shè)計(jì)08/30 15:32 5噸卷揚(yáng)機(jī)設(shè)計(jì)10/30 17:12 C620軸撥桿的工藝規(guī)程及鉆2-16孔的鉆床夾具設(shè)計(jì)09/21 13:39 CA6140車床撥叉零件的機(jī)械加工工藝規(guī)程及夾具設(shè)計(jì)08/30 15:37 CPU風(fēng)扇后蓋的注塑模具設(shè)計(jì)09/20 16:19 GDC工業(yè)對輥成型機(jī)設(shè)計(jì)08/30 15:45 LS型螺旋輸送機(jī)的設(shè)計(jì)10/07 23:43 LS型螺旋輸送機(jī)設(shè)計(jì)09/20 16:23 P-90B型耙斗式裝載機(jī)設(shè)計(jì)09/08 20:17 PE10自行車無級變速器設(shè)計(jì)10/07 09:23 話機(jī)

46、機(jī)座下殼模具的設(shè)計(jì)與制造09/08 20:20 T108噸自卸車拐軸的斷裂原因分析及優(yōu)化設(shè)計(jì)09/21 13:39 X-Y型數(shù)控銑床工作臺的設(shè)計(jì)09/08 20:25 YD5141SYZ后壓縮式垃圾車的上裝箱體設(shè)計(jì)10/07 09:20 ZH1115W柴油機(jī)氣缸體三面粗鏜組合機(jī)床總體及左主軸箱設(shè)計(jì)09/21 15:34 ZXT-06型多臂機(jī)凸輪軸加工工藝及工裝設(shè)計(jì)10/30 16:04 三孔連桿零件的工藝規(guī)程及鉆35H6孔的夾具設(shè)計(jì)08/30 17:57 三層貨運(yùn)電梯曳引機(jī)及傳動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)10/29 14:08 上蓋的工工藝規(guī)程及鉆6-4.5孔的夾具設(shè)計(jì)10/04 13:45 五噸單頭液壓放料機(jī)的設(shè)計(jì)10/04 13:44 五噸單頭液壓放料機(jī)設(shè)計(jì)09/09 23:40 儀表外殼塑料模設(shè)計(jì)09/08 20:57 傳動(dòng)蓋沖壓工藝制定及沖孔模具設(shè)計(jì)09/08 21:00 傳動(dòng)系統(tǒng)測繪與分析設(shè)計(jì)10/07 23:46 保護(hù)罩模具結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)09/20 15:30 保鮮膜機(jī)設(shè)計(jì)10/04 14:35 減速箱體數(shù)控加工工藝設(shè)計(jì)10/04 13:20 鑿巖釬具釬尾的熱處理工藝探索設(shè)計(jì)09/08 21:33 分離爪工藝規(guī)程和工藝裝備設(shè)計(jì)10/30 15:26 制定左擺